5.专题五 圆的综合题 一阶全角度突破设问-【一战成名新中考】2026陕西中考数学·二轮复习·分层突破题位题

一战成名新中考 函数表达式为y=*21: .y= x4680+21=13.2, 600 (2)需要提前准备氧气瓶， 13.2%<14%, 理由：由题意，结合(1)令x=4680, .登山运动员需要提前准备氧气瓶。 专题五 圆的综合题 一阶全角度突破设问 .∠CAB=∠CDB,.∠CAB=∠APB 突破设问1证明两线段相等 证法2：如解图，连接BC,AB是⊙O的直径， 例(1)解：∠BAM,∠ACB,∠ADB: .∠ACB=90°. (2)解：△ABM,△ABE,△ADM: .·AM是⊙O的切线，.∠BAP=90°， (3)证明：AP是⊙0的切线， 又·CD⊥AB,易得∠ABC=∠ABD. .∠EAM=90°， .在Rt△ABC和Rt△ABP中 90°-∠ABC=90°-∠ABD. .∠BAE+∠MAB=90°，∠AEB+∠AMB=90° 即∠CAB=∠APB. 又AB=BM,.∠MAB=∠AMB. .∠BAE=∠AEB,∴.AB=BE. M 练1证明：证法1：如解图①，连接0E, .·DE是⊙O的切线，.∠ODE=90°. D (0E=0E, 在Rt△DOE和Rt△COE中 B (0D=0C. 例1题解图 ∴.Rt△DOE≌Rt△COE(HL), 例2证明：证法1：如解图①，连接0F, .ED=EC. 证法2：如解图②，连接CD, BF=2BE,..LBOF=24COB, 又.∠B0F=2∠A,.∴.∠COB=∠A .DE是⊙0的切线，∴.∠ODE=90° .OD=0C.∴∠ODC=∠OCD. 又.·∠ACB=90° :∠EDC∠DCE.ED=EC: D B 例2题解图① 证法2：如解图②，取BF的中点M,连接AM、AE, 图① 图② BF=2BE,.BM=MF-BE」 练1题解图 ∠EAB=∠MAF=∠BAM. 练2证明：如解图，连接OD,AD,:DE是⊙0的切线， ∴.∠BAF=2∠BAM, .OD⊥DE, .·∠COB=2∠EAB=2∠BAM, ·DE⊥AC,∴.DO∥AC,∴.∠C=∠ODB .∴.∠COB=∠BAF. .OD=OB,∠B=∠ODB,.∠B=∠C,.AC=AB, AB是⊙0的直径，∴.∠ADB=90°，.AD⊥BC, ∴.BD=CD. B D 例2题解图② 练1证明：如解图，连接OD .△ABC内接于⊙O,AB为⊙0的直径 练2题解图 .∴∠DOE=2∠ABD,∠ACB=90°， 突破设问2证明两角相等 :∠ABC=2∠ABD,∴.∠DOE=∠ABC. 例1证明：证法1：：AM是⊙0的切线，∠BAM=90°， .DE为⊙0的切线，.∠ODE=90°， CD⊥AB,.∠CEA=90°，AM/∥CD, ∴.∠BAC+∠ABC=∠OED+∠DOE=90° ∴.∠CDB=∠APB, ∴.∠BAC=∠OED,即∠BAC=∠BED. 参考答案与重难题解析·陕西数学 59 练2证明：.CD与⊙0相切于点C,.CD⊥OC, .∠0CD=90° .·CD=DE.OC=OB .∠E=∠DCE,∠B=∠OCB. C ∴.∠E+∠B=∠DCE+∠OCB=180°-∠OCD=90° 练1题解图 .∠BFE=180°-（∠E+∠B)=90°， 练2证明：如解图，连接D0并延长交⊙0于点F,连接 .EF⊥AB. BF,则DF为⊙0的直径，.∠FBD=90°， 突破设问4求一条线段长 ∴.∠F+∠BDF=90°， 例解：解法1：如解图，连接AE,由题意可得，BA⊥CA,AB=6 ·AD与⊙0相切于点D, ×2=12,.AC=AB=12,.△ABC是等腰直角三角形. .∴.∠ADF=90°，∴.∠ADB+∠BDF=90°， 又：AB是⊙O的直径，.∠AEB=∠AFB=90°， ∴.∠ADB=∠F, 易得∠BAF=∠CDB .·BC∥AD,.∠ADB=∠CBD, ,·∠BEF=∠BAF,∴.∠BEF=∠CDB ∠F=∠E,.∠E=∠CBD. .·∠EBF=∠DBC,∴.△BEF∽△BDC .BE:BD=EF:CD. 在Rt△ABD中，AD=9,AB=12,.BD=√+12=15， 由题知，CD=AC+AD=21, 在等腰Rt△ABC中，BC=√2AB=12√2！ .·AE⊥BC,AC=AB. 练2题解图 B-=C=65. 突破设问3证明两线平行或垂直 例1证明：如解图，连接0C, 62:15=EF:21解得EF=5,即EF的长为2,5】 5 .·CE与⊙0相切于点C,∴.∠OCE=90°， .∠ABC=45°，∴.∠A0C=90°， ∠A0C+∠0CE=180°，.AD∥EC. E E A 例题解图 解法2：如解图，连接AE,过点B作B上EF于点H, 由题意可得AB=2r=12,LBAC=90°， :∴.AB=AC,∴.△ABC是等腰直角三角形 D 例1题解图 :.BC=√2AB=12√2，∠BCD=45°. .AB是⊙O的直径，∴.∠BEA=90° 例2证明：如解图，连接ON, .AE⊥BC,又AB=AC, ,CD为Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴.CD=AD=DB,∴.∠OCW=∠B, BE=2BC=62, .OC=OW,∠OCN=∠ONC, 易得∠BAF=∠CDB,∴.∠BEH=∠BAF=∠CDB ∠ONC=∠B,.ONDB, :.∠EBF=∠DBC,.∠BFE=∠BCD=45°， .NE为⊙O的切线，.ON⊥NE,∴.NE⊥AB .△BHF是等腰直角三角形，.HF=BH, 在Rt△ABD中，an∠CDB=AB-12.4 AD931 ∴.在Rt△BEH中，tan∠BEH= BH 4 EH3 B EH 3 BH 4 例2题解图 .cos∠BEH= BE5,sin∠BEH= 练1证明：四边形ABCD是平行四边形， 182 4 242 AD∥BC,.∠NAM=∠ABG, EH=亏B==M=BE= 5 “AM是⊙E的直径，.∠ANM=90°， EF=Eh+H=182242422 :BC所在的直线与⊙E相切于点G,∠BGE=90°， 5 5 5 .∠NMA=∠BEG. .∴.EGMN. 即EF的长为2 5 60 参考答案与重难题解析·陕西数学 一战成名新中考 练1解：：点E是AB的中点，CD是⊙0的直径， :∠COD=2∠CAD,∴.∠BAD=2∠CAD: ∴.CD⊥AB,∴.∠OEA=90°， .·CP是⊙O的切线， ∴.CD⊥CP,∠OCP=90° .·∠A0E=∠POC,∠OCP=∠OEA=90°， .△AE0∽△PC0,-P0OC AO OE 第1题解图 即A0·0C=0E·0P, (2)解：设⊙0的半径为r,则0C=0D=T,AD=2r 设⊙0的半径为r,则0P=12-r,OA=0C=r, AB=7,CE=3, .AE=7,DE=2r-7. 结合(1)可知∠CED=∠CDE,∠OCD=∠ODC, .2=12-r,解得r=3(负值已舍去)， CD DE .⊙0的半径为3. .CD=CE-3.ACDEAOCD,OC-CD 练2解：解法1：如解图，连接0C,BC,:AB是⊙0的直径 CE是⊙0的切线，.∠ACB=∠0CE=∠E=90° 3_21整理得2r-7-9=0, 3 ∴.∠BCE+∠OCB=90°，∠A+ ∠ABC=90°， 解得7= 2=-1(不合题意，舍去)， .OC=OB,∴.∠OCB=∠ABC ∴.∠BCE=∠A=∠D, 00的半径为号 .·⊙0的半径为5，AC=8、 2.(1)证明：.AB⊥CD. 练2题解图 ∴.AB=2×5=10 ∴.∠BED=90°，∴.∠B+∠D=90°， .BC=√AB2-AC=V102-8=6, CF⊥BD,∴.∠BFG=90°， .∠B+∠BGF=90°，∴.∠BGF=∠D =mL=m1铝-合-号影-a∠ BE .∠BGF=∠AGC,∴.∠AGC=∠D, =osA=4C、84 .∠A=∠D,.∴∠A=∠AGC,∴.AC=GC: ΓAB1051 (2)解：如解图，连接C0, 证=tamD=anA=BC6.3 CE AC 8 4' B=0=6=E=C=46=24 5 5 5 5 35=5 B 第2题解图 :BD=DE-BE-555 321814 AB L CD.AC=GC...AE=GE :即的长为管 CDLAB,AB为O0的直径，CD=8CE=)CD=4, 解法2点拨：同解法1得∠BCE=LA=∠D,∠BCA 设OE的长为x,则AE=GE=x+1. =∠E=90°，BC=6,AB=10,.△BEC∽△BCA,. .C0=A0=AE+0E=2x+1, BE BC EC BE 6 EC 在Rt△0CE中，OE2+CE2=C02 AC60g,解得B6=8 EC= .x2+42=(2x+1)2, 24 32 整理得，(3x-5)(x+3)=0, ,利用三角函数可求出DE= :5 .BD=DE-BE= 5 解得x1= 321814 3=-3(不合题意，舍去)， 555 C0=2+1=3 3,⊙0的半径为3 二阶对接中考 3.(1)证明：证法1：.·CE平分∠ACD,.∠ACE=∠DCE, 1.(1)证明：如解图，连接OC、CD, .AB是⊙0的直径，∴.∠ACB=90°， :AC=AC,.∠ABE=∠CDE, ∠ACF+∠BCE=90°， .AB=AE,.∠ABE=∠AEB, :CD⊥AB,∴.∠CDE=90°，∴.∠CED+∠DCE=90°， .·OC=OD,∴.∠ODC=∠OCD ∴.∠BCE=∠CEB, ∴.∠ABE=∠AEB=∠OCD=∠CDO :∠FAB=∠BCE,∠AEF=∠BEC,.∠FAE=∠AEF .∴.∠C0D=180°-2∠ODC=180°-2∠ABE=∠BAD .FA=FE: 参考答案与重难题解析·陕西数学 61一战成名目 专题五 圆的综合题 (2025年第24题) 阶全角度突破设问 突破设问1证明两线段相等(2025、2023.24(1)；2019.23(1)；2018.23(2) 典例精讲万 例[2019陕西23(1)题改编]如图，AC是⊙0的直径，AB是⊙0的一条弦，AP是⊙0的切线.作 BM=AB并与AP交于点M,延长MB交AC于点E,交⊙0于点D,连接AD,BC, (1)写出图中所有与∠AMB相等的角： (2)写出图中所有的等腰三角形； (3)求证：AB=BE 例题图 纹归纳总结 证明“两线段相等”的基本思路： 类型 共线共端点 同一三角形中 两个三角形中 四边形两对边 M 图示 A M B 证四边形ABNM是 基本思路 证M是中点 证∠A=∠B 证△ACM≌△BDM 特殊的四边形 练1多解法)[2025西安新城区多校联考卷改编]如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作 ⊙O,交AB于点D,过点D作⊙O的切线交BC于点E,连接OD,求证：ED=EC. E 练1题图 分层突破题位题·陕西数学 21 练2「2023西工大附中八模改编1如图，以△ABC的边AB为直径的⊙0交BC于点D,⊙0的切线 DE⊥AC,垂足为E,求证：BD=CD. D B 练2题图 突破设问2证明两角相等(2024.24(1)：2022.24(1)；2021.24(1)) 典例精讲) 例1多解法[2022陕西24(1)题]如图，AB是⊙0的直径，AM是⊙0的切线，AC、CD是⊙0的 弦，且CD LAB,垂足为E,连接BD并延长，交AM于点P,求证：∠CAB=∠APB. …攻思维点拨 证法1：AM是切线得垂直，结合CD⊥AB得平行，角度转化可证； 证法2： 的 M看到直径 倒 看到直径 想圆周角 +∠ACB=90°7 连接构造直角C 0 角 D 、E 看到切线，LBAP=90°J 可 B 想垂直 证 例1题图 22 分层突破题位题·陕西数学 一战成名新中考 例2多解法[2021陕西24(1)题]如图，AB是⊙0的直径，点E、F在⊙0上，且BF=2BE,连接 OE、AF,过点B作⊙0的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D.求证：∠COB=∠A, B 例2题图 交思维点拨 证法1：看到BF=2BE想圆周角定理，连接OF可证； 证法2：看到BF=2BB想角度关系，取BF的中，点M,连接AM,AE,利用圆周角定理及其推论 可证 女归纳总结 证明“两角相等”的6种基本思路： 1.有直角（平角）→找同角（等角）的余角（补角）相等； 2.有平行线→找同位角相等、内错角相等； 3.有等腰三角形→找两底角相等； 4.有全等（相似）三角形→找对应角相等； 5.有特殊四边形→找对角相等； 6.有圆周角找同孤、等孤所对的圆周角相等 分层突破题位题·陕西数学 23 练1如图，△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径，点D在AB上方的⊙O上，连接BD,过点D作⊙O 的切线DE交BA的延长线于点E,∠ABC=2∠ABD.求证：∠BAC=∠BED. D E 0 C 练1题图 练2[2025榆林七中五模改编]如图，在四边形ABCD中，BC∥AD,B,C,D三点在⊙0上，AD与⊙O 相切于点D,AB的延长线与⊙O交于点E,连接BD,DE,求证：∠E=∠CBD. A D 练2题图 24 分层突破题位题·陕西数学 一战成名新中考 突破设问3证明两线平行或垂直(2020、2018.23(1))》 典例精讲0 例1[2020陕西23(1)题改编]如图，点A,B,C是⊙0上三点，∠ABC=45°.过点C作⊙0的切线， 与BA的延长线交于点E,AD是⊙O的直径.求证：AD∥EC. …攻思维点拨 看到切线想垂直 看到切点连半径 +∠0CE=90° ∠A0C=909 有圆周角想圆心角 D D 例1题图 例2[2018陕西23(1)题改编]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径 作⊙O,与BC交于点N,过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E.求证：NE⊥AB. 交思维点拨 看到CD为Rt△ABC斜CD=BD 边上的中线想等腰 ∠OCW=∠B] 看到切点 角 连半径 看到ON=0C想等角，∠OCN= DE DE B ∠OWC 例2题图 分层突破题位题·陕西数学 25 交归纳总结 证明两直线平行的基本思路： 应用平行线分线段成比例 应用平行四边形对边 应用平行线判定定理 (含中位线) 性质 2 M 3+4 图示 ①同位角：证∠1=∠2 ②内错角：证∠1=∠3 由PA:PB=PC:PD及∠P共 思路 ③同旁内角：证∠1+∠4=180° 用得△PAC△PBD,得 平行四边形的对边平行 ④垂直于同一直线两直线平 ∠PAC=∠PBD,得ACBD 行：证a⊥c,b⊥c 练1[2025曲江一中九模改编]如图，在口ABCD中，点E在边AB上，以点E为圆心，AE长为半径的 ⊙E分别交AB、AD于点M、N,与BC所在的直线相切于点G.求证：EGMN. G 练1题图 练2如图，△ABC内接于⊙0，AB是⊙O的直径，连接OC,点E是BC延长线上一点，CD是⊙O的 切线，连接ED并延长交AB于点F,且CD=DE.求证：EF⊥AB. B 练2题图 26 分层突破题位题·陕西数学 一战成名新中考 突破设问4求一条线段长(2025~2021.24(2)；2019.23(2)) 典例精讲⑦ 例多解法[2024陕西24(2)题]如图，直线1与⊙0相切于点A,AB是⊙0的直径，点C,D在l 上，且位于点A两侧，连接BC,BD,分别与⊙0交于点E,F,连接EF,AF,若⊙0的半径r=6,AD=9, AC=12,求EF的长. 交思维点拨 解法1：在△EBF和△DBC中，有公共角∠EBF,考虑相似； 解法2：考虑三角函数，作BH⊥EF,将EF转化为EH+HF 例题图 文归纳总结 在圆的综合题中，求线段长度的常用方法： 1.题目中有线段比例、平行、角度相等关系等→相似； 2.题目中存在直径或切点，可构造直角→勾股定理； 3.题目中涉及角度（特殊角30°，45°，60）或三角函数值→三角函数； 4.复杂问题需综合运用：如先用相似建立比例关系，再用勾股定理或三角函数计算具体数值 分层突破题位题·陕西数学 27 练1如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，点E是AB的中点，AB与CD交于点E,过点C作⊙O 的切线CP,连接AO并延长交CP于点P.AP=12,OE=1,求⊙O的半径. C 练1题图 练2多解法)[2025交大附中六模改编]如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙0的弦，连接BD,过点C 作⊙O的切线交DB的延长线于点E,且∠E=90°，连接AC,⊙O的半径为5，AC=8,求BD的长 D 练2题图 28 分层突破题位题·陕西数学