8.5.1直线与直线平行（教学课件）高一数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦空间直线与直线平行，涵盖定义、基本事实4（平行线传递性）及等角定理。通过回顾初中平面平行线知识，结合教室实例与长方体模型，搭建从平面到空间的学习支架，引导学生迁移认知。 其亮点在于采用“直观感知—实验探究—归纳提炼”模式，如长方体模型观察直线关系培养空间观念，典例分析（正方体、三棱锥）与举一反三（异面直线判断）强化推理意识，规范符号语言表达。知识小结用表格梳理，易错点提醒，助力学生夯实基础，教师可提升教学效率。

第八章 立体几何初步 8.5空间直线、平面的平行 第1课时 直线与直线平行 学 习 目 标 1 2 理解空间中直线与直线平行的定义，掌握基本事实4（平行线的传递性）和等角定理的内容；能运用基本事实4和等角定理判断空间中直线的平行关系、解决简单的角的计算与判断问题，规范书写推理过程。 通过观察长方体模型、生活实例，经历“直观感知—实验探究—归纳提炼”的过程，培养空间想象能力；通过类比平面内平行线的性质，迁移到空间场景，体会类比、转化与化归的数学思想，提升逻辑推理素养。 新课引入 同学们，我们先回顾初中所学：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，并且平行于同一条直线的两条直线互相平行。 那在空间中，这种规律还成立吗？ 请大家观察身边的实例： 教室的黑板，它的上下两条边所在直线互相平行，左右两条边所在直线也互相平行； 再看墙角的三条棱，其中两条棱都平行于同一条水平棱，这两条棱之间是什么位置关系？ 新课引入 直线与直线平行 再观察长方体模型（如图），棱AB与棱CD平行，棱A’B’与棱AB平行，那么棱A’B’与棱CD是否平行？ 这些生活和几何模型中的现象，引发我们今天的思考： 空间中直线与直线的平行，到底遵循怎样的规律？ 今天我们就一起学习《8.5.1 直线与直线平行》，揭开这个疑问。 互动探究 探究基本事实4 直线与直线平行 给定长方体 ，观察以下直线： ，，那么 与 是什么关系？ ，，那么 与 是什么关系？ 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 发现规律 【基本事实4】（平行公理） 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 若 ，，则 。 符号表示 基本事实4表明，空间中直线的平行关系具有传递性。 互动探究 探究等角定理 直线与直线平行 回顾平面内的结论 若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补； 在长方体中找角 结合长方体模型，找出两个角，使它们的两边分别对应平行（如∠DAB与∠D’A’B’，∠DAB与∠A’B’C’）； 尝试归纳结论 观察它们的大小关系，讨论：空间中，这个结论是否仍然成立？ 尝试用简单的推理说明理由 构建体系 基本事实4（平行公理） 直线与直线平行 项目 内容 文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行 符号语言 主要作用 判断空间中两条直线平行的依据 注意要点 1. 是判断空间两直线平行的重要方法2. 体现平行关系的传递性3. 在平面与空间中均成立 核心说明：① 基本事实4适用于空间中任意三条直线，打破了平面的限制，是判断空间中两条直线平行的核心依据；② 它体现了平行线的传递性，与平面内的平行线传递性一致，无需证明，可直接应用；③ 利用基本事实4证明线线平行时，关键是找到“中间直线”b，实现两条直线的平行转化。 构建体系 等角定理 直线与直线平行 项目 内容 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 符号语言 若∠BAC的两边AB∥A’B’，AC∥A’C’，则∠BAC=∠B’A’C’ 或 ∠BAC+∠B’A’C’=180°。 (1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同(或相反)，那么这两个角相等； (2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且一边的方向相同，另一边的方向相反，那么这两个角互补． 典例分析 题型1 平行线传递性的应用 【例1】　在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点．求证：四边形B1EDF是菱形． [证明]　取B1C1的中点G，连接GD1，GE， 则GE∥C1C∥D1D，GE＝C1C＝D1D， ∴四边形GEDD1是平行四边形，GD1∥ED，GD1＝ED． ∵FD1∥B1G，FD1＝B1G，∴四边形FB1GD1是平行四边形， ∴B1F∥GD1，B1F＝GD1，∴B1F∥ED，B1F＝ED， ∴四边形B1EDF是平行四边形， 又B1E＝＝BB1，B1F＝ ＝A1B1，A1B1＝BB1，∴B1E＝B1F， ∴四边形B1EDF是菱形． 典例分析 题型1 平行线传递性的应用 例2．如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形． 典例分析 题型2 等角定理的应用 例3　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点. 求证：∠BGC＝∠FD1E. 证明　因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点， 所以CE∥GD1，CE＝GD1，BF∥GD1，BF＝GD1， 所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形. 所以GC∥D1E，GB∥D1F. 因为∠BGC与∠FD1E的两边方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E. 典例分析 题型2 等角定理的应用 例3　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点. 求证：∠BGC＝∠FD1E. 证明　因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点， 所以CE∥GD1，CE＝GD1，BF∥GD1，BF＝GD1， 所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形. 所以GC∥D1E，GB∥D1F. 因为∠BGC与∠FD1E的两边方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E. 等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能. 典例分析 题型2 等角定理的应用 例4.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点 又AA1＝BB1且AA1∥BB1， ∴MM1＝BB1且MM1∥BB1， ∴四边形BB1M1M为平行四边形． 典例分析 题型2 等角定理的应用 [证明] ∵ 在△ABC 中，EF∥BC， ∴ 。 又∵ FG∥CD， ∴ 。∴ ， ∴ EG∥BD。 ∵ ∠EFG 与 ∠BCD 的两条边分别对应平行，且方向相同， ∴ ∠EFG = ∠BCD。同理 ∠FGE = ∠CDB。 ∴ △EFG∽△BCD。 举一反三 举一反三 D [当∠AOB=∠A₁O₁B₁，且OA∥O₁A₁时，OA与O₁A₁的方向相同，OB与O₁B₁不一定平行，如图所示，故选D.] 举一反三 解：（1）所有二项式系数的和为 = 256； （2）奇数项二项式系数的和为 = 128。 3.如图，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是 A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.空间四边形 解析　利用E，F，G，H分别为各边中点， 可得这个四边形是平行四边形， 再由对角线相等可得四边形EFGH一定是菱形. 4.两等角的一组对应边平行，则 A.另一组对应边平行 B.另一组对应边不平行 C.另一组对应边不可能垂直 D.以上都不对 解析　另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直. 注意和空间等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别. 举一反三 5．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________． 6．如图所示，P是△ABC所在平面外一点，点D，E分别是△PAB，△PBC的重心． 求证：DE∥AC，DE＝AC. 学海拾贝 知识小结 本节课核心学习了3个重点内容： ① 空间中直线与直线平行的定义（无公共点）； ② 基本事实4（平行线的传递性，a∥b，b∥c⇒a∥c），是判断空间线线平行的核心依据； ③ 等角定理（两边分别对应平行，角相等或互补），是空间角的判断工具。 学海拾贝 方法小结 类别 核心方法/关键 具体内容 证明空间线线平行 关键 利用基本事实4，找中间平行线，转化平行关系 应用等角定理 关键 关注角的两边方向，防止漏解 空间几何常用思想 类比、转化与化归 类比平面几何；将空间问题转化为平面问题 学海拾贝 易错点回顾 牢记3个易错点：① 无公共点≠平行(可能异面);② 平行直线可画在不同平面上，但仍不是异面;③ 两边平行的角，可能相等也可能互补。 后续衔接 本节课所学的线线平行，是后续学习直线与平面平行、平面与平面平行的基础，后续将进一步学习如何利用线线平行推导线面平行、面面平行的判定定理，大家课后需熟练掌握基本事实4和等角定理的应用，夯实基础。 感谢聆听! 1．已知在棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________． 平行　[如图所示，∵M，N分别为CD，AD的中点，MNeq \f(1,2)AC， 2．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　) A．30°　　　　　　 B．30°或150° C．150° D．以上结论都不对 B　[因为AB∥PQ，BC∥QR， 所以∠PQR与∠ABC相等或互补． 因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°．] [证明]　如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1．∵E是AA1的中点，∴EQA1D1． ∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，∴EQB1C1，∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1EC1Q． 又Q，F分别是D1D，C1C的中点，∴QDC1F， ∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1QFD． 又B1EC1Q，∴B1EFD， 故四边形B1EDF为平行四边形． (1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形； (2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1． [证明]　(1)∵ABCD­A1B1C1D1为正方体． ∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1， 又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点， ∴AM＝A1M1且AM∥A1M1， ∴四边形AMM1A1为平行四边形， ∴MM1＝AA1且MM1∥AA1． (2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM． 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，1M1∥CM．∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1． 例5．如图，已知三棱锥A­BCD的四个面分别是△ABC，△ABD，△ACD和△BCD，E，F，G分别为线段AB，AC，AD上的点，EF∥BC，FG∥CD． 求证：△EFG∽△BCD． 1．若直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则b与c(　　) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 C　[若b∥c，由a∥b，知a∥c，这与a，c异面相矛盾，则b与c不可能平行，故选C．] 2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的是(　　) A．OB∥O1B1，且方向相同 B．OB∥O1B1，方向可能不同 C．OB与O1B1不平行 D．OB与O1B1不一定平行 证明：如图，连接PD，PE并延长，分别交AB于点G， 交BC于点H，则G，H分别是AB与BC的中点， 连接GH，则GH∥AC，且GH＝eq \f(1,2)AC. 在△PHG中，eq \f(PE,PH)＝eq \f(PD,PG)＝eq \f(2,3). 所以DE∥GH，且DE＝eq \f(2,3)GH. 所以DE∥AC，DE＝eq \f(1,3)AC. 平行　[在△ABC中，因为AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC．又BC∥B1C1， 所以EF∥B1C1．] $