4.2.1 等差数列的概念 第1课时课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

【第四章 数列】 4.2.1 等差数列的概念 第1课时-等差数列的概念及通项公式 高二下学期数学人教A版选择性必修第二册 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念． 2.掌握等差数列的通项公式及应用，能灵活使用通项公式解决相关问题． 3.体会等差数列与一元一次函数的关系，根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出等差数列的通项公式，在这一学习过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养． 学习目标 观察下列现实生活中的数列，回答问题. 1.我国有用12生肖纪年的习惯， 例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为 2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；① 创设情境 2.我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为 275，270，265，260，255，250，…；② 3.2020年1月中，每个星期日的日期为5，12，19，26.③ 观察下列现实生活中的数列，回答问题. 创设情境 观察数列①②③你能发现他们的规律吗？ 对于数列① 发现：2029=2017+12，2041=2029+12，2053=2041+12，… 换一种写法就是：2029-2017=12，2041-2029=12，2053-2041=12，… 创设情境 对于数列①，有这样的规律：数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数12． 数列②满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数-5． 数列③满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数7． 观察数列①②③你能发现他们的规律吗？ 创设情境 什么是等差数列，你能给出等差数列的定义吗？ 探究等差数列的概念. 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 探究新知 对定义的理解：注意两个关键词“从第2项起”，“同一个常数” 条件 从第2项起 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 结论 这个数列就叫做等差数列 有关概念 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示 什么是等差数列，你能给出等差数列的定义吗？ 探究等差数列的概念. 探究新知 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？ a和b的等差中项是它们的算术平均数. 探究等差数列的概念. 此时，我们把A叫做a和b的等差中项. 探究新知 （1）你能根据定义，写出等差数列的递推公式吗？ 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由定义可得： an＋1－an＝d. 探究等差数列的通项公式. （2）你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？ 探究新知 探究等差数列的通项公式. （3）还有其他方法，推导等差数列的通项公式吗？ 探究新知 （3）还有其他方法，推导等差数列的通项公式吗？ 探究等差数列的通项公式. 探究新知 探究等差数列的通项公式. 观察等差数列的通项公式，它和哪一类函数有关？ 要求：1.先独立思考2分钟； 2.小组内交流讨论； 3.以小组为单位进行展示汇报. 探究新知 答： 探究等差数列的通项公式. 观察等差数列的通项公式，它和哪一类函数有关？ 探究新知 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 1 2 3 4 5 6 探究等差数列的通项公式. 探究新知 探究等差数列与一次函数的关系. 探究新知 可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？ 探究等差数列与一次函数的关系. 探究新知 （1）定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列. （2）中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数列. 判断一个数列为等差数列的方法: （3）通项公式法:an为n的一次函数⇒{an}为等差数列. 探究新知 应用举例 （2）求等差数列8，5，2，…的第20项； 由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20. 解：(1)由题意得， a1=8,d=5-8=-3, 因此这个数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d=-3n+11 所以a20=11-3×20=-49 应用举例 判断-401是不是等差数列–5,-9 ,-13…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由. 先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看-401是否能使这个方程有正整数解. 应用举例 求下列等差数列{an}的通项公式. （1）已知a1=3,a7=15.（2）已知a2=8，且a3+a5=4a2. 应用举例 在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d. 这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解之得： 应用举例 已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式. 解：根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d， 故等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1. 应用举例 求通项公式的方法 应用举例 现实情境 等差数列概念 递推公式 抽象 函数与方程的思想 通项公式 应用 归纳 、累加法 an－an－1 ＝d(n≥2) an＝a1＋(n－1)d 通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？ 归纳总结 $