4.2.1等差数列的概念(第1课时)等差数列的概念及通项公式-2024-2025学年第二学期高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修二）（全国通用）

4.2.1等差数列的概念(第1课时)等差数列的概念及通项公式 第1页 课内导航 等差数列的概念 等差中项 1 2 等差数列的通项公式 等差数列与一次函数 3 4 书读百遍 其其义自现 5 第1页 1.理解等差数列、等差中项的概念. 2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题. 3.体会等差数列与一元一次函数的关系. 4.掌握等差数列的判定与证明方法. 学习目标 第1页 在之前的学习中，我们已经掌握了数列的定义和表示方法。回顾学习函数的过程，我们也是从定义和表示方法入手的。那么，这节课我们将进一步探讨一类特殊的数列。 导 语 第1页 一 等差数列的概念 第1页 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. (1)近5届冬奥会举办的时间：2006，2010，2014，2018，2022； (2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45，44，43，42，41，40，…； (3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 以上数列有什么共同特征？ 问题1 第页 第1页 提示　对于(1)，我们发现2010-2006=4，2014-2010=4，2018-2014=4，2022-2018=4，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 对于(2)有44-45=-1，43-44=-1，…. 对于(3)，10-10=0，有同样的取值规律. 第页 第1页 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母 表示. 2 差 同一个常数 公差 d 注意： (1)概念的符号表示：an+1-an=d(n∈N*). (2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. (3)差必须是同一个常数. (4)公差可以是正数、负数、零. 知识梳理 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟1 第1页 第页 第1页 第页 第1页 二 等差中项 第1页 由等差数列的定义可知，如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？ 问题2 提示　由定义可知x-1=3-x，即2x=1+3，x=2. 第页 第1页 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的 ，且2A= . 等差中项 a+b 注意： (1)任意两个实数都有等差中项，且唯一. (2)等差中项的几何意义是两个实数的算术平均数，即A=. 知识梳理 第页 第1页 15 第页 第1页 反思感悟2 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 三 等差数列的通项公式 第1页 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 问题3 提示　设一个等差数列的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知，an-an-1=d(n≥2)， 思路一：an=an-1+d，故有a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d，… 归纳可得，an=a1+(n-1)d(n≥2). 第页 第1页 思路二：a2-a1=d， a3-a2=d， a4-a3=d， … an-an-1=d， 左右两边分别相加可得，an-a1=(n-1)d，即an=a1+(n-1)d(n≥2). 第页 第1页 1.首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an= . 2.若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an=f(n)=a1+(n-1)d=nd+(a1-d). (1)点(n，an)落在直线y=dx+(a1-d)上，这条直线的斜率为 ，在y轴上的截距为 ；  (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加 . a1+(n-1)d d a1-d d 知识梳理 第页 第1页 23 注意： (1)已知首项a1和公差d，便可写出通项公式. (2)等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一. (3)当d>0时，是递增数列，当d=0时，是常数列，当d<0时，是递减数列. 知识梳理 第页 第1页 24 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟3 第1页 29 10 第页 第1页 3 10 第页 第1页 四 等差数列与一次函数 第1页 观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 问题4 提示　由于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，故an是函数f(x)=dx+(a1-d)当x=n时的函数值，即an=f(n)，点(n，an)则是函数f(x)=dx+(a1-d)图象上的均匀分布的孤立的点，而d是直线f(x)=dx+(a1-d)的斜率，记为d=(n≥2)，实际上，如果已知直线上任意两点(n，an)，(m，am)，由斜率的公式可知d=，公差d的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d=0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列. 第页 第1页 √ 第页 第1页 反思感悟4 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 五 书读百遍 其义自现 第1页 同一个常数 公差 等差中项 2A 第页 第1页 a1＋(n－1)d 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 反 思 总 结 入 木 三 分 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 课 后 巩 固 第1页 √ √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 2 0 2 4 《高考调研》 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 第1页 例1　我们先看下面几组数列： (1)3，4，5，6，7，…； (2)6，3，0，－3，－6，…； (3)1.1，2.2，3.3，4.4，5.5，…； (4)－1，－1，－1，－1，－1，…. 观察上述数列，我们发现这几组数列的共同特点是_____________________ _________________________. 从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数 等差数列的定义给出了等差数列的递推关系：an＋1＝an＋d(n∈N*)(或者an＋1－an＝d，an－an－1＝d(n≥2)，d为常数)． 思考题1　判断下列各数列是否为等差数列． (1)1，2，4，6，8； 【解析】　(1)∵2－1＝1，4－2＝6－4＝8－6＝2，1≠2， ∴该数列不是等差数列． (2)7，7，7，7，7； 【解析】　(2)∵7－7＝7－7＝7－7＝7－7＝0， ∴该数列是等差数列． (3)a－d，a，a＋d(其中，a，d均代表数字)； 【解析】　(3)∵a－(a－d)＝a＋d－a＝d， ∴该数列是等差数列． (4)m，m＋n，m＋2n，2m＋n(其中，m，n均代表数字)． 【解析】　(4)∵m＋n－m＝m＋2n－(m＋n)＝n， 2m＋n－(m＋2n)＝m－n， ∴当m＝2n时，是等差数列； 当m≠2n时，不是等差数列． 例2　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． 【解析】　因为－1，a，b，c，7成等差数列， 所以b是－1与7的等差中项，则b＝eq \f(－1＋7,2)＝3. 因为a是－1与3的等差中项，所以a＝eq \f(－1＋3,2)＝1. 因为c是3与7的等差中项，所以c＝eq \f(3＋7,2)＝5. 所以该数列为－1，1，3，5，7. 由定义可知在等差数列{an}中，从第二项起，每一项都是它的前一项与后一项的等差中项，即当m∈N*，且2≤m≤n－1时，am＝eq \f(am－1＋am＋1,2). 思考题2　(1)若a＝eq \f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq \f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为(　　) A.eq \r(3)　　　　　　　 B.eq \r(2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(2),2) 【解析】　由题意知a，b的等差中项为eq \f(1,2)(eq \f(1,\r(3)＋\r(2))＋eq \f(1,\r(3)－\r(2)))＝eq \f(1,2)(eq \r(3)－eq \r(2)＋eq \r(3)＋eq \r(2))＝eq \r(3). (2)若lg 2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值等于(　　) A．1 B．0或32 C．32 D．log25 【解析】　∵lg 2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列， ∴lg 2＋lg(2x＋3)＝2lg(2x－1)，即2(2x＋3)＝(2x－1)2. ∴(2x)2－4·2x－5＝0，得2x＝5(负值舍去)，∴x＝log25. 例3　已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式． (1)a3＝5，a7＝13； 【解析】　(1)设首项为a1，公差为d， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a3＝a1＋2d＝5，,a7＝a1＋6d＝13，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.)) ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. ∴通项公式为an＝2n－1. (2)前三项为a，2a－1，3－a. 【解析】　(2)由等差中项的性质， 得2×(2a－1)＝a＋3－a，a＝eq \f(5,4). ∴首项为a＝eq \f(5,4)，公差为2a－1－a＝a－1＝eq \f(5,4)－1＝eq \f(1,4).∴an＝eq \f(5,4)＋(n－1)×eq \f(1,4)＝eq \f(n,4)＋1.∴通项公式为an＝eq \f(n,4)＋1. 要想求出等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，那么a1和d就是必须求出的量，我们称之为基本量，在解题中，要时刻把握这两个量，它们常常是我们解题的基础． 思考题3　已知等差数列{an}． (1)若a1＝2，d＝3，则a10＝_________； 【解析】　(1)由题知an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1，所以a10＝29. (2)若a1＝3，d＝2，an＝21，则n＝________； 【解析】　(2)由an＝a1＋(n－1)d 得21＝3＋2(n－1), 解得n＝10. (3)若a1＝12，a6＝27，则d＝________； 【解析】　(3)由an＝a1＋(n－1)d 得a6＝12＋(6－1)d＝27，解得d＝3. (4)若d＝－eq \f(1,3)，a7＝8，则a1＝________． 【解析】　(4)由an＝a1＋(n－1)d 得a7＝a1＋(7－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝8，解得a1＝10. 例4　下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个结论：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中正确的为(　　) A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4 【解析】　设等差数列的首项为a1，d>0，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，∴数列{an}为递增数列，p1正确； nan＝dn2＋(a1－d)n，当n<eq \f(d－a1,2d)时，{nan}为递减数列，p2错误； eq \f(an,n)＝d＋eq \f(a1－d,n)，当a1－d>0时，{eq \f(an,n)}为递减数列，p3错误； an＋1＋3(n＋1)d－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，∴{an＋3nd}为递增数列，p4正确．故选D. 熟练掌握等差数列与一次函数的关系，an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d可看成关于n的一次式，其中公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性，当d>0时，数列{an}为递增数列，当d＝0时，数列{an}为常数列，当d<0时，数列{an}为递减数列． 数列{an}为等差数列⇔通项公式an为关于n的一次式，即an＝pn＋q(p，q为常数)，其中p为等差数列{an}的公差． 思考题4　(1)等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是(　　) A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【解析】　由题知，a1＝20，d＝－3，∴an＝20－3(n－1)＝－3n＋23. 由－3n＋23<0且n∈N*得n≥8，所以第一个负数项是第8项． (2)在数列{an}中，a1＝3，a10＝21，已知an＝pn＋q(p，q为常数)，则a2 023＝(　　) A．4 046 B．4 047 C．4 048 D．4 049 【解析】　方法一：根据题意可知数列{an}为等差数列，且公差d＝eq \f(21－3,10－1)＝2，故a2 023＝a1＋(2 023－1)d＝3＋2 022×2＝4 047. 方法二：由题易得数列{an}为等差数列，则eq \f(a2 023－a1,2 023－1)＝eq \f(a10－a1,10－1)，解得a2 023＝4 047. 要点1　等差数列 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的____，公差通常用字母d表示． 要点2　等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的___________，且a＋b＝_____． 要点3　等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式：an＝______________，变形：d＝eq \f(an－a1,n－1). (2)通项公式an＝a1＋(n－1)d的推广： an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，变形：d＝eq \f(an－am,n－m). 要点4　等差数列与一次函数 (1)由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． 如图，在平面直角坐标系中画出函数f(x)＝ dx＋(a1－d)的图象，就得到一条斜率为d，在y轴的截距为a1－d的直线，在这条直线上描出点(1，f(1))，(2，f(2))，…，(n，f(n))，…，就得到了等差数列{an}的图象．事实上，公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n，an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上．反之，任给一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，…构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为(k＋b)，公差为k. 由此可知，“数列{an}为等差数列”是“数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q为常数)”的充要条件． (2)由等差数列和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d的影响． ①当d>0时，数列为递增数列，图象如图1所示； ②当d<0时，数列为递减数列，图象如图2所示； ③当d＝0时，数列为常数列，图象如图3所示． 1．将有穷等差数列{an}的所有项倒序排列，所成数列仍是等差数列吗？如果是，公差是什么？如果不是，请说明理由． 答：不妨设{an}为a，a＋d，a＋2d，a＋3d，a＋4d，…，a＋(n－1)d，则所有项倒序排列所成数列为数列{bn}：a＋(n－1)d，…，a＋4d，a＋3d，a＋2d，a＋d，a.{bn}仍是等差数列，且公差是－d. 2．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d是由等差数列的前几项归纳得出的，公式只是一个猜想，不算是证明，那么，如何证明？ 答：方法一(累加法)：因为{an}是等差数列，所以an－an－1＝d， an－1－an－2＝d， an－2－an－3＝d， …， a2－a1＝d， 上述式子等号两边分别相加得an－a1＝(n－1)d，所以an＝a1＋(n－1)d. 方法二(迭代法)：因为{an}是等差数列，所以an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d＝an－2＋2d＝an－3＋d＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋(n－1)d. 方法三(逐差法)：因为{an}是等差数列，所以an＝an－an－1＋an－1＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋an－2＝…＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝a1＋(n－1)d. 3．已知等差数列{an}的首项a1和公差d，能表示出通项公式an＝a1＋(n－1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项公式？ 答：an＝a1＋(n－1)d，① am＝a1＋(m－1)d，② ①－②，得an－am＝(n－m)d⇒an＝am＋(n－m)d. 1．【多选题】下列数列是等差数列的是(　　) A．0，0，0，0，0，…　　　　 B．1，11，111，1 111，… C．－5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，… 2．已知等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1，则该数列的通项公式为(　　) A．an＝2n－5　　　　　 B．an＝2n－3 C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1 3．已知数列{an}，对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为(　　) A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列 C．公差为－2的等差数列 D．非等差数列 4．2 000是等差数列4，6，8，…的(　　) A．第998项 B．第999项 C．第1 001项 D．第1 000项 解析　数列4，6，8，…的通项公式为an＝2n＋2，令2n＋2＝2 000，解得n＝999. 5．已知等差数列{an}：3，7，11，15，…. (1)求{an}的通项公式； 解析　(1)设数列{an}的公差为d. 依题意，有a1＝3，d＝7－3＝4， ∴an＝3＋4(n－1)＝4n－1(n∈N*)． (2)135，4m＋19(m∈N*)是数列{an}的项吗？如果是，是第几项？ 解析　(2)令4n－1＝135，得n＝34， ∴135是数列{an}的项，是第34项． ∵4m＋19＝4(m＋5)－1，且m∈N*， ∴4m＋19是数列{an}的项，是第m＋5项． (3)若am，at(m，t∈N*)是数列{an}中的项，那么2am＋3at是数列{an}的项吗？如果是，是第几项？ 解析　(3)∵am，at是数列{an}中的项， ∴am＝4m－1，at＝4t－1， ∴2am＋3at＝2(4m－1)＋3(4t－1)＝4(2m＋3t－1)－1. ∵2m＋3t－1∈N*， ∴2am＋3at是数列{an}的项，是第2m＋3t－1项． $$