2025-2026学年高一下学期巩固题目：必修一全册+部分平面向量

2025届高一年级下巩固题目3：必修一全册+部分平面向量 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知,，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，. 2.已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则( ) A.3 B.4 C. D.12 【答案】C 【解析】因为向量在向量上投影向量为，所以， 所以，所以，所以，得， 所以. 3.已知，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】所以， 所以. 4．溶液酸碱度是通过计量的的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升．下列命题中，真命题是( ) A．已知纯净水的，则纯净水中摩尔升 B．已知胃酸中摩尔升，则胃酸的 C．溶液中摩尔升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D．溶液中摩尔升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大 【答案】C 【解析】A：，得,选项A错误； B：，，选项B错误； C:,，则，值越小，酸性越强，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强，选项C正确. D：,，则，值越大，碱性越强，溶液的碱性越大，氢离子浓度越小，选项D错误 5．已知向量，，下列选项正确的为( ) A．若，则 B．若，则 C．的最小值为6 D．若与垂直，则 【答案】D 【解析】A：，若，已知， 有，即，所以，A选项错误. B：若，根据两向量垂直的性质，，，则. 又因为，联立方程组，解得，B选项错误. C：先求的坐标，.则. 展开整理得. 其最小值为.所以的最小值为，C选项错误. D：，若与垂直，则，. 因，，则. 则， D选项正确. 6.如图，设，线段与交于点，且， 通过计算得到：，则的最小值为( ) A.5 B.9 C. D. 【答案】D 【解析】由，三点共线，得，即， 所以， 当且仅当，即时取等号.则最小值为. 7.已知圆的半径为4，内接于此圆，且，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】以为坐标原点，轴，建立坐标系，如图： 则，，设，， 则， 8.若，函数的值域为，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因(其中，，)． 令，，因为，，所以． 因为，且，所以，， 故，即．当时，单调递减， 因为，， 所以． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知，，则( ) A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】由诱导公式可知，即，所以A正确； 因为，所以，所以B错误； ，所以C正确； 由可得， 则，所以D正确； 10.已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D.在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】A:，由，得，即，解得， 则，而，因此，A正确； B:由，得，B正确； C:，C错误； D:在上的投影向量为，D正确. 11.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（）的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”. 奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，， 则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角， 且点满足.则( ) A.为的外心 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】因为， 同理，，故为的垂心，故A错误； ，所以， 又，所以， 又，所以，故B正确； 故，同理，延长交与点，则 ， 同理可得，所以，故C正确； ， 同理可得，所以， 又，所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知，,且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是___________. 【答案】且 【解析】因为，所以，因为与的夹角为锐角， 所以，且与不共线，所以，且， 解得且. 13．已知非零向量与满足，且,, 点是的边上的动点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】分别表示与方向的单位向量， 故所在直线为的平分线所在直线，又， 故的平分线与垂直，由三线合一得到，取的中点， 因为，，故， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，，，设，， 则， 当时，取得最小值，最小值为. 14.平面几何中的“相交弦定理”是指：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知是圆内的定点，为经过点的直径，且，， 若，则__________. 【答案】12 【解析】， ， ， ， 而，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知平面直角坐标系中，，，． (1)若，，三点共线，求实数的值． (2)若，求实数的值． (3)若是锐角，求实数的取值范围． 【解析】(1)，，三点共线，．，，，． (2)，，． (3)若是锐角，则，且，不共线．，， ，且，解得，且． 16.已知函数，且满足 (1)求的值； (2)求函数的零点； (3)解关于的不等式. 【解析】(1)因为，可知的对称轴为， 且的对称轴为，解得. (2)由(1)可知：，令，解得或， 可知的零点为, 对于函数，令或，解得或， 所以函数的零点为. (3)因为，整理可得， 令，解得或， 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为. 17.如图所示，在中，是边的中点，在边上，,与交于点． (1)以为基底表示； (2)，求值； (3)若，求的值． 【解析】(1)． (2)连接， 则， 因为，，所以，， 因为三点共线，三点共线， 所以，解得． (3)设，，则， ， 所以，解得，所以， ， 又因为，所以，即，所以． 18.已知函数的图象过点 (1)求的值，判断并证明函数的单调性,； (2)证明：的图象关于点对称； (3)任取，且，恒有成立，求实数的取值范围. 【解析】(1)因为函数的图象过点，则，解得， 所以.可知在定义域内单调递增，证明如下： 任取，令，则， 因为，则，可得，即， 所以在定义域内单调递增. (2)因为的定义域为， 且， 所以的图象关于点对称. (3)因为，即，由(1)可知：在定义域内单调递增，则， 由(2)可知：，即， 可得，即， 又因为，即恒成立. 因的取值范围为，故需， 即，解得，所以实数的取值范围. 19.如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系． 在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为，正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． (1)若向量，求． (2)已知向量，，证明：． (3)若向量，的斜坐标分别为和，， 设函数，，． (i)证明：有且只有一个零点． (ii)比较与的大小，并说明理由．(参考数据：，) 解析(1)因为向量，所以，又因为，， 所以，所以. (2)因为向量，，所以，， 所以， 化简得. (3)(i)由(2)得，化简得， 所以， 当时，单调递增，因为， 又因为，，所以， 又因为，所以， 由零点存在定理可得，存在，使得，所以在上有一个零点. 当时，，，所以，故在上没有零点. 当时，，，所以，故在上没有零点. 综上可得，有且只有一个零点. (ii).理由如下：在上单调递减， 所以，即，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一年级下巩固题目：必修一全册+部分平面向量 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知,，则( ) A． B． C． D． 2.已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则( ) A.3 B.4 C. D.12 3.已知，则( ) A. B. C. D. 4．溶液酸碱度是通过计量的的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度， 单位是摩尔升．下列命题中，真命题是( ) A．已知纯净水的，则纯净水中摩尔升 B．已知胃酸中摩尔升，则胃酸的 C．溶液中摩尔升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D．溶液中摩尔升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大 5．已知向量，，下列选项正确的为( ) A．若，则 B．若，则 C．的最小值为6 D．若与垂直，则 6.如图，设，线段与交于点，且， 通过计算得到：，则的最小值为( ) A.5 B.9 C. D. 7.已知圆的半径为4，内接于此圆，且，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.若，函数的值域为，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知，，则( ) A. B. C. D. 10.已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D.在上的投影向量为 11.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（）的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则( ) A.为的外心 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知，,且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_______． 13．已知非零向量与满足，且,, 点是的边上的动点，则的最小值为_______． 14.平面几何中的“相交弦定理”是指：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图， 已知是圆内的定点，为经过点的直径， 且，，若， 则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知平面直角坐标系中，，，． (1)若，，三点共线，求实数的值． (2)若，求实数的值． (3)若是锐角，求实数的取值范围． 16.已知函数，且满足 (1)求的值； (2)求函数的零点； (3)解关于的不等式. 17.如图所示，在中，是边的中点，在边上，,与交于点． (1)以为基底表示； (2)，求值； (3)若，求的值． 18.已知函数的图象过点 (1)求的值，判断并证明函数的单调性,； (2)证明：的图象关于点对称； (3)任取，且，恒有成立，求实数的取值范围. 19.如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系． 在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为，正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． (1)若向量，求． (2)已知向量，，证明：． (3)若向量，的斜坐标分别为和，， 设函数，，． (i)证明：有且只有一个零点． (ii)比较与的大小，并说明理由．(参考数据：，) 第页 学科网（北京）股份有限公司 $