第01讲 向量的概念辨析与线性运算 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第01讲向量的概念辨析与线性运算 【题型1】平面向量的概念与表示 例题1．下列各量中是向量的是（   ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 【针对训练】 1．下列量中是向量的为（    ） A．课桌的高度 B．一段路程的公里数 C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力 2．下列各量中是向量的为（    ） A．时间 B．体积 C．重力 D．密度 3．下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【题型2】向量的模、零向量与单位向量 例题1．下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 例题2．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 例题3．关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（    ） A．有无数个 B．与可能反向 C． D． 【针对训练】 1．下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 2．数轴上点A，B分别对应，则向量的长度是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则___________. 5．与向量方向相反的单位向量为_____． 【题型3】相等向量、平行向量（共线向量） 例题1．“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题2．下列说法错误的是（   ） A．向量与模相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．零向量没有方向 例题3．如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【针对训练】 1．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．，则 C．若，且，则 D．若，则与不共线 2．下列各选项中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．设，是共线的单位向量，则的值（   ） A．等于2 B．等于0 C．大于2 D．等于0或等于2 4．设点是正方形的中心，则向量的关系是（    ） A．方向相同 B．模相等 C．向量相等 D．起点相同 5．下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 6．下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 【题型4】向量的加法法则 例题1．在平行四边形中，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．在中，（   ） A． B． C． D． 2．在中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，点为正六边形的中心，则（   ） A． B． C． D． 4．在梯形中，，，则（   ） A． B． C． D． 5．在中，，则（    ） A． B． C． D． 6．化简：（   ） A． B． C． D． 【题型5】向量的减法 例题1．在平行四边形中，为的中点．记，则（   ） A． B． C． D． 例题2．如图，在中，，则（   ）    A． B． C． D． 【针对训练】 1．在中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 【题型6】向量的数乘运算 例题1．在中，点满足，且，则（   ） A． B． C． D． 例题2．是所在平面内的一点，满足，则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 【针对训练】 1．在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 2．正六边形中，=（   ） A． B． C． D． 3．在平行四边形ABCD中，，则（    ） A． B． C． D． 4．在平行四边形中，点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)，则=（   ） A．+ B．+ C．+ D．- 【题型7】三角形的心 例题1．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A． 外心 B．内心 C．重心 D．垂心 例题2．已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A． 外心 B．内心 C．重心 D．垂心 例题3．在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【针对训练】 1．在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【题型8】向量的混合运算 例题1．下列向量运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的有（   ） A． B． C． D． 3．在平行四边形中，________． 4．化简______． 5．___________. 6．化简： （1）___________； （2）___________. 7．如图，O为正六边形的中点，化简下列向量： (1)； (2)； (3)． 8．化简： (1)；(2). 9．化简：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲向量的概念辨析与线性运算 【题型1】平面向量的概念与表示 例题1．下列各量中是向量的是（   ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 【详解】因为时间、路程、温度只有大小没有方向，故是数量，加速度既有大小，又有方向，故是向量. 【针对训练】 1．下列量中是向量的为（    ） A．课桌的高度 B．一段路程的公里数 C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力 【详解】因为向量是既有大小，又有方向的量，而高度、公里数、频率只有大小，没有方向， 弹力既有大小，又有方向，所以弹力是向量. 故选：D． 2．下列各量中是向量的为（    ） A．时间 B．体积 C．重力 D．密度 【详解】由题意可知，时间、体积、密度都是数量，而重力是向量. 故选：C. 3．下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 【题型2】向量的模、零向量与单位向量 例题1．下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 例题2．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【详解】如图，连接AC， 由，得. 因为为半圆上的点，所以， 所以． 故选：A. 例题3．关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（    ） A．有无数个 B．与可能反向 C． D． 【详解】非零向量方向上的单位向量，且，故ABC错误， 故选：D． 【针对训练】 1．下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 2．数轴上点A，B分别对应，则向量的长度是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】数轴上点A，B分别对应， 则向量的长度即. 故选：C． 3．下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B 4．已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则___________. 【详解】由题设，圆O的半径为1，又，如下图示： 在中，，，所以. 故答案为： 5．与向量方向相反的单位向量为_____． 【详解】向量方向相反的单位向量. 故答案为：. 【题型3】相等向量、平行向量（共线向量） 例题1．“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】若“”则“且”成立，即充分性成立； 反之若与反向共线时，满足“且”，但不满足“”，故必要性不成立， 故“”是“且”的充分不必要条件， 故选：A. 例题2．下列说法错误的是（   ） A．向量与模相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．零向量没有方向 【详解】向量与互为相反向量，所以向量与的模相等，故A选项正确； 如果两个相等向量的起点相同，则它们终点必相同，故B选项正确； 根据向量模的定义，只有零向量的模等于0，故C选项正确； 零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故D选项不正确； 例题3．如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，所以互相平分. 对于A：与不平行，不可能相等，故A错误； 对于B：与大小相同，方向相反，故B错误； 对于C：与不平行，不可能相等，故C错误； 对于D：大小相等，方向相同．即与是相等的向量． 故选：D 【针对训练】 1．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．，则 C．若，且，则 D．若，则与不共线 【详解】由向量相等的定义知选项A正确； 向量是有方向的量，不能比较大小，选项B错误； 当时，与不一定平行，选项C不正确； 可以是但与的模不相等，选项D不正确. 故选：A. 2．下列各选项中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】对于A：模相等，但方向有可能不相同， 不能保证向量相等，故A错误； 对于B：向量不能比较大小，故B错误； 对于C： 因为向量的模为零时，该向量必为零向量， 即，故C正确； 对于D：向量不能等于数字0，故D错误. 3．设，是共线的单位向量，则的值（   ） A．等于2 B．等于0 C．大于2 D．等于0或等于2 【详解】与是共线的单位向量， ∴， 当两个向量同向时，，则； 当两个向量反向时，，则． 故选：D． 4．设点是正方形的中心，则向量的关系是（    ） A．方向相同 B．模相等 C．向量相等 D．起点相同 【详解】如图，因为是正方形的中心，则， 而方向不相同，不共线，起点不相同. 4．下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 【详解】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误； 选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量. 零向量与任一向量共线，故B正确； 选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误； 选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误. 故选：B. 5．下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合， 若两个共线向量中含有零向量时，零向量所在直线不确定，故B错误； 对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此C不正确； 对于D，向量的模指的是向量的长度，是一个非负实数，因此D正确. 故选：D. 【题型4】向量的加法法则 例题1．在平行四边形中，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【详解】画出图像如下图所示. 对于A选项，大小相等方向相反，，结论正确. 对于B选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，，结论正确. 对于C选项，由于，故结论错误. 对于D选项，，大小相等方向相反，，结论正确. 故选：C. 【针对训练】 1．在中，（   ） A． B． C． D． 【详解】由向量加法的三角形法则，可知， 故选：C. 2．在中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由可得点是的中点，根据平行四边形法则：，即.    故选：D. 3．如图，点为正六边形的中心，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由题设有，故， 由正六边形的性质可得四边形为平行四边形， 故，故， 故选：D. 4．在梯形中，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】在梯形中，，， 所以． 故选：D.    5．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，，又，， ，即， 故选：C. 6．化简：（   ） A． B． C． D． 【详解】. 故选：A 【题型5】向量的减法 例题1．在平行四边形中，为的中点．记，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为四边形是平行四边形，所以， 又因为为的中点，所以， 在平行四边形中，， . 故选：A. 例题2．如图，在中，，则（   ）    A． B． C． D． 【详解】因为，所以，所以. 故选：C. 【针对训练】 1．在中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【详解】． 故选：B 2．在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因，则，即， 则， 因D为BC中点，则， 因，则，即， 则，则， 因，D为BC中点，则，即，得.    故选：A 3．在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 【详解】如图，    则， 故选：D 【题型6】向量的数乘运算 例题1．在中，点满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由，则为的中点， 因为，所以， 则， 而， 则，即. 故选：D.    例题2．是所在平面内的一点，满足，则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 【详解】因为，可得， 可知点为线段的中点，所以点P在线段AC的延长线上. 故选：D. 【针对训练】 1．在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【详解】由得, 即, 令是的中点，则, 所以 所以∥， 所以, 即    2．正六边形中，=（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意可作图如下： 由图可知. 故选：A. 3．在平行四边形ABCD中，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】在平行四边形ABCD中，，则， 所以 故选：B. 4．在平行四边形中，点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)，则=（   ） A．+ B．+ C．+ D．- 【详解】点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)， 故， 所以. 故选：A 【题型7】三角形的心 例题1．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【详解】因为， ， ， 所以点在的角平分线上. 同理可得：点在的角平分线上. 所以点为的内心. 故选：B 例题2．已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【详解】因为，， 所以， 所以（*）． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， （*）式可进一步化为， 而表示与的平分线共线的向量， 所以平分． 同理，平分，平分， 所以是的内心， 故选：B． 例题3．在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【详解】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 如图，设，， 则可化为：，且， 以，为邻边作平行四边形， 则，且平行四边形为菱形，所以平分， 所以， 又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上， 则点的轨迹必经过的内心， 故选：A． 【针对训练】 1．在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【详解】因为，， 则 若设中的的中点为，有， 则. 所以在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心． 【题型8】向量的混合运算 例题1．下列向量运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：ABD. 【针对训练】 1．在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】在中，，A选项正确； ，B选项正确； 在中，为边的中点，则，C选项错误； ，所以D选项错误； 故选：AB. 2．下列计算正确的有（   ） A． B． C． D． 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：AB 3．在平行四边形中，________． 【详解】在平行四边形中，， 所以. 4．化简______． 【详解】. 故答案为：. 5．___________. 【详解】. 故答案为：. 6．化简： （1）___________； （2）___________. 【详解】（1） （2） 故答案为：； 7．如图，O为正六边形的中点，化简下列向量： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）由题图知，为平行四边形， ． （2）由图知， ． （3）， ． 又，． 8．化简： (1)；(2). 【详解】（1）原式 . （2） . 9．化简：． 【详解】解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $