精品解析：重庆市第一中学2025-2026学年九年级下学期阶段消化性周测作业（三）数学试题

重庆一中初2026届初三下阶段性消化作业（三） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 故选C 2. 下列消防标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 3. 2024年9月13日，第二十二届中国国际摩托车博览会在重庆开幕，此次博览会共设有8个场馆，总展示面积达到160000平方米．其中数160000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，据此解答即可． 【详解】解：数160000用科学记数法表示为， 故选：C． 4. 如图，在水平地面上放置一个平面镜，一束光线经过平面镜反射后成水平光线射出，延长线交于点H．若，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，则，由入射角等于反射角得，，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由入射角等于反射角得，， ∴． 5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，，的面积为，则的面积为（ ） A. B. 30 C. 32 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得，则，求出位似比，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方，求出的面积即可． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，，，， ∴，， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴和相似，且相似比为， ∴， ∴． 6. 估计（﹣）的值应在（　　） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】B 【解析】 【分析】计算得出﹣3，先估算的大小，再估算﹣3的值 【详解】解：原式＝﹣3， 因为＜＜，即4＜＜5， 所以1＜﹣3＜2， 即1＜（）＜2， 故选B 【点睛】本题考查了估计无理数的大小，不等式的性质，估计无理数的大小是解题的关键． 7. 如图，分别与交于两点B，C，与交于点D，连接，若，，则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为，可知，根据三角形外角的性质可求因为同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，则可求． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 8. 用黑白两种三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色三角形，第②个图案中有7个黑色三角形，第③个图案中有10个黑色三角形，第④个图案中有13个黑色三角形，依此规律排下去，则第⑧个图案中黑色三角形的个数为（ ） A. 22 B. 25 C. 28 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】找出规律，进而作答即可． 【详解】解：由图可知，第①个图案中有个黑色三角形， 第②个图案中有个黑色三角形， 第③个图案中有个黑色三角形， 第④个图案中有个黑色三角形， …… 可知第个图案中有个黑色三角形， 则第⑧个图案中黑色三角形的个数为． 9. 如图，正方形的边长为4，点E是边上的点，且，连接交对角线于点G，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得，延长交于点F，延长交的延长线于点N，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．连接，过点G作交于点K，证，求得，根据，求得．通过翻折的性质，设，在中运用勾股定理，求得，由，求得，最后求得的面积． 【详解】解：连接，过点G作交于点K， ∵正方形， ∴， ∵正方形的边长为4，， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵将沿直线翻折到正方形所在平面内，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵将沿直线翻折到正方形所在平面内，得， ∴，， ∵正方形， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， 设， ∵，正方形的边长为4， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10. 已知整式，其中n为自然数，为正整数，m，为整数，且．下列说法： ①若A为三项式，则m的最小值为5； ②若，则满足条件的A共有5个； ③当，时，满足关于x的二次函数与x轴有交点的A共有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的定义、系数绝对值和的性质以及二次函数与x轴交点的条件． 对于说法①，考虑三项式时n的最小值及系数绝对值的最小值；对于说法②，枚举时所有可能的整式A；对于说法③，在，的条件下，枚举所有二次函数并与判别式条件结合． 【详解】解：说法①， 整式为三项式， 当三项式的系数绝对值为1，且最小时，最小， 即，且，，， ，说法①正确； 说法②， ，，，n为自然数， 分情况讨论：（1）当时，，， ，符合条件的有1个； （2）当时，，； （i）时，，， 或，符合条件的有2个； （ii）时，，， ，符合条件的有1个； （3）当时，，， ，，，，，， ，符合条件的有1个； （4）当时，，，与说法②矛盾，没有符合条件的情况； 综上分析，符合条件的A共有个，说法②正确； 说法③， 当，时，，即，， 二次函数与x轴有交点，即， 分情况讨论：（1）当时，， （i），时，，，， 当时，，符合条件的有1个； （ii），时，，，， 当，时，，符合条件的有2个； （iii），时，，，，符合条件的有2个； 当时，符合条件的共个； （2）当时，， （i），时，，，， 当时，，符合条件的有1个； （ii），时，，，，符合条件的有2个； 当时，符合条件的共个； （3）当时，，，函数为与x轴交于原点，符合条件的有1个； 综上分析，符合条件的A共有个，说法③正确； 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 五边形的内角和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：五边形的内角和为． 12. 亮亮和爸爸搭乘高铁外出游玩．若售票系统随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排．如图所示的是高铁内同一排座位，，的排列示意图．则亮亮和爸爸被分配到不相邻座位的概率为________． 窗 过道 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及亮亮和爸爸被分配到不相邻座位的结果数，再利用概率公式可得出答案．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】解：列表如下： 共有6种等可能的结果，其中亮亮和爸爸被分配到不相邻座位的结果有：，，共2种， 亮亮和爸爸被分配到不相邻座位的概率为， 故答案为：． 13. 若，则的值_________． 【答案】 【解析】 【分析】先对所求分式的分子分母进行因式分解，约分后根据已知条件得到a与b的关系，代入化简后的式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 14. 如图，点D、E分别是边、的中点，在的延长线上取一点F，使，且，已知，______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得出是的中位线，得到，，求出，然后证明出，得到，即可求出． 【详解】解：∵点D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线 ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：3． 15. 如图，四边形是平行四边形，以为直径且过点A，与对角线交于点M，连接并延长交于点N，且，当时，的长度是________；连接，则弦的长度是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，证明，求出得到的长度，根据勾股定理求出，过点D作，交的延长线于点E，则四边形是矩形，勾股定理求出的长，利用面积求出 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， 过点D作，交的延长线于点E，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：， 16. 如果一个四位数M满足各个数位数字都不为0且互不相等，若十位数字与个位数字之和为9，将M的千位数字与百位数字组成的两位数记为x，十位数字与个位数字组成的两位数记为y，令，若为整数，则称数M是“欢乐数”．例如：，，，，为整数，是“欢乐数”．若M为最小的“欢乐数”，则________；把一个“欢乐数”M的千位数字记为a，百位数字记为b，十位数字记为c，令，当为整数时，满足条件的M的最大值与最小值的和为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查整数有关的新定义，设“欢乐数”M的千位数字记为a，百位数字记为b，十位数字记为c，则个位数字为，，，，根据为整数得到，，再根据的取值范围确定最大值和最小值． 【详解】解：设“欢乐数”M的千位数字记为a，百位数字记为b，十位数字记为c，则个位数字为，，， ∴， ∵为整数， ∴是的倍数， ∵四位数M满足各个数位数字都不为0且互不相等， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 若M为最小的“欢乐数”，则，，此时由四位数M满足各个数位数字都不为0且互不相等，得到， ∴若M为最小的“欢乐数”，则； ∵， ∴， 当时，，，若M取得最小值，为整数，则，，此时，符合题意； 当时，，，若M取得最大值，为整数，则，，此时，符合题意； ∴满足条件的M的最大值与最小值的和为． 三、解答题：（本大题9个小题，17题8分，18题8分，其余每个小题10分，共86分）解答时每小题须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为． 18. 在学习了三角形全等和等腰三角形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，三角形一个角的角平分线上的点，如果满足到另外两个顶点距离相等，这个三角形有可能是等腰三角形．其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）如图，在中，平分交于E，点D在线段上，用尺规过点D作的垂线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：点D在内，且在上，，于G． 求证：． 证明：∵平分，，， ∴① ， 在和中 ∴③ ． 又∵， ∴． ∴， ∴④ ； ∴． 进一步思考，点D在外，其余条件不变，还成立吗？写出你猜想的结论：⑤ ．（填“成立”或者“不成立”） 【答案】（1） 如图所示，     （2），，，，⑤不成立 【解析】 【分析】（1）根垂直平分线的作法求解即可； （2）首先得到，然后证明出，得，然后得出，即可得到；当点D在下方时，不成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 进一步思考，点D在外，其余条件不变，还成立吗？写出你猜想的结论： ⑤不成立． 证明如下：当点D在下方时，如图所示， 作交延长线于G，于F， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】此题考查了尺规作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，等角对等边和等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 19. 为提升青少年网络安全意识，某校举办了“数字安全小卫士”知识竞赛，内容涵盖个人信息保护、网络诈骗识别等．现从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取了10名学生的成绩进行统计分析．数据整理如下：（成绩得分用x表示，共分成三组：合格，良好，优秀）下面给出了部分信息： 七年级学生竞赛成绩在“良好”等级中的数据为：90，94，85，90，90 八年级10名学生的竞赛成绩为：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98． 抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表 统计量 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 七年级 90 a 90 30 八年级 90 89 b 26.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有2600名学生参加了此次知识竞赛，请估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生人数共有多少？ 【答案】（1）90，95，30 （2）八年级学生知识竞赛成绩较好．理由见解析 （3）该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生人数共910人． 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据众数的定义求解即可； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：七年级学生竞赛成绩在“合格”等级中的人数有人， 七年级学生竞赛成绩在“良好”等级中的数据从小到大排列为：85，90，90，90，94， ∴七年级学生竞赛成绩的中位数为， 七年级学生竞赛成绩在“优秀”等级中的人数有， ∴， ∴， 八年级学生竞赛成绩为95分的人数最多， ∴； 【小问2详解】 解：八年级学生知识竞赛成绩较好， 八年级的众数95大于七年级的众数90， 八年级学生知识竞赛成绩较好； 【小问3详解】 解：（人） 答：该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生人数共910人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】掌握分式的化简求值、二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值是解题的关键，先根据分式的运算法则 把分式化简，再把的值代入化简后的分式中计算． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 21. 列方程解下列问题： 某公司积极响应节能降碳号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，用1500万元购进A型汽车的数量比用1200万元购进B型汽车的数量少10辆． （1）求每辆A型和B型汽车的进价分别为多少万元？ （2）公司将出售两种汽车，将A型汽车的售价定为35万元/辆，B型汽车的售价定为25万元/辆，第一个月售出A型汽车8辆，售出B型汽车6辆，为了尽快将汽车销售完，公司决定在第一个月的售价上搞促销活动，每辆A型汽车降低m万元，第二个月比第一个月多卖出2m辆，每辆B型汽车售价直接打九折，第二个月卖出B型汽车13辆，结果第二个月比第一个月的利润多3万元，求m的值． 【答案】（1）A型汽车进价为每辆30万元，B型汽车进价为每辆20万元 （2）m的值为0.5 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，正确列出方程是解决本题的关键． （1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元，列出分式方程，解方程即可； （2）根据题意，先分别列式求出第一个月和第二个月的利润，再根据第二个月比第一个月的利润多3万元，列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， 则， 答：A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元； 【小问2详解】 解：第一个月的利润为： （万元）， 第二个月的利润为： ， ∵第二个月比第一个月的利润多3万元， ∴， 解得， 即m的值为0.5． 22. 如图，在矩形中，，，点E为线段的中点，动点P以每秒1个单位长度从点B出发，沿着运动．动点Q同时以每秒个单位长度从点D出发，沿方向运动，当点P到达点D时，点P、Q同时停止运动．设点P、Q的运动时间均为x秒，记的面积为，． （1）请直接写出，关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）图象见解析，性质见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合； （1）先由矩形得到，，根据中点得到，再根据，，得到，即可求出；根据在线段或线段分情况讨论，再根据面积比等于底的比求出即可； （2）根据，的解析式画出图象，再根据图象写出性质即可； （3）由函数图象可以发现，当时，或，即可得到当时x的取值范围． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， ∴，，，， ∴， 连接， ∵点E为线段的中点， ∴， 由题意可得，， ∴， ∴； 当在线段上时，，，， ∴； 当在线段上时，，，， ∴， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴； 综上所述，，； 【小问2详解】 解：，的图象如图： 由函数图象可得，当时，为的最大值； 【小问3详解】 解：由函数图象可以发现，当时，或， ∴当时x的取值范围． 23. 如图，A港在E港北偏西方向，且在B港的正北方向30海里处，C港在B港的正东方向，D港在C港的北偏东方向，E港在D港的正北方向15海里处，且在B港的东北方向．（参考数据：，，） （1）求C，D两港之间的距离（结果保留根号）； （2）甲货船从A港出发，向B港运送物资，乙货船从C港出发，向D港运送物资，甲船速度为乙船速度的1.5倍（均沿直线匀速运送）．请问当两艘船首次相距25海里时，甲船离A港多少海里（结果精确到0.1海里）？ 【答案】（1）C，D两港之间的距离为海里 （2）当两艘船首次相距25海里时，甲船离A港6.3海里． 【解析】 【分析】（1）连接，过点A作交于点G，延长，交于点K，先求的长度，再求的长度，从而得到的长度，在中，求出长度，最后由长度求出C，D两港之间的距离； （2）设甲货船从A港出发，行至N点，乙货船从C港出发，行至M点，此时两船首次相距25海里，即，连接，过点M作于点R，过点C作于点P，延长，交于点K，设两船首次相距25海里时，乙船的路程为S海里，则甲船的路程为海里，通过题意，计算出，以及的长度，运用勾股定理建立关于S的方程，解方程即可，注意舍去不符题意的解． 【小问1详解】 解：如图，连接，过点A作交于点G，延长，交于点K， ∵A港在E港北偏西方向，E港在B港的东北方向， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，． ∵，， ∴在中，， ∴． ∵，，， ∴在中，， ∵， ∴． ∵，， ∴在中，． 答：C，D两港之间的距离为海里． 【小问2详解】 解：如图，设甲货船从A港出发，行至N点，乙货船从C港出发，行至M点，此时两船首次相距25海里，即，连接，过点M作于点R，过点C作于点P，延长，交于点K， ∵甲船速度为乙船速度的1.5倍且两船均沿直线匀速运送， ∴甲船路程为乙船路程的1.5倍， 设两船首次相距25海里时，乙船的路程为S海里，则甲船的路程为海里， 即，， ∵，，， ∴， ∴在中，，． ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，． 由（1）可知，，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴，， ∵， ∴不符题意，应舍去， ∴， ∴． 答：当两艘船首次相距25海里时，甲船离A港6.3海里． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点C关于x轴的对称点为点D，连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）P是第一象限抛物线上一动点，连接，E、F为直线上的动点（E在F左侧），且满足，G为直线上的动点，连接，当四边形面积最大时，求点P的坐标，并求出的最小值； （3）将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线的对称轴为y轴，点Q为y轴右侧上一动点，连接，过的中点M作的垂线交直线于N，连接NQ，当时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出其中一个Q点横坐标的求解过程． 【答案】（1） （2） （3）Q点的横坐标为：或． 【解析】 【分析】（1）求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）作轴，交于点，设，利用得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求得，将点沿射线移动为，即，作轴，交于点，作于点，交于点，推出四边形是平行四边形，求得的最小值为，据此计算即可求解； （3）利用平移的性质求得，分当Q在上方和当Q在下方时，两种情况讨论，据此求解即可． 【小问1详解】 解：令，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵抛物线过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图1， 作轴，交于点， 设， ∵，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，四边形面积最大，此时点P的纵坐标为， ∴， 将点沿射线移动为，即， 作轴，交于点，作于点，交于点， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 即的最小值为， ∵点关于x轴的对称点为点D， ∴， ∵， 同理，直线的解析式为，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴其顶点坐标为， ∵，，平移后的新抛物线的对称轴为y轴， ∴顶点平移后的顶点为，∴， 当Q在上方时，如图2， 过点M作轴，作于E，作于F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 化简得， 解得，（舍去）， ∴， 当Q在下方时，如图3， 作轴，作于F，作于E， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 整理得， ∴，（舍去）， ∴， 综上，Q点的横坐标为：或． 25. 在中，，点为延长线上一点，连接，使，点在线段上，连接交于点． （1）如图1，若，，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图2，点在的下方，连接，．若，，．求证：； （3）如图3，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、、．若，，当取最小值时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和得到，再由求出结论； （2）先证明四边形为平行四边形得到，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质得出，只须证明，在中求出，再通过倒角法证明，进而由等腰三角形的性质求出，从而得证结论； （3）通过延长至，使，构造，然后推出，再由定弦定角模型得出点的轨迹，然后根据圆的性质得出、、三点共线时取最小值，接着求出和的长度，由求出答案． 【小问1详解】 解:∵， ∵，， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，过点作于点，连接，，过点作于点． 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，为等边三角形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， 在等腰中，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，则是等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【小问3详解】 解：如图，延长至，使，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据定弦定角模型可知点在以为圆心，为半径的圆弧上， 过点作交于点，过点作交于点，延长交于点， ∵， ∴，即点和重合时，取最小值， 此时点对应点为，， ∵，， ∴，平分， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，根据条件确定点的轨迹，熟练掌握相似三角形的判定与性质，圆的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中初2026届初三下阶段性消化作业（三） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列消防标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年9月13日，第二十二届中国国际摩托车博览会在重庆开幕，此次博览会共设有8个场馆，总展示面积达到160000平方米．其中数160000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在水平地面上放置一个平面镜，一束光线经过平面镜反射后成水平光线射出，延长线交于点H．若，则度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，，的面积为，则的面积为（ ） A. B. 30 C. 32 D. 6. 估计（﹣）的值应在（　　） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 7. 如图，分别与交于两点B，C，与交于点D，连接，若，，则的度数是（） A. B. C. D. 8. 用黑白两种三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色三角形，第②个图案中有7个黑色三角形，第③个图案中有10个黑色三角形，第④个图案中有13个黑色三角形，依此规律排下去，则第⑧个图案中黑色三角形的个数为（ ） A. 22 B. 25 C. 28 D. 31 9. 如图，正方形的边长为4，点E是边上的点，且，连接交对角线于点G，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得，延长交于点F，延长交的延长线于点N，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n为自然数，为正整数，m，为整数，且．下列说法： ①若A为三项式，则m的最小值为5； ②若，则满足条件的A共有5个； ③当，时，满足关于x的二次函数与x轴有交点的A共有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 五边形的内角和为________． 12. 亮亮和爸爸搭乘高铁外出游玩．若售票系统随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排．如图所示的是高铁内同一排座位，，的排列示意图．则亮亮和爸爸被分配到不相邻座位的概率为________． 窗 过道 13. 若，则的值_________． 14. 如图，点D、E分别是边、的中点，在的延长线上取一点F，使，且，已知，______． 15. 如图，四边形是平行四边形，以为直径且过点A，与对角线交于点M，连接并延长交于点N，且，当时，的长度是________；连接，则弦的长度是________． 16. 如果一个四位数M满足各个数位数字都不为0且互不相等，若十位数字与个位数字之和为9，将M的千位数字与百位数字组成的两位数记为x，十位数字与个位数字组成的两位数记为y，令，若为整数，则称数M是“欢乐数”．例如：，，，，为整数，是“欢乐数”．若M为最小的“欢乐数”，则________；把一个“欢乐数”M的千位数字记为a，百位数字记为b，十位数字记为c，令，当为整数时，满足条件的M的最大值与最小值的和为________． 三、解答题：（本大题9个小题，17题8分，18题8分，其余每个小题10分，共86分）解答时每小题须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组 18. 在学习了三角形全等和等腰三角形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，三角形一个角的角平分线上的点，如果满足到另外两个顶点距离相等，这个三角形有可能是等腰三角形．其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）如图，在中，平分交于E，点D在线段上，用尺规过点D作的垂线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：点D在内，且在上，，于G． 求证：． 证明：∵平分，，， ∴① ， 在和中 ∴③ ． 又∵， ∴． ∴， ∴④ ； ∴． 进一步思考，点D在外，其余条件不变，还成立吗？写出你猜想的结论：⑤ ．（填“成立”或者“不成立”） 19. 为提升青少年网络安全意识，某校举办了“数字安全小卫士”知识竞赛，内容涵盖个人信息保护、网络诈骗识别等．现从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取了10名学生的成绩进行统计分析．数据整理如下：（成绩得分用x表示，共分成三组：合格，良好，优秀）下面给出了部分信息： 七年级学生竞赛成绩在“良好”等级中的数据为：90，94，85，90，90 八年级10名学生的竞赛成绩为：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98． 抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表 统计量 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 七年级 90 a 90 30 八年级 90 89 b 26.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有2600名学生参加了此次知识竞赛，请估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生人数共有多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题： 某公司积极响应节能降碳号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，用1500万元购进A型汽车的数量比用1200万元购进B型汽车的数量少10辆． （1）求每辆A型和B型汽车的进价分别为多少万元？ （2）公司将出售两种汽车，将A型汽车的售价定为35万元/辆，B型汽车的售价定为25万元/辆，第一个月售出A型汽车8辆，售出B型汽车6辆，为了尽快将汽车销售完，公司决定在第一个月的售价上搞促销活动，每辆A型汽车降低m万元，第二个月比第一个月多卖出2m辆，每辆B型汽车售价直接打九折，第二个月卖出B型汽车13辆，结果第二个月比第一个月的利润多3万元，求m的值． 22. 如图，在矩形中，，，点E为线段的中点，动点P以每秒1个单位长度从点B出发，沿着运动．动点Q同时以每秒个单位长度从点D出发，沿方向运动，当点P到达点D时，点P、Q同时停止运动．设点P、Q的运动时间均为x秒，记的面积为，． （1）请直接写出，关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图，A港在E港北偏西方向，且在B港的正北方向30海里处，C港在B港的正东方向，D港在C港的北偏东方向，E港在D港的正北方向15海里处，且在B港的东北方向．（参考数据：，，） （1）求C，D两港之间的距离（结果保留根号）； （2）甲货船从A港出发，向B港运送物资，乙货船从C港出发，向D港运送物资，甲船速度为乙船速度的1.5倍（均沿直线匀速运送）．请问当两艘船首次相距25海里时，甲船离A港多少海里（结果精确到0.1海里）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点C关于x轴的对称点为点D，连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）P是第一象限抛物线上一动点，连接，E、F为直线上的动点（E在F左侧），且满足，G为直线上的动点，连接，当四边形面积最大时，求点P的坐标，并求出的最小值； （3）将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线的对称轴为y轴，点Q为y轴右侧上一动点，连接，过的中点M作的垂线交直线于N，连接NQ，当时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出其中一个Q点横坐标的求解过程． 25. 在中，，点为延长线上一点，连接，使，点在线段上，连接交于点． （1）如图1，若，，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图2，点在的下方，连接，．若，，．求证：； （3）如图3，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、、．若，，当取最小值时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $