第14讲 用样本估计总体（知识清单+10题型讲解举一反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册重难点讲义与测试

第14讲 用样本估计总体 知识清单 知识点01：频率分布表与频率分布直方图 知识点02：常用的统计图 知识点03：总体百分位数的估计 知识点04：总体集中趋势的估计 知识点05：总体离散程度的估计 题型讲解 （举一反三） 题型1：频率分布直方图的绘制 题型2：频率分布直方图的相关计算 题型3：频率分布直方图的实际应用 题型4：总体百分位数的估计 题型5：平均数、众数、中位数的计算 题型6：平均数、众数、中位数的应用 题型7：频率分布直方图中集中趋势参数的计算 题型8：计算几个数据的极差、方差、标准差 题型9：各数据同时加减、乘除同一数对方差的影响 题型10：用方差、标准差说明数据的波动程度 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01 频率分布表与频率分布直方图 1．一般地，当总体很大或不便获取时，用样本的频率分布估计总体的频率分布．把反应总体频率分布的表格称为频率分布表． 2．把表示样本数据分布规律的图形称为频率分布直方图． 3．制作频率分布表与频率分布直方图的一般步骤： (1)求极差，即计算最大值与最小值的差． (2)决定组距与组数． (3)将数据分组． (4)列频率分布表． (5)画频率分布直方图． 知识点02常用的统计图 1．条形图 条形图能清楚地表示出每个项目的具体数量． 2．折线图 折线图能够清晰地反映数据的变化趋势或情况． 3．扇形图 扇形图能直观、生动地反映各部分在总体中所占的比例情况． 1．频率分布直方图能够直观、形象地反映样本的分布规律，可以大致估计出总体的分布，但是从频率分布直方图中得不出原始的数据内容，把数据绘制成频率分布直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．在频率分布直方图中，由于长方形的面积S＝组距×＝频率，所以各个小长方形的面积表示相应各组的频率，这样频率分布直方图就以面积的形式反映了数据在各个小组的频率的大小，各个小长方形的面积总和等于1. 2．一般地，样本量越大，这种估计就越精确．总体估计要掌握：(1)“表”(频率分布表)；(2)“图”(频率分布直方图)． 提醒：直方图的纵轴(小长方形的高)一般是频率除以组距的商，横轴一般是数据的大小，小长方形的面积表示频率． 知识点03 总体百分位数的估计 1．第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 3．四分位数 25%,50%,75%这三个分位数把一组数据由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． 知识点04 总体集中趋势的估计 1．众数、中位数和平均数的定义 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数． (2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数． (3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数． 2．众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感 众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感 3.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替． (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． (3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据． 知识点05 总体离散程度的估计 1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差 数据x1，x2，…，xn的方差为＝，标准差为. 2．总体方差和标准差 (1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为，则称S2＝为总体方差，S＝为总体标准差． (2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)， 则总体方差为S2＝. 3．样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为， 则称s2＝为样本方差，s＝为样本标准差． 4．标准差的意义 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小． 5．分层随机抽样的方差 设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为1，2，方差分别为s，s，则这个样本的方差为 s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]． 题型1：频率分布直方图的绘制 【例1-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）为了了解中学生身体发育情况，对某中学15岁的60名女生的身高（单位：）进行了测量，结果如下： 154  159  166  169  159  156  166  162  158  159 156  166  160  164  160  157  151  157  161  162 158  153  158  164  158  163  158  153  157  168 162  159  154  165  166  157  155  146  151  158 160  165  158  163  163  162  161  154  165  161 162  159  157  159  149  164  168  159  153  160 列出样本的频率分布表，绘制频率分布直方图． 【变式1-1】某校30名高一女生的扔手球记录如下（单位：m）： 16.3 13.2 17.7 14.3 16.4 19.8 13.5 14.5 11.7 14.1 14.8 17.2 13.8 15.4 16.3 15.7 18.5 16.8 17.9 15.9 17.6 15.4 16.8 21.4 16.5 18.1 16.0 20.3 16.6 19.5 (1)选择适当的组距，制作一张频率分布表； (2)在（1）的基础上，绘制一幅频率分布直方图. 【变式1-2】某口腔医师对本月门诊龋齿病患者的年龄（单位：岁）情况进行了统计，得到如下数据： 年龄分组区间 患者人数 7 35 34 46 39 30 12 3 合计 206 绘制频率分布直方图，并分析龋齿病患者的年龄构成． 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）某学校为了了解和掌握学生的期末数学成绩的情况，随机地取出了100名考生的数学成绩（单位：分），数据如下： 135    98    102    110    99    121    110    96 100    103   125    97     117   113    110    92 102    109   104    112    105   124    87     131 97     102   123    104    104   128    109    123 111    103   105    92     114   108    104    102 129    126   97     100    115   111    106    117 104    109   111    89     110   121    80     120 121    104   108    118    129   99     90     99 121    123   107    111    91    100    99     101 116    97    102    108    101   95     107    101 102    108   117    99     118   106    119    97 126    108   123    119    98    121    101    113 102    103   104   108 (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图． 题型2：频率分布直方图的相关计算 【例2-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据在内的频率和频数分别是（   ） A．0.32，32 B．0.08，8 C．0.24，24 D．0.36，36 【变式2-1】随机抽取某机械元件1000件，统计得出它们的连续工作最长时间（，单位：千小时）的频率分布直方图，如图所示.视频率为概率，从该批元件中随机抽取一件，该元件连续工作最长时间在区间（单位：千小时）上的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·北京西城·期末）为了解某校高三学生寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时)，现从该校高三年级随机抽取了部分同学进行调研，在获得这些同学每天平均学习的时间后，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则 （1）______； （2）若样本中每天学习时间在区间上的同学恰有2人，则共抽取了______位同学调研． 【变式2-3】（24-25高一上·全国·周测）某公司为了解所开发APP使用情况，随机调查了100名用户，根据这100名用户的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为，，…，. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在，，中抽取20人，则评分在内的用户应抽取多少人？ 题型3：频率分布直方图的实际应用 【例3-1】（2024高一下·全国·专题练习）如图是60名学生参加数学竞赛的成绩（均为整数，满分100分）的频率分布直方图，估计这次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）是（    ） A．75% B．25% C．15% D．40% 【变式3-1】（24-25高一下·天津·月考）为了解人们对环保知识的认知情况，某调查机构对A地区随机选取n个居民进行了环保知识问卷调查(满分为100分)，并根据问卷成绩(不低于60分记为及格)绘制成如图所示的频率分布直方图(分为，，，，，六组)，若问卷成绩最后三组频数之和为360，则下列结论正确的是______. ① ②问卷成绩在内的频率为0.3 ③ ④以样本估计总体，若对地区5000人进行问卷调查，则约有1250人不及格 【变式3-2】（25-26高一下·全国·单元测试）某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，． （1）频率分布直方图中的值为____________； （2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，估计新生中可以申请住校的学生有____________名． 【变式3-3】为了了解小学生的体能情况，某机构抽取了某校部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图（如图）（每个分组包括左端点，不包括右端点）.已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.15，0.3，0.4，第一小组的频数为9.    (1)求第四小组的频率； (2)参加这次测试的学生有多少人？ (3)若次数在60次以上（含60次）为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少. 题型4：总体百分位数的估计 【例4-1】（25-26高一上·江西抚州·期末）数据：1，2，4，5，3，6，7，8，9，10的分位数是（　　） A．4 B．5 C．3.5 D．4.5 【变式4-1】（25-26高一下·全国·单元测试）容量为20的样本数据，分组后的频数如下表所示 分组 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据的第80百分位数所在区间为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一下·全国·课后作业）某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下： 甲的得分：95，81，75，89，71，65，76，88，94，110，107； 乙的得分：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，101． 则甲得分的第50百分位数为____________；乙得分的第75百分位数为____________． 【变式4-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）班级人数为50的班主任老师说“的同学能够考取本科院校”，这里的“”是百分位数吗？ 题型5：平均数、众数、中位数的计算 【例5-1】（25-26高一下·全国·期末）某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： 用电量／度 120 140 160 180 200 户数 2 3 6 7 2 则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（   ） A．180，170 B．160，180 C．160，170 D．180，160 【变式5-1】（25-26高一上·江西南昌·期末）样本数据31，24，20，36，44的平均数为（   ） A．35 B．33 C．31 D．29 【变式5-2】（24-25高一下·吉林长春·期末）设一组样本的平均数是3，则将这组样本中的每一个数乘2加1的平均数为_____ 【变式5-3】（24-25高一上·全国·课前预习）下表是五年级一、二两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）： 一班 19 33 26 29 28 33 34 35 33 33 30 二班 25 27 29 28 29 30 29 35 29 30 29 (1)这两组数据的平均数、中位数和众数各是多少？ (2)你认为哪个数表示两个班的成绩更合适？ 题型6：平均数、众数、中位数的应用 【例6-1】（24-25高一下·广西来宾·期末）抽样调查了某班30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）．在这组数据的平均数、中位数、众数和方差中，鞋厂最感兴趣的是（   ） 鞋码号 33 34 35 36 37 人数 2 6 20 1 1 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式6-1】（24-25高一下·广东佛山·期末）为调查学生的体育达标情况，用简单随机抽样的方法，了解全校2506名学生的体育达标情况，抽取100名学生作为样本，第个（，，，，）学生的体育达标情况记为变量值，则表示的含义为（   ） A．全校学生体育达标的人数 B．样本学生体育达标的人数 C．全校学生体育达标率 D．全校学生体育达标率的估计值 【变式6-2】（2024高一下·全国·专题练习）某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表： 码号 34 35 36 37 38 39 40 41 数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2 如果你是鞋店经理，最关心的是哪种码号的鞋销量最大，那么对你来说最重要的是________(填“平均数”“众数”或“中位数”)． 【变式6-3】（2024高一下·全国·专题练习）据了解，某公司的33名职工月工资（单位：元）如下： 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 11000 10000 9000 8000 6500 5500 4000 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数． (2)假设副董事长的工资从10000元提升到20000元，董事长的工资从11000元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元） (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． 题型7：频率分布直方图中集中趋势参数的计算 【例7-1】（24-25高一下·福建南平·期末）如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态．根据所给图示作出判断，则下列结论正确的是（   ）    A．图（1）中平均数中位数众数 B．图（2）中平均数众数中位数 C．图（2）中众数平均数中位数 D．图（3）中平均数中位数众数 【变式7-1】（24-25高一下·北京丰台·期末）为了解某校学生日均运动时长，某研究小组在该校随机抽取了200名学生，统计了他们日均运动时长，并将所得数据分组整理，得到右侧的频率分布直方图，给出下列四个结论： ①； ②这200名学生日均运动时长的平均数小于中位数； ③估计该校学生日均运动时长的第85百分位数约为2； ④从该校随机抽取一名学生，估计该学生日均运动时长不低于1小时的概率为． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【变式7-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）对一批底部周长（单位：cm）在内的树木进行研究，从中随机抽取200棵树木并测出其底部周长，得到频率分布直方图如图所示，由此估计这批树木的底部周长的众数是__________cm，中位数是__________cm，平均数是__________cm．    【变式7-3】（25-26高一下·全国·单元测试）如图是某地某公司1000名员工的月收入的直方图．根据直方图估计： (1)该公司月收入在1000元到1500元之间的人数； (2)该公司员工的月平均收入； (3)该公司员工收入的众数； (4)该公司员工月收入的中位数； (5)该公司员工月收入的第90分位数． 题型8：计算几个数据的极差、方差、标准差 【例8-1】（25-26高一上·江西上饶·期末）一组数据的平均数为7，则其方差为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）若一组样本数据的平均数为5，方差为3，则的方差为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·江西南昌·期末）某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男、女人数之比为，则估计全体单位职工体重的方差为___________． 【变式8-3】（24-25高一下·广东揭阳·期末）潮汕英歌舞以其动作刚劲有力，节奏感强的特色，备受人们喜爱．某校组织英歌队进行训练并作了汇报表演，为了解训练成果，做了一次问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份的分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于50分的整数且在组内均匀分布）分成五段：，得到如下所示的频数分布表． 样本分数段 [90，100] 频数 10 30 30 10 频率 0.1 0.3 0.3 0.1 (1)求频数分布表中和的值，并估计样本成绩的平均数； (2)经计算，样本中分数在区间［50，60）内的平均数为56，方差为7；在区间[60，70）内的平均数为65，方差为4，求两组成绩的总平均数和总方差． 题型9：各数据同时加减、乘除同一数对方差的影响 【例9-1】（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，，的平均数为3，标准差为2，则，，，的（    ） A．平均数为15，标准差为10 B．平均数为15，标准差为50 C．平均数为17，标准差为10 D．平均数为17，标准差为50 【变式9-1】（25-26高一上·北京房山·期末）已知一组样本数据的平均数为2025，则下列叙述中错误的是（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的方差不大于的方差 C．的中位数等于的中位数 D．的极差等于的极差 【变式9-1】（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）若样本数据的标准差为6，则数据的方差为______ 【变式9-3】某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽取的10件产品的评分： 9.5 10.2 9.7 9.8 10.0 9.6 10.1 9.7 10.1 10.3 经计算得，其中为抽取的第件产品的评分，． (1)求这组样本的平均数和方差； (2)若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.3．根据以上随机抽取的10件产品改进后的评分，估计改进后该厂生产的产品评分的平均数和方差． 题型10：用方差、标准差说明数据的波动程度 【例10-1】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知在某市委宣传部举办的中小学“红心向党”主题演讲比赛中，某选手共得9位评委的原始评分，若去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，一定不变的数字特征是（   ） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 【变式10-1】（25-26高一上·北京房山·期末）甲､乙两人6次模拟考试英语成绩（不含听力）的折线统计图如图所示，甲､乙两人成绩的平均数分别记作，标准差分别记作，则（    ）    A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一下·全国·课后作业）甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 8.5 8.7 8.8 8.0 方差 3.5 3.5 2.1 8.7 则参加奥运会的最佳人选应为__________． 【变式10-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5． 经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环． 若从二人中选一人去和兄弟部队参加射击大赛，只用平均数能否作出选择？ 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列数据的中位数和众数分别是（    ） 79，84，84，86，84，87，93 A．84，84 B．84，86 C．85，84 D．86，84 2．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在检测一批相同规格共800kg的航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了360片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为（    ） A．11.1kg B．36kg C．111kg D．50kg 3．（2025高一上·全国·专题练习）某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取50户居民，得到他们的月均用水量全部介于1t至21t之间，将结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组有4户居民，则第七组的频率为（    ） A．0.04 B．0.05 C．0.06 D．0.07 4．（25-26高一上·江西赣州·期末）已知一组数据：12，14，15，15，18，19，22，26，28，30，的第百分位数是26，则的值可以是（ ） A．22 B．23 C．25 D．26 5．（24-25高一上·湖北十堰·自主招生）高一某班有人，老师对一次数学测试进行了统计分析.由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差.后来小亮进行了补考，成绩为分，关于该班成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 6．（24-25高一上·湖北十堰·自主招生）有甲､乙､丙三个班，甲班有个人，乙班有个人，丙班有人（以上所有参数均为正整数），在一次考试中甲班平均分是分，乙班平均分是分，丙班平均分是分．则甲､乙､丙三个班在这次考试中的总平均分是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·河南南阳·期末）某科研小组对甲厂生产的200件和乙厂生产的100件同类产品进行分层抽样调查，抽取样本容量为30，调查数据如表： 厂别 平均数 方差 甲 3.5 1 乙 2 4 则这30件产品的方差为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·广东揭阳·月考）某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论正确的是（    ）    A．成绩在上的人数最多 B．成绩不低于70分的学生所占比例为70% C．50名学生成绩的平均分小于中位数 D．50名学生成绩的极差为50 二、多选题 9．（24-25高一上·重庆渝中·月考）某兴趣小组9名同学的数学成绩（单位：分）分别为：，则（    ） A．极差是 B．中位数是 C．下四分位数是 D．上四分位数是 10．（25-26高一下·全国·单元测试）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合该标志的是（   ） 甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2； 丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3． A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 11．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）为了提升中学生的运算能力，某市举办了“中学生计算大赛”，并从中选出“计算小达人”．现从全市参加比赛的学生中随机抽取1000人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为、、、．规定得分在90分及以上的被评为“计算小达人”．下列说法正确的是（    ） A．的值为0.015 B．该市每个中学生被评为“计算小达人”的概率为0.01 C．现准备在这1000名学生中，用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则需抽取成绩为的学生5人 D．被抽取的1000名中学生的均分大约是80分 三、填空题 12．（25-26高一上·江西景德镇·期末）已知某班级某小组学生的一次考试中化学成绩（单位：分）分别是，则他们的化学成绩的第一四分位数是__________（分）. 13．（25-26高一下·全国·课后作业）国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均成绩 8.5 8.8 8.8 8 方差 3.5 3.5 2.1 8.7 则应派____________参赛最为合适. 14．（25-26高一·全国·假期作业）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知______（结果保留3位小数）．若要从身高在，，三组的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为______． 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·单元测试）某学校高一（1）、（2）班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下表． (1)请你对下面的一段话给予简要分析． 高一（1）班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！” 平均分 众数 中位数 标准差 （1）班 79 70 87 19.8 （2）班 79 70 79 5.2 (2)请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要分析，并提出建议． 16．（25-26高一上·陕西渭南·期末）为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小； (3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差. （注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）为了解一片经济林的生长情况，随机测量100株树木的底部周长，得到如下数据：（单位：cm） 135  98  102  110  99  121  110  96  100  103  125  97  117  113  110  92  102  109 104  112  109  124  87  131  97  102  123  104  104  128  105  123  111  103  105  92 114  108  104  102  129  126  97  100  115  111  106  117  104  109  111  89  110  121   80  120  121  104  108  118  129  99  90  99  121  123  107  111  91  100  99  101  116 97  102  108  111  95  107  101  102  108  117  99  118  106  119  97  126  108  123   119  98  121  101  113  102  103  104  108 (1)编制频率分布表； (2)绘制频率分布直方图、折线图； (3)估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占多少，周长不小于120cm的树木约占多少？ 18．（25-26高一上·河北保定·期末）2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值； (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数； (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. 19．（25-26高一上·河南南阳·月考）为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 用样本估计总体 知识清单 知识点01：频率分布表与频率分布直方图 知识点02：常用的统计图 知识点03：总体百分位数的估计 知识点04：总体集中趋势的估计 知识点05：总体离散程度的估计 题型讲解 （举一反三） 题型1：频率分布直方图的绘制 题型2：频率分布直方图的相关计算 题型3：频率分布直方图的实际应用 题型4：总体百分位数的估计 题型5：平均数、众数、中位数的计算 题型6：平均数、众数、中位数的应用 题型7：频率分布直方图中集中趋势参数的计算 题型8：计算几个数据的极差、方差、标准差 题型9：各数据同时加减、乘除同一数对方差的影响 题型10：用方差、标准差说明数据的波动程度 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01 频率分布表与频率分布直方图 1．一般地，当总体很大或不便获取时，用样本的频率分布估计总体的频率分布．把反应总体频率分布的表格称为频率分布表． 2．把表示样本数据分布规律的图形称为频率分布直方图． 3．制作频率分布表与频率分布直方图的一般步骤： (1)求极差，即计算最大值与最小值的差． (2)决定组距与组数． (3)将数据分组． (4)列频率分布表． (5)画频率分布直方图． 知识点02常用的统计图 1．条形图 条形图能清楚地表示出每个项目的具体数量． 2．折线图 折线图能够清晰地反映数据的变化趋势或情况． 3．扇形图 扇形图能直观、生动地反映各部分在总体中所占的比例情况． 1．频率分布直方图能够直观、形象地反映样本的分布规律，可以大致估计出总体的分布，但是从频率分布直方图中得不出原始的数据内容，把数据绘制成频率分布直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．在频率分布直方图中，由于长方形的面积S＝组距×＝频率，所以各个小长方形的面积表示相应各组的频率，这样频率分布直方图就以面积的形式反映了数据在各个小组的频率的大小，各个小长方形的面积总和等于1. 2．一般地，样本量越大，这种估计就越精确．总体估计要掌握：(1)“表”(频率分布表)；(2)“图”(频率分布直方图)． 提醒：直方图的纵轴(小长方形的高)一般是频率除以组距的商，横轴一般是数据的大小，小长方形的面积表示频率． 知识点03 总体百分位数的估计 1．第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 3．四分位数 25%,50%,75%这三个分位数把一组数据由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． 知识点04 总体集中趋势的估计 1．众数、中位数和平均数的定义 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数． (2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数． (3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数． 2．众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感 众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感 3.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替． (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． (3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据． 知识点05 总体离散程度的估计 1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差 数据x1，x2，…，xn的方差为＝，标准差为. 2．总体方差和标准差 (1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为，则称S2＝为总体方差，S＝为总体标准差． (2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)， 则总体方差为S2＝. 3．样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为， 则称s2＝为样本方差，s＝为样本标准差． 4．标准差的意义 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小． 5．分层随机抽样的方差 设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为1，2，方差分别为s，s，则这个样本的方差为 s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]． 题型1：频率分布直方图的绘制 【例1-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）为了了解中学生身体发育情况，对某中学15岁的60名女生的身高（单位：）进行了测量，结果如下： 154  159  166  169  159  156  166  162  158  159 156  166  160  164  160  157  151  157  161  162 158  153  158  164  158  163  158  153  157  168 162  159  154  165  166  157  155  146  151  158 160  165  158  163  163  162  161  154  165  161 162  159  157  159  149  164  168  159  153  160 列出样本的频率分布表，绘制频率分布直方图． 【答案】频率分布表为： 分组 频数 频率 1 0.017 3 0.050 6 0.100 8 0.133 18 0.300 11 0.183 10 0.167 3 0.050 合计 60 1.000 频率分布直方图： 【详解】第一步，求极差：上述60个数据中最大为169，最小为146．故极差为． 第二步，确定组距和组数，可取组距为，则组数为，可将全部数据分为8组． 第三步，分组，，，，，，，． 第四步，列频率分布表： 分组 频数 频率 1 0.017 3 0.050 6 0.100 8 0.133 18 0.300 11 0.183 10 0.167 3 0.050 合计 60 1.000 第五步，根据上述数据绘制频率分布直方图： 【变式1-1】某校30名高一女生的扔手球记录如下（单位：m）： 16.3 13.2 17.7 14.3 16.4 19.8 13.5 14.5 11.7 14.1 14.8 17.2 13.8 15.4 16.3 15.7 18.5 16.8 17.9 15.9 17.6 15.4 16.8 21.4 16.5 18.1 16.0 20.3 16.6 19.5 (1)选择适当的组距，制作一张频率分布表； (2)在（1）的基础上，绘制一幅频率分布直方图. 【答案】(1)频率分布表见解析 (2)频率分布直方图见解析 【分析】（1）根据所给数据求出极差，分组，求出各区间的频数及频率即可求出频率分布表； （2）根据（1）作出频率分布直方图即可 【详解】（1）由题目数据可知极差为，组距为，所以分5组较好， ， 频率分布表如下： 分组 频数 频率 3 7 11 6 3 合计 30 1.00 （2）根据（1）的频率分布表可以画出频率分布直方图如图所示： 【变式1-2】某口腔医师对本月门诊龋齿病患者的年龄（单位：岁）情况进行了统计，得到如下数据： 年龄分组区间 患者人数 7 35 34 46 39 30 12 3 合计 206 绘制频率分布直方图，并分析龋齿病患者的年龄构成． 【答案】频率分布直方图见解析；年龄在的人数患龋齿病居多，而区间的人数患者少. 【分析】求出各区间的频率与组距的比，进而画出频率分布直方图，并分析数据可得龋齿病患者的年龄构成. 【详解】 内的 ; 内的 ; 内的 ; 内的 ; 内的 ; 内的 ; 内的 ; 内的 ; 频率分布直方图如下: 年龄在的人数患龋齿病居多，而区间的人数患者少. 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）某学校为了了解和掌握学生的期末数学成绩的情况，随机地取出了100名考生的数学成绩（单位：分），数据如下： 135    98    102    110    99    121    110    96 100    103   125    97     117   113    110    92 102    109   104    112    105   124    87     131 97     102   123    104    104   128    109    123 111    103   105    92     114   108    104    102 129    126   97     100    115   111    106    117 104    109   111    89     110   121    80     120 121    104   108    118    129   99     90     99 121    123   107    111    91    100    99     101 116    97    102    108    101   95     107    101 102    108   117    99     118   106    119    97 126    108   123    119    98    121    101    113 102    103   104   108 (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题目所给数据列出频率分布表. （2）根据频率分布表画出频率分布直方图. 【详解】（1）在这100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为． 取组距为5，则组数为． 频率分布表如下： 分组 频数 频率 [80，85） 1 0.01 [85，90） 2 0.02 [90，95） 4 0.04 [95，100） 14 0.14 [100，105） 24 0.24 [105，110） 15 0.15 [110，115） 12 0.12 [115，120） 9 0.09 [120，125） 11 0.11 [125，130） 6 0.06 [130，135] 2 0.02 合计 100 1.00 （2）根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图，如图所示． 题型2：频率分布直方图的相关计算 【例2-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据在内的频率和频数分别是（   ） A．0.32，32 B．0.08，8 C．0.24，24 D．0.36，36 【答案】A 【分析】根据给定的频率分布直方图，结合频率、频数的意义列式求解. 【详解】样本数据在内的频率为，频数为． 故选：A 【变式2-1】随机抽取某机械元件1000件，统计得出它们的连续工作最长时间（，单位：千小时）的频率分布直方图，如图所示.视频率为概率，从该批元件中随机抽取一件，该元件连续工作最长时间在区间（单位：千小时）上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由频率分布直方图概率和为1，可得，解得，再计算在区间上的概率即可． 【详解】由题可得，解得， 该元件连续工作最长时间在区间上的概率为． 故选：B． 【变式2-2】（25-26高一上·北京西城·期末）为了解某校高三学生寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时)，现从该校高三年级随机抽取了部分同学进行调研，在获得这些同学每天平均学习的时间后，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则 （1）______； （2）若样本中每天学习时间在区间上的同学恰有2人，则共抽取了______位同学调研． 【答案】 【分析】（1）根据各组数据频率之和为1即可求出图中a的值； （2）利用区间内的频率求样本容量. 【详解】（1），解得； （2）设共抽取了位同学调研，则有，解得. 故答案为：； 【变式2-3】（24-25高一上·全国·周测）某公司为了解所开发APP使用情况，随机调查了100名用户，根据这100名用户的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为，，…，. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在，，中抽取20人，则评分在内的用户应抽取多少人？ 【答案】(1)； (2)2人 【分析】（1）应用频率和为1计算求出参数； （2）先得出频率比，结合分层抽样计算求出人数. 【详解】（1）由， 解得； （2）由频率分布直方图可知，评分在，，内的用户人数之比为， 所以评分在内的用户应抽取（人）. 题型3：频率分布直方图的实际应用 【例3-1】（2024高一下·全国·专题练习）如图是60名学生参加数学竞赛的成绩（均为整数，满分100分）的频率分布直方图，估计这次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）是（    ） A．75% B．25% C．15% D．40% 【答案】A 【分析】根据频率直方图，求出样本中60分及以上的频率，即可估计出概率． 【详解】大于或等于60分的共四组，它们是， 故样本中60分及以上的频率为， 由此可估计这次数学竞赛的及格率为75%， 故选：A． 【变式3-1】（24-25高一下·天津·月考）为了解人们对环保知识的认知情况，某调查机构对A地区随机选取n个居民进行了环保知识问卷调查(满分为100分)，并根据问卷成绩(不低于60分记为及格)绘制成如图所示的频率分布直方图(分为，，，，，六组)，若问卷成绩最后三组频数之和为360，则下列结论正确的是______. ① ②问卷成绩在内的频率为0.3 ③ ④以样本估计总体，若对地区5000人进行问卷调查，则约有1250人不及格 【答案】②③④ 【分析】根据频率分布直方图的小矩形的面积之和为1求出的值，进而求得n的值判断选项①③；由图求出问卷成绩在的小矩形的面积，得到对应的频率判断②；求出不及格的频率即可求解判断④. 【详解】由，得， ，①错误，③正确； 成绩在内的频率为，②正确. 若对A地区5000人进行问卷调查，则约有人不及格，④正确. 故答案为：②③④ 【变式3-2】（25-26高一下·全国·单元测试）某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，． （1）频率分布直方图中的值为____________； （2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，估计新生中可以申请住校的学生有____________名． 【答案】 0.0125 144 【分析】（1）由频率分布直方图各个小矩形的面积和等于1，建立的方程，计算出． （2）利用频率等于小矩形的面积计算新生上学路上所需时间不少于1小时的频率，利用频数等于频率乘以总体的容量得到所求． 【详解】（1）由频率分布直方图，可得， 所以． （2）新生上学路上所需时间不少于1小时的频率为， 因为，所以1200名新生中约有144名学生可以申请住校． 故答案为：0.0125；144. 【变式3-3】为了了解小学生的体能情况，某机构抽取了某校部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图（如图）（每个分组包括左端点，不包括右端点）.已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.15，0.3，0.4，第一小组的频数为9.    (1)求第四小组的频率； (2)参加这次测试的学生有多少人？ (3)若次数在60次以上（含60次）为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少. 【答案】(1)0.15 (2)60 (3)55%. 【分析】（1）由累积频率为1即可求解； （2）第一小组的频数除以对应的频率即可求解； （3）后面两组频率相加即可. 【详解】（1）由累积频率为1知，第四小组的频率为. （2）设参加这次测试的学生有x人，则， ，即参加这次测试的学生有60人. （3）达标率为，估计该年级学生跳绳测试的达标率为55%. 题型4：总体百分位数的估计 【例4-1】（25-26高一上·江西抚州·期末）数据：1，2，4，5，3，6，7，8，9，10的分位数是（　　） A．4 B．5 C．3.5 D．4.5 【答案】D 【分析】先将原始数据从小到大排列，再按百分位数的定义计算求解即可. 【详解】因为数据为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则，， 所以， 所以分位数是：. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高一下·全国·单元测试）容量为20的样本数据，分组后的频数如下表所示 分组 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据的第80百分位数所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由百分位数的定义进行求解． 【详解】因为，所以样本数据的第80百分位数为样本数据由小到大排列的第16个数据和第17个数据的平均数，落在区间内． 故选：C 【变式4-2】（25-26高一下·全国·课后作业）某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下： 甲的得分：95，81，75，89，71，65，76，88，94，110，107； 乙的得分：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，101． 则甲得分的第50百分位数为____________；乙得分的第75百分位数为____________． 【答案】 88 101 【分析】先将一组数据从小到大排列后，根据百分位数的定义即可确定. 【详解】把甲的得分由小到大排列为65，71，75，76，81，88，89，94，95，107，110． 把乙的得分由小到大排列为79，83，86，88，93，98，98，99，101，103，114． 由，可知甲得分的第50百分位数为第6个数据，即甲得分的第50百分位数为88； 又由，可知乙得分的第75百分位数为第9个数据，即乙得分的第75百分位数为101． 故答案为：88；101. 【变式4-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）班级人数为50的班主任老师说“的同学能够考取本科院校”，这里的“”是百分位数吗？ 【答案】不是 【分析】根据百分位数的定义分析判断即可 【详解】不是， 第百分位数是一组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有个数据大于或等于这个值， 题目中的明显是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比． 题型5：平均数、众数、中位数的计算 【例5-1】（25-26高一下·全国·期末）某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： 用电量／度 120 140 160 180 200 户数 2 3 6 7 2 则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（   ） A．180，170 B．160，180 C．160，170 D．180，160 【答案】D 【分析】根据表格中的数据，结合众数和中位数的定义与求法，即可求解. 【详解】由表格中的数据，可得用电量为180度的家庭最多，有7户， 所以这20户家庭该月用电量的众数是180； 将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160，160， 所以这20户家庭该月用电量的中位数是160． 故选：D. 【变式5-1】（25-26高一上·江西南昌·期末）样本数据31，24，20，36，44的平均数为（   ） A．35 B．33 C．31 D．29 【答案】C 【分析】根据平均数的计算公式求解即可. 【详解】， 故选：C 【变式5-2】（24-25高一下·吉林长春·期末）设一组样本的平均数是3，则将这组样本中的每一个数乘2加1的平均数为_____ 【答案】7 【分析】根据给定条件，利用平均数公式列式计算得解. 【详解】设样本数据为，而， 所以将这组样本中的每一个数乘2加1的平均数为. 故答案为：7 【变式5-3】（24-25高一上·全国·课前预习）下表是五年级一、二两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）： 一班 19 33 26 29 28 33 34 35 33 33 30 二班 25 27 29 28 29 30 29 35 29 30 29 (1)这两组数据的平均数、中位数和众数各是多少？ (2)你认为哪个数表示两个班的成绩更合适？ 【答案】(1)平均数为30.27次；29.09次；中位数33次，29次，众数33次，29次． (2)平均数 【分析】（1）利用平均数、中位数和众数的概念计算即可； （2）利用平均数、中位数和众数的统计意义分析即可. 【详解】（1）一班平均数为（次）， 一班数据从小到大排列为：19，26，28，29，30，33，33，33，33，34，35， 所以一班的中位数为33次，33出现的次数最多，众数是33次； 二班平均数为（次）， 二班数据从小到大排列为：25，27，28，29，29，29，29，29，30，30，35， 所以二班的中位数是29次，29出现的次数最多，所以二班的众数是29次． （2）运用平均数表示两个班的成绩更合适． 题型6：平均数、众数、中位数的应用 【例6-1】（24-25高一下·广西来宾·期末）抽样调查了某班30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）．在这组数据的平均数、中位数、众数和方差中，鞋厂最感兴趣的是（   ） 鞋码号 33 34 35 36 37 人数 2 6 20 1 1 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】鞋厂最感兴趣的是销售量，即可根据数据的数字特征来判定. 【详解】鞋厂最感兴趣的是销售量最多的鞋号，即为数据的众数，故鞋厂最感兴趣的是众数. 故选 ：C. 【变式6-1】（24-25高一下·广东佛山·期末）为调查学生的体育达标情况，用简单随机抽样的方法，了解全校2506名学生的体育达标情况，抽取100名学生作为样本，第个（，，，，）学生的体育达标情况记为变量值，则表示的含义为（   ） A．全校学生体育达标的人数 B．样本学生体育达标的人数 C．全校学生体育达标率 D．全校学生体育达标率的估计值 【答案】D 【分析】由题意理解所表示的意义为样本中达标人数即可得解. 【详解】由题意，表示样本中体育达标的人数， 所以表示全校学生体育达标率的估计值. 故选：D 【变式6-2】（2024高一下·全国·专题练习）某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表： 码号 34 35 36 37 38 39 40 41 数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2 如果你是鞋店经理，最关心的是哪种码号的鞋销量最大，那么对你来说最重要的是________(填“平均数”“众数”或“中位数”)． 【答案】众数 【分析】根据众数、平均数、中位数的意义进行选择. 【详解】鞋店经理最关心的是哪种码号的鞋销量最大， 由题表可知，码号为37的鞋销量最大，共销售了16双，37是这组数据的众数. 故答案为：众数 【变式6-3】（2024高一下·全国·专题练习）据了解，某公司的33名职工月工资（单位：元）如下： 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 11000 10000 9000 8000 6500 5500 4000 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数． (2)假设副董事长的工资从10000元提升到20000元，董事长的工资从11000元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元） (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． 【答案】(1)答案见解析 (2)平均数是5333元，中位数是4000元，众数是4000元 (3)答案见解析 【分析】（1）由平均数、中位数以及众数的定义即可求解； （2）由平均数、中位数以及众数的定义即可求解； （3）结合题意以及数据的数字特征，言之有理即可. 【详解】（1）平均数是（元）， 中位数是4000元，众数是4000元． （2）平均数是， 中位数是4000元，众数是4000元． （3）中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大， 这样导致平均数与中位数（众数）偏差较大（平均数受极端值影响较大）， 所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平． 题型7：频率分布直方图中集中趋势参数的计算 【例7-1】（24-25高一下·福建南平·期末）如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态．根据所给图示作出判断，则下列结论正确的是（   ）    A．图（1）中平均数中位数众数 B．图（2）中平均数众数中位数 C．图（2）中众数平均数中位数 D．图（3）中平均数中位数众数 【答案】D 【分析】由频率分步直方图概念，结合中位数，平均数，众数定义结合图形可得答案. 【详解】对于图1，平均数中位数众数，故A错误； 对于图2，众数中位数平均数，故BC错误； 对于图3，平均数中位数众数，故D正确. 故选：D 【变式7-1】（24-25高一下·北京丰台·期末）为了解某校学生日均运动时长，某研究小组在该校随机抽取了200名学生，统计了他们日均运动时长，并将所得数据分组整理，得到右侧的频率分布直方图，给出下列四个结论： ①； ②这200名学生日均运动时长的平均数小于中位数； ③估计该校学生日均运动时长的第85百分位数约为2； ④从该校随机抽取一名学生，估计该学生日均运动时长不低于1小时的概率为． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图的性质计算即可. 【详解】由题可知：①，正确； ②平均数为， 日均运动时长在的频率为：，日均运动时长在的频率为：， 可知中位数一定落在，设中位数为，则， 所以平均数大于中位数，错误； ③日均运动时长在的频率为：，可知第85百分位数落在， 设该数为，则，正确； ④从该校随机抽取一名学生，估计该学生日均运动时长不低于1小时的概率为，正确. 故选：C 【变式7-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）对一批底部周长（单位：cm）在内的树木进行研究，从中随机抽取200棵树木并测出其底部周长，得到频率分布直方图如图所示，由此估计这批树木的底部周长的众数是__________cm，中位数是__________cm，平均数是__________cm．    【答案】 105 103.5 【分析】根据众数、中位数、平均数的概念，结合频率分布直方图计算可得. 【详解】由题图知，底部周长的众数是； 因为前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为， 所以中位数在内，设为，则， 解得； 平均数是． 故答案为：；；. 【变式7-3】（25-26高一下·全国·单元测试）如图是某地某公司1000名员工的月收入的直方图．根据直方图估计： (1)该公司月收入在1000元到1500元之间的人数； (2)该公司员工的月平均收入； (3)该公司员工收入的众数； (4)该公司员工月收入的中位数； (5)该公司员工月收入的第90分位数． 【答案】(1)100 (2)2400 (3)2500元 (4)2400元． (5)3333 【分析】（1）先计算出该公司月收入在1000元到1500元之间的频率，即可求解； （2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得的积全部相加可得出该公司员工月收入的平均数； （3）由众数的定义求解； （4）由中位数的定义求解； （5）由百分位数的定义求解． 【详解】（1）根据频率分布直方图知，满足条件的频率为： 所以满足条件的人数为：（人）． （2）据题意该公司员工的平均月收入为： （元） （3）根据频率分布直方图知，最高矩形（由两个频率相同的矩形构成）的底边中点的横坐标为2500，即公司员工月收入的众数为2500元． （4）根据频率分布直方图知，中位数介于2000元至2500元之间，故可设中位数为，则由，即公司员工月收入的中位数为2400元． （5）根据频率分布直方图知，公司员工月收入小于3000元的百分比为，公司员工月收入小于3500元的百分比为（ 所以公司员工月收入的第90分位数是． 题型8：计算几个数据的极差、方差、标准差 【例8-1】（25-26高一上·江西上饶·期末）一组数据的平均数为7，则其方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均数及方差的计算公式计算即可. 【详解】由题意知，，解得. 故方差为： . 故选：B. 【变式8-1】（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）若一组样本数据的平均数为5，方差为3，则的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方差和平均数的定义进行求解即可. 【详解】因为一组样本数据的平均数为5，方差为3， 所以， ， 的平均数为 的方差为. 故选：A 【变式8-2】（25-26高一上·江西南昌·期末）某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男、女人数之比为，则估计全体单位职工体重的方差为___________． 【答案】169 【分析】先求出平均体重，然后根据方差公式可求方差. 【详解】依题意，单位职工平均体重为（千克），则单位职工体重的方差为． 故答案为：169 【变式8-3】（24-25高一下·广东揭阳·期末）潮汕英歌舞以其动作刚劲有力，节奏感强的特色，备受人们喜爱．某校组织英歌队进行训练并作了汇报表演，为了解训练成果，做了一次问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份的分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于50分的整数且在组内均匀分布）分成五段：，得到如下所示的频数分布表． 样本分数段 [90，100] 频数 10 30 30 10 频率 0.1 0.3 0.3 0.1 (1)求频数分布表中和的值，并估计样本成绩的平均数； (2)经计算，样本中分数在区间［50，60）内的平均数为56，方差为7；在区间[60，70）内的平均数为65，方差为4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】(1)，；76； (2)总平均数是62，总方差是23． 【分析】(1)根据频率分布直方图的性质，求得，结合平均数的计算公式，即可求解； （2）根据分层抽样的分法，得到分数在和的人数，结合分层抽样的方差的计算方法，即可求解. 【详解】（1）由， 解得，则， 平均数的估计值为． （2）由表可知，分数在区间内的频数为10，在区间内的频数为20， 故两组成绩的总平均数， 两组成绩的总方差． 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是23． 题型9：各数据同时加减、乘除同一数对方差的影响 【例9-1】（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，，的平均数为3，标准差为2，则，，，的（    ） A．平均数为15，标准差为10 B．平均数为15，标准差为50 C．平均数为17，标准差为10 D．平均数为17，标准差为50 【答案】C 【分析】根据平均数和标准差的定义计算即可判断. 【详解】设的平均数为，标准差为，则，， 即，. 所以，，，的平均数为 ； ，，，的方差为 ，故其标准差为10. 故选：C. 【变式9-1】（25-26高一上·北京房山·期末）已知一组样本数据的平均数为2025，则下列叙述中错误的是（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的方差不大于的方差 C．的中位数等于的中位数 D．的极差等于的极差 【答案】C 【分析】根据平均数、方差、中位数、极差的概念及含义逐项计算分析可得． 【详解】对于A，的平均数等于，故A正确； 对于B，因为的平均数等于， 所以的方差等于， 即的方差不大于的方差，故B正确； 对于C，不妨设， 则的中位数为， 若，则的中位数，故C错误； 对于D，当均相等时，因为其平均数为， 所以，此时，的极差等于的极差，等于； 当不全相等时，不妨设为最小数，是最大数，因为其平均数为，所以. 此时，的极差等于的极差，等于.故D正确. 故选：C. 【变式9-1】（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）若样本数据的标准差为6，则数据的方差为______ 【答案】144 【分析】利用方差和标准差的关系结合方差的性质求解即可. 【详解】由样本数据的标准差为6，即方差为36， 则数据的方差为. 故答案为：144 【变式9-3】某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽取的10件产品的评分： 9.5 10.2 9.7 9.8 10.0 9.6 10.1 9.7 10.1 10.3 经计算得，其中为抽取的第件产品的评分，． (1)求这组样本的平均数和方差； (2)若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.3．根据以上随机抽取的10件产品改进后的评分，估计改进后该厂生产的产品评分的平均数和方差． 【答案】(1)样本平均数为，样本方差为． (2)平均数为，方差为 【分析】（1）根据题意，由平均数以及方差的计算公式代入计算，即可求解； （2）根据题意，由平均数与方差的性质即可得到结果. 【详解】（1）样本平均数为． 样本方差为． （2）因为改进后随机抽取的10件产品的评分是改进前抽取的10件产品的评分每个提高0.3分，所以改进后生产的产品评分的平均数， 方差为． 题型10：用方差、标准差说明数据的波动程度 【例10-1】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知在某市委宣传部举办的中小学“红心向党”主题演讲比赛中，某选手共得9位评委的原始评分，若去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，一定不变的数字特征是（   ） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 【答案】A 【分析】理解中位数、平均数、方差、极差的概念即可求解. 【详解】设将原始评分按从小到大排列为， 则去掉一个最高分和一个最低分后，与原始评分相比， 新的极差为，由于，所以，通常情况下极差会变小，故不一定不变； 数据波动不变（当且仅当所有的数相等）或变小，即方差不变或变小； 平均数可能发生变化； 唯一不变的是中位数，即中间的数不变. 故选：A. 【变式10-1】（25-26高一上·北京房山·期末）甲､乙两人6次模拟考试英语成绩（不含听力）的折线统计图如图所示，甲､乙两人成绩的平均数分别记作，标准差分别记作，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折线统计图，结合均值、方差的实际含义判断及的大小. 【详解】由统计图可知甲的总成绩比乙的总成绩要高，所以， 又甲的成绩分布比乙均匀，所以， 故选：A 【变式10-2】（24-25高一下·全国·课后作业）甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 8.5 8.7 8.8 8.0 方差 3.5 3.5 2.1 8.7 则参加奥运会的最佳人选应为__________． 【答案】丙 【分析】由平均数及方差的含义即可判断； 【详解】平均数反应平均水平，方差反应稳定性，越小，越稳定； 结合数据可知：丙的平均数最大，方差最小，所以应选丙． 故答案为：丙 【变式10-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5． 经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环． 若从二人中选一人去和兄弟部队参加射击大赛，只用平均数能否作出选择？ 【答案】不能 【分析】根据平均数及方差定义判断. 【详解】不能． 平均数只能说明二人的平均水平相同，还要用方差来判断谁的射击水平更稳定． 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列数据的中位数和众数分别是（    ） 79，84，84，86，84，87，93 A．84，84 B．84，86 C．85，84 D．86，84 【答案】A 【分析】根据中位数及众数定义计算判断求解. 【详解】把数据由小到大排列得79，84，84，84，86，87，93，可知众数和中位数都是84． 故选：A. 2．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在检测一批相同规格共800kg的航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了360片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为（    ） A．11.1kg B．36kg C．111kg D．50kg 【答案】A 【分析】先求出样本中非优质品所占比例；再利用样本估计总体的思想即可求解. 【详解】由题意可得：样本中非优质品所占比例为， 所以这批垫片中非优质品约为. 故选：A. 3．（2025高一上·全国·专题练习）某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取50户居民，得到他们的月均用水量全部介于1t至21t之间，将结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组有4户居民，则第七组的频率为（    ） A．0.04 B．0.05 C．0.06 D．0.07 【答案】C 【分析】由题干及频率分布直方图可得结果 【详解】第六组的频率为，所以第七组的频率为. 故选：C 4．（25-26高一上·江西赣州·期末）已知一组数据：12，14，15，15，18，19，22，26，28，30，的第百分位数是26，则的值可以是（ ） A．22 B．23 C．25 D．26 【答案】D 【分析】根据百分位数的概念求解即可. 【详解】一组数据：12，14，15，15，18，19，22，26，28，30，共11个， 因为，所以第百分位数为从小到大排序的第8个数， 若第百分位数是26，则，故符合的只有D选项. 故选：D. 5．（24-25高一上·湖北十堰·自主招生）高一某班有人，老师对一次数学测试进行了统计分析.由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差.后来小亮进行了补考，成绩为分，关于该班成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 【答案】B 【分析】根据平均数、方差的定义即可解答． 【详解】∵小亮的成绩和其他人的平均数相同，都是分， ∴该班人的测试成绩的平均分为分， 该班人的方差，即方差变小． 故选：B． 6．（24-25高一上·湖北十堰·自主招生）有甲､乙､丙三个班，甲班有个人，乙班有个人，丙班有人（以上所有参数均为正整数），在一次考试中甲班平均分是分，乙班平均分是分，丙班平均分是分．则甲､乙､丙三个班在这次考试中的总平均分是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出甲乙丙三班的总分，再运用求平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】甲班有个人，乙班有个人，丙班有人，甲班平均分是分，乙班平均分是分，丙班平均分是分， 甲乙丙三班在这次考试中的总分为：分， 甲乙丙三班在这次考试中的总平均分是分. 故选：D． 7．（25-26高一上·河南南阳·期末）某科研小组对甲厂生产的200件和乙厂生产的100件同类产品进行分层抽样调查，抽取样本容量为30，调查数据如表： 厂别 平均数 方差 甲 3.5 1 乙 2 4 则这30件产品的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先按分层抽样比例算出甲、乙抽取的件数，再计算30件产品的总平均数，最后代入分层抽样方差公式，结合各组方差、组平均数与总平均数的差值计算总方差. 【详解】甲厂总数200，乙厂总数100，总量比甲：乙=2：1，总样本量30. 甲抽取： 件，乙抽取： 件. 因为甲平均数，乙平均数， 所以， 总方差 其中：， ，， 代入计算：. 最终这30件产品的方差为. 故选：C. 8．（24-25高一下·广东揭阳·月考）某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论正确的是（    ）    A．成绩在上的人数最多 B．成绩不低于70分的学生所占比例为70% C．50名学生成绩的平均分小于中位数 D．50名学生成绩的极差为50 【答案】ABC 【分析】根据频率分布直方图求出的频率，A项可由各矩形高度可判断 ；B项由频率计算可判断；C项分别求出平均数、中位数比较可判断；D项由极差定义可判断. 【详解】设组的频率为，则由各组频率之和为1可得 ，解得； ，，，，各组频率依次为：，，，，： 对于A，组频率最大，即成绩在上的人数最多，故A正确； 对于B，成绩低于70分的学生频率为，即不低于70分的学生频率为， 所以成绩不低于70分的学生所占比例为，故B正确； 对于C，根据频率分布直方图，可得50名学生成绩的平均数是， 由，故50名学生成绩的中位数为80， 所以50名学生成绩的平均分小于中位数，故选项C正确； 对于D，极差为数据中最大值与最小值的差， 已知50名学生的成绩都在区间内， 但成绩的最大值不一定是100，最小值也不一定是50，故极差小于等于50， 但不一定等于50，故D错误. 故选：ABC. 二、多选题 9．（24-25高一上·重庆渝中·月考）某兴趣小组9名同学的数学成绩（单位：分）分别为：，则（    ） A．极差是 B．中位数是 C．下四分位数是 D．上四分位数是 【答案】AD 【分析】先把原始数据从小到大排列，再利用极差的概念计算判断选项A；利用中位数的概念计算判断选项B；利用上、下四分位数的概念和运算法则计算判断选项C，D． 【详解】将9名同学的成绩从小到大排列为：， 极差为：，故A正确； 中位数为第个，为，故B错误； 9个从小到大排列的数据，下四分位数是前5个数据的中位数，即为，故C错误； 9个从小到大排列的数据，上四分位数是后5个数据的中位数，即为，故D正确． 故选：AD． 10．（25-26高一下·全国·单元测试）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合该标志的是（   ） 甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2； 丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3． A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【答案】AD 【分析】逐个选项分析是否一定满足每天新增疑似病例不超过7人即可. 【详解】对于A，设10天的数据从小到大排序为， 由中位数为2可知 ，即 ， 因为 且数据为非负整数，所以必有， 又因为极差为5，所以 ， 由于，可得 ， 因此，最大值不超过7，即每天新增疑似病例不超过7人，故A正确； 对于B，若乙地过去10日分别为， 则满足总体平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B错误； 对于C，若丙地过去10日分别为， 则满足总体平均数为1，总体方差大于0， 但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C错误； 对于D，利用反证法，若至少有一天疑似病例超过7人，则方差大于， 与题设矛盾，故连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故D正确. 故选：AD 11．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）为了提升中学生的运算能力，某市举办了“中学生计算大赛”，并从中选出“计算小达人”．现从全市参加比赛的学生中随机抽取1000人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为、、、．规定得分在90分及以上的被评为“计算小达人”．下列说法正确的是（    ） A．的值为0.015 B．该市每个中学生被评为“计算小达人”的概率为0.01 C．现准备在这1000名学生中，用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则需抽取成绩为的学生5人 D．被抽取的1000名中学生的均分大约是80分 【答案】AC 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，结合中位数的定义、平均数的定义逐一判断即可. 【详解】由，所以选项A正确； 因为得分在90分及以上的被评为“计算小达人”， 所以该市每个小学生被评为“计算小达人”的概率为，因此选项B不正确； 现准备在这名学生中，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则须抽取成绩为的学生人数为，因此选项C正确； 被抽取的1000名中学生的均分大约是分，因此选项D不正确， 故选：AC 三、填空题 12．（25-26高一上·江西景德镇·期末）已知某班级某小组学生的一次考试中化学成绩（单位：分）分别是，则他们的化学成绩的第一四分位数是__________（分）. 【答案】52 【分析】根据百分位数的定义排序计算即得. 【详解】将这组数据按照从小到大顺序排列为：， ，故这组化学成绩的第一四分位数是第3与第4两个数据的平均数， 即. 故答案为：52. 13．（25-26高一下·全国·课后作业）国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均成绩 8.5 8.8 8.8 8 方差 3.5 3.5 2.1 8.7 则应派____________参赛最为合适. 【答案】丙 【分析】由表根据平均数和方差的性质即可求解. 【详解】由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适. 故答案为：丙. 14．（25-26高一·全国·假期作业）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知______（结果保留3位小数）．若要从身高在，，三组的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为______． 【答案】 0.030 3 【分析】由频率分布直方图面积可得，由三组之比为可求解第二空. 【详解】由， 解得， 的频率为，的频率为，的频率为， 三组之比为， 所以用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为， 故答案为：，3 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·单元测试）某学校高一（1）、（2）班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下表． (1)请你对下面的一段话给予简要分析． 高一（1）班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！” 平均分 众数 中位数 标准差 （1）班 79 70 87 19.8 （2）班 79 70 79 5.2 (2)请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要分析，并提出建议． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据中位数的数值特征即可求解. （2）分别从中位数、平均分及标准差的意义进行分析即可. 【详解】（1）由于（1）班49名学生数学测验成绩的中位数是87，则85分排在全班第25名之后， 从位次上看，不能说85分是上游，该成绩应该属于中游， 但是我们不能以位次来判断学习的好坏，小刚得了85分， 说明他对这段时间的学习内容掌握得较好，从掌握学习的内容上讲，也可以说属于上游． （2）（1）班成绩的中位数是87分，说明高于87分（含87分）的人数占一半以上， 而平均分为79分，标准差又很大，说明低分也很多，两极分化严重，建议加强对学习困难的学生的帮助； （2）班的中位数和平均数都是79分，标准差又小，说明学生之间差别较小， 学习很差的学生少，学习优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率． 16．（25-26高一上·陕西渭南·期末）为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小； (3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差. （注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1的性质，结合已知参数值求解； （2）利用组中点值与对应频率的乘积和，计算两个餐厅满意指数的平均数，并比较大小； （3）先确定两组数据的人数，再根据混合数据的平均数和方差公式分步计算. 【详解】（1）餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为， 频率分布直方图组距为2，故. 所有区间频率和为， 即，解得， 所以. （2）餐厅满意指数平均数； 餐厅满意指数平均数. 因为，所以餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数. （3）餐厅第三组频率为0.4，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1， 混合数据平均数， 方差 . 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）为了解一片经济林的生长情况，随机测量100株树木的底部周长，得到如下数据：（单位：cm） 135  98  102  110  99  121  110  96  100  103  125  97  117  113  110  92  102  109 104  112  109  124  87  131  97  102  123  104  104  128  105  123  111  103  105  92 114  108  104  102  129  126  97  100  115  111  106  117  104  109  111  89  110  121   80  120  121  104  108  118  129  99  90  99  121  123  107  111  91  100  99  101  116 97  102  108  111  95  107  101  102  108  117  99  118  106  119  97  126  108  123   119  98  121  101  113  102  103  104  108 (1)编制频率分布表； (2)绘制频率分布直方图、折线图； (3)估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占多少，周长不小于120cm的树木约占多少？ 【答案】(1)分布表见解析 (2)答案见解析 (3)，19% 【分析】（1）根据数据计算极差，再分为11组，列表（包含：分组、频数、频率、频率／组距）即可； （2）依据频率分布表画出频率分布直方图，并取矩形中点依次连线即可； （3）分别计算周长小于100cm、周长不小于120cm的频率即可. 【详解】（1）从数据中可以看出，这组数据的最大值为135cm，最小值为80cm，故极差为55cm，可将其分为11组，组距为5． 从第一组开始，将各组的频数和频率／组距填入表中： 分组 频数 频率 频率／组距 1 0.01 0.002 2 0.02 0.004 4 0.04 0.008 14 0.14 0.028 24 0.24 0.048 15 0.15 0.030 12 0.12 0.024 9 0.09 0.018 11 0.11 0.022 6 0.06 0.012 2 0.02 0.004 合计 100 1 0.2 （2）这组数据的频率分布直方图、折线图如下图所示． （3）从频率分布表可以看出，该样本中小于100cm的频率为，不小于120cm的频率为， 故可估计该片经济林中底部周长小于100cm的树林约占21%，周长不小于120cm的约占19%． 18．（25-26高一上·河北保定·期末）2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值； (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数； (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. 【答案】(1) (2)平均数为69.5，第80百分位数为77.5. (3). 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程，解得即可； （2）根据平均数、百分位数的定义计算可得； （3）根据根据分层抽样的方差公式计算可得. 【详解】（1）由图得，解得； （2）根据题意知， 因为，， 设第百分位数为，所以，， 解得， 故这100名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为. （3）设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为 ，，，，且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 ， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为. 19．（25-26高一上·河南南阳·月考）为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 【答案】(1)，； (2)餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1的性质，结合已知参数值求解； （2）利用组中点值与对应频率的乘积和计算两个餐厅满意指数的平均数，并比较大小； （3）先确定两组数据的人数，再根据混合数据的平均数和方差公式分步计算. 【详解】（1）B餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为. 频率分布直方图组距为2，故 所有区间频率和为，即，解得. （2）餐厅满意指数平均数. 餐厅满意指数平均数. 故. （3）B餐厅第三组频率为，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1. 混合数据平均数. 方差. 1 学科网（北京）股份有限公司 $