第05讲 排列（知识清单+8题型讲解举一反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年（沪教版选择性必修第二册）数学高二下学期重难点讲义与测试

第05讲 排列 知识清单 知识点01：排列的定义 知识点02：排列相同的条件 知识点03：排列数的定义 知识点04：排列数公式及全排列 题型讲解 （举一反三） 题型1：排列数的计算 题型2：用排列数公式证明 题型3：排列数方程和不等式 题型4：全排列问题 题型5：元素（位置）有限制的排列问题 题型6：相邻问题的排列问题 题型7：不相邻排列问题 题型8：其他排列模型 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 知识点02 排列相同的条件 两个排列相同的充要条件： (1)两个排列的元素完全相同． (2)元素的排列顺序也相同． 知识点03排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． 知识点04 排列数公式及全排列 1．排列数公式的两种形式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n. (2)A＝. 2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1. 题型1：排列数的计算 【例1-1】（25-26高二下·上海·月考）若为正整数，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为. 【变式1-1】（24-25高二下·上海闵行·期中）若m为正整数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据组合数的计算公式得解. 【详解】因为， 即9个连续正整数相乘，且最大值为， 故， 故选：D 【变式1-2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）若排列数，则________. 【答案】 【分析】根据排列数公式来求解的值. 【详解】排列数公式为， 这里 对比公式可看出. 故答案为：3. 【变式1-3】（24-25高二上·上海·假期作业）解方程：． 【答案】6 【分析】利用排列数公式计算可得答案. 【详解】因为，所以， 解得，或（舍去）. 题型2：用排列数公式证明 【例2-1】求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据排列数公式可得 【详解】． 【变式2-1】证明： ． 【答案】证明见解析 【分析】根据排列数公式和运算性质，准确化简，即可求解. 【详解】证明 ： ． 为了使上述结论在时也成立，我们规定． 由此可知，排列数公式还可以写成． 【变式2-2】证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 【变式2-3】（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】利用排列数的计算公式即可证明和化简； 【详解】（1）证明：； （2）原式． 题型3：排列数方程和不等式 【例3-1】（24-25高二上·上海浦东新·期中）若，则________. 【答案】 【分析】利用排列数公式额可得出关于的等式，即可解得正整数的值. 【详解】因为，即， 因为且，故. 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）关于的不等式的解集是__________. 【答案】/ 【分析】利用排列数的性质求解不等式即可. 【详解】由排列数的性质得，且， 当时，，不符合题意，当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 综上可得，原不等式的解集为. 故答案为： 【变式3-2】解关于正整数x的不等式． 【答案】 【分析】根据排列数的公式计算求解. 【详解】由，可得， 所以，整理得， 解得， 又因为，所以. 【变式3-3】（24-25高二上·上海·月考）（1）解不等式： （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据排列数的公式，将原不等式化简为，求解，再根据，即可求出结果； （2）由排列数的公式将左边化简整理，即可得出结果. 【详解】（1）由，得， 化简得，解之得，① 又，可得，② 由①②及得. （2） ， 因此，. 题型4：全排列问题 【例4-1】（24-25高二上·上海·期末）行知中学高二年级有10位同学在某竞赛中获奖，现排成两排拍照，每排5人，则不同的排列种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用全排列列式即得. 【详解】依题意，10位同学排成两排，每排5人拍照，相当于10个人到10个位置就坐， 所以不同排法种数是. 故选：B 【变式4-1】（24-25高二下·上海闵行·月考）从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，则不同的送法共有____种.（结果用数字作答） 【答案】 【分析】利用排列数可得结果. 【详解】从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，则不同的送法共有种. 故答案为：. 【变式4-2】对于任意正整数，定义“的双阶乘”如下：当是偶数时，；当是奇数时，；①；②；③的个位数是0；④的个位数是5.其中正确的命题的序号是__________. 【答案】①②③④ 【分析】根据的双阶乘的定义，依次分析四个命题即可. 【详解】对于①， ，故正确； 对于②， ，故正确； 对于③，，其中含有10， 故个位数字为0，故正确； 对于④，， 其个位数字与的个位数字相同，故其个位数字为5，故正确. 故答案为：①②③④. 【变式4-3】（24-25高二上·上海·假期作业）设有编号为的五个球和编号为的五个盒子，现将这五个球放入个盒子内，没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 【答案】119 【分析】没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有种，而球的编号与盒子编号全相同只有1种，减去即可求得答案． 【详解】由题意可得，没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有种， 而球的编号与盒子编号全相同只有1种， 所以没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同的投法有种. 题型5：元素（位置）有限制的排列问题 【例5-1】某校从高二年级成绩排在前5名的学生中随机选出2人分别参加市级的古诗词和数学奥林匹克竞赛，每种比赛仅派1人去参加，则一共有_________种不同的选法，(用数字回答) 【答案】20 【分析】根据题意，可用排列数求解即得. 【详解】依题意，即从5人中选出2人分别参加两项竞赛，故选法数为. 故答案为：20. 【变式5-1】学校安排甲乙丙丁4名运动员参加米接力赛，其中甲不跑第一棒，则共有______种不同的接力方式. 【答案】 【分析】甲先选择，然后乙丙丁再全排列，根据分步乘法计数原理可得结果. 【详解】甲先在第二、三、四棒中选一棒，有种选法， 乙丙丁三人选择除甲选择之外的三棒，全排列即可，有种选法， 所以一共有种接力方式， 故答案为：. 【变式5-2】A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么有多少种不同的排法？ 【答案】 【分析】先求得五人全排列的排法，结合站在的右边，利用定序排列的方法，即可求解. 【详解】由题意得， 五人站成一排，共有种不同的排法， 其中与的站法中，有种， 所以站在的右边，共有种不同的排法. 【变式5-3】在一次电影展中，某影院要在两天内播映12部参赛影片，每天只有6个时间段播放6部参赛影片，每个时间段播放1部，其中甲、乙两部电影不能在同一天放映．问：有多少种不同的排片方案？ 【答案】 【分析】首先排甲、乙两部电影中的一部，再排甲、乙两部电影的另一部，最后其余10部电影全排列，即可得到答案. 【详解】首先安排甲、乙两部电影中的一部，共有种情况， 第二步安排甲、乙两部电影的另一部，共有种情况， 第三步安排其余10部电影，共有种情况， 由分步计数原理得到共有. 题型6：相邻问题的排列问题 【例6-1】（24-25高二上·上海·月考）6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有（   ）种 A．240种 B．360种 C．480种 D．540种 【答案】A 【分析】按照相邻问题，采用捆绑法，即可求解. 【详解】因为甲和乙两人相邻，所以将两人看成一个整体，有种方法， 将这两人看成一个元素，和其他四名同学，共5个元素全排列，有种方法， 所以甲，乙两人相邻的排法共有种方法. 故选：A 【变式6-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）2名男生和2名女生站成一列，其中两名女生相邻的排法共__________种. 【答案】12 【分析】利用捆绑法结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】若两名女生相邻，我们把两名女生进行捆绑，看作一个整体， 这两名女生的排列方式共有种， 我们把这个整体与男生全排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理得两名女生相邻的排法共种. 故答案为：12 【变式6-2】（24-25高二下·上海·期中）学校组织文艺汇演，有3个舞蹈节目、2个歌唱节目和1个魔术节目，要求3个舞蹈节目必须连续表演，那么这6个节目的表演顺序共有________种． 【答案】144 【分析】利用捆绑法即可求得答案. 【详解】将3个舞蹈节目捆绑，再与其他3个节目全排列可得, 所以共有144种表演顺序， 故答案为：144. 【变式6-3】有6张连号的电影票，分给3名教师和3名学生，要求师生相间而坐．求不同分法的种数． 【答案】 【分析】根据条件，讨论“教师坐起始位置”或“学生坐起始位置”两种情况，利用排列的定义求出每种情况的对应分法，再由加法原理计算即可. 【详解】由题意得：①教师坐起始位置，学生插空，共有种， ②学生坐起始位置，教师插空，共有种， 所以电影票不同的分法共有种. 题型7：不相邻排列问题 【例7-1】（24-25高二上·上海·假期作业）某城市新建的一条道路上有12只路灯，为节约用电而不影响照明，可以熄灭其中三盏灯，但是两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，熄灯方法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】利用插空法即可求解. 【详解】对象互调，将灯看成是人进行排位，9盏亮的灯是一类人，没有顺序，三盏灭的灯是一类人，灭的灯不能相邻，先排亮的灯，再将灭的灯插入当中的8个空（除两端），也没有顺序，属于组合问题，所以是. 故选：B 【变式7-1】（25-26高二上·上海·期中）人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是_____． 【答案】 【分析】先把除甲乙之外的其他三人全排列，三人排好后，有个空位，将甲乙安排到空位中，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】根据题意，分步进行分析： ①把甲、乙之外的其他三人全排列，有种排法， ②三人排好后，有个空位，将甲乙安排到空位中，有种排法， 故甲乙不相邻的安排方法有种. 故答案为：. 【变式7-2】（24-25高二下·上海·期末）某校艺术节汇演，已知高一，高二，高三分别选送了3，2，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，则共计有__________种不同的出场顺序. 【答案】1440 【分析】不相邻问题运用插空法求解即可，即先将高二的2个节目和高三2个节目全排列，再把高一的3个节目插入高二和高三节目所成的5个空中的4个，根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】先将高二的2个节目和高三2个节目全排列，共有种方法； 再把高一的3个节目插入高二和高三节目所成的5个空中的3个，共有种方法， 根据分步乘法计数原理可知共有种不同的出场顺序. 故答案为：. 【变式7-3】（1）配制某种染色剂，需要加入种有机染料、种无机染料和种添加剂，其中有机染料的添加顺序不可以相邻．为研究所有不同的添加顺序对染色效果的影响，总共要试验多少次？ （2）某展览馆计划展出幅不同的画，其中水彩画幅、油画幅、国画幅．现排成一排陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端．问：有多少种不同的陈列方式？ 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先将种无机染料和种添加剂进行排序，然后将种有机染料插入种无机染料和种添加剂所形成的个空位中的个，结合插空法可得出试验次数； （2）将幅油画捆绑，将幅国画捆绑，形成两个大元素，将水彩画放在“中间”，则油画、国画放在两端，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】解：（1）先将种无机染料和种添加剂进行排序， 然后将种有机染料插入种无机染料和种添加剂所形成的个空位中的个， 由分步乘法计数原理可知，试验次数为； （2）将幅油画捆绑，将幅国画捆绑，形成两个大元素，将水彩画放在“中间”， 将油画、国画放在两端， 故不同的陈列方式种数为种. 题型8：其他排列模型 【例8-1】（25-26高二上·上海·期末）年月，国产AI视频生成模型“通义万相”上线“角色一致性”功能，支持在多个场景中保持主角形象不变.现有个互不相同的场景模板，需从中选出个并按顺序生成短视频，每个模板至多使用一次.则不同的生成方案共有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用排列计数原理可得结果. 【详解】因为现有个互不相同的场景模板，需从中选出个并按顺序生成短视频，每个模板至多使用一次. 则不同的生成方案种数为种. 故选：B. 【变式8-1】（24-25高二下·湖北·期中）系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倍缩法可得出前个位置的排法种数，利用排列计数原理可得出后两位的排法种数，再利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，前个位置中有两个位置安排字母，有种， 然后从中选择两个不同的数字排最后两个位置，有种， 由分步乘法计数原理可知，可能的密码种数为. 故选：C. 【变式8-2】（24-25高二下·上海·月考）在一张节目单中原有7个节目已排好顺序，现要插入3个节目，并要求不改变原有7个节目前后相对顺序，则一共有______种不同的插法． 【答案】 【分析】利用倍缩法求解即可. 【详解】由题意，不同的插法共有种. 故答案为：. 【变式8-3】将 的所有排列按如下方式排序： 首先比较从左至右第一个数的大小，较 大的排列在后； 若第一个数相同， 则比较第二个数的大小， 较大的排列在后， 依此类 推． 按这种排序方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是___________． 【答案】2,3,4,6,1,5 【分析】通过比较各个位数得出后一个排列. 【详解】根据题意，已知排列与后一个排列位置关系应当由最后两个数进行大小比较得来的，但是将后两个数比较所得排列为2,3,4,5,1,6， 根据规则，此排列应该为已知排列的前一个排列。 因此，应当从第四个数开始比较，前三个数相同，第四个数比5大，然后要保证第五个数尽量小.即2,3,4,6,1,5. 故答案为：2,3,4,6,1,5. 一、填空题 1．若，其中，则______． 【答案】3 【分析】根据排列数的计算即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得或（舍去）， 故答案为：3. 2．（24-25高二上·上海·期末）已知为正整数，且，则________． 【答案】6 【分析】由排列数的计算公式得到方程，求出答案. 【详解】，解得或（舍去）. 故答案为：6 3．（24-25高二上·上海·期末）关于正整数的方程是，则____________． 【答案】5 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】由得，， ∴，即，解得或， ∵，∴. 故答案为：5. 4．（24-25高二上·上海·期末）有7个同学要排队做操，其中甲乙丙必须相邻，则总共有________种排法． 【答案】 【分析】根据相邻问题捆绑法即可求解. 【详解】甲乙丙相邻，则共有, 故答案为： 5．（24-25高二下·上海徐汇·期中）5名篮球队员排成一排，若甲必须站在排头，有________种不同的排法. 【答案】 【分析】先安排甲在排头，再利用全排列数计算其余四人即可. 【详解】因为甲已经站在排头，所以其余4人进行全排列，有种排法， 所以甲必须站在排头，有种24不同的排法. 故答案为：24. 6．（24-25高二下·上海浦东新·期中）某班周四下午的四节课分别为政治、数学、外语和生物.则数学与外语不连排的课表排法共__________种. 【答案】12 【分析】利用不相邻问题插空法即可. 【详解】依题意，只需将数学与外语在政治与生物留下的三个空位进行插空，再考虑它们的顺序即可，故课表的排法有种. 故答案为：12. 7．（25-26高二上·上海浦东新·期末）若有5名同学排成一排，其中甲不能站排头，共有__________种不同的排法. 【答案】96 【分析】运用特殊元素优先法先安排甲同学，再考虑其他同学即可. 【详解】因甲不能站排头，则先从除排头外的其他4个位置安排甲有4种排法，再在剩下的4个位置安排其他4名同学，有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种不同的排法. 故答案为：96. 8．（25-26高二上·上海闵行·期末）将2位穿红衣服的同学和1位穿蓝衣服的同学随机排成一行，若要求2位穿红衣服的同学相邻，则有______种排法. 【答案】4 【分析】将两位红衣服同学视为一个元素，与蓝衣服的同学进行排列，再由复合元素内部的两位红衣服同学可交换位置求解即可. 【详解】将两位红衣服同学视为一个元素，与蓝衣服的同学进行排列，此时相当于排列两个元素，则其排列数为， 复合元素内部的两位红衣服同学可交换位置，则排列数为，所以共种. 故答案为：4. 9．（25-26高二上·上海·期末）用＂市＂、＂二＂、＂中＂、＂学＂、＂顶＂、＂呱＂、＂呱＂这七个字可以组成多少种不同的七字短语________.（不考虑短语的含义） 【答案】 【分析】根据含重复元素的排列公式进行求解即可. 【详解】先将七个字进行排列，有种不同的排列， 因为七个字中有两个＂呱＂相同，所以均重复计算了一次， 因此这七个字可以组成不同的七字短语共有个. 故答案为： 10．（24-25高二下·上海闵行·期中）在电影《哪吒之魔童闹海》中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人参加一场仙法比试，需要站成一排拍照留念.哪吒和敖丙要求必须相邻，且太乙真人不能站在两端，那么共有_______种不同的站法. 【答案】24 【分析】根据题意，结合哪吒和敖丙的站法，分类讨论，确定太乙真人的站法，进而得到答案. 【详解】若哪吒和敖丙站第2、3位置，则太乙真人再第4位置，余下的两人站余下的位置， 此时有种站法； 同理，若哪吒和敖丙再第3、4位置，此时有种站法； 若哪吒和敖丙站在第1、2位置，则太乙真人再第3或第4位置，余下的两人站余下的位置， 此时有种站法； 同理，若哪吒和敖丙站第4、5位置，此时也有种站法， 综上可得，共有种站法. 故答案为：24. 11．（24-25高二下·上海徐汇·期中）某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有_________种出场顺序． 【答案】 【分析】根据相邻问题捆绑，再把不相邻问题应用插空计算求解. 【详解】高三2个节目视作1个节目，与高二3个节目全排列， 再把高一的4个节目插入所成的5个空中的4个，所以共有 . 故答案为：. 12．（24-25高二上·上海奉贤·月考）若集合A，B，C，D满足A，B，C都是D的子集，且，，均只有一个元素，且，称为D的一个“有序子集列”.若D有6个元素；则有_________个“有序子集列”. 【答案】7680 【分析】根据题意，先确定满足“，，，且”的三元组，，的个数，再确定集合中除、、外的其他元素的分布情况，从而根据乘法原理算出集合的“有序子集列”的总数． 【详解】对于任一个“有序子集列”，必然存在一个三元组， 使得“，，，且”， 若中还有除了、、的其他元素，记为，则只能在之一中出现（或者根本不出现）． 另外，对于任一个三元组，都能通过令，，的形式，构建出一个“有序子集列” ，，． 集合中的三元组有个， 对于集合中除、、外的其他元素，每个都有4种可能：不属于，或属于，或属于，或属于． 再安排每个子集的其他元素，对于每个子集，除了公共元素外，还有个位置需要安排元素. 因为每个位置都有种选择（放入该子集或不放入），所以每个子集的安排方式有种. 理由：分步乘法计数原理，每个位置的选择相互独立，所以总的安排方式是各个位置选择方式的乘积. 最后计算总的“有序子集列”个数，根据分步乘法计数原理，总的“有序子集列”个数为. 计算可得：. 故答案为：7680. 二、单选题 13．（24-25高二下·上海·月考）若为正整数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数的含义可求答案. 【详解】因为表示共有9个因式的乘积， 所以， 故选：D 14．（25-26高二上·上海奉贤·期中）某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】D 【分析】先安排讲座，再安排讲座和及其余三场讲座，最后利用分步乘法计算原理即可得出答案. 【详解】由题意知讲座只能安排在第一或最后一场，安排A有种排法， 因为讲座和必须相邻，所以安排BC及其余三场讲座共有种排法， 根据分步计数原理知共有种排法. 故选：D． 15．（24-25高二上·上海·假期作业）从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．60种 【答案】C 【分析】分两类方法，3人中有甲的和3人中没有甲的.有甲的可先安排甲从事工作，有两种可能性，后安排剩下两人从事工作有种可能性；无甲的有种可能性.即可得答案. 【详解】3人中无甲，则从4人中选择3人从事3种工作，有个选派方案； 3人中有甲，安排甲从事剩下两项工作有2种可能性，从剩下4人中安排两人从事剩下两项工作，有种可能性，故有甲有个选派方案. 故不同的选派方案有48个. 故选：C 16．（24-25高二下·上海松江·月考）某手机专卖店新进，，，，，，这7款充电宝，准备将它们在货柜里摆成一排售卖，则下列说法不正确的是（    ） A．若，，必须摆在前三个位置，则不同的摆法有144种 B．若，，彼此不相邻，，，，也彼此不相邻，则不同的摆法有72种 C．若，，彼此不相邻，则不同的摆法有1440种 D．若不能摆在后两个位置，则不同的摆法有3600种 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用排列计数问题，结合不相邻问题和特殊元素（位置）逐项分析计算得解. 【详解】对A选项：满足条件的摆法有：，故A选项内容正确； 对B选项：满足条件的摆法有：，故B选项内容错误； 对C选项：满足条件的摆法有：，故C选项内容正确； 对D选项：：满足条件的摆法有：，故D选项内容正确. 故选：B 三、解答题 17．已知m、n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据排列数计算公式证明； （2）根据排列数计算公式证明. 【详解】（1）根据排列数公式，可以得到． 所以，． （2）根据排列数公式，可以得到 ． 所以，． 18．（24-25高二下·上海松江·月考）（1）已知，求n的值； （2）已知圆，圆，，若两个圆有交点，则以a为横坐标，b为纵坐标点有几个？ 【答案】（1）6；（2）12个 【分析】（1）根据排列数公式列方程求值. （2）根据两圆的位置关系，确定的取值范围，得到满足的条件，再一一把满足条件的列举出来即可. 【详解】（1）由， 所以. （2）因为， 因为两个圆有交点，所以. 所以. 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 共有12个. 19．（24-25高二下·上海普陀·期末）在某次社会实践活动中，学校高二年级有甲、乙等7名同学排成一列照相，求下列排法种数. (1)甲乙两人不相邻； (2)甲在排头并且乙不在末尾. 【答案】(1)3600 (2)600 【分析】（1）利用插空法求解即可； （2）先排甲乙，剩余5人全排列即可. 【详解】（1）先排其余人，有种情况， 再把甲乙插入人之间的个空中，共有种， 所以共有种排法； （2）首先排甲有种排法，再排乙有种排法，排其余人有种情况， 所以共有种排法. 20．（24-25高二上·上海浦东新·期中）3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法的数目. (1)学生甲不在最左边； (2)3名男生必须排在一起. 【答案】(1)4320 (2)720 【分析】（1）特殊位置用优先法，先排最左边，再排余下位置． （2）相邻问题用捆绑法，将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列 【详解】（1）先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排列有种排法， 则符合条件的排法共有种. （2）将男生看成一个整体，进行全排列，有种排法，与其他元素进行全排列，有种排法， 则符合条件的排法共有种. 21．（24-25高二上·上海·期中）班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单. (1)魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ (2)3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法? 【答案】(1)600； (2). 【分析】（1）先从3个唱歌节目和2个相声节目中选1个放在最后，再将其余5个节目全排列，根据分步乘法计数原理即可求解； （2）先将3个歌唱节目捆绑在一起，再与其余3个节目全排列，根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】（1）魔术节目不排在最后一个节目， 则先从3个唱歌节目和2个相声节目中选1个放在最后，有5种排法； 其余5个节目任意排，有种排法， 所以魔术节目不排在最后一个节目，有种排法. （2）将3个歌唱节目捆绑在一起，看成1个节目有种， 与其余3个节目一起排共种， 则3个唱歌节目要排在一起，有种排法． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 排列 知识清单 知识点01：排列的定义 知识点02：排列相同的条件 知识点03：排列数的定义 知识点04：排列数公式及全排列 题型讲解 （举一反三） 题型1：排列数的计算 题型2：用排列数公式证明 题型3：排列数方程和不等式 题型4：全排列问题 题型5：元素（位置）有限制的排列问题 题型6：相邻问题的排列问题 题型7：不相邻排列问题 题型8：其他排列模型 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 知识点02 排列相同的条件 两个排列相同的充要条件： (1)两个排列的元素完全相同． (2)元素的排列顺序也相同． 知识点03排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． 知识点04 排列数公式及全排列 1．排列数公式的两种形式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n. (2)A＝. 2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1. 题型1：排列数的计算 【例1-1】（25-26高二下·上海·月考）若为正整数，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二下·上海闵行·期中）若m为正整数，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）若排列数，则________. 【变式1-3】（24-25高二上·上海·假期作业）解方程：． 题型2：用排列数公式证明 【例2-1】求证：． 【变式2-1】证明： ． 【变式2-2】证明下列等式． (1)； (2)． 【变式2-3】（1）证明：； （2）化简：． 题型3：排列数方程和不等式 【例3-1】（24-25高二上·上海浦东新·期中）若，则________. 【变式3-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）关于的不等式的解集是__________. 【变式3-2】解关于正整数x的不等式． 【变式3-3】（24-25高二上·上海·月考）（1）解不等式： （2）证明：. 题型4：全排列问题 【例4-1】（24-25高二上·上海·期末）行知中学高二年级有10位同学在某竞赛中获奖，现排成两排拍照，每排5人，则不同的排列种数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二下·上海闵行·月考）从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，则不同的送法共有____种.（结果用数字作答） 【变式4-2】对于任意正整数，定义“的双阶乘”如下：当是偶数时，；当是奇数时，；①；②；③的个位数是0；④的个位数是5.其中正确的命题的序号是__________. 【变式4-3】（24-25高二上·上海·假期作业）设有编号为的五个球和编号为的五个盒子，现将这五个球放入个盒子内，没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 题型5：元素（位置）有限制的排列问题 【例5-1】某校从高二年级成绩排在前5名的学生中随机选出2人分别参加市级的古诗词和数学奥林匹克竞赛，每种比赛仅派1人去参加，则一共有_________种不同的选法，(用数字回答) 【变式5-1】学校安排甲乙丙丁4名运动员参加米接力赛，其中甲不跑第一棒，则共有______种不同的接力方式. 【变式5-2】A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么有多少种不同的排法？ 【变式5-3】在一次电影展中，某影院要在两天内播映12部参赛影片，每天只有6个时间段播放6部参赛影片，每个时间段播放1部，其中甲、乙两部电影不能在同一天放映．问：有多少种不同的排片方案？ 题型6：相邻问题的排列问题 【例6-1】（24-25高二上·上海·月考）6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有（   ）种 A．240种 B．360种 C．480种 D．540种 【变式6-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）2名男生和2名女生站成一列，其中两名女生相邻的排法共__________种. 【变式6-2】（24-25高二下·上海·期中）学校组织文艺汇演，有3个舞蹈节目、2个歌唱节目和1个魔术节目，要求3个舞蹈节目必须连续表演，那么这6个节目的表演顺序共有________种． 【变式6-3】有6张连号的电影票，分给3名教师和3名学生，要求师生相间而坐．求不同分法的种数． 题型7：不相邻排列问题 【例7-1】（24-25高二上·上海·假期作业）某城市新建的一条道路上有12只路灯，为节约用电而不影响照明，可以熄灭其中三盏灯，但是两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，熄灯方法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式7-1】（25-26高二上·上海·期中）人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是_____． 【变式7-2】（24-25高二下·上海·期末）某校艺术节汇演，已知高一，高二，高三分别选送了3，2，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，则共计有__________种不同的出场顺序. 【变式7-3】（1）配制某种染色剂，需要加入种有机染料、种无机染料和种添加剂，其中有机染料的添加顺序不可以相邻．为研究所有不同的添加顺序对染色效果的影响，总共要试验多少次？ （2）某展览馆计划展出幅不同的画，其中水彩画幅、油画幅、国画幅．现排成一排陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端．问：有多少种不同的陈列方式？ 题型8：其他排列模型 【例8-1】（25-26高二上·上海·期末）年月，国产AI视频生成模型“通义万相”上线“角色一致性”功能，支持在多个场景中保持主角形象不变.现有个互不相同的场景模板，需从中选出个并按顺序生成短视频，每个模板至多使用一次.则不同的生成方案共有（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二下·湖北·期中）系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二下·上海·月考）在一张节目单中原有7个节目已排好顺序，现要插入3个节目，并要求不改变原有7个节目前后相对顺序，则一共有______种不同的插法． 【变式8-3】将 的所有排列按如下方式排序： 首先比较从左至右第一个数的大小，较 大的排列在后； 若第一个数相同， 则比较第二个数的大小， 较大的排列在后， 依此类 推． 按这种排序方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是___________． 一、填空题 1．若，其中，则______． 2．（24-25高二上·上海·期末）已知为正整数，且，则________． 3．（24-25高二上·上海·期末）关于正整数的方程是，则____________． 4．（24-25高二上·上海·期末）有7个同学要排队做操，其中甲乙丙必须相邻，则总共有________种排法． 5．（24-25高二下·上海徐汇·期中）5名篮球队员排成一排，若甲必须站在排头，有________种不同的排法. 6．（24-25高二下·上海浦东新·期中）某班周四下午的四节课分别为政治、数学、外语和生物.则数学与外语不连排的课表排法共__________种. 7．（25-26高二上·上海浦东新·期末）若有5名同学排成一排，其中甲不能站排头，共有__________种不同的排法. 8．（25-26高二上·上海闵行·期末）将2位穿红衣服的同学和1位穿蓝衣服的同学随机排成一行，若要求2位穿红衣服的同学相邻，则有______种排法. 9．（25-26高二上·上海·期末）用＂市＂、＂二＂、＂中＂、＂学＂、＂顶＂、＂呱＂、＂呱＂这七个字可以组成多少种不同的七字短语________.（不考虑短语的含义） 10．（24-25高二下·上海闵行·期中）在电影《哪吒之魔童闹海》中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人参加一场仙法比试，需要站成一排拍照留念.哪吒和敖丙要求必须相邻，且太乙真人不能站在两端，那么共有_______种不同的站法. 11．（24-25高二下·上海徐汇·期中）某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有_________种出场顺序． 12．（24-25高二上·上海奉贤·月考）若集合A，B，C，D满足A，B，C都是D的子集，且，，均只有一个元素，且，称为D的一个“有序子集列”.若D有6个元素；则有_________个“有序子集列”. 二、单选题 13．（24-25高二下·上海·月考）若为正整数，且，则（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·上海奉贤·期中）某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 15．（24-25高二上·上海·假期作业）从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．60种 16．（24-25高二下·上海松江·月考）某手机专卖店新进，，，，，，这7款充电宝，准备将它们在货柜里摆成一排售卖，则下列说法不正确的是（    ） A．若，，必须摆在前三个位置，则不同的摆法有144种 B．若，，彼此不相邻，，，，也彼此不相邻，则不同的摆法有72种 C．若，，彼此不相邻，则不同的摆法有1440种 D．若不能摆在后两个位置，则不同的摆法有3600种 三、解答题 17．已知m、n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 18．（24-25高二下·上海松江·月考）（1）已知，求n的值； （2）已知圆，圆，，若两个圆有交点，则以a为横坐标，b为纵坐标点有几个？ 19．（24-25高二下·上海普陀·期末）在某次社会实践活动中，学校高二年级有甲、乙等7名同学排成一列照相，求下列排法种数. (1)甲乙两人不相邻； (2)甲在排头并且乙不在末尾. 20．（24-25高二上·上海浦东新·期中）3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法的数目. (1)学生甲不在最左边； (2)3名男生必须排在一起. 21．（24-25高二上·上海·期中）班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单. (1)魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ (2)3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法? 1 学科网（北京）股份有限公司 $