小升初应用专练：圆柱与圆锥（奥数篇）-2025-2026学年数学六年级下册人教版

小升初应用专练：圆柱与圆锥（奥数篇）-2025-2026学年数学六年级下册人教版 1．我国古代劳动人民早在2000多年前，就会计算不同形状物体的体积。《九章算术》中记载的圆柱体积计算方法是“周自相乘，以高乘之，十二而一”也就是底面周长的平方乘高，再除以12，只不过取π的近似数为3。 （1）请你利用《九章算术》的这个方法求周长12分米，高6分米的圆柱的体积。 （2）你能想办法说明这样算的道理吗？把你的方法记录下来。 2．如图，一个果汁瓶，它的瓶身呈圆柱形，容积为462毫升。当瓶子正放时，瓶内液面高为12厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。瓶内装有果汁多少毫升？ 3．一根圆柱形木块平均切成三块（如图1）表面积增加了50.24平方厘米，平均切成四块（如图2），表面积增加了192平方厘米，这根木块体积是多少立方厘米？ 4．一个长方体玻璃容器长是20厘米，宽和高都是15厘米。里面盛有12厘米深的水。 （1）与水接触的玻璃面积有多大？ （2）如果把这些水倒入一个底面直径是16厘米，高是20厘米的圆柱形玻璃容器中，水面高约多少厘米？（得数保留整数） 5．一个圆锥形沙堆，底面积为9平方米，高为2米，把它倒入一个长方体沙坑里，将底面铺均匀，此时沙坑里还空着20%，已知长方体沙坑长5米，宽3米，沙坑有多深？ 6．唐老鸭用一个圆锥形容器装满了香油，共2000毫升，米老鼠趁唐老鸭不在，在容器侧面的正中间咬了一个洞，然后开始偷油，一直偷到油面与洞口平齐为止（如图，此时油面直径是圆锥形容器底面直径的一半）。米老鼠一共偷了多少毫升的香油？（容器的厚度不计） 7．如下图，一个内直径10厘米的圆柱形量杯内有杯水。乐乐把一个直径5厘米的圆柱形铁块浸没其中，水面上升1厘米。这时，水面与杯底和杯口的高度比是。 （1）圆柱形铁块高多少？ （2）从里面量，量杯高多少？ （3）乐乐通过实验发现：继续往量杯内竖直浸没同样的圆柱形铁块，最后量杯内的水正好淹没8个这样的铁块。请你通过计算证明实验结果。 8．一个长方体木块体积是360立方厘米，长、宽、高都是整厘米数且两两互质，在这个长方体中截一个最大的圆柱体后，剩余的材料占了原材料的百分之几？（取3.14） 9．如图所示，有一块长方形铁皮，把其中的阴影部分剪下制成一个圆柱形油桶。（接口处忽略不计）    （1）圆柱形油桶的表面积是多少平方分米？ （2）圆柱形油桶的体积是多少立方分米？ 10．下图ABCD是直角梯形，以AB为轴，并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是多少立方厘米？ 11．把一块底面直径是10厘米，高8厘米的圆柱形铁块熔铸成一个底面周长是62.8厘米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 12．一只长方体的玻璃缸，长6分米，宽5分米，高4分米，水深3.8分米。如果投入一块底面直径和高都是4分米的圆柱体铁块，缸里的水溢出多少升？ 13．沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间的。如图，如果再过1分钟沙漏上部的沙子就可以全部漏到下部，那么现在已经计量了多少分钟？    14．赵飞在一个长方体的玻璃容器中装了一些水，他把一个底面半径为4厘米的圆柱形铁块完全浸入水中，发现水面上升了8厘米。他又把这个铁块垂直拉出水面5厘米，这时水面下降2厘米（如下图所示，玻璃厚度忽略不计）。这个铁块的体积是多少立方厘米？    15．一根长方体木料，被加工成了两根长都是10分米，底面半径都是1分米的圆柱形木料，已削去部分的体积相当于原来长方体木料的68.6%。原来长方体木料的体积是多少立方分米？ 16．现有一个圆锥形铁块和两个完全相同的圆柱形铁块，圆柱形铁块的底面半径是3厘米，圆锥形铁块底面半径比圆柱形铁块底面半径少。（π取3.14） （1）求圆锥形铁块底面半径是多少厘米？ （2）每个圆柱形铁块的高为15厘米，圆锥形铁块的体积为47.1立方厘米，求圆锥形铁块的高是圆柱形铁块的高的几分之几？ （3）在（2）的条件下，一个底面积是27π平方厘米的圆柱形容器里盛有高为厘米的水，将π立方厘米的冰块化成水后全部倒入容器中，冰融化成水后体积减少。两个圆柱形铁块垂直放入容器中，都是铁块的部分浸入水中，其中一个圆柱形铁块的底部与容器的底部完全接触，另一个圆柱形铁块的底部没有与容器的底部接触，圆锥形铁块完全浸入水中，若一个圆柱形铁块露出水面的高与另一个圆柱形铁块露出水面的高的比是3∶7，求此时容器中水面的高是多少厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 《小升初应用专练：圆柱与圆锥（奥数篇）-2025-2026学年数学六年级下册人教版》参考答案 1．（1）72立方分米 （2）见详解 【分析】（1）根据《九章算术》介绍的方法，圆柱体积＝底面周长的平方×高÷12，列式解答即可； （2）圆柱底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，根据圆柱体积＝底面积×高，假设底面周长是C，高是h，用底面周长表示出半径，写出现在圆柱的体积公式，π取3，代入公式，将公式化简即可。 【详解】（1）12×12×6÷12＝72（立方分米） 答：这个圆柱的体积是72立方分米。 （2）假设底面周长是C，高是h。 V圆柱＝π×（C÷π÷2）2×h ＝π×（）2×h ＝π××h ＝×h 因为π的近似数为3，将π＝3代入可得V圆柱＝×h＝×h，即“周自相乘，以高乘之，十二而一”。 【点睛】此题解题关键是用已知的周长表示出半径，然后代入化简。 2．396毫升 【分析】要求瓶内果汁的体积，则需先求出瓶子的底面积。圆柱形瓶子的体积即是它的容积，圆柱的体积＝底面积×高；由于果汁在瓶内的体积不变，瓶内空余部分的体积也是不变的，所以假设瓶身全部呈圆柱形的话，放正时液面的高度＋放倒后空余部分的高度＝圆柱的高，即（12＋2）厘米；结合容积为462毫升，用容积除以圆柱的高，就能得到瓶子的底面积，从而根据圆柱的体积＝底面积×高，求出果汁的体积。 【详解】462毫升＝462立方厘米 圆柱的底面积：462÷（12＋2） ＝462÷14 ＝33（平方厘米） 瓶内果汁的体积：33×12＝396（立方厘米） 396立方厘米＝396毫升 答：瓶内装有果汁396毫升。 【点睛】解决此题的关键是理解前后两次瓶子的放置，后面空余部分就是前面的空余部分。 3．150.72立方厘米 【分析】如图1，把一根圆柱形木块平均切成三块，那么增加的表面积是4个底面积，用增加的表面积除以4，即可求出圆柱的底面积；然后根据S底＝πr2，得出圆柱的底面半径； 如图2，把一根圆柱形木块平均切成四块，那么增加的表面积是8个以底面半径和高分别为长、宽的长方形，用增加的表面积除以8，求出一个切面的面积，再除以底面半径，即可求出圆柱的高； 最后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出这根木块的体积。 【详解】圆柱的底面积：50.24÷4＝12.56（平方厘米） 底面半径的平方：12.56÷3.14＝4（平方厘米） 因为4＝2×2，所以圆柱的底面半径是2厘米。 圆柱的高： 192÷8÷2 ＝24÷2 ＝12（厘米） 圆柱的体积： 12.56×12＝150.72（立方厘米） 答：这根木块体积是150.72立方厘米。 【点睛】掌握圆柱切割的特点，明确不同的切割方式，增加的表面积不相同，找出表面积增加的是哪些面的面积，以此为突破口，利用公式列式计算。 4．（1）1140平方厘米 （2）18厘米 【分析】（1）根据题意可知，与水接触的玻璃面积相当于一个无盖的长为20厘米、宽为15厘米、高为12厘米的长方体5个面的面积之和；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算即可。 （2）把长方体容器里的水倒入圆柱形玻璃容器中，那么水的体积不变；先根据长方体的体积公式V＝abh，求出水的体积；再根据圆柱的高h＝V÷S，其中S＝πr2，代入数据计算求出圆柱形容器中水面的高度。 【详解】（1）20×15＋20×12×2＋15×12×2 ＝300＋480＋360 ＝1140（平方厘米） 答：与水接触的玻璃面积有1140平方厘米。 （2）水的体积： 20×15×12 ＝300×12 ＝3600（立方厘米） 圆柱的底面积： 3.14×（16÷2）2 ＝3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 水面高度： 3600÷200.96≈18（厘米） 答：水面高约18厘米。 【点睛】（1）观察图形得出与水接触的面是长方体的哪些面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。 （2）本题考查长方体、圆柱体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键。 5．0.5米 【分析】已知圆锥形沙堆的底面积和高，根据圆锥的体积公式V＝Sh，求出沙堆的体积； 然后把这些沙子倒入一个长方体沙坑里，沙子的体积不变；此时沙坑里还空着20%，把长方体沙坑的容积看作单位“1”，沙子的体积占长方体沙坑容积的（1－20%），单位“1”未知，用沙子的体积除以（1－20%），求出长方体沙坑的容积； 已知长方体沙坑长和宽，根据长方体体积（容积）公式V＝abh可知，长方体的高h＝V÷a÷b，代入数据计算求出沙坑的深度。 【详解】圆锥形沙堆的体积： ×9×2＝6（立方米） 长方体沙坑的容积： 6÷（1－20%） ＝6÷0.8 ＝7.5（立方米） 沙坑的深度： 7.5÷5÷3 ＝1.5÷3 ＝0.5（米） 答：沙坑有0.5米深。 【点睛】本题考查百分数除法的应用，圆锥的体积、长方体的体积（容积）公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。 6．1750毫升 【分析】将圆锥形容器的容积，即原来香油的体积看作单位“1”，假设大圆锥的底面半径为2r，则小圆锥的底面半径为r，同样设大圆锥的高为2h，则小圆锥的高为h，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，分别用字母表示出圆锥形容器的容积和剩余香油的体积，剩余香油的体积÷圆锥形容器的容积＝剩余香油体积是原来香油体积的几分之几，原来香油的体积×剩余香油体积的对应分率＝剩余香油的体积，原来香油的体积－剩余香油的体积＝米老鼠偷的香油体积，据此列式解答。 【详解】假设大圆锥的底面半径为2r，则小圆锥的底面半径为r，大圆锥的高为2h，则小圆锥的高为h。 大圆锥体积： 小圆锥体积： 2000－2000× ＝2000－250 ＝1750（毫升） 答：米老鼠一共偷了1750毫升的香油。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆锥体积公式，确定剩余香油和原来香油的体积之间的关系。 7．（1）4厘米 （2）20厘米 （3）计算证明见详解 【分析】（1）水面上升的体积就是圆柱形铁块的体积，圆柱形量杯的底面积×水面上升的高度＝圆柱形铁块的体积，根据圆柱体积÷底面积＝高，求出圆柱形铁块的高。 （2）将量杯高看作单位“1”，圆柱形量杯内有杯水，则水面高度是量杯高的，水面上升1厘米后，水面与杯底和杯口的高度比是，由此可知，水面上升1厘米后，水面高度是量杯高的，水面上升高度是量杯高的（－），水面上升高度÷对应分率＝量杯高，据此列式解答。 （3）根据圆柱体积＝底面积×高，求出量杯容积，将量杯容积看作单位“1”，量杯内有杯水，量杯容积×水的对应分率＝水的体积，圆柱形量杯内直径10厘米，圆柱形铁块直径5厘米，说明量杯内一层可以放（10÷5）个圆柱形铁块。量杯底面积－铁块底面积＝放入铁块后水的底面积，水的体积÷水的底面积＝放入铁块后水的高度，水的高度÷铁块高＝能放的层数，能放得层数×每层块数＝放的总块数，求出的总块数是8即可。 【详解】（1） （立方厘米） （厘米） （厘米） 答：圆柱形铁块高4厘米。 （2） （厘米） 答：从里面量，量杯高20厘米。 （3） （立方厘米） （个） 每层可以放两个 （平方厘米） （厘米） （层） （个） 答：通过以上计算，可以证明最后量杯内的水正好淹没8个这样的铁块。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱体积公式，理解比和分数除法的意义。 8．30% 【分析】根据长、宽、高都是整厘米数且两两互质，把360拆成3个两两互质的数的乘积，据此找出长宽高，再根据圆柱的特征，找出最大的圆柱体的底面直径和高，再求出在这个长方体中截一个最大的圆柱体后剩余的材料是多少，再除以长方体的体积，据此求出剩余的材料占了原材料的百分之几即可。 【详解】 则最大圆柱体的底面直径是8厘米，高是5厘米 圆柱体积： （立方厘米） 剩余材料体积：（立方厘米） 答：剩余的材料占了原材料的30%。 【点睛】本题考查长方体、圆柱的体积，解答本题的关键是掌握长方体、圆柱的体积计算公式。 9．（1）131.88平方分米 （2）113.04立方分米 【分析】（1）从图中可知，剪下的长方形做圆柱形油桶的侧面，剪下的两个圆分别做油桶的两个底面。那么长方形铁皮的长就是圆柱形油桶的底面周长，根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π，由此求出油桶的底面直径；长方形铁皮的宽减去油桶的底面直径，即是圆柱形油桶的高； 然后根据圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝Ch，S底＝πr2，代入数据计算，求出圆柱形油桶的表面积。 （2）根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱形油桶的体积。 【详解】（1）圆柱的底面直径：18.84÷3.14＝6（分米） 圆柱的高：10－6＝4（分米） 圆柱的表面积： 18.84×4＋3.14×（6÷2）2×2 ＝75.36＋3.14×9×2 ＝75.36＋56.52 ＝131.88（平方分米） 答：圆柱形油桶的表面积是131.88平方分米。 （2）3.14×（6÷2）2×4 ＝3.14×9×4 ＝113.04（立方分米） 答：圆柱形油桶的体积是113.04立方分米。 【点睛】本题考查圆柱表面积、体积公式的灵活运用，结合图形，找出长方形的长、宽与圆柱的底面周长和高的关系是解题的关键。 10．301.44立方厘米 【分析】观察图形可知，旋转体的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积；其中圆柱的底面半径是4厘米，高是4厘米；圆锥的底面半径是4厘米，高是（10－4）厘米； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，分别求出圆柱的体积、圆锥的体积，再相加即可。 【详解】圆柱的体积： 3.14×42×4 ＝3.14×16×4 ＝200.96（立方厘米） 圆锥的体积： ×3.14×42×（10－4） ＝×3.14×16×6 ＝100.48（立方厘米） 旋转体的体积： 200.96＋100.48＝301.44（立方厘米） 答：它的体积是301.44立方厘米。 【点睛】本题考查圆柱和圆锥体积公式的运用，结合图形，分析出这个旋转体是是由哪些立体图形相加或相减得到，再根据图形的体积公式列式计算。 11．6厘米 【分析】根据题意，把一个圆柱形铁块熔铸成一个圆锥形铁块，形状变了，铁块的体积不变。 先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出铁块的体积； 已知圆锥形铁块的底面周长，根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；然后根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积； 根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算，即可求出这个圆锥形铁块的高。 【详解】铁块的体积： 3.14×（10÷2）2×8 ＝3.14×25×8 ＝628（立方厘米） 圆锥的底面半径： 62.8÷3.14÷2＝10（厘米） 圆锥的底面积： 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 圆锥的高： 628×3÷314 ＝1884÷314 ＝6（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高是6厘米。 【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。 12．44.24升 【分析】已知长方体的玻璃缸没有装满水，无水部分是一个长6分米，宽5分米，高（4－3.8）分米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出玻璃缸无水部分的体积； 已知投入的圆柱体铁块的底面直径和高，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这个铁块的体积； 把铁块投入未装满水的玻璃缸中，玻璃缸先涨满水，再溢出，所以溢出水的体积＝铁块的体积－玻璃缸无水部分的体积，然后根据进率：1立方分米＝1升，换算单位即可。 【详解】玻璃缸无水部分的体积： 6×5×（4－3.8） ＝6×5×0.2 ＝6（立方分米） 铁块的体积： 3.14×（4÷2）2×4 ＝3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝50.24（立方分米） 水溢出：50.24－6＝44.24（立方分米） 44.24立方分米＝44.24升 答：缸里的水溢出44.24升。 【点睛】本题考查长方体、圆柱体积公式的运用以及体积、容积单位之间的换算。明确溢出的水是由哪些体积相减得到，然后根据体积公式列式计算。 13．56分钟 【分析】根据题意，如果再过1分钟沙漏上部的沙子就可以全部漏到下部，这部分的沙子是一个底面直径为2厘米，高为3厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，即可求出1分钟漏沙子的体积； 已经漏到下面的沙子的体积＝底面直径为8厘米、高为12厘米的圆锥的体积－底面直径为4cm、高为（12－6）厘米的圆锥的体积，根据圆锥的体积公式求解； 然后用已经漏到下面的沙子的体积除以每分钟漏沙子的体积，即可求出已经计量的时间。 【详解】×3.14×（2÷2）2×3 ＝×3.14×1×3 ＝3.14（立方厘米）       ×3.14×（8÷2）2×12 ＝×3.14×16×12 ＝200.96（立方厘米） ×3.14×（4÷2）2×（12－6） ＝×3.14×4×6 ＝25.12（立方厘米） 200.96—25.12＝175.84（立方厘米） 175.84÷3.14＝56（分钟） 答：现在已经计量了56分钟。 【点睛】本题考查圆锥体积公式的运用，分析出1分钟漏沙子的体积和已经漏到下面的沙子的体积是解题的关键。 14．1004.8立方厘米 【分析】根据题意，把底面半径为4厘米的圆柱形铁块垂直拉出水面5厘米，即铁块露出水面5厘米，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出铁块露出水面部分的体积； 已知铁块垂直拉出水面5厘米，水面下降2厘米，那么铁块露出水面部分的体积相当于长方体容器内2厘米水深的体积； 而铁块完全浸入水中，水面上升了8厘米，那么整个铁块的体积相当于长方体容器内8厘米水深的体积； 用铁块露出水面部分的体积除以2，求出长方体容器内1厘米水深的体积，再乘8，即是长方体容器内8厘米水深的体积，也就是整个铁块的体积。 【详解】铁块露出水面部分的体积： 3.14×42×5 ＝3.14×16×5 ＝251.2（立方厘米） 铁块的体积： 251.2÷2×8 ＝125.6×8 ＝1004.8（立方厘米） 答：这个铁块的体积是1004.8立方厘米。 【点睛】本题考查圆柱体积公式的运用，关键是把铁块露出水面的体积转化成长方体容器内水下降部分的体积，把整个铁块的体积转移到长方体容器内水上升部分的体积，进而求解。 15．200立方分米 【分析】先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出一根圆柱形木料的体积，再乘2，即是两根圆柱形木料的体积； 把原来长方体木料的体积看作单位“1”，已知削去部分的体积相当于原来长方体木料的68.6%，那么两根圆柱形木料的体积占原来长方体木料体积的（1－68.6%），根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算，即可求出原来长方体木料的体积。 【详解】两根圆柱形木料的体积： 3.14×12×10×2 ＝3.14×20 ＝62.8（立方分米） 原来长方体木料的体积： 62.8÷（1－68.6%） ＝62.8÷0.314 ＝200（立方分米） 答：原来长方体木料的体积是200立方分米。 【点睛】本题考查圆柱体积公式的运用以及百分数除法的应用，关键是找出单位“1”，单位“1”未知，根据百分数除法的意义解答。 16．（1）2厘米；（2）；（3）12厘米 【分析】（1）根据圆锥形铁块底面半径比圆柱形铁块底面半径少列式计算即可； （2）根据圆锥形铁块的体积公式求出圆锥的高，然后用圆锥形铁块的高除以圆柱形铁块的高即可； （3）先求出容器中水的总体积，再设两个圆柱露在水面之上的高度分别为3x厘米和7x厘米，根据题意列出方程3.14×3×3×（15－3x＋15－7x）＋47.1＋405.06＝27×3.14×（15－3x），解方程即可。 【详解】（1）3－3× ＝3－1 ＝2（厘米） 答：圆锥形铁块底面半径是2厘米。 （2） ＝141.3÷（3.14×4） ＝141.3÷12.56 ＝11.25（厘米） 答：圆锥形铁块的高是圆柱形铁块的高的。 （3）圆柱形容器原有水：（立方厘米） 冰化成水的体积为： ＝× ＝57π（立方厘米） 混合后圆柱形容器中水的总体积： 解：设两个圆柱露在水面之上的高度分别为3x厘米和7x厘米 3.14×3×3×（15－3x＋15－7x）＋47.1＋405.06＝27×3.14×（15－3x） 解得 所以 ＝15－3×1 ＝15－3 ＝12（厘米） 答：此时容器中水面的高是12厘米。 【点睛】本题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，解题的关键是熟记公式。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $