小升初应用专练：长方体和正方体（奥数篇）-2025-2026学年数学六年级下册人教版

小升初应用专练：长方体和正方体（奥数篇）-2025-2026学年数学六年级下册人教版 1．从一个长方体中锯掉一个正方体后，成了下图所示的形状。求现在这个物体的表面积和体积。（单位：厘米） 2．下图是由棱长1分米的正方体拼摆而成的，这个拼摆而成的几何体的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？至少要再摆上多少个这样的正方体就可以拼摆成一个棱长为4分米的大正方体？ 3．小丁有一块长方体橡皮泥，长8厘米，横截面是一个边长为0.6厘米的正方形，如果要捏一个棱长为1.2厘米的小正方体，需要把这个长方体橡皮泥削去多少厘米？ 4．在一个长15分米，宽12分米，高5分米的水池中注入一半的水，然后把两条长6分米，宽3分米，高7分米的石柱立着放入池中，现在水深是多少？ 5．有一个长、宽、高分别为18厘米、12厘米、10厘米的长方体容器，里面水深9厘米。将一个底面边长是6厘米、高7厘米的长方体铁块（底面是正方形）放入水中，溢出水的体积是多少毫升？ 6．有一块长方形铁皮（如图），长60分米，宽50分米。在铁皮的四个角分别剪去一个边长是5分米的正方形，然后焊成一个长方体容器。 （1）做这个无盖的长方体容器用了多少平方分米的铁皮？ （2）这个长方体容器的容积是多少升？ 7．一个长方体如下图所示，如果高增加3厘米，就变成了正方体，且表面积比原来增加120平方厘米，那么原来长方体的体积是多少？    8．如图，甲是空的长方体容器，乙长方体容器中水深24厘米，要将长方体容器乙的水倒一部分给长方体容器甲中，使两个长方体容器中水的高度相同，这时水深多少厘米？ 9．一块正方体木料，棱长是6厘米，在6个面的中央各挖走一个棱长是2厘米的正方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？ 10．某款长方体礼盒，经测量发现：它的长、宽、高都是质数，且前面和上面的面积之和是209平方厘米，你能求出这个礼盒的体积是多少立方厘米吗？ 11．有一个长40厘米、宽30厘米、高20厘米的长方体容器，容器中的水深10厘米。在容器中放入一个底面积为200平方厘米、高15厘米的长方体铁块，求水面上升的高度。 12．如图（1）所示，长方体容器的底面是边长为50厘米的正方形，容器内竖直放着一根长方体铁块，这个长方体铁块的底面是边长20厘米的正方形，高80厘米，水面高30厘米。如图（2）所示，把这个铁块提起使得铁块底距离容器底21厘米，此时露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是多少厘米？ 13．一个长方体纸箱，它的上面和下面都是由两个完全一样的长方形纸板拼成的，如图1。 图1 （1）沿粘合处把纸箱拆开后，除了粘合处，其余部分恰好形成一个长方形，这个长方形比纸箱的表面多出A、B、C、D四个相同的面，如图2，请把相关数据填写在图2的括号里。     图2 （2）算上粘合处，制作这个纸箱需要多少平方厘米的纸板？ 14．一张长方形硬纸板的面积是6平方分米，周长是10分米，水平摆放后向上平移，形成的长方体的表面积是36平方分米。这个长方体的体积是多少？ 15．一个长方体，左右两个面是边长为3分米的正方形，按下图所示切成4块后，表面积增加了138平方分米，你能求出原长方体的体积吗？ 16．如图，有一个长方体容器，高24厘米，其中在一个侧面距离上表面4厘米处有一个边长是3厘米的正方形开口。冯叔叔往容器里倒水，直到水面不再上升，然后将容器倒过来摆放，水会减少780毫升。这个容器里最初被倒入多少毫升的水？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《小升初应用专练：长方体和正方体（奥数篇）-2025-2026学年数学六年级下册人教版》参考答案 1．352平方厘米；320立方厘米 【分析】观察图形可知，在长方体木块上锯掉一个正方体，减少了正方体的3个面，同时又露出了正方体的3个面，所以剩下部分的表面积和原来长方体的表面积一样大，它的表面积没有发生变化，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解； 在长方体木块上锯掉一个正方体，那么体积就减少这个正方体的体积，所以现在这个物体的体积＝长方体的体积－锯掉的正方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。 【详解】表面积： （12×4＋12×8＋4×8）×2 ＝（48＋96＋32）×2 ＝176×2 ＝352（平方厘米） 体积： 12×4×8－4×4×4 ＝384－64 ＝320（立方厘米） 答：现在这个物体的表面积是352平方厘米，体积是320立方厘米。 【点睛】本题考查正方体、长方体表面积、体积公式的运用，在计算有缺口的立体图形的表面积时，要注意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了几个面，与原来的面相比较，是否一样，还是多或少了，进而得出结论。 2．54平方分米；18立方分米；46个 【分析】（1）边长1分米的正方形面积是1平方分米，相对的面小正方形的个数相等，观察正面、上面和右面小正方形的个数，将正面、上面和右面小正方形的个数相加并乘2，是这个几何体表面小正方形总个数，即表面积； （2）棱长1分米的正方体体积是1立方分米，共有4层，确定每层小正方体个数并相加，是小正方体总个数，即体积； （3）根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出棱长4分米大正方体中小正方体的个数，减去现有小正方体的个数即可。 【详解】（10＋7＋10）×2×（1×1） ＝27×2×1 ＝54（平方分米） （1＋2＋5＋10）×（1×1×1） ＝18×1 ＝18（立方分米） 4×4×4－18 ＝64－18 ＝46（个） 答：这个拼摆而成的几何体的表而积是54平方分米，体积是18立方分米，至少要再摆上46个这样的正方体就可以拼摆成一个棱长为4分米的大正方体。 【点睛】关键是掌握并灵活运用正方体体积公式，具有一定的空间想象能力。 3．3.2厘米 【分析】根据题意，要捏一个棱长为1.2厘米的小正方体，根据正方体的体积公式V＝a3，即可求出小正方体的体积，也就是要捏成小正方体所需橡皮泥的体积；而这个正方体是原来长方体橡皮泥截下一段后捏成的，所以正方体的体积等于截取一段长度后的长方体的体积； 又已知长方体橡皮泥的横截面是一个边长为0.6厘米的正方形，根据正方形的面积公式S＝a2求出横截面的面积，再根据h＝V÷S求出长方体橡皮泥的长度，再用原来的长度减去这个长度，即是要削去的长度。 【详解】小正方体的体积： 1.2×1.2×1.2 ＝1.44×1.2 ＝1.728（立方厘米） 长方体橡皮泥所需的长度： 1.728÷（0.6×0.6） ＝1.728÷0.36 ＝4.8（厘米） 应削去：8－4.8＝3.2（厘米） 答：需要把这个长方体橡皮泥削去3.2厘米。 【点睛】本题考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，明确正方体的体积和截取一段长度后长方体的体积相等是解题的关键。 4．3.125分米 【分析】根据题意可知，水池中水的体积不变，先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水池中水的体积； 然后把两条石柱立着放入池中，那么水池中水的底面积＝水池的底面积－两条石柱的底面积，再根据长方体的高＝体积÷底面积，代入数据计算，即可求出现在水的深度。 【详解】15×12×（5÷2） ＝15×12×2.5 ＝450（立方分米） 450÷（15×12－6×3×2） ＝450÷（180－36） ＝450÷144 ＝3.125（分米） 答：现在水深3.125分米。 【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变，明确放入两条石柱后，水池中水的底面积发生了变化，水的深度也随之发生了变化。 5．36毫升 【分析】已知放入水中的长方体铁块的底面是正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出长方体铁块的底面积，再根据长方体的体积＝底面积×高，求出这个铁块的体积； 已知长方体容器没有装满水，剩余部分是一个长18厘米，宽12厘米，高（10－9）厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出容器剩余部分的体积； 把铁块放入未装满水的容器中，容器先涨满水，再溢出，所以溢出水的体积＝铁块的体积－容器剩余部分的体积，再根据进率：1立方厘米＝1毫升，换算单位即可。 【详解】铁块的体积： 6×6×7 ＝36×7 ＝252（立方厘米） 水上升部分的体积： 18×12×（10－9） ＝18×12×1 ＝216（立方厘米） 溢出水的体积：252－216＝36（立方厘米） 36立方厘米＝36毫升 答：溢出水的体积是36毫升。 【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活运用以及体积、容积单位之间的换算。明确溢出的水是由哪些体积相减得到，然后根据体积公式列式计算。 6．（1）2900平方分米 （2）10000升 【分析】（1）观察图形可知，做这个无盖的长方体容器所需铁皮的面积＝长方形的面积－4个正方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算求解； （2）从图中可知，长方体的长是（60－5×2）分米，宽是（50－5×2）分米，高是5分米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，以及进率“1立方分米＝1升”求解。 【详解】（1）60×50－5×5×4 ＝3000－100 ＝2900（平方分米） 答：做这个无盖的长方体容器用了2900平方分米的铁皮。 （2）（60－5×2）×（50－5×2）×5 ＝（60－10）×（50－10）×5 ＝50×40×5 ＝10000（立方分米） 10000立方分米＝10000升 答：这个长方体容器的容积是10000升。 【点睛】本题考查长方体的表面积、体积公式的灵活运用，在求长方体的容积时，找出长方体的长、宽、高是解题的关键。 7．700立方厘米 【分析】增加的是4个小长方形的面积和。因为高增加3厘米后变成了正方体，所以原长方体的长和宽相等，得出增加的4个面的面积相等。表面积增加了120平方厘米，用120÷4先求出增加的1个面的面积；再用增加的1个面的面积÷3求出小长方形的长、宽，即求长（或宽）列式为120÷4÷3，再根据原来的高比长少3厘米求出原来的高，最后运用长方体的体积计算公式求出原长方体的体积。 【详解】长（或宽）：120÷4÷3 ＝30÷3 ＝10（厘米） 高：10－3＝7（厘米） 体积：10×10×7 ＝100×7 ＝700（立方厘米） 答：原来长方体的体积是700立方厘米。 【点睛】一个长方体高增加一段，表面积增加的部分是增加的那部分前、后、左、右4个侧面的面积和。 8．8厘米 【分析】已知乙长方体容器中水深24厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出乙容器中水的体积；要将长方体容器乙的水倒一部分给甲，使两个长方体容器中水的高度相同，可以想成将两个容器拼在一起，则底面积是（40×30＋30×20）平方厘米，根据长方体高＝体积÷底面积，即可求出这时两个容器中水的深度。 【详解】30×20×24 ＝600×24 ＝14400（立方厘米） 14400÷（40×30＋30×20） ＝14400÷（1200＋600） ＝14400÷1800 ＝8（厘米） 答：水深8厘米。 【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活运用，也可以列方程求解，用甲容器中水的体积＋乙容器中水的体积＝原来乙容器中水的体积，据此列出方程。 9．312平方厘米；168立方厘米 【分析】观察图形可知，在正方体木料的6个面中央各挖走一个棱长2厘米的正方体洞孔，则每个面都减少了1个（2×2）的面，同时又露出了5个（2×2）的面，所以每个面比原来增加了4个（2×2）的面，那么表面积比原来增加了6个（2×2×4）的面积；先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出棱长为6厘米的正方体木料的表面积，再加上6个（2×2×4）的面积，即是此时立体图形的表面积。 此时立体图形的体积＝正方体木料的体积－6个小正方体洞孔的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。 【详解】表面积： 6×6×6＋2×2×4×6 ＝216＋96 ＝312（平方厘米） 体积： 6×6×6－2×2×2×6 ＝216－48 ＝168（立方厘米） 答：这时它的表面积是312平方厘米，体积是168立方厘米。 【点睛】本题考查正方体的表面积、体积公式的运用，在求有缺口的立体图形的表面积时，要注意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了几个面，与原来的面相比较，是否一样，还是多了或少了，进而根据公式列式计算。 10．374立方厘米 【分析】前面和上面的面积之和是209平方厘米，即长×宽＋长×高＝209，且长、宽、高都是质数，据此可以求出长、宽、高，然后根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【详解】长×宽＋长×高＝209 长×（宽＋高）＝209 209＝11×19 要么宽＋高＝11，要么宽＋高＝19 11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，这样都有一个数是合数； 19＝2＋17＝3＋16＝5＋14＝7＋12＝11＋8＝13＋6，只有2和17都是质数。 所以这个长方体的长、宽、高分别11厘米，17厘米，2厘米。 11×2×17 ＝22×17 ＝374（立方厘米） 答：这个长方体的体积是374立方厘米。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握质数的意义及应用，长方体的体积公式及应用，关键是求出长方体的长、宽、高。 11．2厘米 【分析】题干中没有注明是否完全浸没，首先假设完全浸没，长方体铁块完全浸没在水中会使与之体积相同的水上升，已知上升的水（铁块）的体积和容器底面积，即可求出上升的高度。根据长方体的体积V＝Sh，求出长方体铁块的体积，再用长方体铁块的体积÷长方体容器底面积＝水面上升高度。通过判断水面上升的高度，来判断是否完全浸没，如果完全浸没，则计算结束； 如果没有完全浸没，则根据放入前后水的体积不变，但是放入长方体铁块之后，长方体容器的底面积变小了，由此用水的体积÷（长方体容器底面积－长方体铁块的底面积）得出此时水面的高度，再减去原水面高度即可得出水面上升的高度。 【详解】假设铁块完全浸没： 200×15÷（40×30） ＝3000÷1200 ＝2.5（厘米） 10＋2.5＝12.5（厘米） 12.5厘米＜15厘米 所以，说明铁块没有完全浸没。 40×30×10÷（40×30－200） ＝12000÷（1200－200） ＝12000÷1000 ＝12（厘米） 12－10＝2（厘米） 答：水面上升的高度是2厘米。 【点睛】本题中没有注明铁块是否完全浸没，因此应该先假设其完全浸没，然后通过计算结果来判断其是否完全浸没。铁块完全浸没与否，需要使用两种不同的计算方法，所以判断其是否完全浸没至关重要。 12．25厘米 【分析】铁块往上提时水面会下降，填充由于铁块提起而空出部分的体积，即下降部分水的体积等于铁块21厘米高度的体积，用这部分体积除以下降部分水的底面积（容器底面积－铁块底面积）可以得到水面下降的高度。露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长，等于提出的21厘米加上水面下降的高度。 【详解】下降水的体积：20×20×21 ＝400×21 ＝8400（立方厘米） 下降水的底面积：50×50－20×20 ＝2500－400 ＝2100（平方厘米） 下降高度：8400÷2100＝4（厘米） 露出的浸湿高度：21＋4＝25（厘米） 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是25厘米。 【点睛】本题关键是明确下降部分水的体积等于铁块21厘米高度的体积，同时还需要注意，下降部分水的底面积是容器底面积与铁块底面积的差。 13．（1）见详解（2）1268平方厘米 【分析】（1）首先，我们需要理解题目中的描述。A、B、C、D四个相同的面实际上就是纸箱的顶部和底部，在图2第一个图，仔细观察纸箱打开后，纸箱的顶部除了2个大的长方形，还有两个小的长方形，这两个小的长方形对应A、B两个图形，根据图1的数值和长方体的定义，顶和底是相同的，可以判断A的长为：10厘米，宽为：5厘米，粘合处的高度对应纸箱的高度，即为：12厘米。 （2）为了计算制作这个纸箱所需的纸板面积，根据题示，该纸箱平摊后的图形除去粘合处为一个长方形，所以，根据长方体的定义，对应的面都是相同的大小，根据长方形的面积计算公式：长×宽 ，长＝长方体的长＋A、B两个图形的宽， 宽＝长方体的宽＋A、C图形的宽，将两者的计算结果相乘，就得到长方形的面积，粘合处也为一个长方形，所以面积为12×3，将两者的得数相加即可得出纸箱需要多少平方厘米的纸板。 【详解】 （1） （2）纸箱的长为： 10＋18＋10＋18 ＝28＋10＋18 ＝38＋18 ＝56（厘米） 纸箱的宽为： 5＋12＋5 ＝17＋5 ＝22（厘米） 长方形的面积：56×22＝1232（平方厘米） 粘合处的面积：12×3＝36（平方厘米） 需要的纸板面积：1232＋36＝1268（平方厘米） 答：制作这个纸箱需要1268平方厘米的纸板。 【点睛】熟练掌握长方体摊开图形所对应的位置，观察图形摊开后变成了什么图形，根据图形计算面积。 14．14.4立方分米 【分析】这是一道关于长方体的题目，根据长方形的周长、面积公式与长方体的表面积、体积公式解答； 由长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，长＋宽＝周长÷2，据此可求出长方形长与宽的和，再结合长方形的面积＝长×宽，可判断出长方形纸板的长与宽； 由长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2可得，长方体的高＝（表面积÷2－长×宽）÷（长＋宽），据此可求出长方体的高； 然后根据长方体的体积＝长×宽×高，可求出这个长方体的体积。 【详解】10÷2＝5（分米） 3＋2＝5（分米） 3×2＝6（平方分米） 因此可知：长方形的长是3分米，宽是2分米。 长方体的高： （36÷2－3×2）÷（3＋2） ＝（18－6）÷5 ＝12÷5 ＝2.4（分米） 长方体的体积：3×2×2.4 ＝6×2.4 ＝14.4（立方分米） 答：这个长方体的体积是14.4立方分米。 【点睛】利用长方体的表面积公式求出长方体的高是解题的关键。 15．180立方分米 【分析】因为左右两个面是边长为3分米的正方形，根据正方形的面积公式S＝a2，再乘2，即可求出左右两个面的面积； 从图中可知，长方体切成4块后，表面积增加左右两个面和上下两个面的面积之和，先用增加的表面积减去左右两个面的面积，即是上下两个面的面积，再除以2，即可求出原长方体的底面积； 原长方体的高是3分米，根据长方体的体积公式V＝Sh，求出原长方体的体积。 【详解】增加的左右两个面的面积： 3×3×2＝18（平方分米） 长方体的底面积： （138－18）÷2 ＝120÷2 ＝60（平方分米） 原长方体的体积： 60×3＝180（立方分米） 答：原长方体的体积是180立方分米。 【点睛】先分析出表面积增加的是哪几个面的面积，求出原长方体的底面积是解题的关键，再根据长方体的体积公式解答。 16．1020毫升 【分析】由题意可知，水位到达正方形开口下面时水面不再上升，正放时水的高度为（24－4－3）厘米，倒放时水的高度为4厘米，则水减少的高度为（24－4－3－4）厘米，水减少的体积为780立方厘米，由“长方体的体积＝底面积×高”可知，容器的底面积＝水减少的体积÷水减少的高度，这个容器里最初被倒入水的体积＝容器的底面积×正放时水的高度，据此解答。 【详解】正放时水的高度：24－4－3 ＝20－3 ＝17（厘米） 倒放时水的高度：4厘米 水减少的高度：17－4＝13（厘米） 780毫升＝780立方厘米 容器的底面积：780÷13＝60（平方厘米） 最初水的体积：60×17＝1020（立方厘米） 1020立方厘米＝1020毫升 答：这个容器里最初被倒入1020毫升的水。 【点睛】本题主要考查长方体体积的计算，理解容器正放和倒放时水位的变化情况并根据减少水的体积求出容器的底面积是解答题目的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $