小升初应用专练：圆（奥数篇）-2025-2026学年数学六年级下册人教版

小升初应用专练：圆（奥数篇）-2025-2026学年数学六年级下册人教版 1．如图所示，圆的面积和长方形的面积相等。已知阴影部分的周长是31.4厘米（π取3.14），求圆的面积？ 2．一根绳子绕一棵大树一圈后剩余565.2厘米，再绕两圈后还剩余188.4厘米，这棵树此处的横截面积是多少平方厘米？ 3．下图中，直角三角形的周长是24厘米，三条边的长度比是3∶4∶5，求阴影部分的面积。 4．如图，三角形ABC是等腰直角三角形，以AD为弧的扇形的面积是它所在圆面积的，求阴影部分的面积？ 5．一只小狗拴在等边三角形的墙角，墙边长3米。绳长4米，这只小狗最大的活动范围是多少平方米？ 6．某商场售卖一种圆柱形的罐装可乐，每罐可乐的底面半径是4.5厘米，高20厘米，净含量是330毫升。 （1）售货员用绳子把4瓶可乐捆扎2圈（如图），至少需要绳子多少厘米？（接口处不算） （2）可乐公司为12罐可乐设计促销包装盒（如图），最少需要多少包装纸？（接口处不算，包装纸厚度忽略不算） 7．已知圆的周长是25.12厘米，四边形OABC是一个直角梯形，OA∶CB＝2∶5，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（解答题，写出主要解答步骤）。 8．红星村挖了一口井，井口的外沿周长3.14米，想给它配上一个井盖，井盖的面积是多少？如果沿着井边铺3.5米宽的石子地，每车小石子能铺12平方米，那么至少要运几车？ 9．如图是一个扇形，圆心角是90°，四边形OCDE是一个正方形，它的对角线CE长是4厘米，求阴影部分的面积。 10．已知小正方形ABCD的面积是20平方厘米，阴影部分的面积是多少？ 11．如图，等腰直角三角形的腰长10厘米，以C为圆心、为半径画弧线，组成扇形。如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？ 12．2022年北京冬奥会短道速滑比赛场地长60米，宽30米，跑道为椭圆形，它是由两条直道和两个半圆形跑道组成（如下图所示）。直道长28.85米，最内圈半圆直径为16米。第一条跑道距离最内侧0.5米，如果在第一条跑道上比赛，一圈长度为多少米？（π取3.14） 13．如图，三角形ABC是等腰直角三角形，点D是半圆周的中点，BC是半圆的直径，阴影部分的面积是多少？（单位：厘米） 14．四边形ABCD是直角梯形，上底6cm，下底9cm，高3cm，分别求出涂色部分的周长和面积。 15．如图，一个半径为2厘米的小圆片沿着一个正方形外边缘滚动一周，已知正方形边长为10厘米，那么小圆片扫过的面积是多少平方厘米？小圆片圆心滚动一周的轨迹是多少厘米？（π取3.14） 16．如图，两个圆只有一个公共点C，大圆直径AC为50厘米，小圆直径BC为30厘米。甲、乙两只蚂蚁同时从C点出发，甲蚂蚁以每秒0.6厘米的速度顺时针沿着大圆圆周爬行，乙蚂蚁以同样的速度顺时针沿着小圆圆周爬行。（本题圆周率π计算时取3） （1）乙蚂蚁第一次爬回到C点时，需要多少秒？ （2）当乙蚂蚁第一次爬回到C点时，甲蚂蚁是否已经经过A点？ （3）甲乙两蚂蚁各自沿着圆周不间断地反复爬行，它们是否会在C点相遇？如果相遇，此时甲蚂蚁至少爬了几圈？如果不能相遇，请说明理由。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《小升初应用专练：圆（奥数篇）-2025-2026学年数学六年级下册人教版》参考答案 1．50.24平方厘米 【分析】观察图形可知，长方形的宽等于圆的半径，假设圆的半径为r，则长方形的长为a，长方形的宽为r，圆的面积和长方形的面积相等，根据圆、长方形的面积公式，列式：，可求出a＝3.14r，阴影部分的周长相当于长方形的两条长加上圆周长的，已知阴影部分的周长是31.4厘米，即2×a＋2×3.14×r×＝31.4，把a＝3.14r代入到方程中，求出圆的半径，再利用圆的面积公式即可得解。 【详解】解：设圆的半径为r，则长方形的长为a，长方形的宽为r， 将代入到2×a＋2×3.14×r×＝31.4中，可得： 2×3.14×r＋2×3.14×r×＝31.4 解：6.28r＋1.57r＝31.4 7.85r＝31.4 r＝31.4÷7.85 r＝4 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 答：圆的面积是50.24平方厘米。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式、面积公式、长方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2．2826平方厘米 【分析】根据题意，用绳子绕一圈后剩余的长度减去再绕两圈后还剩余的长度，即是正好绕这棵大树两圈的绳长，除以2，求出绕大树一圈的绳长，也是大树横截面的周长；根据圆的周长公式C＝2πr可知，圆的半径r＝C÷π÷2，然后根据圆的面积公式S＝πr2，求出这棵树此处的横截面积。 【详解】圆的周长： （565.2－188.4）÷2 ＝376.8÷2 ＝188.4（厘米） 圆的半径： 188.4÷3.14÷2 ＝60÷2 ＝30（厘米） 圆的面积： 3.14×302 ＝3.14×900 ＝2826（平方厘米） 答：这棵树此处的横截面积是2826平方厘米。 【点睛】本题考查圆的周长、圆的面积公式的灵活运用，本题的关键是求出圆的半径。 3．5.9136平方厘米 【分析】根据比的应用求出直角三角形三条边的长度，利用“三角形的面积＝底×高÷2”求出这个三角形的面积，空白部分面积占整个圆面积的，空白部分的半径等于直角三角形斜边上的高，利用“高＝三角形的面积×2÷底”求出空白部分的半径，并根据“”求出空白部分的面积，阴影部分的面积＝直角三角形的面积－空白部分的面积，据此解答。 【详解】24× ＝24× ＝6（厘米） 24× ＝24× ＝8（厘米） 24× ＝24× ＝10（厘米） 6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） 24×2÷10 ＝48÷10 ＝4.8（厘米） 24－3.14×4.82× ＝24－3.14×（4.82×） ＝24－3.14×5.76 ＝24－18.0864 ＝5.9136（平方厘米） 答：阴影部分的面积是5.9136平方厘米。 【点睛】根据比的应用求出直角三角形三条边的长度，并掌握三角形和圆的面积计算公式是解答题目的关键。 4．4.56平方厘米 【分析】根据图意可知，三角形ABC的两条直角边长都是4厘米，以AD为弧的扇形的面积对应的是一个以4厘米为半径的圆的面积的，用圆的面积乘即可表示；阴影部分的面积用以AC为直径的半圆的面积加上以4厘米为半径、圆心角是45°的扇形的面积，再减去三角形ABC的面积即可。 【详解】3.14×（4÷2）2÷2＋×3.14×42－4×4÷2 ＝3.14×22÷2＋×3.14×16－8 ＝3.14×4÷2＋6.28－8 ＝6.28＋6.28－8 ＝4.56（平方厘米） 答：阴影部分的面积是4.56平方厘米。 【点睛】本题主要考查了圆与组合图形的面积，将要求的面积合理分割，转化为规则图形的面积差是本题解题的关键。 5．43.96平方米 【分析】如下图灰色阴影部分是小狗的活动范围，由三块扇形面积组成，最大块扇形的圆心角是（360°－60°），半径是绳长4米，另外两块相同的小扇形，圆心角是（180°－60°），半径是绳长减去墙边长即（4－3）米，分别求出三块扇形面积再求和即可求出小狗最大的活动范围。 【详解】3.14×4×4×＋3.14×（4－3）×（4－3）××2 ＝3.14×16×＋3.14×1××2 ＝3.14×（＋） ＝3.14×14 ＝43.96（平方米） 答：这只小狗最大的活动范围是43.96平方米。 【点睛】明确小狗的活动范围是三块扇形，根据扇形与它所在圆的面积关系及计算方法求解即可。 6．（1）128.52厘米；（2）4464平方厘米 【分析】（1）根据图形分析：捆一圈所需要的绳长是四个直径的长和4个圆周长，也就是四个直径的长加上一个圆的周长。捆2圈的长度即为一圈长度的2倍，根据圆周长公式列式解答即可。 （2）12罐可乐可以排成1排12罐，此时的长为（12×4.5×2）厘米，宽为（1×4.5×2）厘米，高为20厘米；如果排成2排，每排6罐，此时的长为（6×4.5×2）厘米，宽为（2×4.5×2）厘米，高为20厘米；如果排成3排，每排4罐，此时的长为（4×4.5×2）厘米，宽为（3×4.5×2）厘米，高为20厘米，据此根据长方体的表面积公式，求出每种情况的表面积，然后再比较即可求出最少需要多少包装纸。 【详解】（1）（2×3.14×4.5＋4.5×4×2）×2 ＝（28.26＋36）×2 ＝64.26×2 ＝128.52（厘米） 答：至少需要绳子128.52厘米。 （2）12×4.5×2＝108（厘米） 1×4.5×2＝9（厘米） （108×9＋108×20＋9×20）×2 ＝（972＋2160＋180）×2 ＝3312×2 ＝6624（平方厘米） 6×4.5×2＝54（厘米） 2×4.5×2＝18（厘米） （54×18＋54×20＋18×20）×2 ＝（972＋1080＋360）×2 ＝2412×2 ＝4824（平方厘米） 4×4.5×2＝36（厘米） 3×4.5×2＝27（厘米） （36×27＋36×20＋27×20）×2 ＝（972＋720＋540）×2 ＝2232×2 ＝4464（平方厘米） 4464＜4824＜6624 答：最少需要4464平方厘米包装纸。 【点睛】本题考查了圆周长公式和长方体表面积的灵活应用，关键是明确求捆一圈所需要的绳长，即4个直径的长度加上一个圆的周长，长方体的棱长有多少个可乐罐，就有多少个直径。 7．15.44平方厘米 【分析】先根据r＝C÷π÷2，求出圆的半径，也是梯形的上底OA和梯形的高OC的长度；已知OA∶CB＝2∶5，即OA占2份，CB占5份，用OA的长度除以2再乘5，即可求出CB的长度； 从图中可知，阴影部分的面积＝梯形的面积－圆的面积，其中梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。 【详解】圆的半径（OA、OC）： 25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 梯形的下底CB： 4÷2×5 ＝2×5 ＝10（厘米） 梯形的面积： （4＋10）×4÷2 ＝14×4÷2 ＝56÷2 ＝28（平方厘米） 圆的面积： ×3.14×42 ＝×3.14×16 ＝12.56（平方厘米） 阴影部分的面积： 28－12.56＝15.44（平方厘米） 答：阴影部分的面积是15.44平方厘米。 【点睛】本题考查圆的面积、梯形的面积公式的灵活运用，根据圆的周长公式求出圆的半径，根据比的应用，求出梯形的下底CB是解题的关键。 8．0.785平方米；5车 【分析】根据C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，求出圆的半径；再根据圆的面积公式S＝πr2，求出井盖的面积； 根据题意，石子地和井盖组成了一个圆环，用外圆的面积－井盖的面积＝石子地的面积，其中外圆的半径是（0.5＋3.5）米，根据圆的面积公式，代入数据计算求出石子地的面积；再用石子地的面积除以每车小石子能铺的面积，商用“进一法”取整数，就是至少要运的车数。 【详解】圆的半径： 3.14÷3.14÷2 ＝1÷2 ＝0.5（米） 井盖的面积是： 3.14×0.52 ＝3.14×0.25 ＝0.785（平方米） 石子地的面积： 3.14×（0.5＋3.5）2－0.785 ＝3.14×16－0.785 ＝50.24－0.785 ＝49.455（平方米） 至少要运的车数： 49.455÷12≈5（车） 答：井盖的面积是0.785平方米；至少要运5车。 【点睛】本题考查圆的周长、圆的面积、圆环的面积公式的灵活应用，明确要求的是什么，再利用相应的公式列式计算。 9．8.56平方厘米 【分析】连接正方形的另一条对角线OD，正方形的两条对角线互相垂直并且相等，利用“三角形的面积＝底×高÷2”求出空白三角形的面积，扇形的半径等于正方形对角线的长度，扇形的圆心角是90°，则扇形的面积是所在圆面积的，阴影部分的面积＝扇形的面积－空白三角形的面积，据此解答。 【详解】S三角形OCE：×4×（4÷2） ＝×4×2 ＝2×2 ＝4（平方厘米） S扇形：×3.14×42 ＝×42×3.14 ＝4×3.14 ＝12.56（平方厘米） S阴影：12.56－4＝8.56（平方厘米） 答：阴影部分的面积是8.56平方厘米。 【点睛】根据正方形的特征求出空白三角形的面积和扇形的半径是解答题目的关键。 10．8.6平方厘米 【分析】设圆的半径是r厘米，小正方形ABCD的面积是由4个底边长和高都为r的直角三角形组成，即r×r÷2×4＝20，求出圆的半径的平方；大正方形的边长是2r厘米，求出大正方形的面积，再根据阴影部分的面积＝大正方形面积－圆的面积，利用圆的面积和正方形的面积公式求解即可。 【详解】解：设圆的半径是r厘米，则大正方形的边长是2r厘米。 r×r÷2×4＝20 r2×2＝20 r2＝20÷2 r2＝10 2r×2r＝4r2＝4×10＝40（平方厘米） 40－3.14×r2 ＝40－3.14×10 ＝40－31.4 ＝8.6（平方厘米） 答：阴影部分的面积是8.6平方厘米。 【点睛】本题主要考查了组合图形的面积，解题的关键是把不规则图形转化为规则图形。 11．400平方厘米 【分析】由于甲、乙的面积相等，所以三角ABC和扇形CEF的面积相等（甲＋公共部分＝乙＋公共部分）。据此根据三角形面积＝底×高÷2，求出三角形ABC的面积，即扇形CEF的面积。∠C＝45°，占所在圆面积的，将圆的面积看作单位“1”，扇形面积÷对应分率＝扇形所在圆的面积，据此分析。 【详解】10×10÷2＝50（平方厘米） 50÷＝400（平方厘米） 答：扇形所在的圆的面积是400平方厘米。 【点睛】关键是根据甲、乙的面积相等推导出三角形和扇形面积之间的关系，再根据部分数量÷对应分率＝整体数量，求出所在圆的面积。 12．111.08米 【分析】由题意知：运动员跑一圈的路程相当于两条长为28.85m直道距离加一个直径为（16＋0.5×2）圆的一周长度，根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式求出两个弯道的长，再加上两条直道的长度即可。 【详解】3.14×（16＋0.5×2）＋28.5×2 ＝3.14×17＋57.7 ＝53.38＋57.7 ＝111.08（米） 答：如果在第一条跑道上比赛，一圈长度为111.08米。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式。 13．32.125平方厘米 【分析】先作辅助线，如图所示。即可得出：阴影部分的面积＝（直径为10厘米的半圆的面积＋边长为10厘米的正方形的面积－等腰三角形AED的面积）÷2。圆的面积＝πr2，正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2。代入数值计算。 【详解】10÷2＝5（厘米） 3.14×5×5÷2＝39.25（平方厘米） 10×10＝100（平方厘米） 10＋5＝15（厘米） 10×15÷2＝75（平方厘米） 39.25＋100－75＝64.25（平方厘米） 64.25÷2＝32.125（平方厘米） 答：阴影部分的面积是32.125平方厘米。 【点睛】此题关键是作辅助线，将图形进行有效的割补。 14．面积：3.87cm2，周长：15.42cm 【分析】观察图形可知，涂色部分的面积等于长为6cm，宽为3cm的长方形的面积减去半径为3cm圆的面积的一半；涂色部分的周长等于两个3cm加上半径是3cm圆周长的一半，据此解答即可。 【详解】如图： 6×3－3.14×32× ＝18－14.13 ＝3.87（cm2） （6－3）×2＋3.14×（3×2）× ＝6＋9.42 ＝15.42（cm） 答：涂色部分的面积为3.87cm2，周长是15.42cm。 【点睛】本题考查含阴影部分的周长和面积，熟记公式是解题的关键。 15．210.24平方厘米；52.56厘米 【分析】如图，小圆片扫过的面积有这样的4部分组成，求出一部分的面积，乘4即可；，圆心滚动一周的轨迹有这样的4段组成，求出一段长度，乘4即可。 【详解】3.14×（2×2）²÷4＋2×2×10 ＝3.14×16÷4＋40 ＝12.56＋40 ＝52.56（平方厘米） 52.56×4＝210.24（平方厘米） 3.14×2×2÷4＋10 ＝3.14＋10 ＝13.14（厘米） 13.14×4＝52.56（厘米） 答：小圆片扫过的面积是210.24平方厘米，小圆片圆心滚动一周的轨迹是52.56厘米。 【点睛】关键是看懂图示，掌握圆的周长和面积公式。 16．（1）150秒 （2）已经经过A点 （3）会，3圈 【分析】（1）根据圆的周长C＝πd，先求出小圆的周长，再除以乙蚂蚁的速度即可； （2）从C点到A点，正好是大圆周长的一半，根据圆的周长C＝πd，再除以2先求出大圆的周长一半，再除以甲蚂蚁的速度，求出甲蚂蚁用的时间，与乙蚂蚁爬行一周用的时间比较即可； （3）先求出甲蚂蚁和乙蚂蚁爬一圈所用时间的最小公倍数，再除以甲蚂蚁爬一圈用的时间即可。 【详解】（1）3×30÷0.6 ＝90÷0.6 ＝150（秒） 答：需要150秒。 （2）3×50÷2÷0.6 ＝150÷2÷0.6 ＝75÷0.6 ＝125（秒） 125＜150 答：已经经过A点。 （3）150＝2×3×5×5 250＝2×5×5×5 所以150和250的最小公倍数是2×3×5×5×5＝750 750÷250＝3（圈） 答：会在C点相遇，此时甲蚂蚁至少爬了3圈。 【点睛】此题考查了圆的周长与最小公倍数的综合应用，掌握公式，认真解答即可。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $