小升初应用专练：比例（奥数篇）-2025-2026学年数学六年级下册人教版

小升初应用专练：比例（奥数篇）-2025-2026学年数学六年级下册人教版 1．把一块长与宽的比是5∶3的长方形地按1∶2000的比例尺画在一幅设计图上，在这幅设计图上量得这块地的周长是192厘米。这块地的实际面积是多少平方米？ 2．妙妙和甜甜分别做一个相同的许愿瓶（所折纸星星的数量相同），当妙妙折了所有纸星星的时，甜甜还有没有折，当妙妙折完全部的纸星星时，甜甜还有32颗纸星星没有折，则两人分别要折多少颗纸星星？ 3．A、B两地相距2400米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，两人在途中某处相遇后，甲又继续行进18分钟到达B地，乙又继续行进50分钟到达A地，请问：甲比乙每分钟多走多少米？ 4．某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？ 5．一项工程甲乙两队合做10天完成。乙丙两队合做8天完成。现在甲乙丙三队合做1天后，余下的工程乙还要16.5天完成，乙单独做这项工程要几天完成？ 6．客车和货车分别从甲乙两地相向而行，客车3小时后到达甲乙两地中点，继续行驶，又过了一个小时，货车到达甲乙两地中点，这时货车开始提速，速度比原来提高了20%，当客车到达乙地时，货车行驶了全程的几分之几？ 7．有一些黑白混合的棋子，黑子数与白子数的比为2∶1，如果每次取出4黑子3白子，问取多少次后，白子余下1个，而黑子还有18个？ 8．甲齿轮有60齿，乙齿轮有48齿，为了使甲齿轮转动17圈带动乙齿轮转动13圈，须在甲、乙齿轮之间连接一个齿轮丙。齿轮丙是由固定在一起的大、小两个齿轮组成的复合齿轮（丙轮上大、小两个齿轮转的圈数始终相同）。丙轮上大齿轮与甲轮咬合，小齿轮与乙轮咬合。求丙轮上大、小齿轮齿数之比是多少？若甲齿轮、丙齿轮不变，要使甲齿轮转动17圈带动乙齿轮转动12圈，则乙轮有多少齿？ 9．李师傅做一个铁皮箱，下面是他的设计草图，请你先按比例尺求出实际长度，再求出铁皮箱的体积是多少立方分米？    10．两同学需托运行李。托运收费标准为10公斤以下6元/公斤，超出10公斤部分每公斤收费标准略低一些。已知甲乙两人托运费分别为109.5元、78元，甲的行李比乙重了50%。那么，超出10公斤部分每公斤收费标准比10公斤以内的低了多少元？ 11．你见过摩天轮吗？摩天轮主体是用三角钢架支撑的，其工作原理是用电动机的小齿轮带动摩天轮中心的大齿轮运动，大小齿轮的转速比是1∶5000。    （1）摩天轮支架的设计利用了三角形的（    ）性（填“稳定”或“不稳定”）。 （2）如图观光舱A到摩天轮中心的距离约为10米，小齿轮1分钟转200圈，此时大齿轮转了（    ）圈；25分钟后，观光舱A转动了多少米？ （3）现有20个亲子家庭（每个家庭至少包含1个大人和1个小孩，且大人、小孩各都最多不超过2人）到快乐海岸乘坐摩天轮，各个家庭根据自己的实际情况购买套票后共付了2600元，那么这20个亲子家庭至少有多少人乘坐摩天轮？ 12．周口海洋馆的6大类表演节目精彩纷呈，吸引了许多观众。表演开始前，小明统计出海豚剧场与企鹅园的观众人数比为2∶3，后来有4名观众从海豚剧场去了企鹅园，此时海豚剧场与企鹅园的人数比变为1∶2，求两个场馆共有多少名观众？ 13．A、B两地相距90千米，甲、乙两人都骑自行车同时从A地去B地，甲的速度每小时比乙慢3千米，乙到达B地立即返回，在距B地15千米处与甲相遇，甲每小时行多少千米？ 14．客车和货车分别从A、B两地同时出发相向而行，客车与货车的速度比是。相遇后客车速度减少20%，货车速度增加20%，两车按原方向继续前进，当客车距B地还有15千米时，货车距A地还有27千米。A、B两地相距多少千米？ 15．我会画。（图中每个小正方形的边长为1厘米） （1）用数对表示B的位置B（      ），把图①按2∶1的比放大。 （2）把图①绕B点逆时针旋转90°。 （3）在A点南偏东45°方向画一个直径4厘米的圆。 16．在比例尺是1∶3000000的地图上，量得A、B两地的距离为25.5厘米，已知甲乙两列火车同时从A、B两地相向而行，3小时相遇，甲火车每小时行的路程是乙火车的，乙火车每小时行多少千米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 《小升初应用专练：比例（奥数篇）-2025-2026学年数学六年级下册人教版》参考答案 1．864000平方米 【分析】首先根据图上的周长192厘米，长与宽的比是5∶3，求图上的长和宽，其次根据比例尺，求实际的长和宽，最后根据长方形的面积＝长×宽，据此解答即可。 【详解】步骤1：根据图上周长和长宽比，求图上的长和宽，已知设计图上长方形的周长是192厘米，且长与宽的比是5∶3。 首先，根据长方形周长公式周长＝2×（长＋宽），可求出图上“长＋宽”的和： 图上长＋图上宽＝周长÷2＝192÷2＝96（厘米）。 其次，按 5∶3 的比例分配“长＋宽”的和（总份数＝5＋3＝8份）： 1 份的长度＝96÷8＝12（厘米） 图上长＝5×12＝60（厘米） 图上宽＝3×12＝36（厘米） 步骤 2：根据比例尺，求实际的长和宽。比例尺为1∶2000，含义是“图上1厘米对应实际2000厘米”。需先将实际长度的单位从 “厘米”换算为“米”（1米＝100 厘米）： 实际长＝图上长×2000＝60×2000＝120000（厘米）＝ 1200（米） 实际宽＝图上宽×2000＝36×2000＝72000（厘米）＝ 720（米） 步骤 3：计算实际面积长方形面积公式为 面积＝长×宽，代入实际长和宽： 实际面积＝1200×720＝864000（平方米） 答案：这块地的实际面积是864000平方米。 【点睛】要计算这块长方形地的实际面积，需遵循“先求图上尺寸→再求实际尺寸→最后算实际面积” 的步骤。 2．160颗 【分析】由题意可知，把纸星星的总数量看作单位“1”，速度一定时，妙妙所折的纸星星数与甜甜所折的纸星星数成正比例，即妙妙所折的纸星星数占总数的分率与甜甜所折的纸星星数占总数的分率也成正比例，设妙妙折完时，甜甜折的纸星星占整体的，等量关系式是妙妙折了所有纸星星的∶此时甜甜所折的纸星星数占总数的分率＝1∶妙妙折完时，甜甜折的纸星星占总数的分率，据此列方程并解答，再根据已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数用除法计算，用妙妙折完时，甜甜还没折的数量除以其对应的分率即可得解。 【详解】解：设妙妙折完时，甜甜折的纸星星占总数的。 32÷（1－） ＝32÷ ＝32×5 ＝160（颗） 答：两人分别要折160颗纸星星。 【点睛】关键是要妙妙所折的纸星星数占总数的分率与甜甜所折的纸星星数占总数的分率成正比例，再设妙妙折完时，甜甜折的纸星星占总数的。据此列比例求解，最后用分数的应用题的求单位“1”的具体量的方法解答即可。 3．20米 【分析】根据题意，设甲、乙从出发到相遇花了分钟。因为甲分钟走的路程与乙花50分钟走的路程相同，甲18分钟走的路程与乙花分钟走的路程相同，根据路程相同时，速度与时间成反比，所以甲、乙的速度比是50∶和∶18，据此列出比例方程，并求出两人的相遇时间。 已知A、B两地相距2400米，甲、乙从出发到相遇用了30分钟，根据速度和＝总路程÷相遇时间，求出甲、乙的速度之和。 由前面可知甲、乙的速度比是50∶30＝5∶3，即甲、乙的速度分别占甲乙速度和的、，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出甲、乙的速度，再相减，即可求出甲比乙每分钟多走的米数。 【详解】解：设甲、乙从出发到相遇花了分钟。 50∶＝∶18 2＝50×18 2＝900 ＝30 甲、乙的速度和：2400÷30＝80（米/分） 甲、乙的速度比是50∶30＝5∶3； 甲的速度： 80× ＝80× ＝50（米/分） 乙的速度： 80× ＝80× ＝30（米/分） 甲比乙每分钟多走：50－30＝20（米） 答：甲比乙每分钟多走20米。 【点睛】先利用路程相同时，速度与时间成反比，得出甲、乙的速度比，列出比例方程，求出相遇时间；然后根据速度、时间、路程之间的关系，求出两人的速度和；再根据按比分配的解题方法，把比转化成分数，根据分数乘法的意义分别求出甲、乙的速度是解题的关键。 4．生产螺栓的工人12名，生产螺母的工人16名 【分析】可以设生产螺栓的工人有x名，生产螺母的工人有（28－x）名；则生产的螺栓有12x个，生产的螺母有18×（28－x）个；因为1个螺栓配2个螺母，即螺栓与螺母的数量比是1∶2，可以据此列一个比例式，即生产螺栓的数量∶生产螺母的数量＝1∶2，解比例即可。 【详解】解：设生产螺栓的工人有x名，生产螺母的工人有（28－x）名。 12x∶18×（28－x）＝1∶2 18×（28－x）＝12x×2 504－18x＝24x 504－18x＋18x＝24x＋18x 42x＝504 42x÷42＝504÷42 x＝12 28－12＝16（名） 答：生产螺栓的工人12名，生产螺母的16名，才能使螺栓和螺母正好配套。 【点睛】根据一个螺栓配两个螺母明确螺栓和螺母的比是1∶2，据此找出两者关系列出比例是解决本题关键。 5．20天 【分析】把这项工程看作单位“1”，甲乙两队合做10天完成，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用1÷10＝，求出甲乙的工作效率和；用1÷8＝，求出乙丙的工作效率和；设乙单独做这项工程要x天完成；用1÷x＝，求出乙的工作效率；再用甲乙工作效率和－乙的工作效率，求出甲的工作效率，即（－）；用乙丙两队的工作效率和－乙的工作效率，求出丙的工作效率，即（－）再把甲的工作效率＋乙的工作效率＋丙的工作效率，求出甲乙丙的工作效率和，即（－＋＋－），再用甲乙丙的工作效率和×1，求出甲乙丙三队1天的工作量；即（－＋＋－）×1；根据工作总量＝工作效率×工作时间；用余下的工程乙需要的天数×乙的工作效率，求出剩下的工作量，即（16.5×）；再加上甲乙丙三队1天的工作量＝工作总量，列方程：（－＋＋－）×1＋16.5×＝1，解方程，即可解答。 【详解】解：设乙单独做这项工程要x天完成。 （－＋＋－）×1＋16.5×＝1 （＋－）＋＝1 －＋＝1 ＋＝1 ＝1－ ＝ 31x＝15.5×40 31x＝620 x＝620÷31 x＝20 答：乙单独做这项工程要20天完成。 【点睛】明确工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，是解答本题的关键。 6． 【分析】由题意可知，客车3小时后到两地中点，货车小时后到两地中点，根据路程相同，时间和速度成反比，则可知客车和货车原来的速度比是，因货车到达两地中点后，速度比原来提高了20%，则可计算客车和货车后来的速度比是，当客车到达乙地时，可知客车又走了两地路程的，可根据时间相同，路程和速度成正比，利用客车和货车后来的速度比计算货车提速后走了全程的分率，再加上提速前的，即可得解。 【详解】客车和货车原来的速度比： 客车和货车后来的速度比： 答：当客车到达乙地时，货车行驶了全程的。 【点睛】此题关键根据路程相同，时间和速度成反比，求出客车和货车之前及之后的速度比，再根据时间相同，路程和速度成正比，求出货车后来走了全程的分率，再加上之前的。 7．8次 【分析】假设一共取了x次，黑子一共取出4x个，白子一共取出3x个，黑子的总数量是（4x＋18）个，白子的总数量是（3x＋1）个，已知黑子数与白子数的比为2∶1，根据比的意义和性质，可知（4x＋18）∶（3x＋1）＝2∶1，据此解出这个方程即可。 【详解】解：设取了x次。 （4x＋18）∶（3x＋1）＝2∶1 （4x＋18）×1＝（3x＋1）×2 4x＋18＝6x＋2 18＝6x＋2－4x 18＝2x＋2 2x＋2＝18 2x＝18－2 2x＝16 x＝16÷2 x＝8 答：取了8次。 【点睛】本题可用列方程解决问题，找到相应的数量关系以及掌握解比例的方法是解答本题的关键。 8．85∶52；52齿 【分析】根据题意可知，丙轮上的大齿轮齿数×丙轮转动圈数＝甲轮的齿数×甲轮转动的圈数，丙轮上的小齿轮齿数×丙轮转动圈数＝乙轮的齿数×乙轮转动的圈数，根据比的意义和基本性质，可知丙轮上的大齿轮齿数∶丙轮上的小齿轮齿数＝（甲轮的齿数×甲轮转动的圈数）∶（乙轮的齿数×乙轮转动的圈数），也就是（60×17）∶（48×13），再根据比的基本性质化简即可，也就是85∶52；已知甲齿轮、丙齿轮不变，则丙轮上的大齿轮齿数∶丙轮上的小齿轮齿数还是85∶52，设乙轮有x齿，据此列比例为（60×17）∶（12x）＝85∶52，然后解出比例即可。 【详解】（60×17）∶（48×13） ＝（60×17÷12）∶（48×13÷12） ＝85∶52 解：设要使甲齿轮转动17圈带动乙齿轮转动12圈，则乙轮有x齿。 （60×17）∶（12x）＝85∶52 （60×17÷12）∶（12x÷12）＝85∶52 （5×17）∶x＝85∶52 85∶x＝85∶52 85x＝85×52 x＝85×52÷85 x＝52 答：丙轮上大、小齿轮齿数之比是85∶52；若甲齿轮、丙齿轮不变，要使甲齿轮转动17圈带动乙齿轮转动12圈，则乙轮有52齿。 【点睛】解答本题的关键是明确齿数和圈数之间的关系，然后利用比和比例的知识进行解答。 9．877.44立方分米 【分析】已知设计草图的比例尺是1∶20，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出各个图上尺寸的实际长度。 从图中可知，铁皮箱的体积＝长方体的体积＋圆柱体积的一半；根据长方体的体积公式V＝abh，圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出铁皮箱的体积，再根据进率“1立方分米＝1000立方厘米”换算单位即可。 【详解】6÷ ＝6×20 ＝120（厘米） 4÷ ＝4×20 ＝80（厘米） 3÷ ＝3×20 ＝60（厘米） 2÷ ＝2×20 ＝40（厘米） 长方体的体积： 120×80×60 ＝9600×60 ＝576000（立方厘米） 半圆柱的体积： 3.14×（80÷2）2×120÷2 ＝3.14×1600×120÷2 ＝5024×120÷2 ＝602880÷2 ＝301440（立方厘米） 铁皮箱的体积： 576000＋301440＝877440（立方厘米） 877440立方厘米＝877.44立方分米 答：铁皮箱的体积是877.44立方分米。 【点睛】先根据图上距离、实际距离、比例尺之间的关系求出各个图上尺寸的实际长度，再结合平面图形，确定铁皮箱是由长方体和半圆柱体组成，最后根据长方体的体积公式、圆柱的体积公式解答。 10．1.5元 【分析】根据单价×数量＝总价，用10×6即可求出10公斤的总价，经过比较可知，甲、乙两人的行李都超过10公斤，设乙的行李有x公斤，甲的行李比乙重了50%，则把乙的行李看作单位“1”，甲的行李是乙的（1＋50%），则甲的行李有[（1＋50%）x]公斤，甲超过10公斤部分的总价是（109.5－60）元，乙超过10公斤部分的总价是（78－60）元；根据超过10公斤的总价÷超过10公斤部分的公斤数＝超过10公斤部分的单价（一定）；列比例为（109.5－60）∶[（1＋50%）x－10]＝（78－60）∶（x－10），然后解出比例，进而求出超过10公斤部分的单价，然后用减法求出超出10公斤部分每公斤收费标准比10公斤以内的低多少元。 【详解】10×6＝60（元） 109.5＞60 78＞60 甲、乙两人的行李都超过10公斤； 解：设乙的行李有x公斤，则甲的行李有[（1＋50%）x]公斤。 （109.5－60）∶[（1＋50%）x－10]＝（78－60）∶（x－10） （109.5－60）∶[1.5x－10]＝（78－60）∶（x－10） 49.5∶[1.5x－10]＝18∶（x－10） 49.5×（x－10）＝18 ×[1.5x－10] 49.5x－495＝27x－180 49.5x－27x＝495－180 22.5x＝315 x＝315÷22.5 x＝14 （78－60）÷（14－10） ＝18÷4 ＝4.5（元） 6－4.5＝1.5（元） 答：超出10公斤部分每公斤收费标准比10公斤以内的低了1.5元。 【点睛】本题比较复杂，需要一步步分析，然后根据正比例解决问题。 11．（1）稳定 （2）0.04；62.8米 （3）52人 【分析】（1）根据三角形具有稳定性进行填空。 （2）设大齿轮转了x圈，根据大齿轮转动圈数∶小齿轮转动圈数＝1∶5000，列出比例求出x的值，是此时大齿轮转动圈数；大齿轮转动圈数×25分钟＝25分钟转动圈数，观光舱A到摩天轮中心的距离是圆的半径，根据圆的周长＝2×圆周率×半径，求出圆的周长即可。 （3）设有x个家庭购买了套票一，则有（20－x）个家庭购买了套票二，根据套票一价格×家庭数＋套票二价格×家庭数＝总钱数，列出方程求出x的值，是购买套票一的家庭数，总家庭数－购买套票一的家庭数＝购买套票二的家庭数，套票二按3人计算，总人数最少，购买套票一家庭数×2＋购买套票二家庭数×3＝最少有多少人乘坐摩天轮。 【详解】（1）摩天轮支架的设计利用了三角形的稳定性。 （2）解：设大齿轮转了x圈。 x∶200＝1∶5000 5000x＝200 5000x÷5000＝200÷5000 x＝0.04 0.04×25＝1（圈） 2×3.14×10＝62.8（米） 小齿轮1分钟转200圈，此时大齿轮转了0.04圈；25分钟后，观光舱A转动了62.8米。 （3）解：设有x个家庭购买了套票一，则有（20－x）个家庭购买了套票二。 100x＋150×（20－x）＝2600 100x＋3000－150x＝2600 3000－50x＝2600 3000－50x＋50x ＝2600＋50x 2600＋50x＝3000 2600＋50x－2600＝3000－2600 50x＝400 50x÷50＝400÷50 x＝8 20－8＝12（家） 套票二按3人计算，总人数最少： 8×2＋12×3 ＝16＋36 ＝52（人） 答：这20个亲子家庭至少有52人乘坐摩天轮。 【点睛】关键是熟悉三角形的特性，用比例解决问题只要比例两边的比统一即可，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 12．60名 【分析】据题意,表演开始前，小明统计出海豚剧场与企鹅园的观众人数比为2∶3，此时海豚剧场观众人数是总人数的，企鹅园观众人数是总人数的，后来有4名观众从海豚剧场去了企鹅园即海豚剧场观众人数少了4人而企鹅园观众人数多了4人，设两个场馆共有名观众，则此时海豚剧场观众人数是（）,企鹅园观众人数是（），根据比例的基本性质和此时海豚剧场与企鹅园的人数比变为1∶2，列式解答即可。 【详解】解：设两个场馆共有名观众。 答：两个场馆共有60名观众。 【点睛】本题考查比例的实际应用，找出题目中人数变化和比的变化的关系是解题的关键。 13．7.5千米 【分析】根据“甲的速度每小时比乙慢3千米”，可以设甲每小时行千米，则乙每小时行（＋3）千米。 根据题意可知，相遇时甲行了（90－15）千米，乙行了（90＋15）千米；相遇时两人行驶的时间一样，根据路程÷速度＝时间，可得等量关系：＝，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设甲每小时行千米，则乙每小时行（＋3）千米。 （90＋15）＝（90－15）×（＋3） 105＝75（＋3） 105＝75＋225 105－75＝75＋225－75 30＝225 30÷30＝225÷30 ＝7.5 答：甲每小时行7.5千米。 【点睛】本题考查列比例方程解决问题，关键是明确两人相遇时行驶的时间一样，然后根据速度、时间、路程之间的关系，得出等量关系，根据等量关系列出方程。 14．405千米 【分析】由题意可知，相遇前客车与货车的速度比是，相遇后，客车速度减少20%，货车速度增加20%，则相遇后客车、货车的速度比是（5－5×20%）∶（4＋4×20%）＝5∶6，把两地间的距离看作单位“1”，当相遇时货车行驶了全程的，则客车行驶了全程的，相遇后货车还需行驶全程的，客车行驶全程的，设AB相距x千米，根据时间一定，路程和速度成正比例，据此列比例解答即可。 【详解】解：设A、B两地相距x千米。 （5－5×20%）∶（4＋4×20%） ＝（5－1）∶（4＋0.8） ＝4∶4.8 ＝（4×10）∶（4.8×10） ＝40∶48 ＝（40÷8）∶（48÷8） ＝5∶6 （x－27）∶（x－15）＝6∶5 （x－27）×5＝（x－15）×6 x－135＝x－90 x－135＋135＝x－90＋135 x＝x＋45 x－x＝x＋45－x x＝45 x×9＝45×9 x＝405 答：A、B两地相距405千米。 【点睛】本题考查应用正比例解决实际问题，明确时间一定，路程和速度成正比例是解题的关键。 15．（1）（4，7）；见详解 （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）根据用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示B点的位置； 图①三角形按2∶1放大，则原来三角形的底和高都乘2，即是放大后三角形的底和高，据此画出放大后的三角形。 （2）根据旋转的特征，把图①绕B点逆时针旋转90°，点B位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 （3）以A点为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准，在A点南偏东45°方向上确定圆心，以4÷2＝2厘米为半径，画出这个圆。 【详解】（1）用数对表示B的位置B（4，7）； 放大后三角形的底：4×2＝8（厘米） 放大后三角形的高：2×2＝4（厘米） 放大后的三角形如下图。 （2）图①绕B点逆时针旋转90°后的图形，如下图。 （3）在A点南偏东45°方向画一个直径4厘米的圆，如下图。 【点睛】本题考查数对的知识、根据方向和角度确定物体的位置、画圆、作旋转后的图形、作放大后的图形。 16．153千米 【分析】已知A、B两地的图上距离和地图的比例尺，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，以及进率“1千米＝100000厘米”，求出A、B两地的实际距离； 已知A、B两地的实际距离和甲、乙火车的相遇时间，根据“速度和＝路程÷相遇时间”，求出甲、乙两火车的速度和； 已知甲火车每小时行的路程是乙火车的，把乙火车的速度看作单位“1”，甲火车的速度是乙的，则两火车的速度和是乙火车速度的（1＋），根据已知一个数的几分之几是多少，用除法计算，即可求出乙火车的速度。 【详解】A、B两地的实际距离： 25.5÷ ＝25.5×3000000 ＝76500000（厘米） 76500000厘米＝765千米 甲、乙两火车每小时共行： 765÷3＝255（千米） 乙火车每小时行： 255÷（1＋） ＝255÷ ＝255× ＝153（千米） 答：乙火车每小时行153千米。 【点睛】本题考查比例尺的意义、相遇问题以及分数除法的应用，掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系，以及速度、时间、路程之间的关系是解题的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $