专题01概率常考题型（专项训练）数学苏教版必修第二册

专题01概率常考题型 目录 A题型建模・专项突破 题型01随机事件和样本空间 题型02概率与频率的关系 题型03古典概型的计算 题型04有放回与无放回的问题 题型05互斥事件与对立事件的判断 题型06利用互斥事件与对立事件计算概率 题型07独立事件的判断 题型08独立事件的乘法公式 B综合攻坚・能力跃升 题型01随机事件和样本空间 1．先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，观察落地后硬币向上的面的情况，某同学记录了以下事件： A事件：只有一枚硬币正面向上． B事件：两枚硬币均正面向上 C事件：至少一枚硬币正面向上 则在三个事件中含有三个样本点的事件为____________． 2．（多选）已知集合是集合的真子集，下列关于非空集合，的四个命题，正确的是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 3．（多选）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，其中是随机事件的是（    ） A．5件都是正品 B．至少有1件次品 C．有3件次品 D．至少有3件正品 4．（多选）给出下列四个命题，其中正确的命题有（    ） A．“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 B．“当x为某一实数时可使”是不可能事件 C．“明天竹山要下雨”是必然事件 D．“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 5．下列随机试验的样本空间为无限集的是（   ）. A．掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数 B．从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序 C．连续抛掷一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛掷的次数 D．做一道5选2的多选题（5个备选答案中只有2个正确答案），观察选择的答案组合 6．（多选）给出关于满足 的非空集合，的四个命题，其中正确的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 题型02概率与频率的关系 7．下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 8．（多选）关于概率与频率，下列说法正确的是（   ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 9．调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查. 为调查中学生心理压力的情况，提出如下问题，问题 1 ：你现在心理压力很大吗？ 问题 2： 你学籍号尾号是偶数吗? 然后要求被调查的中学生抛掷硬币回答， 如果出现正面朝上， 就回答第一个问题； 否则回答第二个问题. 整个调查过程全程保密， 由于回答哪一个问题只有测试者自己知道，所以测试者一般乐意如实回答问题. 现在对学籍号为的1000名中学生进行调查， 其中有260名学生回答 “是”，则估计心理压力很大的中学生百分比大约为（    ） A． B． C． D． 10．在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表： 降落时距靶心距离（单位：cm） 人数 18 21 39 22 用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（    ） A．0.18 B．0.21 C．0.39 D．0.40 11．小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了5次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（    ） A．朝上的点数是2的概率和频率均为1 B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的概率为1 C．抛掷第6次，朝上的点数一定不是2 D．抛掷60000次，朝上的点数为2的次数大约为10000次 12．下列说法错误的是（   ） A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 题型03古典概型的计算 13．耀州中学的225名同学与王益中学的256名同学一起春游，将两所中学的学生混合在一起，随机组合，重新组织队伍，要求每队人数相同且队伍数量尽可能少，那么耀州中学的沉香和王益中学的李飞出现在同一个队伍的概率为（   ） A． B． C． D． 14．在一个盒子中有2个白球、3个黑球，从中随机地取出1个球，则取出的球为白球的概率为________． 15．从集合的所有子集中任取一个，这个集合恰好是集合的子集的概率是（   ） A．1 B． C． D． 16．投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解： ①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率； ②只要连掷6次，一定会“出现1点”； ③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大； ④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19． 其中正确的见解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（    ） A． B． C． D． 18．同时抛掷两枚相同的骰子（每个面上分别刻有1~6个点数，抛掷后，以向上一面的点数为准），试计算出现点数和为6或7的概率为多少？ 题型04有放回与无放回的问题 19．已知袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 20．一个盒中有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件“两张标签上的数字之和为6”．若标签的选取是不放回的，记；若标签的选取是有放回的，记，则______． 21．一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，一次选取一张． (1)若标签的选取是无放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率． 22．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 23．现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球（标号分别为1、2、3），3个绿球（标号分别为1、2、3），按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为，，.则（    ） A． B． C． D． 24．我们规定把同一副扑克牌中的红桃A，黑桃A，梅花A三张牌背面朝上放在桌子上，将扑克牌洗匀后从中随机抽取一张，记下扑克牌的花色后放回，洗匀后再随机抽取一张，则两次抽取的扑克牌为同一张的概率为__________________.    题型05互斥事件与对立事件的判断 25．一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 26．（多选）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则下列说法错误的是（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与互斥 D．与对立 27．在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（    ） A． 和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 28．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件表示“骰子向上的点数为奇数”，事件表示“骰子向上的点数为偶数”，事件表示“骰子向上的点数大于3”，事件表示“骰子向上的点数小于3”则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件互为对立事件 C．事件与事件互斥 D．事件与事件互斥 题型06利用互斥事件与对立事件计算概率 29．（多选）已知随机事件、发生的概率分别为，，则（   ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若，则 D．若，则事件与相互独立 30．在一次数学练习中，甲､乙两人同时独立做同一道数学题，已知甲､乙能做对的概率分别是0.7和0.6. (1)求两人都做对此数学题的概率； (2)求恰有一人做对此数学题的概率. 31．某校高二年级举行数学竞赛，已知甲､乙两名同学获奖的概率分别为和，且两人是否获奖相互独立.求： (1)两人都获奖的概率； (2)两人中恰有一人获奖的概率； (3)两人中至少有一人获奖的概率. 32．某高中拟从校文艺部随机选一名学生参加当地社区的文艺汇演，选中高一学生的概率为，选中高二学生的概率为，则选中高三学生的概率为（   ） A． B． C． D． 33．已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则________． 34．已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 题型07独立事件的判断 35．（多选）已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若，则与相互独立 C．若与互斥，且与也相互独立，则 D．若与相互独立，且与也相互独立，则 36．（多选）任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（   ） A． B．事件，，两两独立 C．当事件时， D．当事件时，满足条件的事件有3个 37．判断下列各对事件是不是相互独立事件． (1)甲组有3名男生，2名女生，乙组有2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”； (3)一个布袋里有大小完全相同的3个白球，2个红球，“从中任意取1个球是白球”与“取出的球不放回，再从中任意取1个球是红球”． 38．假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有若干个小孩，事件表示“一个家庭中既有男孩又有女孩”，事件表示“一个家庭中最多有一个男孩”．对下列两种情形，判断事件与事件是否相互独立． (1)一个家庭中有2个小孩； (2)一个家庭中有3个小孩． 39．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 题型08独立事件的乘法公式 40．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 41．甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中至少有1人击中目标的概率是（   ） A．0.12 B．0.56 C．0.44 D．0.88 42．某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，．若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： (1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现几人合格的概率最大？ 43．（多选）有一个掷骰子的游戏，骰子六个面上分别标有1~6六个数字，第一个人将一颗骰子抛掷一次，第二个人将一颗骰子抛掷2次，第三个人将一颗骰子抛掷3次……第n个人将一颗骰子抛掷n次，记表示“第n个人n次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于.现有下列结论正确的有（   ） A．必然发生 B．发生的概率为 C．可能发生 D．发生的概率大于0 44．（多选）甲袋中有大小、形状相同的4个红球2个白球，乙袋中有大小、形状相同的1个红球3个白球，则下列选项中的事件发生的概率不小于的有（    ） A．甲袋中一次取出两个球，两球均为红球 B．乙袋中有放回地取两次球，两球均为白球 C．两袋中各取一个球，取出的球中有红球 D．先从乙袋中取1球，记下颜色后放回乙袋中，若取出的球为红球则在甲袋中取球，否则继续在乙袋中取球，第二次取出来的是红球 45．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局．每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分．已知甲在每局比赛中获胜的概率是，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局结果相互独立．在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（    ） A． B． C． D． 46．甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 1．抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”， 事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（    ） A．A与B B．A与C C．B与C D．A与D 2．下列判断正确的是（    ） A．样本平均数一定小于总体平均数 B．样本平均数一定大于总体平均数 C．样本平均数一定等于总体平均数 D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数 3．已知，则下列结果正确的是（） A． B． C． D． 4．在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是（   ） A．3个数字相邻 B．3个数字全是偶数 C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质 5．给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 6．（多选）已知事件的概率均不为，则的充要条件是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，则下列说法正确的是（   ） A．若，甲得4分的概率为 B．乙至少赢一场的概率为 C．若，乙赢得比赛的概率为 D．要使甲获胜的概率大，的取值范围 8．（多选）先后抛掷质地均匀的骰子两次，事件“第一次向上的点数是1”，事件“第二次向上的点数是2”，事件“两次向上的点数之和是7”，则（   ） A． B．事件与事件互斥 C． D．事件与事件相互独立 9．（多选）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（   ） A．甲与乙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 10．（多选）先后两次掷一枚骰子，观察向上的面的点数，下列叙述正确的是（    ） A．表示第一次掷出点，第2次掷出点，其中，则样本空间为 B．用集合表示事件：“点数之和小于3”，事件：“点数之和不超过3”，则， C．点数之和为5的概率为 D．点数相等的概率为 11．从不大于10的自然数中随机抽取一个数，这个数是奇数的概率为_____． 12．某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，则“抽到丙级品”的概率为______． 13．某企业到A大学招聘，小张､小李和小王3位毕业生前去应聘.若小张､小李2人中至少有1人签约的概率是，小王签约的概率是，3人签约事件相互独立，那么3人中至少有1人签约该企业的概率是__________. 14．西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 15．某校运动会期间开设了知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)若从甲、乙两人中选取1人参加比赛，选谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中恰好只有1人赢得比赛的概率. 16．某商店月收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表： 月收入范围 概率 0.12 0.25 0.16 0.14 (1)求月收入在范围内的概率； (2)求月收入在范围内的概率； (3)求月收入不在范围内的概率． 17．中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.乒乓球比赛个人单项赛事采取7场4胜制，当两人比分战成时，则第5场比赛被称为“天王山之战”.现假设甲乙两人比赛，首战甲获胜的概率为，每场结束后，败方在下一场获胜的概率提高为，每场比赛结果相互独立且每场比赛没有平局. (1)求两场后双方战成的概率； (2)若首战乙胜，求再战三场双方战至后甲在“天王山之战”中获胜的概率； (3)求至多进行5场比赛就能分出胜负的概率. 18．甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01概率常考题型 目录 A题型建模・专项突破 题型01随机事件和样本空间 题型02概率与频率的关系 题型03古典概型的计算 题型04有放回与无放回的问题 题型05互斥事件与对立事件的判断 题型06利用互斥事件与对立事件计算概率 题型07独立事件的判断 题型08独立事件的乘法公式 B综合攻坚・能力跃升 题型01随机事件和样本空间 1．先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，观察落地后硬币向上的面的情况，某同学记录了以下事件： A事件：只有一枚硬币正面向上． B事件：两枚硬币均正面向上 C事件：至少一枚硬币正面向上 则在三个事件中含有三个样本点的事件为____________． 【答案】C 【分析】先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，列出基本事件即可. 【详解】先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，其样本空间（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） 事件有两个样本点，（正，反）（反，正）， 事件只有1个样本点，（正，正）； 事件有3个样本点（正，正），（正，反），（反，正）． 故答案为：C. 2．（多选）已知集合是集合的真子集，下列关于非空集合，的四个命题，正确的是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】ACD 【分析】根据真子集的定义和必然事件、随机事件和不可能事件的定义判断. 【详解】∵集合是集合的真子集，中的任意一个元素都是中的元素， 而中至少有一个元素不在中，因此A正确，B错误，C正确， 因为集合是集合的真子集，则集合没有的元素集合中一定没有，D正确． 故选：ACD 3．（多选）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，其中是随机事件的是（    ） A．5件都是正品 B．至少有1件次品 C．有3件次品 D．至少有3件正品 【答案】AB 【分析】根据题意25件产品中只有两件次品，所以不可能取出3件次品，且至少有3件正品，即可. 【详解】在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，“5件都是正品”、“至少有1件次品”，都是随机事件，A、B正确， 在25件同类产品中，有2件次品，所以不可能取出3件次品， 则“有3件次品”不是随机事件，是不可能事件，C错误； 在25件同类产品中，有2件次品，从中取5件，则“至少有3件正品”为必然事件，不是随机事件，D错误. 故选：AB 4．（多选）给出下列四个命题，其中正确的命题有（    ） A．“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 B．“当x为某一实数时可使”是不可能事件 C．“明天竹山要下雨”是必然事件 D．“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 【答案】ABD 【分析】利用随机事件的基本概念进行判断. 【详解】A，根据抽屉原理，将三个球放入两个盒子，至少有一个盒子里的球数大于等于2，即必然有一个盒子有一个以上的球，所以是必然事件，正确， B，对任意实数x，有，正确， C，下雨是随机事件，错误， D，从100个灯泡中取出5个次品是随机事件，正确. 故选：ABD 5．下列随机试验的样本空间为无限集的是（   ）. A．掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数 B．从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序 C．连续抛掷一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛掷的次数 D．做一道5选2的多选题（5个备选答案中只有2个正确答案），观察选择的答案组合 【答案】C 【分析】根据各选项中的随机试验，分析其样本空间的基本事件组成即可判断. 【详解】对于A，掷一颗骰子，观察朝上的点数这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故A不合题意； 对于B，按要求依次取两个球不放回，观察标号，不考虑标号顺序这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故B不合题意； 对于C，连续抛一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛的次数这一随机试验，因不确定何时出现正面，故其样本空间为无限集，故C符合题意； 对于D，设这道5选2的多选题的5个备选答案分别为,则选择的答案组合的样本空间为, 故是有限集，即D不符合题意. 故选：C. 6．（多选）给出关于满足 的非空集合，的四个命题，其中正确的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】ACD 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件、子集的定义逐一判断即可. 【详解】对于A：因为 ，，所以，因此若任取，则是必然事件，真命题； 对于B：因为 ，显然存在一个元素在集合中，不在集合中， 因此若任取，则是随机事件，假命题； 对于C：因为 ，任取，有可能成立，也可能不成立， 因此任取，则是随机事件，真命题； 对于D：因为 ，，所以一定有，显然任取，则是必然事件，真命题． 故选：ACD 题型02概率与频率的关系 7．下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 【答案】D 【分析】利用频率与概率的概念分析选项即可. 【详解】对于A，此概率只表示事件发生的可能性大小，具有随机性，不能代表比赛5场必胜3场，所以A错误； 对于B，此中奖率只表示中奖的可能性，也具有随机性，不能代表10人必中奖1人，所以B错误； 对于C，随机试验的频率可以估计概率，并不等于概率，所以C错误； 对于D，预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90%，正确. 故选：D 8．（多选）关于概率与频率，下列说法正确的是（   ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 【答案】ABD 【分析】根据频率与概率的关系，概率的定义对选项进行分析即可. 【详解】对于A：频率是指在次重复试验中，某事件发生的次数与总试验次数的比值，即.由于每次试验结果不确定，频率随试验结果波动，具有随机性. 概率是事件在理论上发生的可能性大小，是一个确定的常数.故A正确. 对于B：大量重复试验下，事件发生的频率趋于稳定，并趋近于其理论概率.故B正确. 对于C：概率为0的事件不一定不会发生；在离散型概率中，概率为0才意味着不可能发生.故C错误. 对于D：随着试验次数增大，频率的相对误差趋于减小，波动幅度减小，趋于稳定值.故D正确. 故选：ABD 9．调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查. 为调查中学生心理压力的情况，提出如下问题，问题 1 ：你现在心理压力很大吗？ 问题 2： 你学籍号尾号是偶数吗? 然后要求被调查的中学生抛掷硬币回答， 如果出现正面朝上， 就回答第一个问题； 否则回答第二个问题. 整个调查过程全程保密， 由于回答哪一个问题只有测试者自己知道，所以测试者一般乐意如实回答问题. 现在对学籍号为的1000名中学生进行调查， 其中有260名学生回答 “是”，则估计心理压力很大的中学生百分比大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意回答问题2的学生有500人，其中有250人回答是，由此得到回答问题1的学生有500人，其中10人回答是，从而能估计心理压力很大的中学生的百分比． 【详解】由题意，回答问题2的学生有：人， 则回答问题2的学生回答是的有人， 而回答问题1的学生有500人，其中有人回答是， 因此估计心理压力很大的中学生百分比大约为. 故选：A 10．在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表： 降落时距靶心距离（单位：cm） 人数 18 21 39 22 用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（    ） A．0.18 B．0.21 C．0.39 D．0.40 【答案】C 【分析】根据题意利用频率估计概率进行计算. 【详解】由题可知，样本容量为100人，获得“优秀飞行员”称号的人数为人， 所以随机抽取1人，此人为“优秀飞行员”的概率． 故选：C 11．小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了5次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（    ） A．朝上的点数是2的概率和频率均为1 B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的概率为1 C．抛掷第6次，朝上的点数一定不是2 D．抛掷60000次，朝上的点数为2的次数大约为10000次 【答案】D 【分析】根据频率与概率的概念判断A，由频率与概率的关系判断BD，由概率的概念判断C. 【详解】A：由题意知朝上的点数是2的频率为1，概率为，故A错误； B：当抛掷次数很多时，朝上的点数是2的频率在附近摆动，故B错误； C：抛掷第6次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C错误； D：每次抛掷朝上的点数是2的概率为，所以抛掷60000次朝上的点数为2的次数大约为10000，理论和实际会有一定的出入，故D正确． 故选：D． 12．下列说法错误的是（   ） A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 【答案】D 【分析】根据抽样调查的概念判断，再根据频率与概率关系，抽样的概念的，再根据概率的定义求解. 【详解】抽样调查适用于调查对象数量庞大，耗时耗力，我国中学生的数量庞大，全面调查不适用，故A正确； 根据频率与概率的关系，频率随试验次数增加趋于稳定，这个稳定值即为概率，故B正确； 抽签法和随机数法是简单随机抽样的两种基础方法，符合定义，故C正确； 独立事件的概率互不影响，治愈率为10%意味每次治疗结果独立，前人未治愈不影响第人的概率，治愈率仍为10%，故D错误. 故选：D. 题型03古典概型的计算 13．耀州中学的225名同学与王益中学的256名同学一起春游，将两所中学的学生混合在一起，随机组合，重新组织队伍，要求每队人数相同且队伍数量尽可能少，那么耀州中学的沉香和王益中学的李飞出现在同一个队伍的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出一起春游的总人数的最大真因数，从而找到每队人数最多的分队方式，再计算两人分到同一队的概率. 【详解】耀州中学、王益中学共有名同学一起春游， 要求每队人数相同且队伍数量尽可能少，即求的最大真因数， 因为，所以每队37人，共13队， 沉香被分到某队后，李飞需占据该队伍剩余的36个名额之一， 所以两个人出现在同一个队伍的概率为，即为. 14．在一个盒子中有2个白球、3个黑球，从中随机地取出1个球，则取出的球为白球的概率为________． 【答案】/0.4 【分析】利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】由古典概型概率公式得取出的球为白球的概率为． 故答案为： 15．从集合的所有子集中任取一个，这个集合恰好是集合的子集的概率是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】求出各集合子集个数，并求出概率即可. 【详解】集合的所有子集有，集合的所有子集有， 故所求概率为． 故选：C. 16．投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解： ①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率； ②只要连掷6次，一定会“出现1点”； ③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大； ④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19． 其中正确的见解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据概率的概念和随机事件的概念逐一判断. 【详解】①掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是，故①正确； ②“出现1点”是随机事件，故②错误； ③概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故③错误； ④连续掷3次，每次都出现最大点数6时三次出现的点数之和为18， 所以连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19，故④正确． 故选：B． 17．柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按古典概型的概率公式进行计算. 【详解】设鞋柜中的两双鞋子分别为为, 则取出鞋子的所有可能为：， 取出的鞋成双的概率. 故选：B 18．同时抛掷两枚相同的骰子（每个面上分别刻有1~6个点数，抛掷后，以向上一面的点数为准），试计算出现点数和为6或7的概率为多少？ 【答案】 【分析】解法一采用列表法，结合古典概型的概率公式和加法公式求解即可；解法二采用枚举法，结合古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由于每个面向上的概率相等且试验结果有限可数，故该概型属于古典概型. 解法一： 由于“出现点数的和为6”与“出现点数的和为7”两个事件互斥，所以可利用互斥事件的和事件的概率加法公式.为了简单明了，可认为两只骰子是编号为1号、2号的不同的骰子，同时抛掷，如表所示，则可能出现的基本事件有36种. 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 设出现点数和为6的事件为事件，出现点数和为6的情况有，，，，，共5种. 设出现点数和为7的事件为事件，出现点数和为7的情况有，，，，，，共6种， 即出现点数和为6或7的概率为. 解法二： 将“出现点数和为6或7”看成单一的事件，则由于基本事件，，，…，共36种. 其中事件包含的事件有，，，，，，，，，，共11种. 故. 题型04有放回与无放回的问题 19．已知袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】依题意，不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是. 故选：A. 20．一个盒中有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件“两张标签上的数字之和为6”．若标签的选取是不放回的，记；若标签的选取是有放回的，记，则______． 【答案】/ 【分析】根据不放回和放回的不同方式特点，结合古典概型运算公式进行求解即可. 【详解】当标签的选取是不放回的，共有方式， 其中事件A有共4种方式， 所以； 当标签的选取是放回的，共有方式， 其中事件A有，5种方式， 所以, 所以. 故答案为： 21．一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，一次选取一张． (1)若标签的选取是无放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）利用列举法列出样本空间，再由古典概型的概率公式计算可得； 【详解】（1）标签的选取是无放回的， 则样本空间， 其中两张标签上的数字为相邻整数的有，，，，，共个基本事件， 所以两张标签上的数字为相邻整数的概率. （2）标签的选取是有放回的， 则样本空间， 其中两张标签上的数字为相邻整数的有，，，，，共个基本事件， 所以两张标签上的数字为相邻整数的概率. 22．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】C 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故B错误； 颜色不全相同的结果有 24种,其概率为，故C正确； 无红球的结果有8种，其概率为，故D错误． 故选：C 23．现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球（标号分别为1、2、3），3个绿球（标号分别为1、2、3），按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为，，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每种方式下取球成功的概率，比较即可得出结论. 【详解】设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式③的样本空间为， 方式①：有放回依次抽取两球，那么每次抽球都有6种可能，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、红3），（红2、绿3），（绿2、红3），（绿2、绿3），（红3、红2），（红3、绿2），（绿3、红2），（绿3、绿2），（红3、红3），（红3、绿3），（绿3、红3），（绿3、绿3），共12个. 所以； 方式②：不放回依次抽取两球，那么第一次有 6 种，第二次有 5 种，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、红3），（红2、绿3），（绿2、红3），（绿2、绿3），（红3、红2），（红3、绿2），（绿3、红2），（绿3、绿2），（红3、绿3），（绿3、红3），共10个. 所以； 方式③：按颜色等比例分层抽取两球，那么第一次从红球中抽一个（3 种），第二次从绿球中抽一个（3 种），顺序可能固定为红→绿，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、绿3），（红3、绿2），（红3、绿3），共3个，所以； 所以. 故选：D. 24．我们规定把同一副扑克牌中的红桃A，黑桃A，梅花A三张牌背面朝上放在桌子上，将扑克牌洗匀后从中随机抽取一张，记下扑克牌的花色后放回，洗匀后再随机抽取一张，则两次抽取的扑克牌为同一张的概率为__________________.    【答案】 【分析】将红桃A，黑桃A，梅花A分别记为A、B、C，画出树状图，利用概率公式即可求出两次抽取的扑克牌为同一张的概率． 【详解】设红桃A，黑桃A，梅花A分别为A，B，C， 两次抽取的扑克牌出现的结果如图所示：    由树状图可知共有9种情况，其中两次抽到同一张的情况有3种， 所以两次抽取的扑克牌为同一张的概率为． 故答案为： 题型05互斥事件与对立事件的判断 25．一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 【答案】D 【分析】由和互斥事件、对立事件定义即可判断AB；由即可判断C；由交事件定义计算即可判断D. 【详解】将2个红球、2个绿球和2个蓝球分别记为， 则从袋中一次性随机取出2个球的样本空间为共15个样本点， 由题意共3个样本点，共9个样本点， 共14个样本点，共6个样本点， 所以，故A与D不互斥，故A错误； ，故B与C不互斥，故B错误； 因为，一个样本点， 所以，即，故C错误； ，故D正确. 故选：D 26．（多选）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则下列说法错误的是（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与互斥 D．与对立 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合互斥事件、对立事件的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】与可以同时发生，所以与不互斥，故A错误； 与可以同时发生，所以与不互斥也不对立，故B错误； 为甲乙都中奖，为甲乙都不中奖，与不可能同时发生，所以与互斥，故C正确； 若事件发生，则事件一定发生，故与不是互斥事件，更不是对立事件，故D错误. 故选：ABD 27．在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（    ） A． 和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】B 【分析】A.利用对立事件的定义判断；B.利用相互独立事件的定义判断；C.利用相互独立事件的定义判断；D.利用互斥事件的定义判断. 【详解】A. 事件的基本事件有，事件的基本事件有，总事件的基本事件还有等，所以 和不是对立事件，故错误； B. 事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有 ，而，则，所以与是相互独立事件，故正确； C. 事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有 ，则，，所以与不为相互独立事件，故错误； D. 事件的基本事件有，事件的基本事件有，都有基本事件，所以与不为互斥事件，故错误； 故选：B 28．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件表示“骰子向上的点数为奇数”，事件表示“骰子向上的点数为偶数”，事件表示“骰子向上的点数大于3”，事件表示“骰子向上的点数小于3”则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件互为对立事件 C．事件与事件互斥 D．事件与事件互斥 【答案】A 【分析】利用互斥事件、对立事件的概念分析即可. 【详解】易知事件E可表示为，事件F可表示为，事件G可表示为, 事件H可表示为，抛掷一枚质地均匀的骰子一次可表示为, 得到是U的真子集，， 所以A正确，B错误，C错误，D错误. 故选：A 题型06利用互斥事件与对立事件计算概率 29．（多选）已知随机事件、发生的概率分别为，，则（   ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若，则 D．若，则事件与相互独立 【答案】ABD 【分析】根据事件互斥以及事件的运算性质计算，即可判断A、B、C；根据对立事件概率公式以及事件的独立性即可判断D. 【详解】对于A项，因为与互斥， 所以，故A正确； 对于B项，因为与相互独立， 所以， 所以，.故B正确； 对于C项，因为， 所以，.故C错误； 对于D项，由，可得， 所以，， 所以， 事件与相互独立.故D正确. 故选：ABD. 30．在一次数学练习中，甲､乙两人同时独立做同一道数学题，已知甲､乙能做对的概率分别是0.7和0.6. (1)求两人都做对此数学题的概率； (2)求恰有一人做对此数学题的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率的乘法公式求解即可； （2）根据概率的加法与乘法公式求解即可. 【详解】（1）设事件：“甲做对”，事件：“乙做对”，则“两人都做对”为事件， 因为相互独立，故； （2）恰有一人做对为事件，事件互斥, 相互独立，相互独立， 所以. 31．某校高二年级举行数学竞赛，已知甲､乙两名同学获奖的概率分别为和，且两人是否获奖相互独立.求： (1)两人都获奖的概率； (2)两人中恰有一人获奖的概率； (3)两人中至少有一人获奖的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设甲，乙获奖分别为事件A，B，两人都获奖为事件，然后由独立事件概率乘法公式可得答案； （2）两人中恰有一人获奖为事件，然后由独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式可得答案； （3）两人至少有一人获奖的对立事件为，然后由对立事件概率计算公式可得答案. 【详解】（1）设甲，乙获奖分别为事件A，B.则， 两人都获奖为事件，则； （2）两人中恰有一人获奖为事件， 则 ； （3）两人至少有一人获奖的对立事件为，则两人至少有一人获奖的概率为：. 32．某高中拟从校文艺部随机选一名学生参加当地社区的文艺汇演，选中高一学生的概率为，选中高二学生的概率为，则选中高三学生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，根据互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【详解】设事件“选中高一学生”， “选中高二学生”， “选中高三学生”， 可得事件之间互为互斥事件，且， 所以， 所以选中高三学生的概率为. 故选：A. 33．已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则________． 【答案】/ 【分析】先根据对立事件的概率关系求出，再利用互斥事件的概率加法公式计算. 【详解】根据题意，因为，事件与事件对立， 所以， 又事件与事件互斥，， 所以. 故答案为： 34．已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ． 题型07独立事件的判断 35．（多选）已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若，则与相互独立 C．若与互斥，且与也相互独立，则 D．若与相互独立，且与也相互独立，则 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析判断即可. 【详解】因为事件与相互独立，所以事件与相互独立， 所以， 因为，A正确； ，又， 所以，又， 所以，即与相互独立，B正确； 因为与互斥，所以， 又因为与相互独立， 所以，C错误； 因为与相互独立，所以， 又因为与相互独立，所以，故D正确. 故选：ABD. 36．（多选）任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（   ） A． B．事件，，两两独立 C．当事件时， D．当事件时，满足条件的事件有3个 【答案】AC 【分析】根据概率定义和独立性条件，分别计算验证AC即可，对于B，，故事件，不相互独立，故B错误，对于D，事件的样本点包含1不包含5，所以满足条件的事件有4个，故D错误. 【详解】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，由题意得，，， 所以事件，不相互独立，故B错误； 对于C，当时，， 解得，故C正确； 对于D，当时，， 解得，即事件包含4个样本点， 并且必包含1，不包含5，再从剩下的2，3，4，6中选3个， 所以满足条件的事件分别是， 共4个，故D错误. 37．判断下列各对事件是不是相互独立事件． (1)甲组有3名男生，2名女生，乙组有2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”； (3)一个布袋里有大小完全相同的3个白球，2个红球，“从中任意取1个球是白球”与“取出的球不放回，再从中任意取1个球是红球”． 【答案】(1)是相互独立事件 (2)是相互独立事件． (3)不是相互独立事件． 【分析】略 【详解】（1）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响， 所以二者是相互独立事件． （2）由于把取出的水果又放回筐内，故“从中任意取出1个， 取出的是苹果”这一事件是否发生对“再从筐内任意取出1个， 取出的是梨”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件． （3）不放回地取球，前者的发生影响后者发生的概率，所以二者不是相互独立事件． 38．假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有若干个小孩，事件表示“一个家庭中既有男孩又有女孩”，事件表示“一个家庭中最多有一个男孩”．对下列两种情形，判断事件与事件是否相互独立． (1)一个家庭中有2个小孩； (2)一个家庭中有3个小孩． 【答案】(1)事件与事件不相互独立 (2)事件与事件相互独立 【分析】（1）列举所有可能性，求出对应概率，根据独立事件概念判断即可； （2）列举所有可能性，求出对应概率，根据独立事件概念判断即可. 【详解】（1）若家庭中有2个小孩，样本空间为{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，共有4个样本点． 由等可能性，知每个样本点发生的概率都为． 此时（男，女），（女，男）（男，女），（女，男），（女，女）， 而（男，女），（女，男）， 则，，． 显然， 故在一个家庭中有2个小孩的前提下，事件与事件不相互独立． （2）若家庭中有3个小孩，样本空间为｛（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，女，男），（女，男，女），（女，女，女）}，共有8个样本点． 由等可能性，知每个样本点发生的概率都为． 此时（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，女，男），（女，男，女）（男，女，女），（女，女，男），（女，男，女），（女，女，女）， 而（男，女，女），（女，女，男），（女，男，女）， 则，，． 显然，故在一个家庭中有3个小孩的前提下，事件与事件相互独立． 39．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 【答案】B 【分析】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，，，，，，，共种情况； 第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况； 第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况； 则两次取出球的数字之和为的所有可能为，，，共种情况； 两次取出球的数字之和为的所有可能为，共种情况； 记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为， “两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为， 则，，，. A：当甲丙同时发生时，取出的恰是，此时， 故甲丙相互独立，故A正确； B：当甲乙同时发生时，取出的恰是，此时，， 故甲乙不相互独立，故B错误； C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确； D：当第二次取出的球的数字是2时，第一次不可能取2，即两次取出的数字之和不能为4，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确； 故选：B. 题型08独立事件的乘法公式 40．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得样本总共有36个，符合的有12个，再利用古典概率即可求解； （2）记事件为第局甲胜，，记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况：①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜，再结合概率的乘法公式即可求解. 【详解】（1）因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型， 样本空间：共个样本点， 事件A含有： 共12个样本点，故； （2）记事件为第i局甲胜，，由题意知，记事件B为甲恰好胜一局，有如下两种情况： ①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜， 因为每局比赛结果相互独立，所以事件与与也独立， 则， ， 因为，且事件与互斥， 所以， 所以甲恰好胜一局的概率为 41．甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中至少有1人击中目标的概率是（   ） A．0.12 B．0.56 C．0.44 D．0.88 【答案】D 【分析】求出两人均没有击中目标的概率，再根据对立事件的概率即可求出答案. 【详解】因为甲乙两人击中目标的概率分别为0.8和0.4， 所以两人均没有击中目标的概率为， 所以至少有1人击中目标的概率是. 42．某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，．若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： (1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现几人合格的概率最大？ 【答案】(1)， (2)出现恰有一人合格的概率最大． 【分析】（1）先设事件并明确已知概率，由事件独立性计算三人都合格和三人都不合格的概率； （2）分别计算恰有一人和恰有两人合格的概率，比较概率大小确定最大概率的情况. 【详解】（1）设甲、乙、丙三人100m跑合格分别为事件，显然相互独立， 表示三人都合格，表示三人都不合格， 则，，， ，，， 设恰有人合格的概率为． 三人都合格的概率为， 三人都不合格的概率为， 所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率均为． （2），，两两互斥， ∴恰有两人合格的概率为 ， 恰有一人合格的概率为：， 结合（1）可知中最大，所以出现恰有一人合格的概率最大. 43．（多选）有一个掷骰子的游戏，骰子六个面上分别标有1~6六个数字，第一个人将一颗骰子抛掷一次，第二个人将一颗骰子抛掷2次，第三个人将一颗骰子抛掷3次……第n个人将一颗骰子抛掷n次，记表示“第n个人n次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于.现有下列结论正确的有（   ） A．必然发生 B．发生的概率为 C．可能发生 D．发生的概率大于0 【答案】ABC 【分析】可根据随机事件、必然事件等的定义进行判断A，C，D；根据概率乘法公式及对立事件概率公式计算判断B. 【详解】对于A：∵抛掷1次出现的点数最小为1， 第1个人1次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和一定大于，所以为必然事件； 对于B：∵抛掷2次出现的点数和最小为2， 表示第2个人2次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于， 除了最小值其他值都符合题意，所以发生的概率为正确； 对于C：∵表示第4个人4次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于， 而4次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和最大为24，所以可能发生； 对于D：∵表示第5个人5次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于， 而5次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和最大为30， 所以不可能发生，即发生的概率为0，错误； 44．（多选）甲袋中有大小、形状相同的4个红球2个白球，乙袋中有大小、形状相同的1个红球3个白球，则下列选项中的事件发生的概率不小于的有（    ） A．甲袋中一次取出两个球，两球均为红球 B．乙袋中有放回地取两次球，两球均为白球 C．两袋中各取一个球，取出的球中有红球 D．先从乙袋中取1球，记下颜色后放回乙袋中，若取出的球为红球则在甲袋中取球，否则继续在乙袋中取球，第二次取出来的是红球 【答案】BC 【分析】根据古典概型概率公式及独立事件的概率乘法，逐项进行判断即可. 【详解】对于A，甲袋中共有大小、形状相同的6个球，从中一次取出2个球，共有种取法，两球都是红球，共有种取法， 所以甲袋中一次取出两个球，两球均为红球的概率为，故A错误； 对于B，乙袋中有大小、形状相同的1个红球3个白球，从中有放回地取两次球，两球均为白球，则概率为，故B正确； 对于C，甲袋中取得白球的概率为，乙袋中取得白球的概率为， 则事件“两袋中各取一个球，取出的球都是白球”的概率为， 所以事件“两袋中各取一个球，取出的球中有红球”的概率为，故C正确； 对于D，若第一次从乙袋中取到红球，概率为，接着在甲袋中取到红球的概率为， 根据独立事件概率乘法公式，其概率为； 若第一次从乙袋中取到白球，概率为，接着在乙袋中取到红球的概率为， 根据独立事件概率乘法公式，其概率为； 所以事件的“第二次取得红球”的概率为，故D错误. 45．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局．每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分．已知甲在每局比赛中获胜的概率是，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局结果相互独立．在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分甲赢3局，乙赢3局、甲赢4局，乙赢2局、甲赢5局，乙赢1局、甲赢6局，乙赢0局，结合要求计算出每种情况的排列数，再独立事件的乘法和概率加法公式求解． 【详解】情况一：甲赢3局，乙赢3局，且甲的累计得分始终不小于乙的累计得分， 符合题意的获胜情况有：甲乙甲乙甲乙、甲乙甲甲乙乙、甲甲乙乙甲乙、甲甲乙甲乙乙、 甲甲甲乙乙乙共5种，此时概率； 情况二：甲赢4局，乙赢2局， 从6局中选4局甲赢，有种， 其中不符合题意的获胜情况有：乙乙甲甲甲甲、 乙甲乙甲甲甲、乙甲甲乙甲甲、 乙甲甲甲乙甲、乙甲甲甲甲乙、甲乙乙甲甲甲共6种， 则符合题意的获胜情况有9种，此时概率； 情况三：甲赢5局，乙赢1局， 符合题意的情况有种，此时概率； 情况四：甲赢6局，乙赢0局，此时概率； 综上，概率． 46．甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意知恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章， 则第3，4局必有甲胜，乙负，且前2局中，甲胜一局乙胜一局， 所以所求概率为. 1．抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”， 事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（    ） A．A与B B．A与C C．B与C D．A与D 【答案】D 【分析】根据已知写出各事件的基本事件，结合互斥事件、对立事件的定义判断各项的正误. 【详解】由题设，样本空间，事件，事件，事件，事件， 所以是互斥事件，也是对立事件，、均不是互斥事件，是互斥事件，但不是对立事件. 故选：D 2．下列判断正确的是（    ） A．样本平均数一定小于总体平均数 B．样本平均数一定大于总体平均数 C．样本平均数一定等于总体平均数 D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数 【答案】D 【分析】根据样本及总体的定义及统计概念判断各个选项. 【详解】样本平均数可能大于总体平均数，也可能小于总体平均数，也可能等于总体平均数，因此A，B，C都有可能正确，也有可能是错误的， 但是当样本容量越大时，样本平均数越接近总体平均数，因此D正确. 故选：D. 3．已知，则下列结果正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据事件的互斥，对立关系逐个分析选项. 【详解】对于A， ， ，A选项错误； 对于B，，B选项正确； 对于C，，C选项错误； 对于D，，D选项错误； 故选：B 4．在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是（   ） A．3个数字相邻 B．3个数字全是偶数 C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质 【答案】C 【分析】根据不可能事件的概念判断即可. 【详解】从10个数字中任取3个数字， 这3个数字的和大于或等于6， 小于5的情况不可能发生， 故“这3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件． 故选：C 5．给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】B 【分析】根据非空集合满足的子集关系，依次分析各选项即可判断. 【详解】因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； 对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确. 故选：B 6．（多选）已知事件的概率均不为，则的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】通过恰当的举例可找到A、D选项的反例，然后利用和事件的概率公式证明B、C选项即可得. 【详解】对A、D：抛掷一枚质地均匀的骰子，设表示事件“点数是1点”， 表示事件“点数是3点或5点”，表示事件“点数是偶数点”， 则， 此时满足，但，故A错误； 又，但，故D错误； 对B：若，则，故； 若，则，故； 故是的充要条件，故B正确； 对C：，， 若，则，即； 若，由，， 则；故是的充要条件，故C正确. 故选：BC. 7．（多选）甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，则下列说法正确的是（   ） A．若，甲得4分的概率为 B．乙至少赢一场的概率为 C．若，乙赢得比赛的概率为 D．要使甲获胜的概率大，的取值范围 【答案】CD 【分析】A利用概率的乘法公式和加法公式计算；B利用对立事件的概率公式计算；C结合AB选项，再利用对立事件的概率公式计算；D解不等式即可. 【详解】A选项，甲得4分意味着甲赢局，输局，其概率为，故A错误； B选项，甲全部赢的概率为，则乙至少赢一场的概率为，故B错误； C选项，由AB选项知，甲获胜的概率为， 故乙赢得比赛的概率为，故C正确； D选项，要使甲获胜的概率大，则，得， 则的取值范围，故D正确. 故选：CD 8．（多选）先后抛掷质地均匀的骰子两次，事件“第一次向上的点数是1”，事件“第二次向上的点数是2”，事件“两次向上的点数之和是7”，则（   ） A． B．事件与事件互斥 C． D．事件与事件相互独立 【答案】ACD 【分析】根据古典概型的概率公式，分别计算事件A，B，C以及，，进而可判断各个选项. 【详解】因为先后抛掷质地均匀的骰子两次共有（种）结果，事件包含共6种结果，所以，故A正确； 事件包含共6种结果， 显然既在事件A的样本空间里又在事件B的样本空间里，故事件与事件不互斥，所以B错误； 事件包含共5种结果，故，所以C正确； 事件C包含共6种结果，所以， 事件包含一个样本点，所以，所以，故事件与事件相互独立，所以D正确. 故选：ACD 9．（多选）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（   ） A．甲与乙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】ABD 【分析】根据独立事件概率关系，求出每个事件的概率，并逐一判断即可. 【详解】设甲，乙，丙，丁事件分别为,则， 事件“两次取出的球的数字之和是6”的样本点有， 样本总量为，故， 事件“两次取出的球的数字之和是7” 的样本点有， 故， 对于A，，故正确； 对于B，，故正确； 对于C，，故错误； 对于D，，故正确， 故选：ABD. 10．（多选）先后两次掷一枚骰子，观察向上的面的点数，下列叙述正确的是（    ） A．表示第一次掷出点，第2次掷出点，其中，则样本空间为 B．用集合表示事件：“点数之和小于3”，事件：“点数之和不超过3”，则， C．点数之和为5的概率为 D．点数相等的概率为 【答案】AD 【详解】先后两次掷一枚骰子，观察向上的面的点数， 对于A，表示第一次掷出点，第2次掷出点，其中， 则样本空间为，故A正确； 对于B，用集合表示事件：“点数之和小于3”，事件：“点数之和不超过3”， 则，，故B错误； 对于C，基本事件总数，点数之和为5包含的基本事件有，，，，共4个， 所以点数之和为5的概率为，故C错误； 对于D，点数相等包含的基本事件有，，，，，， 所以点数相等的概率为，故D正确． 11．从不大于10的自然数中随机抽取一个数，这个数是奇数的概率为_____． 【答案】 【分析】利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】易知不大于10的自然数是，共11个数字， 其中奇数有1，3，5，7，9，共5个， 所以随机抽取一个数，这个数是奇数的概率为. 故答案为： 12．某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，则“抽到丙级品”的概率为______． 【答案】/ 【详解】因为一批产品按质量只分为甲、乙、丙三个级别，随机抽取一件产品，抽到三个等级的事件是互斥事件，且所有可能结果的概率和为， 所以抽到丙级品的概率为：. 13．某企业到A大学招聘，小张､小李和小王3位毕业生前去应聘.若小张､小李2人中至少有1人签约的概率是，小王签约的概率是，3人签约事件相互独立，那么3人中至少有1人签约该企业的概率是__________. 【答案】 【分析】事件“3人中至少有1人签约该企业”的对立事件是“3人均未签约”，通过求其对立事件的概率即可得到答案 【详解】事件“3人中至少有1人签约该企业”的对立事件是“3人均未签约”， 因为小张､小李2人中至少有1人签约的概率是， 所以小张､小李2人均未签约的概率是； 因为小王签约的概率是，所以小王未签约的概率是， 所以三人均未签约的概率是， 所以3人中至少有1人签约该企业的概率是. 故答案为： 14．西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）分别设乙、丙被录用的概率为，根据题目描述条件列出方程组求解即可； （2）该事件包含四种情况，即三人都被录取（1种情况）、三人中两人被录用（3种情况），分别求概率后相加即可. 【详解】（1）设乙、丙能被录用的概率分别为， 则有，解得， 所以乙、丙能被录用的概率分别为，． （2）设甲、乙、丙能被录用的事件分别为，则，，，且相互独立， 则三人至少有两人能被录用包括， 四种彼此互斥的情况，则其概率为： . 15．某校运动会期间开设了知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)若从甲、乙两人中选取1人参加比赛，选谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中恰好只有1人赢得比赛的概率. 【答案】(1)甲； (2) 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算求解； （2）应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算，最后应用互斥事件概率和公式求解； 【详解】（1）甲赢得比赛的概率是，乙赢得比赛的概率是， ，∴甲赢得比赛的概率更大. （2）甲赢乙输的概率是，甲输乙赢的概率是， 相加得两人中恰好只有1人赢得比赛的概率. 16．某商店月收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表： 月收入范围 概率 0.12 0.25 0.16 0.14 (1)求月收入在范围内的概率； (2)求月收入在范围内的概率； (3)求月收入不在范围内的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用互斥事件概率和公式计算求解； （2）应用互斥事件概率和公式计算求解； （3）应用对立事件概率公式及互斥事件概率和公式计算求解； 【详解】（1）记这个商店月收入在，，，范围内的事件分别为，，，，则这4个事件彼此互斥． 月收入在范围内的概率是 （2）月收入在范围内的概率是 （3）月收入不在范围内的概率是 17．中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.乒乓球比赛个人单项赛事采取7场4胜制，当两人比分战成时，则第5场比赛被称为“天王山之战”.现假设甲乙两人比赛，首战甲获胜的概率为，每场结束后，败方在下一场获胜的概率提高为，每场比赛结果相互独立且每场比赛没有平局. (1)求两场后双方战成的概率； (2)若首战乙胜，求再战三场双方战至后甲在“天王山之战”中获胜的概率； (3)求至多进行5场比赛就能分出胜负的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】第一问由题目可分析出包含两种情况，由和事件概率可求得；第二问由通过具体分析包含三种情况，三者相加即为所求概率；第三问分为进行四场比赛和五场比赛，分别计算相应概率，最后求和. 【详解】（1）设事件“第场比赛甲获胜”，事件“第场比赛乙获胜”， 事件“两场后双方战成”， 所以， 故有. （2）记所求事件为，包含的所有结果：，， 所以 . （3）记为只进行场比赛的概率 ①只进行四场比赛的结果：，则对应的概率 ②只进行五场比赛 甲获胜的结果：，，，， 甲获胜的概率为： 乙获胜的结果：，，，， 乙获胜的概率为： 所以 综上，至多进行5场比赛就能分出胜负的概率. 18．甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意直接计算即可； （2）先由题意求出即可由独立事件概率乘法公式计算求解； （3）先依次分析计算求出甲、乙通过面试的概率，再由独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式计算即可求解. 【详解】（1）由题可得（甲只回答2道题且通过）； （2）由题可得， 若事件发生，则乙前两题对一题，错一题，第三题答对， ， 由题意可知事件相互独立， 所以； （3）记甲没有通过面试为事件， 包括前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则甲没有通过面试的概率为 则甲通过面试的概率为， 乙通过面试的事件记为，则概率为， 乙没有通过面试概率为， 由题意可知事件相互独立，甲、乙两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $