4. 机械能守恒定律（同步讲义）物理人教版必修第二册

4. 机械能守恒定律 【知识梳理】 1 一、 动能和势能的相互转化 1 二、 机械能守恒定律 1 【重难探究】 1 探究1 机械能守恒定律条件 1 探究2 机械能守恒定律的应用 4 【课堂自测·基础练】 8 【素养进阶·提升练】 16 【知识梳理】 知识点1 动能和势能的相互转化 1.重力势能与动能：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，重力势能转化成了动能；若重力做负功，则动能转化为重力势能。 2.弹性势能与动能：只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧弹性势能减少，物体的动能增加，弹性势能转化为动能。 3.机械能 (1)定义：重力势能、弹性势能和动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。 (2)机械能的改变：通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化为另一种形式。 知识点2 机械能守恒定律 1.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。 2.表达式：Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。 3.机械能守恒条件：只有重力或弹力做功。 【重难探究】 探究1 　机械能守恒的条件 【探究导入】如图，用细线拴着的小球在竖直面内摆动．探究以下问题： (1)小球的受力情况如何？ 提示：小球在摆动过程中受重力和线的拉力作用． (2)各力做功情况如何？小球的动能和势能如何变化？ 提示：拉力和速度方向总是保持垂直，对小球不做功，只有重力对小球做功．小球在摆动过程中重力势能和动能在不断相互转化． (3)这个实验说明了什么问题？ 提示：在摆动过程中，小球总能回到原来的高度，可见，重力势能和动能的总和不变． 【探究归纳】机械能守恒的四种情况[来源:学科网ZXXK] 1．物体只受重力，只发生动能和重力势能的相互转化，如自由落体运动、抛体运动等． 2．只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒． 3．物体既受重力，又受弹力，重力和弹力都做功，发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化，如自由下落的物体落到竖直的弹簧上和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒． 4．除受重力或弹力外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零．如物体在沿斜面的拉力F的作用下沿斜面向下运动，若拉力的大小与摩擦力的大小相等，则在此运动过程中，其机械能守恒． 【典例赏析】 [例1]（多选）如图所示，下列判断正确的是（　　） A．甲图中，从滑梯上加速下滑的小朋友机械能不守恒 B．乙图中，在匀速转动的摩天轮中的游客机械能守恒 C．丙图中，在光滑的水平面上，小球和弹簧系统机械能守恒 D．丁图中，不计任何阻力和细绳质量时，A的机械能守恒 【答案】AC 【详解】A．甲图中，从滑梯上加速下滑的小朋友，摩擦力对其做负功，则其机械能不守恒，故A正确； B．乙图中，在匀速转动的摩天轮中的游客，动能不变，但是重力势能在变化，所以他们的机械能不守恒，故B错误； C．丙图中，在光滑的水平面上，只有弹簧弹力对小球做功，故小球和弹簧组成的系统机械能守恒，故C正确； D．丁图中，不计任何阻力和细绳质量时，绳子拉力对A做负功，所以A的机械能不守恒，故D错误。 故选AC。 　【针对训练】 1．如图甲和图乙所示，一根轻绳的一端固定于O点，另一端系有一个小球。如图丙和图丁所示，一根轻杆的一端铰接在转轴O处，另一端同样固定一个小球，不计一切摩擦。在下列条件下，当小球由静止释放至最低点的过程中，机械能不守恒的情况是（　　） A．图甲：释放时轻绳水平且伸直 B．图乙：释放时轻绳与水平方向成一定夹角且伸直 C．图丙：释放时轻杆水平 D．图丁：释放时轻杆与水平方向成一定的夹角 【答案】B 【详解】A．在图甲中，当小球由静止释放至最低点的过程中，只有重力做功，绳的拉力的方向始终与小球的速度方向垂直，故拉力对小球的作用力不做功，所以小球的机械能守恒，故A错误； B．在图乙中，小球在下落过程中首先进行自由落体运动，此时绳子处于松弛状态；当小球运动至细绳完全伸直的那一刻，沿绳子方向的分速度减为零，导致机械能有损失，所以机械能不守恒。故B正确； CD．在图丙和图丁中，当小球由静止释放至最低点的过程中，只有重力做功，轻杆对小球的作用力不做功，所以小球的机械能守恒，故CD错误。 故选B。 2．如图所示，光滑的曲面体M放在光滑的水平面上，一轻弹簧右端固定，质量为m的小球从高度h处由静止下滑，则（　　） A．小球沿曲面下滑的过程中，小球机械能守恒 B．小球与弹簧刚接触时，速度小于 C．小球压缩弹簧至最短时，弹簧的弹性势能为mgh D．小球在压缩弹簧的过程中，小球的机械能守恒 【答案】B 【详解】AB．小球沿曲面下滑的过程中，曲面体对小球的支持力做负功，小球的机械能减小，小球减少的机械能转变为曲面体的动能，小球机械能不守恒；设小球与弹簧刚接触时的速度为，则有 解得 故A错误，B正确； C．小球压缩弹簧过程，弹簧的弹力对小球做负功，小球的动能转化为弹簧的弹性势能，小球的机械能不守恒，在小球压缩弹簧至最短时，弹簧的弹性势能为，故CD错误。 故选B。 探究2 机械能守恒定律的应用 【探究导入】如图所示，光滑轨道顶端高为h，底端通过小段圆孤与半径为R的光滑圆形轨道连接，整个轨道和斜面都在竖直平面内．一个小球从顶端A处由静止释放．探究以下问题： (1)小球从A点运动到B点的过程中，机械能是否守恒？ 提示：由于轨道光滑，小球运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒． (2)若小球能够到达B点，则到达B点的动能是多少？ 提示：根据机械能守恒定律，mg·2R＋Ek＝mgh 故Ek＝mgh－2mgR＝mg(h－2R) (3)若小球能恰好通过B点，则h和R是什么关系？ 提示：小球恰好通过B点的条件是mg＝.再根据机械能守恒定律mg·2R＋mv2＝mgh 故h＝R 、【探究归纳】1、运用机械能守恒定律的基本思路 2、机械能守恒定律和动能定理的比较 3.对于系统机械能守恒问题，应抓住以下几个关键 （1）分析清楚运动过程中各物体的能量变化； （2）哪几个物体构成的系统机械能守恒； （3）各物体的速度之间的联系。 4动能定理与机械能守恒定律的选择 （1）能用机械能守恒定律解决的题一般都能用动能定理解决，而且省去了确定是否守恒和选定重力势能参考平面的麻烦。 （2）能用动能定理来解决的题却不一定都能用机械能守恒定律来解决，在这个意义上讲，动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍。 应用机械能守恒定律解题的一般步骤： 【例2】 如图所示，水平面上固定一轻质弹簧，左端与墙壁相连，右端与质量为的小物块（可看成质点）接触（不连接）。弹簧处于原长时物块位于点，点左侧的水平面光滑，点右侧的水平面OB部分粗糙，长度为，与物块间的动摩擦因数为。OB右端与竖直面内的半圆形导轨在点平滑连接，导轨半径为。已知弹簧被压缩至位置时的弹性势能为，现将物块由静止释放，物块离开弹簧后沿水平面运动，经过点沿半圆形导轨运动，恰好能通过最高点C。重力加速度，求： (1)物块运动到半圆形轨道的点时，对轨道的压力大小； (2)物块沿半圆形轨道从点运动到点的过程中，摩擦力所做的功。 【详解】（1）物块自到，根据能量守恒得 在点，轨道支持力与重力的合力提供向心力，得 解得 由牛顿第三定律得物块对轨道的压力大小 （2）物块恰好通过点，重力提供向心力 解得 对到过程列动能定理，得 解得摩擦力所做的功 【针对训练】 3．如图所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连，弹簧处于自然长度时物块位于O点（图中未标出）。物块质量，弹簧劲度系数，物块与桌面间的动摩擦因数。现用水平向右的力将物块从O点拉至A点，弹簧伸长量，撤去拉力后物块由静止向左运动经O点最远到达B点。重力加速度为。下列说法中正确的是（    ） A．物块在B点所受弹簧弹力与在A点大小相等 B．物块运动的总路程为 C．物块最终停在O点右侧处 D．物块最终停在O点左侧处 【答案】D 【详解】A．如果没有摩擦力，物块以O点为平衡位置做简谐运动，则O点应该在AB中间，物块在B点所受弹簧弹力与在A点受弹簧弹力大小相等，由于有摩擦力，物体从A到B过程中机械能损失，故无法到达没有摩擦力情况下的B点，也即O点靠近B点，故物块在B点所受弹簧弹力小于在A点的弹力，故A错误； BCD．物块最终停止的位置应满足 解得 即物块若在O点左右两侧2cm的范围内的速度为0时，就会停止运动。物体从A到B过程由能量守恒 解得 物体从B往右运动到O点右侧由能量守恒 解得 以此类推，物体再次往左运动到O点左侧处停止，再往右运动到O点右侧处停止，接着再往左运动到O点左侧处停止，物块再向右侧运动时不足以运动到O点右侧，物块停在距离O点左侧处，根据能量守恒定律 解得 物块运动的总路程为，故BC错误，D正确。 故选D。 4．（多选）如图所示，一根轻质弹簧的一端固定于光滑竖直杆底部，另一端与质量为的滑块P连接，P穿在杆上，一根轻绳跨过光滑定滑轮将滑块P和重物Q连接起来，重物Q的质量为M，与水平方向的夹角，且在点时弹簧处于原长.把滑块P从图中点由静止释放，滑块刚好能运动到点，水平.已知，，下列说法正确的是（    ） A．从到的过程中，重物Q的机械能一直减小 B．从到的过程中，重物Q一直处于失重状态 C．从到的过程中，P与Q的机械能之和先增大后减小 D．重物Q与P两者的质量关系为 【答案】AD 【详解】A．从到的过程中，由于绳子对Q做负功，故重物Q的机械能一直减小，故A正确； B．由于P、Q沿绳子方向速度相同，则有 由题意可知，P滑块刚好能运动到点，则此时P速度为零，则Q的速度也为零，故从到的过程中，重物Q初末速度均为零，则Q的速度先增大后减小，速度方向向下，则其加速度方向先向下后向上，故重物Q先处于失重状态，后处于超重状态，故B错误； C．从到的过程中，由于弹簧一直处于拉伸状态，则在从到过程中，弹簧一直对滑块P做负功，可知P与Q的机械能之和一直减小，故C错误； D．由B选项分析可知P、Q初末速度均为零，设长度为，由能量守恒可得 解得，故D正确 故选AD。 （ 【课堂自测·基础练】 1．如图，篮球队运动员进行原地纵跳摸高训练。运动员先下蹲，重心下降，经过充分调整后，由静止发力跳起摸高。忽略空气阻力影响，在蹬地过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动员始终处于超重状态 B．运动员的机械能守恒 C．地面对运动员不做功 D．地面对运动员做正功 【答案】C 【详解】A．运动员起跳时，先向上加速，速度达到最大后开始减速，直至离开地面。此过程中，运动员先超重后失重，故A错误； B．运动员起跳消耗体内化学能转化为机械能，机械能增加，故B错误； CD．地面对运动员的支持力在起跳过程中没有位移，根据功的定义，支持力不做功，故C正确，D错误。 故选C。 2．如图是某运动员在撑杆跳比赛过程中通过频闪照相机获得的一组合成照片，相邻两图之间的时间间隔相等（杆可视为轻质弹性杆），则下列说法中正确的是（    ） A．从1到3过程中，运动员的动能减小 B．从4到7过程中，杆的弹性势能增加 C．从6到8过程中，运动员的重力势能减小 D．从6到8过程中，杆的弹性势能减小 【答案】D 【详解】A．从1到3过程中，运动员处于加速助跑阶段，动能增大，A错误； B．从4到7过程中，杆的形变先增大后减小，故杆的弹性势能先增大后减小，B错误； C．从6到8过程中，运动员的高度逐渐增大，重力势能逐渐增大，C错误； D．从6到8过程中，杆逐渐恢复形变，弹性势能逐渐减小，D正确。 故选D。 3．如图所示，在水平如镜的湖面上方，一颗钢珠从离水面不高处由静止落入水中，会溅起几滴小水珠。下列关于溅起的小水珠说法正确的是（　　） A．小水珠在空中上升过程处于超重状态 B．所有小水珠运动到各自最高点时速度一定为零 C．所有小水珠机械能总和等于钢珠静止下落时的机械能 D．所有小水珠机械能总和小于钢珠静止下落时的机械能 【答案】D 【详解】A．小水珠在空中上升时，加速度方向向下，处于失重状态，而不是超重状态，A错误； B．被溅起来的小水珠有的可能是竖直上抛，有的可能是斜抛，所以小水珠运动到最高点时竖直方向上的速度一定为零，水平方向上不一定为零，B错误； CD．钢珠下落时，部分能量会转化为水的内能、声能等其他形式的能量，因此小水珠的机械能总和会小于钢珠静止下落时的机械能，C错误，D正确。 故选D。 4．如图甲所示，一质量为1kg的滑块（视为质点）以某一初速度冲上足够长的固定斜面，以斜面底端为位移的起点，滑块在斜面上运动的动能随位移x变化的关系如图乙所示。取重力加速度大小。下列说法正确的是（　　） A．滑块在斜面上一直做减速运动 B．斜面倾角的正弦值为0.5 C．滑块与斜面间的动摩擦因数为0.25 D．滑块上滑过程克服摩擦力做的功为20J 【答案】C 【详解】ABD．由乙图可知滑块上滑时做减速运动，下滑时做加速运动，上滑的最大位移为5m，从斜面底端上滑至回到斜面底端过程中克服阻力做功为20J，所以上滑和下滑过程克服阻力做功都为。则上滑过程中有， 解得 故ABD错误； C．上滑过程中阻力做功， 解得 故C正确。 故选C。 5．如图所示，半径为R的半球固定在水平面上，质量为m的物块静止在半球的最高点，给物块一个微小扰动，物块沿半球下滑到B点时离开球面，B点与球心O连线与水平方向夹角为30°，重力加速度为g，不计物块大小，不计空气阻力，则物块在球面上运动过程中因摩擦产生的热量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设物块在B点时速度大小为v，则 从A到B过程，根据能量守恒 解得 故选C。 6．一根钓鱼线在拉紧和放松过程中，拉力与它的伸长量的关系如图所示。在这个过程中能量大致损耗（　　） A． B．0.5J C． D． 【答案】B 【详解】F-∆l图像的面积等于拉力的功可知，拉紧过程中增加的能量 放松过程中恢复的能量为 在这个过程中能量大致损耗 故选B。 7．如图，表面光滑的竖直圆环轨道固定在水平面上，半径为R，一小球静止在轨道的最高点A点。小球受到轻微的扰动，从A点由静止沿轨道滑下。已知P、O两点的连线与竖直方向的夹角为，小球可看作质点，重力加速度大小为g，则小球在P点受到轨道的支持力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小球从A点运动到P点，根据机械能守恒定律有 小球在P点时有 联立解得 故选D。 8．如图所示，一根轻弹簧右端固定在竖直挡板上，弹簧处于原长状态时，左端位于点。质量为2kg的滑块从点以初速度开始向右运动，与此同时在滑块上施加一个大小为20N的恒力，的方向与竖直方向成角，当滑块滑到点时与弹簧相撞，弹簧被压缩到位置时滑块速度为零，然后滑块反弹，运动到点时，速度再次为零。已知、的间距为2m，是、两点的中间位置，、的间距为0.5m，滑块可看作质点，取，，，则下面说法不正确的是（　　） A．滑块接触弹簧就开始减速 B．全过程因摩擦产生的热量为16J C．滑块与水平面之间的动摩擦因数为 D．弹簧的最大弹性势能为24J 【答案】A 【详解】A．滑块未接触弹簧时 故滑块刚接触弹簧时，滑块所受合外力方向水平向右，滑块仍有向右的加速度，还在加速，故A错误； BC．滑块从起始位置到运动到d点速度为零的整个过程中，因摩擦产生的热量等于滑块动能的减少量与恒力F做的功之和，即 又因为 解得，故BC正确； D．滑块由到的过程中，动能减少了 F做的功 由于摩擦产生的热量 由能量守恒定律得弹簧的最大弹性势能为，故D正确。 本题选择错误选项，故选A。 9．（多选）质量为m的物体从弹簧原长处由静止释放，当物体运动到最低点时，弹簧压缩量为h，重力加速度为g，则物体从释放到最低点的过程中，下列说法正确的是（    ） A．物体的重力势能增加了mgh B．合力对物体做的功是mgh C．物体重力势能减少，物体的动能先增加后减少 D．弹簧弹性势能增加了mgh 【答案】CD 【详解】AD．物体下降h后速度为零，则其重力势能减少了mgh，此过程物体和弹簧组成的整体，机械能守恒，则弹簧弹性势能增加了mgh，故A错误，D正确； B．由动能定理，合力对物体做的功为零，故B错误； C．物体重力势能减少，在弹簧对物体的弹力等于重力之前，物体所受合力均是竖直向下，则速度增加，弹力等于重力时，速度达到最大，弹力大于重力时，合力竖直向上，则物体速度减小，即物体的动能先增加后减少，故C正确。 故选CD。 10．（多选）神舟十二号返回舱载着空间站上一批航天员翟志刚、王亚平和叶光富返回地球。返回舱进入大气层一段时间后，逐一打开引导伞、减速伞、主伞，最后启动反冲装置，实现软着陆，其运动简化为竖直方向的直线运动，图像如图所示。设该过程中，重力加速度不变，返回舱质量不变，下列说法正确的是（　　） A．在时间内，返回舱的加速度减小 B．在时间内，返回舱重力的功率大小不变 C．在时间内，返回舱的动能随时间不变 D．在时间内，返回舱的机械能减小 【答案】AD 【详解】A．图像的斜率表示加速度，从图像来看在时间内图像的斜率在减小，加速度减小，故A正确； B．重力的功率为 由图像可知，整个过程中速度在随时间减小，所以重力的功率随时间减小，故B错误； C．物体的动能为 而在时间内，物体的速度在逐渐减小，所以动能也随时间在减小，故C错误； D． 在时间内，返回舱的动能在减小，下降过程重力势能也在减小，所以机械能在减小，故D正确。 故选AD。 11．（多选）如图所示，从水平地面上同一位置抛出两个不同的小球A、B，分别落在地面上的M、N两点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则（　　） A．落地时，小球B与小球A的速度相等 B．小球B与小球A的飞行时间相同 C．飞行时，小球B比小球A的机械能大 D．相同时间内小球B与小球A的速度变化相同 【答案】BD 【详解】AB．小球从最高点到地面过程中，在竖直方向做自由落体运动，由 两球运动的最大高度相同，以及运动的对称性可知小球在空中的飞行时间一样，由图可知B球在水平方向的位移更大，故 在竖直方向上有 可知 小球的落地速度为 联立可知小球的落地速度不相等，A错误；B正确； C．在最高点时，两个小球的速度 但小球的机械能除跟速度有关外还和小球的质量有关，故飞行时，小球B与小球A的机械能无法比较，C错误； D．在空中相同时间内的速度变化为 故相同时间内B球的速度变化与A球的速度变化相同，D正确。 故选BD。 12．（多选）水平面上有一固定斜面，斜面长，一质量为的小滑块以的初动能从斜面底端沿斜面向上滑动，恰好能够到达斜面顶端，重力势能增加了，然后小滑块又从斜面顶端滑回到底端。重力加速度，空气阻力不计，下面说法正确的是（　　） A．斜面的倾角为 B．滑块与斜面之间的动摩擦因数为 C．滑块下滑过程的加速度大小为 D．滑块下滑到斜面底端时的动能为 【答案】BD 【详解】A．设最低点处重力势能为零，滑块运动到最高点时，速度为0，此时滑块的重力势能为，由 解得 设斜面倾角为，则有 所以，故A错误； B．根据题意可知，滑块上滑过程中，除重力以外只有摩擦力做功，由功能关系可知 代入数据解得，故B正确； C．滑块下滑过程，由牛顿第二定律有 代入数据解得，故C错误； D．根据动能定理可知，滑块从顶端下滑到底端动能的增加量为 所以滑块下滑到斜面底端时的动能为，故D正确。 故选BD。 13．如图所示，AB为竖直平面内光滑弧形轨道，质量m=2kg的物体，在高度h=0.8m的A点，从静止沿轨道滑下，并进入与弧形轨道平滑连接的水平轨道BC。选BC所在平面重力势能为零，g取10m/s2。求： （1）物体在A点所具有的重力势能Ep； （2）物体下滑至B点时速度的大小v。 【详解】（1）物体在A点所具有的重力势能 （2）由A到B，根据机械能守恒 解得 14．某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛，如图所示，比赛路径由水平直线轨道AC和竖直固定圆轨道平滑连接组成。可视为质点的赛车从起点A由静止出发，沿固定轨道AC以恒功率运动，经过刚好到达B点，此时关闭发动机，B点右侧所有轨道均视为光滑轨道。赛车经C点进入半径的竖直圆轨道，恰好能够经过圆轨道最高点D。已知赛车质量，在AB段受到的阻力，g取，忽略空气阻力。求： (1)赛车通过D点时的速度大小； (2)赛车通过圆轨道的C点时对轨道的压力大小； (3)水平直线轨道AB的长度L。 【详解】（1）赛车恰好经过D点，重力提供向心力有 解得 （2）赛车从C点运动到D点，由机械能守恒 赛车在C点，合外力提供向心力有 解得 （3）赛车从A点运动到B点，由动能定理 解得 【素养进阶·提升练】 1．（2025·江西·高考真题）如图所示，Ⅰ和Ⅱ分别为神舟二十号飞船的近地圆轨道、椭圆变轨轨道，Ⅲ为天和核心舱运行圆轨道，P、Q为变轨点。不计阻力，飞船在轨道Ⅱ上从P点到Q点运动过程中，下列选项正确的是（　　） A．速率增大，机械能增大 B．速率减小，机械能减小 C．速率增大，机械能不变 D．速率减小，机械能不变 【答案】D 【详解】根据题意可知，飞船在轨道Ⅱ上从P点到Q点运动过程中，只有万有引力做负功，则机械能不变，动能减小，即速率减小。 故选D。 2．（2025·山东·高考真题）一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能全部给电动机供电，刚好维持小车以速度v匀速运动，此时电动机的效率为。已知小车的质量为m，运动过程中受到的阻力（k为常量），该光伏电池的光电转换效率为，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意小车匀速运动，则有 小车的机械功率 由于电动机的效率为，则有 光伏电池的光电转换效率为，即 可得 故选A。 3．（2025·浙江·高考真题）（多选）月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示，月球半径为R，表面重力加速度为，不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体，要求落在纬度的M处，其运动轨迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心O点，如果物体沿椭圆运动的周期最短，则（　　） A．发射点离月面的高度 B．物体沿椭圆运动的周期为 C．此椭圆两焦点之间的距离为 D．若水平发射的速度为v，发射高度为h，则物体落到M处的速度 【答案】BC 【详解】根据题意可知椭圆轨道的一个焦点为，设椭圆的另外一个焦点为，如图所示 设椭圆的半长轴为，焦距为，根据椭圆知识可知 根据开普勒第三定律可知如果物体沿椭圆运动的周期最短，则椭圆的半长轴最小，根据几何关系可知当垂直于时，半长轴最小，如图所示 由几何关系有 解得 C．根据几何关系可得椭圆的焦距，故C正确； A．根据几何关系可得发射点离月面的高度，故A错误； B．设物体绕月球表面做匀速圆周运动时的周期为，则由重力提供向心力得 结合开普勒第三定律 联立可得物体沿椭圆运动的周期为，故B正确； D．由引力势能公式 结合万有引力公式 结合机械能守恒定律有 联立可得，故D错误。 故选BC。 4．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距。一根长为的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量的小球，小球与水平地面接触但无压力。时，小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； (3)若在时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 【详解】（1）小球从最下端以速度v0抛出到运动到M正下方距离为L的位置时，根据机械能守恒定律 在该位置时根据牛顿第二定律 解得， （2）小球做平抛运动时， 解得x=4m （3）若小球经过N点正上方绳子恰不松弛，则满足 从最低点到该位置由动能定理 解得 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4. 机械能守恒定律 【知识梳理】 1 一、 动能和势能的相互转化 1 二、 机械能守恒定律 1 【重难探究】 1 探究1 机械能守恒定律条件 1 探究2 机械能守恒定律的应用 4 【课堂自测·基础练】 8 【素养进阶·提升练】 16 【知识梳理】 知识点1 动能和势能的相互转化 1.重力势能与动能：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，重力势能转化成了动能；若重力做负功，则动能转化为重力势能。 2.弹性势能与动能：只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧弹性势能减少，物体的动能增加，弹性势能转化为动能。 3.机械能 (1)定义：重力势能、弹性势能和动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。 (2)机械能的改变：通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化为另一种形式。 知识点2 机械能守恒定律 1.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。 2.表达式：Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。 3.机械能守恒条件：只有重力或弹力做功。 【重难探究】 探究1 　机械能守恒的条件 【探究导入】如图，用细线拴着的小球在竖直面内摆动．探究以下问题： (1)小球的受力情况如何？ 提示：小球在摆动过程中受重力和线的拉力作用． (2)各力做功情况如何？小球的动能和势能如何变化？ 提示：拉力和速度方向总是保持垂直，对小球不做功，只有重力对小球做功．小球在摆动过程中重力势能和动能在不断相互转化． (3)这个实验说明了什么问题？ 提示：在摆动过程中，小球总能回到原来的高度，可见，重力势能和动能的总和不变． 【探究归纳】机械能守恒的四种情况[来源:学科网ZXXK] 1．物体只受重力，只发生动能和重力势能的相互转化，如自由落体运动、抛体运动等． 2．只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒． 3．物体既受重力，又受弹力，重力和弹力都做功，发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化，如自由下落的物体落到竖直的弹簧上和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒． 4．除受重力或弹力外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零．如物体在沿斜面的拉力F的作用下沿斜面向下运动，若拉力的大小与摩擦力的大小相等，则在此运动过程中，其机械能守恒． 【典例赏析】 [例1]（多选）如图所示，下列判断正确的是（　　） A．甲图中，从滑梯上加速下滑的小朋友机械能不守恒 B．乙图中，在匀速转动的摩天轮中的游客机械能守恒 C．丙图中，在光滑的水平面上，小球和弹簧系统机械能守恒 D．丁图中，不计任何阻力和细绳质量时，A的机械能守恒 　【针对训练】 1．如图甲和图乙所示，一根轻绳的一端固定于O点，另一端系有一个小球。如图丙和图丁所示，一根轻杆的一端铰接在转轴O处，另一端同样固定一个小球，不计一切摩擦。在下列条件下，当小球由静止释放至最低点的过程中，机械能不守恒的情况是（　　） A．图甲：释放时轻绳水平且伸直 B．图乙：释放时轻绳与水平方向成一定夹角且伸直 C．图丙：释放时轻杆水平 D．图丁：释放时轻杆与水平方向成一定的夹角 2．如图所示，光滑的曲面体M放在光滑的水平面上，一轻弹簧右端固定，质量为m的小球从高度h处由静止下滑，则（　　） A．小球沿曲面下滑的过程中，小球机械能守恒 B．小球与弹簧刚接触时，速度小于 C．小球压缩弹簧至最短时，弹簧的弹性势能为mgh D．小球在压缩弹簧的过程中，小球的机械能守恒 探究2 机械能守恒定律的应用 【探究导入】如图所示，光滑轨道顶端高为h，底端通过小段圆孤与半径为R的光滑圆形轨道连接，整个轨道和斜面都在竖直平面内．一个小球从顶端A处由静止释放．探究以下问题： (1)小球从A点运动到B点的过程中，机械能是否守恒？ 提示：由于轨道光滑，小球运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒． (2)若小球能够到达B点，则到达B点的动能是多少？ 提示：根据机械能守恒定律，mg·2R＋Ek＝mgh 故Ek＝mgh－2mgR＝mg(h－2R) (3)若小球能恰好通过B点，则h和R是什么关系？ 提示：小球恰好通过B点的条件是mg＝.再根据机械能守恒定律mg·2R＋mv2＝mgh 故h＝R 、【探究归纳】1、运用机械能守恒定律的基本思路 2、机械能守恒定律和动能定理的比较 3.对于系统机械能守恒问题，应抓住以下几个关键 （1）分析清楚运动过程中各物体的能量变化； （2）哪几个物体构成的系统机械能守恒； （3）各物体的速度之间的联系。 4动能定理与机械能守恒定律的选择 （1）能用机械能守恒定律解决的题一般都能用动能定理解决，而且省去了确定是否守恒和选定重力势能参考平面的麻烦。 （2）能用动能定理来解决的题却不一定都能用机械能守恒定律来解决，在这个意义上讲，动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍。 应用机械能守恒定律解题的一般步骤： 【例2】 如图所示，水平面上固定一轻质弹簧，左端与墙壁相连，右端与质量为的小物块（可看成质点）接触（不连接）。弹簧处于原长时物块位于点，点左侧的水平面光滑，点右侧的水平面OB部分粗糙，长度为，与物块间的动摩擦因数为。OB右端与竖直面内的半圆形导轨在点平滑连接，导轨半径为。已知弹簧被压缩至位置时的弹性势能为，现将物块由静止释放，物块离开弹簧后沿水平面运动，经过点沿半圆形导轨运动，恰好能通过最高点C。重力加速度，求： (1)物块运动到半圆形轨道的点时，对轨道的压力大小； (2)物块沿半圆形轨道从点运动到点的过程中，摩擦力所做的功。 【针对训练】 3．如图所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连，弹簧处于自然长度时物块位于O点（图中未标出）。物块质量，弹簧劲度系数，物块与桌面间的动摩擦因数。现用水平向右的力将物块从O点拉至A点，弹簧伸长量，撤去拉力后物块由静止向左运动经O点最远到达B点。重力加速度为。下列说法中正确的是（    ） A．物块在B点所受弹簧弹力与在A点大小相等 B．物块运动的总路程为 C．物块最终停在O点右侧处 D．物块最终停在O点左侧处 4．（多选）如图所示，一根轻质弹簧的一端固定于光滑竖直杆底部，另一端与质量为的滑块P连接，P穿在杆上，一根轻绳跨过光滑定滑轮将滑块P和重物Q连接起来，重物Q的质量为M，与水平方向的夹角，且在点时弹簧处于原长.把滑块P从图中点由静止释放，滑块刚好能运动到点，水平.已知，，下列说法正确的是（    ） A．从到的过程中，重物Q的机械能一直减小 B．从到的过程中，重物Q一直处于失重状态 C．从到的过程中，P与Q的机械能之和先增大后减小 D．重物Q与P两者的质量关系为 【答案】AD 【课堂自测·基础练】 1．如图，篮球队运动员进行原地纵跳摸高训练。运动员先下蹲，重心下降，经过充分调整后，由静止发力跳起摸高。忽略空气阻力影响，在蹬地过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动员始终处于超重状态 B．运动员的机械能守恒 C．地面对运动员不做功 D．地面对运动员做正功 2．如图是某运动员在撑杆跳比赛过程中通过频闪照相机获得的一组合成照片，相邻两图之间的时间间隔相等（杆可视为轻质弹性杆），则下列说法中正确的是（    ） A．从1到3过程中，运动员的动能减小 B．从4到7过程中，杆的弹性势能增加 C．从6到8过程中，运动员的重力势能减小 D．从6到8过程中，杆的弹性势能减小 3．如图所示，在水平如镜的湖面上方，一颗钢珠从离水面不高处由静止落入水中，会溅起几滴小水珠。下列关于溅起的小水珠说法正确的是（　　） A．小水珠在空中上升过程处于超重状态 B．所有小水珠运动到各自最高点时速度一定为零 C．所有小水珠机械能总和等于钢珠静止下落时的机械能 D．所有小水珠机械能总和小于钢珠静止下落时的机械能 4．如图甲所示，一质量为1kg的滑块（视为质点）以某一初速度冲上足够长的固定斜面，以斜面底端为位移的起点，滑块在斜面上运动的动能随位移x变化的关系如图乙所示。取重力加速度大小。下列说法正确的是（　　） A．滑块在斜面上一直做减速运动 B．斜面倾角的正弦值为0.5 C．滑块与斜面间的动摩擦因数为0.25 D．滑块上滑过程克服摩擦力做的功为20J 5．如图所示，半径为R的半球固定在水平面上，质量为m的物块静止在半球的最高点，给物块一个微小扰动，物块沿半球下滑到B点时离开球面，B点与球心O连线与水平方向夹角为30°，重力加速度为g，不计物块大小，不计空气阻力，则物块在球面上运动过程中因摩擦产生的热量为（　　） A． B． C． D． 6．一根钓鱼线在拉紧和放松过程中，拉力与它的伸长量的关系如图所示。在这个过程中能量大致损耗（　　） A． B．0.5J C． D． 7．如图，表面光滑的竖直圆环轨道固定在水平面上，半径为R，一小球静止在轨道的最高点A点。小球受到轻微的扰动，从A点由静止沿轨道滑下。已知P、O两点的连线与竖直方向的夹角为，小球可看作质点，重力加速度大小为g，则小球在P点受到轨道的支持力大小为（　　） A． B． C． D． 9．（多选）质量为m的物体从弹簧原长处由静止释放，当物体运动到最低点时，弹簧压缩量为h，重力加速度为g，则物体从释放到最低点的过程中，下列说法正确的是（    ） A．物体的重力势能增加了mgh B．合力对物体做的功是mgh C．物体重力势能减少，物体的动能先增加后减少 D．弹簧弹性势能增加了mgh 10．（多选）神舟十二号返回舱载着空间站上一批航天员翟志刚、王亚平和叶光富返回地球。返回舱进入大气层一段时间后，逐一打开引导伞、减速伞、主伞，最后启动反冲装置，实现软着陆，其运动简化为竖直方向的直线运动，图像如图所示。设该过程中，重力加速度不变，返回舱质量不变，下列说法正确的是（　　） A．在时间内，返回舱的加速度减小 B．在时间内，返回舱重力的功率大小不变 C．在时间内，返回舱的动能随时间不变 D．在时间内，返回舱的机械能减小 11．（多选）如图所示，从水平地面上同一位置抛出两个不同的小球A、B，分别落在地面上的M、N两点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则（　　） A．落地时，小球B与小球A的速度相等 B．小球B与小球A的飞行时间相同 C．飞行时，小球B比小球A的机械能大 D．相同时间内小球B与小球A的速度变化相同 12．（多选）水平面上有一固定斜面，斜面长，一质量为的小滑块以的初动能从斜面底端沿斜面向上滑动，恰好能够到达斜面顶端，重力势能增加了，然后小滑块又从斜面顶端滑回到底端。重力加速度，空气阻力不计，下面说法正确的是（　　） A．斜面的倾角为 B．滑块与斜面之间的动摩擦因数为 C．滑块下滑过程的加速度大小为 D．滑块下滑到斜面底端时的动能为 13．如图所示，AB为竖直平面内光滑弧形轨道，质量m=2kg的物体，在高度h=0.8m的A点，从静止沿轨道滑下，并进入与弧形轨道平滑连接的水平轨道BC。选BC所在平面重力势能为零，g取10m/s2。求： （1）物体在A点所具有的重力势能Ep； （2）物体下滑至B点时速度的大小v。 14．某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛，如图所示，比赛路径由水平直线轨道AC和竖直固定圆轨道平滑连接组成。可视为质点的赛车从起点A由静止出发，沿固定轨道AC以恒功率运动，经过刚好到达B点，此时关闭发动机，B点右侧所有轨道均视为光滑轨道。赛车经C点进入半径的竖直圆轨道，恰好能够经过圆轨道最高点D。已知赛车质量，在AB段受到的阻力，g取，忽略空气阻力。求： (1)赛车通过D点时的速度大小； (2)赛车通过圆轨道的C点时对轨道的压力大小； (3)水平直线轨道AB的长度L。 【素养进阶·提升练】 1．（2025·江西·高考真题）如图所示，Ⅰ和Ⅱ分别为神舟二十号飞船的近地圆轨道、椭圆变轨轨道，Ⅲ为天和核心舱运行圆轨道，P、Q为变轨点。不计阻力，飞船在轨道Ⅱ上从P点到Q点运动过程中，下列选项正确的是（　　） A．速率增大，机械能增大 B．速率减小，机械能减小 C．速率增大，机械能不变 D．速率减小，机械能不变 2．（2025·山东·高考真题）一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能全部给电动机供电，刚好维持小车以速度v匀速运动，此时电动机的效率为。已知小车的质量为m，运动过程中受到的阻力（k为常量），该光伏电池的光电转换效率为，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·浙江·高考真题）（多选）月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示，月球半径为R，表面重力加速度为，不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体，要求落在纬度的M处，其运动轨迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心O点，如果物体沿椭圆运动的周期最短，则（　　） A．发射点离月面的高度 B．物体沿椭圆运动的周期为 C．此椭圆两焦点之间的距离为 D．若水平发射的速度为v，发射高度为h，则物体落到M处的速度 4．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距。一根长为的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量的小球，小球与水平地面接触但无压力。时，小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； (3)若在时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $