第5章 导数及其应用（知识清单）高二数学沪教版选择性必修第二册

该高中数学单元知识清单系统梳理了“导数及其应用”核心内容，涵盖导数的概念、物理与几何意义、运算规则及单调性、极值、最值等应用，构建了从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 清单以“易错点分类解析”为特色，将导数定义理解偏差、几何物理意义混淆等10类易错点系统梳理，每个易错点配错误分析、注意事项及针对性习题，培养学生数学思维与应用意识。通过“概念-运算-应用”关联设计，辅助教师精准教学，助力学生高效掌握导数知识。

第5章导数及其应用 1.导数的概念：函数在处的导数，是函数在附近的平均变化率当趋近于时所趋近的稳定值，记作把自变量对应到所给出的函数记作，称为的导函数，简称导数. 2.导数的物理意义：在满足函数关系的运动中，该函数在处的导数就是时刻的瞬时速度. 3.导数的几何意义：对于曲线，函数在处的导数就是曲线在点处切线的斜率.从而,函数在点处的切线方程为. 4.给定函数,在导数存在的前提下,对于不同的,总有一个确定的导数值与之对应.换句话说,如果用表示自变量,那么也是一个关于的函数,称为函数的导函数(简称为导数),其中.求一个函数的导(函)数的过程常简称为求导. 5.基本初等函数的基本运算：(1)，为常数；(2)(为常数)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8). 6.导数的四则运算：(1);(2)； (3)，其中.(4)，为常数 7.简单复合函数的导函数：如果一个函数的自变量又是另一个变量的函数,那么就可将直接看作变量的函数而得到一个新函数,这个新函数就被称为两个函数的复合函数. 型复合函数的求导法则:,其中.(由外向内) 型复合函数的求导法则:,其中.(由外向内) 8.函数的单调性：在区间上，若，则函数在该区间严格增；若，则函数在该区间严格减.导数的绝对值越大,函数图像就越“陡峭”,也就是函数值的变化速度越快. 9.函数的极值：极大值和极小值统称为极值,而极大值点和极小值点则统称为极值点. 在导数存在的前提下，若是函数的极值点，则，即是函数的驻点.反之，是函数的驻点的前提下，若在点的左侧附近有,而在的右侧附近有,则函数在处取得极大值;若在点的左侧附近有，而在的右侧附近有，则函数在处取得极小值. 10.函数的最值：连续函数在闭区间上必存在最值（最大值和最小值）. 易错01 导数定义的本质理解偏差 错误：混淆的趋近方向，或变形极限式时系数出错． 注意：紧扣导数定义式，分子是“后减前”，分母是对应自变量的差，变形时严格匹配系数． 1．设函数满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】， 故选：B 2．若函数在处可导，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数在处可导， . 故选：C. 3．设是可导函数，且，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】∵， ∴， ∴ . 故选：B 4．若函数在区间内可导，且，则 的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】由题意知，. 故选：B 易错02 几何与物理意义的混淆 错误： 1 曲线切线斜率与瞬时变化率的对应关系模糊； 2 误将“平均变化率”当“瞬时变化率”． 错例：求物体某时刻瞬时速度时，直接用时间段平均速度代替；混淆曲线在某点切线斜率（）与割线斜率． 注意： 几何意义：是曲线在点处切线的斜率，法线斜率为（）； 物理意义：位移函数的导数是瞬时速度，速度导数是瞬时加速度． 5．物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 【答案】C 【详解】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值，即是是物体在这一时刻的瞬时速度. 故选：C 6．函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，函数在处的瞬时变化率为 . 故选：C. 7．在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：）是，则运动员在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 运动员在时的瞬时速度即为，令， 根据导数的定义， ， 所以， 故运动员在时的瞬时速度为. 故选：A． 8．一物体的运动方程是，则在时的瞬时速度是（  ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】∵， ∴， ∴在 时的瞬时速度为. 故选：B. 9．一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】根据题意， ①在时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，则汽车在该时间段内匀速行驶，汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同，故①正确； ②在时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确； ③在时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确； ④汽车在时刻的瞬时速度为0，在时间段内，位移不变，则汽车在该时间段内静止不动故时刻的瞬时速度为0，故④不正确． 故选：C． 易错03 切线方程的“点”混淆 注意：混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”． 点在曲线上：先确认点为切点，直接用； 点不在曲线上：设切点$，列切线方程，代入已知点求，再求切线． 10．如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，所以， 又因为切线方程为，则切点坐标为，有， 所以. 故选：C 11．已知函数在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在点处的切线方程为， 所以，且，所以， 所以． 故选：A. 12．曲线在处的切线如图所示，则＝（   ）    A．0 B．2 C．－2 D．－1 【答案】C 【详解】设曲线在处的切线方程为， 则解得 所以曲线在处的切线方程为，则切线斜率为1， 所以， 因此，． 故选：C. 13．已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则，即直线的斜率为， 根据倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为. 故选：C 14．过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，可得， 设切点坐标为，可得切线方程为， 把原点代入方程，可得，即， 解得，所以切线方程为，即. 故选：A. 易错04 基本公式与四则运算混淆 错误： 1 幂函数求导：误将记反，如错写成； 2 三角/指数对数公式混淆：、、、，易漏乘或符号错误； 3 四则运算错用：积法则、商法则，漏乘或符号颠倒． 注意：熟记公式，复杂运算前先化简（如分式展开、三角恒等变形），再分步求导． 15．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，，. 故选：C. 16．下列各式正确的是（    ） A． B．，且 C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，该选项错误； 对于B，，该选项正确； 对于C，是个常数，所以，该选项错误； 对于D，，该选项错误； 故选：B. 17．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 18．已知，则＝ （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意. 故选：C. 19．当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】由，即，即， 所以是常数， 当时，，即所以， 当时，，得. 故选：D. 易错05 复合函数求导运算错误 错误：漏乘中间变量的导数，或复合层次拆分错误． 注意：遵循“由外向内，逐层求导，层层相乘”，明确复合关系，则． 20．函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，. 故选：D 21．已知函数，则（    ） A．10 B．20 C．60 D．42 【答案】C 【详解】，则． 故选：C. 22．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为所以A选项错误； 因为，所以B选项错误； 因为，所以C选项错误； 因为，所以D选项正确. 故选：D. 23．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，. 故选：D. 24．若函数，则等于（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】依题意，，所以. 故选：D 25．已知函数，则（   ） A．0 B． C．2025 D．4050 【答案】B 【详解】因为， 则， 故. 故选:B. 易错06 单调性判定的定义域与等号陷阱 错误： 1 求单调区间时忽略定义域（如含、的函数，定义域、）； 2 单调性与导数符号的关系混淆：是单调递增的充分非必要条件（且不恒为0才等价递增），误将直接判定递增，忽略恒为0的情况． 注意：先求定义域，再解（增区间）、（减区间），若恒成立且仅有限个点导数为0，仍判定为单调递增． 26．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域为，解不等式，可得， 故函数的单调递减区间为. 故选：B. 27．函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，. 则， 由，解得，此时单调递增. 故选：B 28．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则函数的定义域是， 又函数在区间上单调递减， 由，得， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 故选：A． 29．已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 30．若函数单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，即对任意恒成立， 即恒成立，因为（当且仅当时取“=”）， 所以. 故选：D 易错07 极值判定的“变号”陷阱 错误：误将当作极值点的充要条件，忽略“左右导数异号”． 注意：极值点判定两步走： 1 求的根或不可导点； 2 检验该点左右导数符号（异号则为极值点，同号则不是）． 31．函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的 （　　）    A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【详解】时，，故在上单调递减， 时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 显然C正确，其他选项错误. 故选：C. 32．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，， 在处的两边左正、右负，取得极大值； 在处的两边左负、右正，取值极小值； 在处的两边都为正，没有极值； 在处的两边左正、右负，取值极大值． 因此函数在开区间内的极小值点只有一个． 故选：A． 33．已知的一个极值点为2，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】，令0，得或， 又的一个极值点为2，则，解得，经检验满足题意. 故选：B. 34．已知函数在处取得极小值，则的极大值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由题得，因为函数在处取得极小值， 所以或， 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，符合题意， 所以函数在处取得极大值为； 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极大值，不符合题意； 综上，的极大值为4. 故选：A 35．设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 易错08 极值与最值的概念混淆 错误：将极值当最值，或忽略区间端点的函数值． 注意：求闭区间上最值的步骤：①求极值点函数值；②求端点、；③比较三者大小，最大为最大值，最小为最小值． 36．函数图象连续的函数在区间上（    ） A．一定存在极小值 B．一定存在极大值 C．一定存在最大值 D．极小值一定比极大值小 【答案】C 【详解】由函数的最值与极值的概念可知在上一定存在最大值． 故选：C． 37．函数在区间上的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】， 令，解得：， 令，解得： ， ∴函数在上递增，在上递减， ∴的极大值为 ， 又，， 故所求最大值为． 故选：C. 38．已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．函数有最大值，但不一定是 C．函数的最小值也可能是 D．函数不一定有最大值 【答案】D 【详解】函数定义域为，是开区间， 则当趋近于或时，若趋于正无穷大， 此时函数没有最大值，故AB错误，D正确； 因为函数有唯一的极大值， 所以在附近，函数值小于， 所以函数的最小值不可能是，故C错误. 故选：D. 39．定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则以下结论正确的是（    ） A．是函数的一个零点 B．是函数的极大值点 C．的单调递增区间是 D．无最小值 【答案】C 【详解】对于A项，由已知图象，仅可得出函数的单调性以及极值点，并不能得出函数的值，故A项错误； 对于B项，由已知图象可知， 当时，，所以在上单调递减； 当时，恒成立，所以在上单调递增， 所以是的极小值点，无极大值点，故B项错误； 对于C项，由B可知，在上单调递增，故C正确； 对于D项，由B可知，在处取得唯一极小值，也是最小值，所以D错误. 故选：C. 40．下列结论正确的是（   ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极大值一定是和时取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 【答案】D 【详解】因为函数在上的极值不一定是最值， 最值也不一定是极值；最值可能在端点处取得，此时不一定是极值， 而在上的连续函数一定存在最大值和最小值． 故选：D. 41．函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（    ）    A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 【答案】A 【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确； 易知是函数的极值，故B正确； 因为在上单调递增，则不是函数的最小值，故A错误； 因为函数在处的导数大于0，即切线的斜率大于零，故D正确. 故选：A． 42．已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为，所以， 令，得. 由题意得， 故． 故答案为：. 43．（多选题）下列结论不正确的是（    ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极小值一定是和时取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 【答案】ABC 【详解】选项A：若在上有极大值，则极大值不一定是上的最大值， 可能在端点处取得最大值.判断错误； 选项B：若在上有极小值，则极小值不一定是上的最小值， 可能在端点处取得最小值.判断错误； 选项C：若在上有极大值，则极小值一定不是和时取得. 判断错误； 选项D：若在上连续，则在上存在最大值和最小值.判断正确. 故选： ABC 易错09 实际应用中的“定义域”与“实际意义” 错误：建立函数模型时，忽略实际问题的定义域限制（如长度、面积、时间均为非负数）；求出极值点后，不验证是否符合实际意义． 注意：实际应用题先标注定义域，求出极值后，结合实际意义检验（如非负、整数、范围限制），再确定最优解． 44．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕（   ） A．8万千克 B．6万千克 C．3万千克 D．5万千克 【答案】D 【详解】种植万千克莲藕的销售额是，成本为：， 则利润，， 求导得，当时，；当，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，也即当利润最大时，每年需种植莲藕万千克. 故选：D 45．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且Q与P有如下关系：，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　) A．30元 B．60元 C．28000元 D．23000元 【答案】D 【详解】由题意得毛利润， ，令，解得（负值舍去）， 此时当时，，当时，， 则在单调递增，在单调递减， 最大毛利润为（元）， 故选：D 46．在函数的图象与x轴围成的封闭图形内作一内接矩形ABCD，则可作矩形的最大面积为（    ）    A． B． C． D．27 【答案】B 【详解】设A，B在抛物线上，若，则点B的坐标为， 所以矩形ABCD的面积可表示为，， 则， 令，解得或（舍去）， 可得在上单调递增，在上单调递减， 所以矩形的最大面积为：． 故选：B. 47．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一件产品，成本增加100元．已知总收益与年产量的关系式是，则总利润最大时，每年的产量是（    ） A．100件 B．200件 C．250件 D．300件 【答案】D 【详解】设总成本为元，总利润为元，则， P=R-C=所以= 令，得=300．当0< <300时，；当>300时，． 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当=300时，取得最大值. 故选：D. 易错10 含参函数的综合问题 求含参函数单调区间、极值时，易忽略参数对导数符号的影响，未按分界点分类讨论。由单调性求参数时，易混淆 “在区间单调” 与 “单调区间为某区间”，忽视导数不恒为 0；判断极值点时，常只看导数为 0 而不验证左右变号。能成立与恒成立问题易混用最值，研究函数零点时，易遗漏极值正负、区间端点及极限趋势分析，导致讨论不全。 48．函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为函数在上不单调， 所以函数有零点， 所以方程 有根， 所以函数与 有交点（且交点非最值点）， 因为函数的值域为， 所以 . 故选：D 49．已知函数有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：函数，则，令得或， 令，解得：或；令，解得： ； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 又，， 要使有3个不同的零点，则， 解得：. 故选：C 50．函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A 51．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由. ①当时，函数单调递增，不合题意； ②当时，函数的极值点为， 若函数在区间不单调，必有，解得； 综上所述：实数a的取值范围为. 故选：B. 52．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上存在单调递增区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，， 变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：D． 53．若函数在上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的定义域为，， 要函数在上有极值， 则在上有零点，即在上有实数根. 令， 则，当且仅当时等号成立， 所以. 当时，，函数单调递增， 则函数在上没有极值， 故. 故选:D. 1．已知函数在处可导，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，有，有. 故选：B. 2．如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】D 【详解】， 所以． 故选：D． 3．函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】函数在区间上的平均变化率为 在时的瞬时变化率为， 所以，解得． 故选：B． 4．在曲线的图像上取点及邻近的一点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 当时，． 故选：B． 5．若函数的图象与直线相切于点，则实数（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】，则，解得， 所以，即切点为， 代入直线整理得，解得. 故选：A． 6．设，则曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 故选：A． 7．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为点，为点， 由题图可知函数的图象在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大，且均为正数， 所以，而直线的斜率为，其比在处的切线的斜率小， 但比在处的切线的斜率大，所以． 故选：B． 8．下列求导运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D． 9．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C. 10．下列函数求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D． 11．已知函数，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】函数，所以，， 解得，， 所以. 故选：D． 12．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以令可得，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 13．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，则， 由，得，所以单调递减区间是. 故选:D． 14．是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，，若，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 又，，所以，函数在上单调递减， 由，得，即，所以. 故选:A． 15．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内的极小值点有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【详解】 如上图，为导函数与轴的交点的横坐标. 由图知，当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，. 即函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数在处都取得极小值；在处都取得极大值. 故函数在开区间内的极小值点有3个． 故选：C. 16．已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，可知在内有2个变号零点， 由可得，可知：与在内有2个交点， 又因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且，， 结合图象可得，所以实数a的取值范围为. 故选：B. 17．（多选）下列求导运算正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对A，，A正确； 对B，，B错误； 对C，，C错误； 对D，，D正确； 故选：AD. 18．已知函数,则__________. 【详解】对，求导得, 令,得,解得. 故答案为：1． 19．函数的单调递减区间为__________. 【详解】函数的定义域为，， ，解得， 故函数的单调递减区间为. 故答案为：. 20．设函数，若是的极大值点，则取值范围为________． 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得，则， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，因此； 当时，， 若，则，函数在上单调递增，函数无极值，不符合题意； 若，由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，是的极小值点，不符合题意； 若，由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点， 符合题意，此时，则， 所以取值范围为. 故答案为：． 21．函数在上的最小值为________，最大值为________． 【详解】因为，则． 令，则或． 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 因为，， 所以函数最小值为． 综上，函数在上的最小值为，最大值为0. 故答案为：，0. 22．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若P是曲线上一动点，求在P处的切线l的倾斜角的取值范围． 【详解】（1）方法一：由导数的定义及几何意义可得 ． 方法二：，则 所以在处的切线方程为，整理得 （2）设，在P处的切线斜率为， 即，由斜率，， 且得，. 1/6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章导数及其应用 1.导数的概念：函数在处的导数，是函数在附近的平均变化率当趋近于时所趋近的稳定值，记作 .把自变量对应到所给出的函数记作 ，称为的 ，简称 . 2.导数的物理意义：在满足函数关系的运动中，该函数在处的导数就是时刻的 . 3.导数的几何意义：对于曲线，函数在处的导数就是曲线在点处 .从而,函数在点处的切线方程为 . 4.给定函数,在导数存在的前提下,对于不同的,总有一个确定的导数值与之对应.换句话说,如果用表示自变量,那么也是一个关于的函数,称为函数的 (简称为 ),其中.求一个函数的导(函)数的过程常简称为求导. 5.基本初等函数的基本运算：(1) ，为常数；(2)(为常数)；(3)；(4) ；(5) ；(6) ；(7)；(8). 6.导数的四则运算：(1) ;(2) ； (3) ，其中.(4)，为常数 7.简单复合函数的导函数：如果一个函数的自变量又是另一个变量的函数,那么就可将直接看作变量的函数而得到一个新函数,这个新函数就被称为两个函数的 . 型复合函数的求导法则: ,其中.(由外向内) 型复合函数的求导法则: ,其中.(由外向内) 8.函数的单调性：在区间上，若，则函数在该区间 ；若，则函数在该区间 .导数的绝对值越大,函数图像就越“陡峭”,也就是函数值的变化速度 . 9.函数的极值：极大值和极小值统称为 ,而极大值点和极小值点则统称为 . 在导数存在的前提下，若是函数的极值点，则，即是函数的 .反之，是函数的驻点的前提下，若在点的左侧附近有,而在的右侧附近有,则函数在处取得 ;若在点的左侧附近有，而在的右侧附近有，则函数在处取得 . 10.函数的最值：连续函数在 上必存在最值（最大值和最小值）. 易错01 导数定义的本质理解偏差 错误：混淆的趋近方向，或变形极限式时系数出错． 注意：紧扣导数定义式，分子是“后减前”，分母是对应自变量的差，变形时严格匹配系数． 1．设函数满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．若函数在处可导，则等于（    ） A． B． C． D． 3．设是可导函数，且，则（   ） A．2 B． C． D． 4．若函数在区间内可导，且，则 的值为（    ） A． B． C． D．0 易错02 几何与物理意义的混淆 错误： 1 曲线切线斜率与瞬时变化率的对应关系模糊； 2 误将“平均变化率”当“瞬时变化率”． 错例：求物体某时刻瞬时速度时，直接用时间段平均速度代替；混淆曲线在某点切线斜率（）与割线斜率． 注意： 几何意义：是曲线在点处切线的斜率，法线斜率为（）； 物理意义：位移函数的导数是瞬时速度，速度导数是瞬时加速度． 5．物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 6．函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 7．在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：）是，则运动员在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 8．一物体的运动方程是，则在时的瞬时速度是（  ） A． B． C．1 D．2 9．一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错03 切线方程的“点”混淆 注意：混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”． 点在曲线上：先确认点为切点，直接用； 点不在曲线上：设切点$，列切线方程，代入已知点求，再求切线． 10．如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（    ） A． B． C．1 D．2 11．已知函数在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D． 12．曲线在处的切线如图所示，则＝（   ）    A．0 B．2 C．－2 D．－1 13．已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 14．过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 易错04 基本公式与四则运算混淆 错误： 1 幂函数求导：误将记反，如错写成； 2 三角/指数对数公式混淆：、、、，易漏乘或符号错误； 3 四则运算错用：积法则、商法则，漏乘或符号颠倒． 注意：熟记公式，复杂运算前先化简（如分式展开、三角恒等变形），再分步求导． 15．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 16．下列各式正确的是（    ） A． B．，且 C． D． 17．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 18．已知，则＝ （　　） A． B． C． D． 19．当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 易错05 复合函数求导运算错误 错误：漏乘中间变量的导数，或复合层次拆分错误． 注意：遵循“由外向内，逐层求导，层层相乘”，明确复合关系，则． 20．函数的导数为（    ） A． B． C． D． 21．已知函数，则（    ） A．10 B．20 C．60 D．42 22．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 23．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 24．若函数，则等于（   ） A． B．0 C．1 D．2 25．已知函数，则（   ） A．0 B． C．2025 D．4050 易错06 单调性判定的定义域与等号陷阱 错误： 1 求单调区间时忽略定义域（如含、的函数，定义域、）； 2 单调性与导数符号的关系混淆：是单调递增的充分非必要条件（且不恒为0才等价递增），误将直接判定递增，忽略恒为0的情况． 注意：先求定义域，再解（增区间）、（减区间），若恒成立且仅有限个点导数为0，仍判定为单调递增． 26．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 27．函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 28．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 30．若函数单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 易错07 极值判定的“变号”陷阱 错误：误将当作极值点的充要条件，忽略“左右导数异号”． 注意：极值点判定两步走： 1 求的根或不可导点； 2 检验该点左右导数符号（异号则为极值点，同号则不是）． 31．函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的 （　　）    A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递减 D．在上单调递增 32．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 33．已知的一个极值点为2，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 34．已知函数在处取得极小值，则的极大值为（   ） A．4 B．2 C． D． 35．设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 易错08 极值与最值的概念混淆 错误：将极值当最值，或忽略区间端点的函数值． 注意：求闭区间上最值的步骤：①求极值点函数值；②求端点、；③比较三者大小，最大为最大值，最小为最小值． 36．函数图象连续的函数在区间上（    ） A．一定存在极小值 B．一定存在极大值 C．一定存在最大值 D．极小值一定比极大值小 37．函数在区间上的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 38．已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．函数有最大值，但不一定是 C．函数的最小值也可能是 D．函数不一定有最大值 39．定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则以下结论正确的是（    ） A．是函数的一个零点 B．是函数的极大值点 C．的单调递增区间是 D．无最小值 40．下列结论正确的是（   ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极大值一定是和时取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 41．函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（    ）    A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 42．已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则的取值范围是________． 43．（多选题）下列结论不正确的是（    ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极小值一定是和时取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 易错09 实际应用中的“定义域”与“实际意义” 错误：建立函数模型时，忽略实际问题的定义域限制（如长度、面积、时间均为非负数）；求出极值点后，不验证是否符合实际意义． 注意：实际应用题先标注定义域，求出极值后，结合实际意义检验（如非负、整数、范围限制），再确定最优解． 44．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕（   ） A．8万千克 B．6万千克 C．3万千克 D．5万千克 45．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且Q与P有如下关系：，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　) A．30元 B．60元 C．28000元 D．23000元 46．在函数的图象与x轴围成的封闭图形内作一内接矩形ABCD，则可作矩形的最大面积为（    ）    A． B． C． D．27 47．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一件产品，成本增加100元．已知总收益与年产量的关系式是，则总利润最大时，每年的产量是（    ） A．100件 B．200件 C．250件 D．300件 易错10 含参函数的综合问题 求含参函数单调区间、极值时，易忽略参数对导数符号的影响，未按分界点分类讨论。由单调性求参数时，易混淆 “在区间单调” 与 “单调区间为某区间”，忽视导数不恒为 0；判断极值点时，常只看导数为 0 而不验证左右变号。能成立与恒成立问题易混用最值，研究函数零点时，易遗漏极值正负、区间端点及极限趋势分析，导致讨论不全。 48．函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．已知函数有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 50．函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 51．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 52．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 53．若函数在上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．已知函数在处可导，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 3．函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A． B．1 C．2 D． 4．在曲线的图像上取点及邻近的一点，则为（    ） A． B． C． D． 5．若函数的图象与直线相切于点，则实数（   ） A． B．2 C． D．3 6．设，则曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．4 7．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列求导运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 10．下列函数求导正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 12．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 13．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 14．是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，，若，则必有（    ） A． B． C． D． 15．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内的极小值点有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 16．已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 17．（多选）下列求导运算正确的有（   ） A． B． C． D． 18．已知函数,则__________. 19．函数的单调递减区间为__________. 20．设函数，若是的极大值点，则取值范围为________． 21．函数在上的最小值为________，最大值为________． 22．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若P是曲线上一动点，求在P处的切线l的倾斜角的取值范围． 1/6 学科网（北京）股份有限公司 $