专题03 第5章 导数与不等式（含恒成立，能成立问题）（4考点清单，知识导图+5个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020）

清单03 第5章 导数与不等式（含恒成立，能成立问题） （4个考点梳理+5题型解读+提升训练） 清单01 分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③转化：，使得能成立； ，使得能成立． ④求最值. 清单02 分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 清单03 等价转化法 ①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. ②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 清单04 最值定位法 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 【考点题型一】借助分离变量法解决恒成立问题（） 【例1】（24-25高二下·上海·期中）已知函数，的图象在处的切线为． (1)求函数的解析式； (2)设，比较与大小关系，并说明理由； (3)若对任意的，对任意的恒成立，求满足条件的最大整数的值． 【变式1-1】.（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知对任意成立，求实数a的取值范围为 . 【变式1-2】.（24-25高二下·重庆·期中）已知函数. (1)若为函数的极大值点，求的值； (2)若，恒成立，求的取值范围. 【变式1-3】.（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数． (1)求的极值； (2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围． 【考点题型二】借助分离变量法解决能成立（有解）问题（） 【例2】（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 【变式2-1】.（23-24高二下·四川南充·期中）已知函数，若存在，使，则实数的取值范围是 . 【变式2-2】.（2021·吉林长春·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数a的取值范围. 【考点题型三】借助分类讨论法解决恒成立问题（） 【例3】（24-25高二下·上海宝山·期中）已知函数 . (1)当 时，求函数 的最小值； (2)证明方程 有且仅有一正一负根: (3)若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【变式3-1】.（24-25高二下·上海·期中）已知函数 . (1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)求 的单调区间; (3)设 ，若 对于 恒成立，求 的最大值. 【变式3-2】.（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，，若对于任意，的图象恒在图象上方，则实数m可取的最大整数值为 . 【变式3-3】.（2025高二·全国·专题练习）若不等式对所有恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【考点题型四】最值定位法解决双参不等式问题（） 【例4】（24-25高二下·天津和平·期中）已知函数，. (1)求的单调区间和极值； (2)若在单调递增， 求的取值范围; (3)当时，若，对使得，求的取值范围. 【变式4-1】.（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数，. (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【变式4-2】（22-23高三上·全国·开学考试）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对于任意的，都存在，使得成立，试求实数的取值范围. 【考点题型五】值域法解决双变量相等问题（） 【例5】（24-25高一上·福建福州·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)求函数在的值域； (3)我们知道：函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现：可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.已知函数的图象关于直线对称，且当时，，若，，使得，求实数的取值范围. 【变式5-1】.（23-24高一上·湖南株洲·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义证明在区间上的单调性； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【变式5-2】.（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 提升训练 一、填空题 1．（2025·湖南长沙·一模）不等式对任意成立，则实数的取值范围是 . 2．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知，若不等式对任意实数恒成立，则的最大值为 . 3．（24-25高二下·天津·期中）已知函数，若对任意，存在，使成立，则的取值范围是 . 4．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知函数，若，，则实数k的最大值是 ． 5．（21-22高二下·辽宁大连·阶段练习）已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是 6．（23-24高三上·江苏·开学考试）已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是 . 7．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）已知函数，当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 8．（2025高三下·全国·专题练习）已知不等式对上恒成立，则实数的最小值为 ． 二、解答题 9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求实数和的值； (2)设，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 10．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若，对恒成立，求实数a的取值范围． 11．（2026高三·全国·专题练习）设函数，． (1)求证：当时，； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 12．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 13．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数，（b为常数）． (1)函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数b的值； (2)若，，存在使得成立，求满足上述条件的最大整数M； (3)当时，若对于区间内的任意两个不相等的实数，都有成立，求b的取值范围． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 第5章 导数与不等式（含恒成立，能成立问题） （4个考点梳理+5题型解读+提升训练） 清单01 分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③转化：，使得能成立； ，使得能成立． ④求最值. 清单02 分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 清单03 等价转化法 ①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. ②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 清单04 最值定位法 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 【考点题型一】借助分离变量法解决恒成立问题（） 【例1】（24-25高二下·上海·期中）已知函数，的图象在处的切线为． (1)求函数的解析式； (2)设，比较与大小关系，并说明理由； (3)若对任意的，对任意的恒成立，求满足条件的最大整数的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)． 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）根据以及即可求得； （2）研究的单调性，得出即可； （3）利用参变分离构造函数，只需求其最小值即可. 【详解】（1）由得，， 因函数的图象在处的切线为，则， 因切点为，则，则， 故 （2） 则， 则得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因此，对任意成立． （3）， 因对任意的恒成立，则， 即对任意的恒成立， 令，则， 则得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 则，即，故最大整数． 【变式1-1】.（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知对任意成立，求实数a的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】将不等式两边取对数，分离参变量并构造函数，求出函数的最值即可得解. 【详解】，，而， 于是得：，， 令，，， 当时，，当时，， 因此，在上单调递增，在上单调递减， 即当时，， 于是得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式1-2】.（24-25高二下·重庆·期中）已知函数. (1)若为函数的极大值点，求的值； (2)若，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数 【分析】（1）根据题意得出，求出的值，然后结合极值点的定义验证即可； （2）由参变量分离法可得，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，则， 因为为函数的极大值点，则，解得， 此时，， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 此时，函数在处取得极大值，合乎同意. 综上所述，. （2）对任意的，，可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. 【变式1-3】.（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数． (1)求的极值； (2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值． (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出导函数，进而求出函数的单调区间，根据极值的概念求解即可. （2）法一：参变分离，令，利用导数求解在区间上的最小值即可得解； 法二：将问题转化为恒成立，令，利用导数求在区间上的最小值即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为，由得， 解方程，可得， 解不等式，可得，所以在区间上单调递增， 解不等式，可得，所以在区间上单调递减， 所以，无极大值． （2）法一：对任意恒成立也即恒成立， 令，下求在区间上的最小值即可． ，解不等式，可得， 所以在区间上单调递增， 解不等式，可得，所以在区间上单调递减， 所以，所以，所以， 所以实数的取值范围为． 法二：对任意恒成立也即恒成立， 令，求在区间上的最小值． 则，解不等式，可得，所以在区间上单调递增， 解不等式，可得，所以在区间上单调递减， 所以， 所以可得， 所以实数的取值范围为． 【考点题型二】借助分离变量法解决能成立（有解）问题（） 【例2】（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值； (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究能成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可； （2）当时，当时，不等式变形为在上有解，构造函数，，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案． 【详解】（1）当时，，所以， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； （2）当时恒成立，所以； 当，在上有解，即在上有解， 即在上有解， 令，， 则 由（1）知时，即， 所以当时，当时； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数的取值范围是. 【变式2-1】.（23-24高二下·四川南充·期中）已知函数，若存在，使，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】问题等价于存在，使，令，求出在上的最小值即可. 【详解】函数，若存在，使， 即存在，使， 令，，则， 当，；当，， 则有在上单调递减，在上单调递增，， 存在，使，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式2-2】.（2021·吉林长春·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值； (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究能成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可； （2）当时，不等式变形为在上有解，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案． 【详解】（1）当时，，所以 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； （2）当，在上有解，即在上有解， 即在上有解， 令，则 由（1）知时，即， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数a的取值范围是. 【考点题型三】借助分类讨论法解决恒成立问题（） 【例3】（24-25高二下·上海宝山·期中）已知函数 . (1)当 时，求函数 的最小值； (2)证明方程 有且仅有一正一负根: (3)若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】判断零点所在的区间、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）由题可得，判断导函数符号，可得函数的单调性，即可得函数的最小值； （2）问题转换成单调性结合零点存在性定理即可得答案； （3）令，求导得，然后分，两种情况讨论可得答案； 【详解】（1），     当，，单调递减， 当，，单调递增， ； （2）方程 可化简为， 方程的根就是函数 的零点， 由解析式易知在 ， 上单调递增， 因为 ， 所以函数在有唯一零点 ，且， 因为，，所以函数 在 有唯一零点 ，所以有且仅有一正一负根. （3）设， 则当时恒成立， ①由（1）得， 当时， ，，单调递减， ，，单调递增， .∴ ②当时，，这与矛盾， 综上，． 所以实数 的取值范围. 【变式3-1】.（24-25高二下·上海·期中）已知函数 . (1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)求 的单调区间; (3)设 ，若 对于 恒成立，求 的最大值. 【答案】(1) (2)减区间是，增区间是； (3)的最大值为. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求解； （2）首先求函数的导数，根据导数的正负，判断函数的单调区间； （3）首先根据（2）的结果解不等式，再转化不等式，利用参变分离，转化为函数最值问题，即可求解. 【详解】（1），，， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）， 当时，，，所以，所以在区间上单调递减， 当时，，，所以，所以在区间上单调递增， 所以函数的减区间是，增区间是； （3），，则，， 由（2）可知，，即，即，即, 当时，，设， 设，得， 当时，，单调递减，当，，单调递增， 所以函数在的最小值是，则， 当时，恒成立， 当时，，，所以恒成立， 综上可知，，所以的最大值为. 【变式3-2】.（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，，若对于任意，的图象恒在图象上方，则实数m可取的最大整数值为 . 【答案】4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】令，利用导数可求其最小值，根据最小值大于等于0可得，设，利用导数讨论其单调性后可求实数m可取的最大整数值. 【详解】由题设可得对任意的恒成立， 设，则， 若，则恒成立，故在上为增函数， 故， 由在上恒成立，故即. 若，则当时，， 当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故， 设，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 而，， 结合的单调性可知实数m可取的最大整数值为4. 故答案为：4. 【点睛】思路点睛：不等式的恒成立问题可通过构建新函数来处理，后者可利用导数求出其最小值，根据最小值的符号来确定参数的取值范围. 【变式3-3】.（2025高二·全国·专题练习）若不等式对所有恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数分类讨论恒成立得解. 【详解】设函数，求导得，由，解得， 当时，对所有，都有，函数在上单调递增， 当时，，即时，对所有，都有，满足题意； 当时，由，得， 函数在上单调递减， 又，则当时，，即，不合题意， 所以a的取值范围是. 故答案为： 【考点题型四】最值定位法解决双参不等式问题（） 【例4】（24-25高二下·天津和平·期中）已知函数，. (1)求的单调区间和极值； (2)若在单调递增， 求的取值范围; (3)当时，若，对使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）求导分析单调性，极值，即可求解； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，结合导数即可求解； （3）由题意得出，利用导数求解即可. 【详解】（1）因为，定义域为R，， 由可得，由可得， 所以单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值. （2），其中， 则， 因为在单调递增，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，即，， 设，，， 所以在上单调递增，所以，所以， 故的取值范围为. （3）当时，若，对使得，则， 由（1）可知，函数在上单调递增， 故当时，， 当时，，其中，则， 此时，函数在上为减函数， 故当时，， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 【变式4-1】.（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数，. (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究能成立问题、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导函数求出切线斜率，结合切点坐标写出切线的点斜式方程，整理成一般式方程即可； （2）利用导函数，分类讨论参数在不同取值范围时，根据导函数值的正负得出函数的单调性； （3）利用导函数分别求出函数的最值，根据“恒成立”和“能成立”得到关于的不等式，再次利用导函数求单调性结合特殊点函数值解不等式即可. 【详解】（1）由求导可得，， 又， 所以在处的切线方程为，即. （2）由题意，，，定义域为， 则， 因为，所以， 当时，，故在上单调递减； 当时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，若对于任意，总存在，使得， 即在上的最小值大于等于在的最小值， 由（2）知，时，在上单调递减，在上单调递增， 故， ，， 因为，所以在上恒成立，故在上单调递减， 则， 所以，即， 令，， 则， 故在上单调递减， 又， 所以当时，，当时，， 故m的取值范围为. 【变式4-2】（22-23高三上·全国·开学考试）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对于任意的，都存在，使得成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求出导函数，由导数的正负确定单调性； （2）利用导数求出的最小值，问题转化为不等式恒成立，再用分离参数法分离参数后转化为求函数的最大值． 【详解】（1）由题可知函数的定义域为. 因为，则. 当时，. 所以当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 所以的单调递增区间为的单调递减区间为. （2）因为，所以， 又，所以，故函数在上单调递增， 所以. 所以对任意的恒成立，即恒成立. 所以恒成立. 令，则. 令，则，解得. 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，，所以函数在上单调递减. 所以.所以. 所以实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、确定不等式恒成立问题．在含有全称量词与存在量词的命题中注意问题的转化： （1）对于任意的，任意的，恒成立， （2）对于任意的，存在，使得成立， （3）存在，使得对任意的，都有成立， （4）存在，存在，使得成立． 【考点题型五】值域法解决双变量相等问题（） 【例5】（24-25高一上·福建福州·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)求函数在的值域； (3)我们知道：函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现：可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.已知函数的图象关于直线对称，且当时，，若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、由奇偶性求函数解析式、由对称性求函数的解析式、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及时的解析式，求时函数的解析式，依据奇函数的性质，确定时的函数值即可； （2）利用换元法以及二次函数的单调性即可求解； （3）根据函数的对称性，求出时函数的解析式，进而确定的解析式，结合已知条件以及二次函数的性质分情况分析即可确定实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， ， 又是奇函数， ， . （2）当时，， 令，则， ，， 二次函数开口向上，对称轴为， 当时，， 函数在的值域为. （3）函数的图象关于直线对称， 由题意可得：函数为偶函数， ，， 当时，， ， 令，其中， 函数在的值域记为，函数在的值域记为， 由（2）知， ，，使得， 即，只需， 二次函数开口向上，且对称轴为， ①当时，在单调递增， ， ，解得：， ②当时，在单调递减， ， ，解得：， ③当时，在单调递减，在单调递增， ， ，解得：， 综上：的取值范围为：. 【变式5-1】.（23-24高一上·湖南株洲·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义证明在区间上的单调性； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、由函数对称性求函数值或参数 【分析】（1）设函数图象的对称中心为，根据函数关于点对称的性质得到，代入求解即可得到的值，从而得到对称中心. （2）根据单调性定义证明即可. （3）由题意可知函数的值域是值域的子集，由（2）易得的值域，的值域可对二次函数的对称轴和区间的位置关系进行分类讨论得到，最终整合得到实数m的取值范围. 【详解】（1）设函数图象的对称中心为，则， 即， 整理得， 于是，解得， 所以的对称中心为. （2）任取，且，则 ， 所以且， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）由题意得：的值域是值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故的值域为， 于是原问题转化为在上的值域， ①当即时，在上单调递增， 同时的图象恒过对称中心， 可知在上也单调递增，故在上单调递增， 又，，故， ，，解得，又，故此时； ②当即时，在上单调递减，上单调递增， 又过对称中心，故在上单调递增，上单调递减， 故此时， 欲使，只需，且， 解不等式得：，又，故此时； ③当即时，在上单调递减，在上也单调递减， 由对称性知在上单调递减，于是， ，故，解得，又，故此时， 综上，实数的取值范围是. 【变式5-2】.（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）由为方程的两个不等实数根，根据韦达定理求解，然后解一元二次不等式即可； （2）将不等式化简，令，可得对恒成立，只需满足，求解的范围； （3）根据二次函数与一次函数的性质求解函数与的值域，将问题转化为函数值域是函数值域的子集列不等式组求解. 【详解】（1）由题意，为方程的两个不等实数根， ，所以不等式为 ， 解得或，所以不等式解集为. （2）对恒成立， 令，即对恒成立， 因为函数开口向上，故只需满足， 解得，所以的取值范围为 （3）当时，，开口向上，对称轴为 当时，，，， 时，，由题意， 对任意，总存在，使成立， 即函数的值域是函数的值域的子集， 即，， 解得，所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求解函数的存在性与恒成立问题一般可用以下的方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法. 提升训练 一、填空题 1．（2025·湖南长沙·一模）不等式对任意成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据题意，转化为对任意成立，分两种情况讨论：（1）不等式且对任意成立，结合的性质，求得；（2）方程且有相同的解，进而得到的取值范围. 【详解】由不等式，可得， 要使得不等式对任意成立， 可得分为两种情况： （1）不等式且对任意成立， 由不等式恒成立，即，可得； 由不等式恒成立，即在恒成立， 令，可得恒成立， 所以在上单调递增，所以，则，所以； （2）方程且有相同的解，即且的零点重合， 由，可得，将代入，可得，解得. 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 2．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知，若不等式对任意实数恒成立，则的最大值为 . 【答案】/ 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】令，由题意有，利用导数求最小值，得，令，利用导数求最大值即可. 【详解】令，由不等式对任意实数恒成立等价于， 所以，令有，令， 由有，有，所以在单调递增，在单调递减， 所以， 所以， 令， 所以，令有， 由有，由有， 所以在单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 故答案为：. 3．（24-25高二下·天津·期中）已知函数，若对任意，存在，使成立，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用导数研究能成立问题、求二次函数的值域或最值、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据题意，得到，从而转化为任意，有，根据二次函数性质分类求解即可. 【详解】对任意都存在使成立， 所以得到， 而，所以， 当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 所以 即任意，使， 令 当时，即时，， 所以， 当时，即时，成立， 当时，即时，， 所以， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 4．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知函数，若，，则实数k的最大值是 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】根据题意，转化为即，设，利用导数求得函数单调性与最大值，即可求解. 【详解】由，可得，即， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，当时，取得最大值，最大值为， 因为，，所以，所以实数的最大值为. 故答案为：. 5．（21-22高二下·辽宁大连·阶段练习）已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题、利用导数研究方程的根 【分析】将存在唯一的正整数，使得转化为存在唯一的正整数，使得，然后构造函数，然后利用导数研究函数的性质，进而数形结合即可得出结果. 【详解】因为存在唯一的正整数，使得，则因为存在唯一的正整数，使得， 令，所以存在唯一的正整数，使得，， 所以，，所以单调递减；，，所以单调递增， 所以，恒过定点， 所以当时，有无穷多个整数，使得， 当时，函数单调递增，作出函数图象：    记上，所以，所以 实数a的取值范围是， 故答案为：. 6．（23-24高三上·江苏·开学考试）已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、根据集合的包含关系求参数 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数求出函数在区间上的取值集合，再借助集合的包含关系列式求解作答. 【详解】由，得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，函数值从减小到0， 当时，，函数在上单调递增，函数值从0增大到，    令，显然函数在上单调递减，函数的值域为， 由对任意的，总存在唯一的，使得成立，得， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：涉及不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 7．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）已知函数，当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据导数，分别讨论的范围，求出函数的单调区间，进而求得满足条件的范围． 【详解】由题意，， 当时，在恒成立， 所以在恒成立，不合题意； 当时，令， 则，且， ①当时，即，， 所以在上单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立，符合题意； ②当，即，， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 又，所以当时，， 所以在上单调递增，则在上恒成立， 所以不符合题意， 综上所述，． 故答案为： 8．（2025高三下·全国·专题练习）已知不等式对上恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由题意可得，设，利用导数求得其单调区间，然后按照，和分类讨论，运用参变分离和构造函数法，运用导数求单调性及最值，综合三种情况即可求解. 【详解】可变为， 再变形可得，，设， 原不等式等价， ，令得，令得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 当时，，所以由，可得， 因为，所以． 设， 令得，令得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即． 当时，不等式在上恒成立； 当时，，无论是否存在， 使得在上恒成立，都可判断实数的最小值为． 故答案为： 二、解答题 9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求实数和的值； (2)设，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据导数的几何意义，求切点坐标，再代入直线方程，即可求解； （2）根据不等式，参变分离为在上恒成立，转化为最值问题，即可求解. 【详解】（1）易知，的定义域是，， 所以. 因为曲线在处的切线方程为， 所以，所以， 所以切点坐标为. 将代入切线方程，得. （2）由（1）得，所以， 当时，，即在上恒成立， 等价于在上恒成立. 令，，则. 因为，所以当时，恒成立， 所以在上单调递减，所以， 则实数的取值范围为. 10．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若，对恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为及 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）先求得，结合的解集，即可求得函数的单调递增区间； （2）求得，当时，求得，令求得；当时，利用在的单调性，得到，令函数，利用导数，结合函数的单调性，进而得到答案． 【详解】（1） 由题意可得，， 令，解得或， 所以的单调递增区间为及； （2），， 则当，在单调递增，所以， 令，可得，所以； 当时，函数在单调递减，在单调递增， 所以， 令，可得， 令，，可得， 所以为单调递减， 所以，所以，所以在上单调递减， 因为且，所以， 综上可得：实数的取值范围为． 11．（2026高三·全国·专题练习）设函数，． (1)求证：当时，； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求导，根据导数判断函数单调性，进而可得函数最值，即可证明不等式； （2）由已知可得，求导判断函数单调性，即可得函数正弦值，进而可得参数范围. 【详解】（1）因为当时，， 所以在上单调递减， 又， 所以当时，． （2）因为， 所以， 由（1）知，当时，， 所以， 所以在上单调递减， 所以当时，， 因为在上有解， 所以，即， 所以的取值范围是． 12．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）转化为存在，使成立，令，利用导数求出的最大值可得答案； （2）转化为在上恒成立，令，利用导数求出可得答案． 【详解】（1）由得， 可得存在，使成立， 令，，令得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 若存在，使成立，则； （2）， 若在上恒成立， 则在上恒成立， 令，则， 令，则（舍）或， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 则，则k的最小值为． 13．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数，（b为常数）． (1)函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数b的值； (2)若，，存在使得成立，求满足上述条件的最大整数M； (3)当时，若对于区间内的任意两个不相等的实数，都有成立，求b的取值范围． 【答案】(1)或1； (2)0 (3)2. 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数求出函数的图象在点处的切线方程，再由直线与函数的图象相切求出的值. （2）求出函数在上的最值，再由能成立求出范围. （3）根据给定条件变形不等式并构造函数，利用导数探讨单调性，进而求出. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 因此函数的图象在点处的切线方程为， 由直线与函数的图象相切，得有两个相等的实根， 方程中，，解得或， 所以实数b的值为或1. （2）当时，，，求导得， 函数在上单调递减，， 由存在使得成立，得， 而，即，则， 所以最大整数M的值为0. （3）由，不妨设， 而函数在上单调递增，则， 当时，函数在上单调递减，则， 不等式， 即，令， 依题意，，成立，因此函数在上单调递增， 则，成立，即在上恒成立， 而函数在上单调递增，当时，，因此，而， 所以. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$