专题03 三角函数与解三角形（3大考点）（安徽专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题03 三角函数与解三角形 3大考点概览 考点01三角函数 考点02三角恒等变换 考点03解三角形 ( 三角函数 考点1 ) 一、单选题 1．（2026·安徽宿州·一模）已知函数，当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·一模）已知函数为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽黄山·一模）函数的图象向左平移后关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽淮南·一模）已知，若（为自然对数的底数），则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 二、多选题 5．（2026·安徽安庆·一模）已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽合肥·一模）已知函数．若存在不相等的实数，使得，则下列说法中正确的有（   ） A． B．若的最小值为，则 C．若，则的取值范围为 D．若，且的最大值为，则的取值范围为 7．（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数列，则（    ） A．在区间上单调递减 B．的图象关于直线对称 C．的最小值为 D．的最大值为1 8．（2026·安徽黄山·一模）是的最大内角，且，则下列结论正确的是（   ） A．可能为锐角三角形 B．的最大值为 C．面积的最小值为 D．的最小值为2 三、填空题 9．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围为_______________. 四、解答题 10．（2026·安徽淮南·一模）已知函数的最大值为1，为常数． (1)求函数在上的单调递增区间； (2)求使成立的的取值集合． ( 三角恒等变换 考点 2 ) 一、多选题 1．（2026·安徽淮南·一模）在中，，在线段上，且．则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽芜湖·一模）已知直线与单位圆（为坐标原点）交于两点，下列说法正确的有（    ） A．的最大值为2 B．当直线过点时，的最小值为 C．当时，中点的轨迹方程为 D．当原点到直线的距离为时，的最大值为 二、填空题 3．（2026·安徽合肥·一模）在中，角的对边分别是，若，则__________． ( 解三角形 考点 3 ) 一、单选题 1．（2026·安徽马鞍山·一模）位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏西，且与甲船相距的处的乙船.那么的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽芜湖·一模）正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．或 B．或 C． D． 3．（2026·安徽淮北·一模）已知过点的直线与圆交于两点．若的面积为8，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2026·安徽淮南·一模）在中，，在线段上，且．则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2026·安徽合肥·一模）在中，角的对边分别是，若，则__________． 6．（2026·安徽安庆·一模）已知的面积为，，，则___________． 四、解答题 7．（2026·安徽安庆·一模）如图，在平面四边形中，，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为，求面积的取值范围． 8．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，四棱锥中，，. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 9．（2026·安徽合肥·一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)求内角的最大值． 10．（2026·安徽芜湖·一模）已知的内角的对边分别为，满足. (1)求； (2)若，求的周长. 11．（2026·安徽淮北·一模）在中，分别为内角所对的边，满足：. (1)求角； (2)若，求内角平分线的长． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数与解三角形 3大考点概览 考点01三角函数 考点02三角恒等变换 考点03解三角形 ( 三角函数 考点1 ) 一、单选题 1．（2026·安徽宿州·一模）已知函数，当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，然后再利用正弦函数的基本性质可求出函数的最小值. 【详解】由， 根据二倍角公式得， 当时，所以，结合正弦函数图像可知， 时，的最小值为, 最大值为，故， 因此，所以的最小值为. 故选：B. 2．（2026·安徽合肥·一模）已知函数为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性定义确定函数的奇偶性，进而得到函数的奇偶性，再借助余弦型函数的奇偶性求出参数值. 【详解】函数的定义域为，令函数， ，即函数是奇函数， 而函数是偶函数，则函数是奇函数， 因此，解得，又， 所以当时，取得最小值. 故选：C 3．（2026·安徽黄山·一模）函数的图象向左平移后关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出平移后的解析式，再根据余弦函数的对称性即可得到，解出即可. 【详解】向左平移后解析式为， 若其图象关于轴对称，则， 则，又因为，则当时，取得最小值，为. 故选：C. 4．（2026·安徽淮南·一模）已知，若（为自然对数的底数），则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由三角函数诱导公式得到，构造函数，由其单调性得到，代入，进而可求解. 【详解】由，可得， 即， 因为，则， 令，则， 因为在单调递增，在单调递减， 所以在单调递增，所以， 所以， 令， 当时，得到最小值，所以， 所以的最大值为，即的最小值为， 所以取得最小值3. 故选：B 二、多选题 5．（2026·安徽安庆·一模）已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先根据周期得出，再应用正切函数的对称中心计算求解. 【详解】由题意可得，解得（负值舍去），则， 令，则， 当时，，当时，，故、都是图象的对称中心，故B、D正确； 令，解得，由 不符，故不是图象的对称中心， 令，解得，由 不符，故不是图象的对称中心，故A、C 错误. 6．（2026·安徽合肥·一模）已知函数．若存在不相等的实数，使得，则下列说法中正确的有（   ） A． B．若的最小值为，则 C．若，则的取值范围为 D．若，且的最大值为，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】A根据函数值域可求；B根据周期计算；C求出，结合正弦函数的性质可求；D求出的最大值，结合正弦函数的性质可求. 【详解】因为，所以， 因为存在不相等的实数，使得， 所以存在不相等的实数，使得，故A正确； 若的最小值为，则，得，故B错误； 若，则， 因为，所以，得，故C正确； 因为的最大值为，所以的最大值为， 则，得，故D正确. 故选：ACD 7．（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数列，则（    ） A．在区间上单调递减 B．的图象关于直线对称 C．的最小值为 D．的最大值为1 【答案】ACD 【分析】利用辅助角公式及正弦函数性质判断A；利用轴对称的定义判断B；确定函数的周期，利用导数求出周期长的区间上的最值判断CD. 【详解】对于A，，当时，， 函数在区间上单调递减，A正确； 对于B，， ，， 的图象关于直线不对称，B错误； 对于CD，，， ，因此函数是以为周期的周期函数， 求导得， 当时，，，， 当时，，，， 函数在上单调递减，在上单调递增，当时，， ，由的周期性得在R上的最大值为1， 最小值为，因此，，CD正确. 故选：ACD 8．（2026·安徽黄山·一模）是的最大内角，且，则下列结论正确的是（   ） A．可能为锐角三角形 B．的最大值为 C．面积的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【分析】对于A，由，利用三角恒等变换化简可得，结合是的最大内角分析可得，进而判断即可；对于B，由，可得，结合角的范围求解判断即可；对于C，结合，求解判断即可；对于D，由，可得，进而根据基本不等式求解判断即可. 【详解】对于A，由 ， 则， 即， 所以， 则， 即，由于是的最大内角， 则，所以，则，即， 故为直角三角形，故A错误； 对于B，由于，则，即， 又，则， 所以， 则时，取得最大值为，故B正确； 对于C，由于，， 则面积为，故C错误； 对于D，由于，则，即， 又，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为2. 故选：BD 三、填空题 9．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围为_______________. 【答案】 【分析】问题化为上有4个不同实根，且有2个不同实根，结合正弦函数的图象得，即可得. 【详解】共有6个不同的实根， 由，则有4个不同实根，且有2个不同实根， 根据正弦函数的图象知，可得. 故答案为： 四、解答题 10．（2026·安徽淮南·一模）已知函数的最大值为1，为常数． (1)求函数在上的单调递增区间； (2)求使成立的的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简得，利用最大值为1求出，进而求在的单调增区间即可求解； （2）由得，利用三角函数的性质解不等式即可求解. 【详解】（1）函数 ， 因为的最大值为1， 所以，解得，所以． 令， 解得：， 又因为，则取交集，所以在的单调递增区间为； （2）因为，即，可得：． 所以． 解得： 综上：成立的的取值集合是． ( 三角恒等变换 考点 2 ) 一、多选题 1．（2026·安徽淮南·一模）在中，，在线段上，且．则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由正弦定理进行边角转化，可得，可判断A正确；结合，可得.利用诱导公式可得，由此可求，判断B；由诱导公式及两角和的正弦公式求得，根据正弦定理求出，由及角平分线定理得，由此求得，判断C；中，由余弦定理求得，判断D. 【详解】由正弦定理，得，所以，所以A正确； 因为，所以. 由，得，即. 因为，所以，所以. 因为，所以，所以，所以. 所以，所以. 所以.所以B错误； 由，得. 所以. 所以. 由正弦定理，得. 因为，所以，所以. 所以.所以C正确； 中，由余弦定理得： . 所以.所以D正确. 故选：ACD. 2．（2026·安徽芜湖·一模）已知直线与单位圆（为坐标原点）交于两点，下列说法正确的有（    ） A．的最大值为2 B．当直线过点时，的最小值为 C．当时，中点的轨迹方程为 D．当原点到直线的距离为时，的最大值为 【答案】ABD 【分析】由题意圆，圆心为原点，半径为1，利用圆的性质判断A、B、C，根据原点到直线的距离为，得到并设，利用向量法及、确定纵坐标的表示，再由三角恒等变换、正弦函数的性质求最大值判断D. 【详解】由题设，圆，圆心为原点，半径为1， 所以，当直线过原点时所得最大，为2，A对， 显然点在圆内，若直线过该点， 则该点与点所在直线与直线垂直时，最小，为，B对， 由，则其中点与圆心的距离， 所以中点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则方程为，C错， 若原点到直线的距离为，即中点在圆上，且， 设，则，与垂直的一个单位向量为， 而，则，又， 所以，而关于对称，则， 所以，，则且， 所以时，最大值为，D对.    故选：ABD 二、填空题 3．（2026·安徽合肥·一模）在中，角的对边分别是，若，则__________． 【答案】2 【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得，再由正弦定理可得，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理，可得， 所以，又因为，所以， 所以，又由正弦定理，可得，即， 因为，所以． ( 解三角形 考点 3 ) 一、单选题 1．（2026·安徽马鞍山·一模）位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏西，且与甲船相距的处的乙船.那么的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定信息作出图形，利用余弦定理、正弦定理列式求解. 【详解】如图，在中，， 由余弦定理，得， 由正弦定理得. 故选：A 2．（2026·安徽芜湖·一模）正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径，利用求出进而得到侧棱长，根据异面直线的概念可知即为异面直线与所成角的平面角，在中利用余弦定理求解即可. 【详解】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径，    因为底面边长为4，所以， 易知球心在线段上，则，解得或， 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成角的平面角， 在中，由余弦定理可得，解得， 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成角的平面角， 在中，由余弦定理可得，解得， 故选：A 3．（2026·安徽淮北·一模）已知过点的直线与圆交于两点．若的面积为8，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的面积得到是等腰直角三角形，进而求出圆心到直线的距离，与选项中的点到圆心距离进行比较即可. 【详解】圆的半径. ， 所以，，所以是等腰直角三角形， 此时弦的长度为， . 选项A：，不符合条件. 选项B：，不符合条件. 选项C：，不符合条件. 选项D：，符合条件. 故选：D. 二、多选题 4．（2026·安徽淮南·一模）在中，，在线段上，且．则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由正弦定理进行边角转化，可得，可判断A正确；结合，可得.利用诱导公式可得，由此可求，判断B；由诱导公式及两角和的正弦公式求得，根据正弦定理求出，由及角平分线定理得，由此求得，判断C；中，由余弦定理求得，判断D. 【详解】由正弦定理，得，所以，所以A正确； 因为，所以. 由，得，即. 因为，所以，所以. 因为，所以，所以，所以. 所以，所以. 所以.所以B错误； 由，得. 所以. 所以. 由正弦定理，得. 因为，所以，所以. 所以.所以C正确； 中，由余弦定理得： . 所以.所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 5．（2026·安徽合肥·一模）在中，角的对边分别是，若，则__________． 【答案】2 【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得，再由正弦定理可得，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理，可得， 所以，又因为，所以， 所以，又由正弦定理，可得，即， 因为，所以． 6．（2026·安徽安庆·一模）已知的面积为，，，则___________． 【答案】 【分析】过作交于点，分别表示出，再由三角形的面积先求出的值，根据向量数量积的定义将条件所给的等式变形化简，即可求出. 【详解】 如图所示，过作交于点. 则有， ，. 因为的面积为，， 所以，解得. 所以 . 解得，即. 四、解答题 7．（2026·安徽安庆·一模）如图，在平面四边形中，，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为，求面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理可证明结论. （2）设，利用正弦定理，结合三角形的面积公式，用表示出的面积，再利用导数求面积的取值范围. 【详解】（1）在中，， 在中，， 因为，所以，且， 所以. （2）在中，设 ，. 所以或，， 所有由三角形内角和可得. 所以 设，， 设，则， 所以在上单调递增, 所以. 所以面积的取值范围为. 8．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，四棱锥中，，. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用等腰梯形的性质及余弦定理分别求出，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）因为在四棱锥中，， 所以四边形为等腰梯形，，则， 所以，则由余弦定理得， 在中，，于是， 因此，又，即， 而平面， 则平面，又平面，所以平面平面. （2）在平面内过作，由（1）得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面与平面的法向量分别为， 则，令，得， ，令，得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 9．（2026·安徽合肥·一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)求内角的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先由题意结合诱导公式得到，再由余弦定理角化边即可求证； （2）由（1）结合余弦定理和基本不等式求出的最小值即可由余弦函数性质得解. 【详解】（1）证明：因为， 所以由题得，即， 由余弦定理可得，所以． （2）由（1）知，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，， 所以内角的最大值为． 10．（2026·安徽芜湖·一模）已知的内角的对边分别为，满足. (1)求； (2)若，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由正弦边角关系及三角形内角的性质化简条件得，即可求； （2）由余弦定理及已知得，进而即得. 【详解】（1）由及正弦边角关系得， 而，整理得， 因为，所以； （2）由余弦定理，得， 进而得，得， 所以的周长为. 11．（2026·安徽淮北·一模）在中，分别为内角所对的边，满足：. (1)求角； (2)若，求内角平分线的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，利用余弦定理求出． （2）利用向量的数量积求出的值，设的长为，则，利用三角形的面积公式得到的等式，解出的值，即为的长． 【详解】（1）由． 故，而，得． （2）由， 设的长为，由． 即的长为． 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $