专题04 空间向量与立体几何（3大考点）（安徽专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题04 空间向量与立体几何 3大考点概览 考点01空间几何体的体积与表面积 考点02外接球与内切球 考点03空间向量与点线面的位置关系 ( 空间几何体的体积与表面积 考点1 ) 一、单选题 1．（2026·安徽宿州·一模）一个底面直径为16cm，高为60cm的圆柱形水槽中装有高度为40cm的水，现向其中放入一个直径为8cm的铁球和一个底面直径和高均为8cm的圆锥形铁块，当铁球和圆锥形铁块都完全浸没入水中时，水槽中的水面高度达到（    ） A．42cm B．44cm C．48cm D．50cm 二、多选题 2．（2026·安徽淮北·一模）已知正四棱锥，为棱上的动点．则（   ） A．平面平面 B．存在使得为直角三角形 C．当为中点时，平面 D．若，球与四棱锥的所有棱都相切，则球的表面积为 三、填空题 3．（2026·安徽马鞍山·一模）已知一个球的体积和表面积的数值相等，若该球的内接圆柱的高与其底面直径相等，则此圆柱的侧面积为__________. 4．（2026·安徽合肥·一模）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为，若该圆台上下底面的圆周均在同一个球的球面上，则此球的表面积为_____． ( 外接球与内切球 考点 2 ) 一、多选题 1．（2026·安徽黄山·一模）如图，在直棱柱中，，是中点，则下列结论正确的是（   ）    A． B．四点共面 C．直棱柱不存在外接球 D．棱的中点在平面内 二、解答题 2．（2026·安徽宿州·一模）已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，平面ABCD. (1)若平面PAD与平面PBC的交线为，证明：； (2)若平面平面PDC. （i）求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值； （ii）判断四棱锥是否存在内切球，若存在，求出内切球半径；若不存在，请说明理由. 3．（2026·安徽黄山·一模）如图，在直角梯形中，，，，为中点，将沿折起，使到处． (1)求证：平面； (2)若平面平面，，，，且二面角的正弦值为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求四棱锥外接球的表面积． ( 空间向量与点线面的位置关系 考点 3 ) 一、单选题 1．（2026·安徽淮北·一模）已知直线和平面，下列表述正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题 2．（2026·安徽淮南·一模）已知正三棱柱的外接球球心为，，点满足，．则下列结论正确的是（   ） A．球的表面积为 B．当时，的取值范围为 C．当时，不存在点，使得平面 D．当时，设点在直线上运动，则线段长度的最小值为 三、解答题 3．（2026·安徽淮南·一模）如图，在三棱锥中，点分别是的中点，平面平面．    (1)判断直线与直线的位置关系，并给出证明； (2)若平面平面，，是直线上的一点，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 4．（2026·安徽合肥·一模）如图，直三棱柱的所有棱长都等于2，点，分别是线段，上的动点（异于端点），且． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 5．（2026·安徽芜湖·一模）如图，空间六面体中四边形与四边形为共腰的梯形.    (1)求证：四边形与四边形中至少有一个是梯形； (2)在空间直角坐标系中，分别与同向共线. ①若该六面体为正四棱台且，求平面与平面的夹角； ②若四个侧面均为腰长为2的等腰梯形，，求点到平面的距离. 6．（2026·安徽淮北·一模）如图，在四棱锥中，平面，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面． （i）求实数的值； （ii）求二面角的正弦值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 空间向量与立体几何 3大考点概览 考点01空间几何体的体积与表面积 考点02外接球与内切球 考点03空间向量与点线面的位置关系 ( 空间几何体的体积与表面积 考点1 ) 一、单选题 1．（2026·安徽宿州·一模）一个底面直径为16cm，高为60cm的圆柱形水槽中装有高度为40cm的水，现向其中放入一个直径为8cm的铁球和一个底面直径和高均为8cm的圆锥形铁块，当铁球和圆锥形铁块都完全浸没入水中时，水槽中的水面高度达到（    ） A．42cm B．44cm C．48cm D．50cm 【答案】A 【分析】易知铁球的体积和圆锥形铁块的体积之和除以圆柱形水槽的底面积即得水面上升的高度. 【详解】根据题意可知铁球的体积和圆锥形铁块的体积之和等于上升部分水的体积， 利用体积之和除以圆柱形水槽的底面积即得水面上升的高度， 即，故水槽中水面的高度达到了42cm. 故选：A 二、多选题 2．（2026·安徽淮北·一模）已知正四棱锥，为棱上的动点．则（   ） A．平面平面 B．存在使得为直角三角形 C．当为中点时，平面 D．若，球与四棱锥的所有棱都相切，则球的表面积为 【答案】ACD 【分析】对于A，连接，设交于点，连接，先证明，，可得平面，进而结合面面垂直的判定定理判断即可；对于B，先假设为直角三角形，可得，进而得到，再结合即可判断；对于C，当为中点时，连接，可证明，进而判断即可；对于D，当时，分析可得到的距离与到的距离均为1，可得球的球心位于点，半径为1，进而求解判断即可. 【详解】对于A，连接，设交于点，连接，如下图： 在正四棱锥中，，平面， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，在正四棱锥中， 若为直角三角形，则，， 由，得，即， 而在正方形中，，由于，则，矛盾， 所以不存在使得为直角三角形，故B错误； 对于C，当为中点时，连接， 由于在正方形中，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，故C正确； 对于D，当时，，而，则， 在等腰直角中，到的距离为， 而到的距离也为1，则球的球心位于点，半径为1， 则球的表面积为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 3．（2026·安徽马鞍山·一模）已知一个球的体积和表面积的数值相等，若该球的内接圆柱的高与其底面直径相等，则此圆柱的侧面积为__________. 【答案】 【分析】由球的体积与表面积相等求出球的半径，再由题意求出球的内接圆柱的底面圆半径与高，即可得解. 【详解】设球的半径为，则球的体积为：，球的表面积为：， 因为球的体积与其表面积的数值相等，所以， 解得， 设圆柱底面半径为，作球的内接圆柱的轴截面图，如图，    由题意可知，解得， 所以圆柱的侧面积为. 故答案为： 4．（2026·安徽合肥·一模）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为，若该圆台上下底面的圆周均在同一个球的球面上，则此球的表面积为_____． 【答案】 【分析】设圆台的上下底面圆心分别为，球心为，设，由球的性质可列方程，求出半径后再由球的表面积公式即可得解. 【详解】设圆台的上下底面圆心分别为，球心为， 在上下底面圆周上分别取点为，连接，如图， 因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为， 所以，， 设，则，所以， 所以，解得，所以该球的半径， 所以该球的表面积. 故答案为：. ( 外接球与内切球 考点 2 ) 一、多选题 1．（2026·安徽黄山·一模）如图，在直棱柱中，，是中点，则下列结论正确的是（   ）    A． B．四点共面 C．直棱柱不存在外接球 D．棱的中点在平面内 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用向量法得，即可利用基本事实的推论判断B；确定直角梯形是否有外接圆判断C；结合空间向量线性坐标运算，利用共面定理判断D. 【详解】在直棱柱中，平面， 又，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则， ， 对于A，因为， 所以， 所以，所以，A正确； 对于B， ，即，又直线， 因此，即四点共面，B正确； 对于C，在梯形中，， 则为锐角，，因此， 所以梯形无外接圆，则直棱柱没有外接球，C正确； 对于D，棱的中点， ， 假设棱的中点M在平面内， 则有，即，该方程组无解， 所以棱的中点不在平面内，D错误. 故选：ABC 二、解答题 2．（2026·安徽宿州·一模）已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，平面ABCD. (1)若平面PAD与平面PBC的交线为，证明：； (2)若平面平面PDC. （i）求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值； （ii）判断四棱锥是否存在内切球，若存在，求出内切球半径；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）不存在，理由见解析 【分析】（1）首先证明平面PAD，利用线面平行的性质即可证明结论； （2）（i）以点A为坐标原点，所在的方向为轴，所在的方向为轴，所在的方向为轴建立坐标系，分别求出平面PAD与平面PBC的法向量，利用向量夹角公式求解即可； （ii）假设四棱锥存在内切球，内切球的半径为，根据棱锥内切球半径公式求得，且求出，计算球心到平面PBC的距离与半径比较即可得到结论. 【详解】（1）因为底面ABCD是平行四边形，故平面PAD，可得平面PAD， 又因为平面PBC，平面平面，所以. （2）在平面PAD内过点作于点， 因为平面平面PDC，所以平面PDC，故， 又因为，又因为， 所以平面PAD，有.所以平行四边形ABCD为长方形. 如图所示，以点A为坐标原点，所在的方向为轴，所在的方向为轴，所在的方向为轴建立坐标系. 则有，.取平面PAD的法向量为， 设平面PBC的法向量为， 则有，代入得，取， 设平面PAD与平面PBC所成角为，则. （3）易知， 假设四棱锥存在内切球，内切球的半径为， 则有，解得， 设内切球球心为，根据图形特征，必有，， 则球心到平面PBC的距离，与内切球与平面PBC相切矛盾. 故四棱锥不存在内切球. 3．（2026·安徽黄山·一模）如图，在直角梯形中，，，，为中点，将沿折起，使到处． (1)求证：平面； (2)若平面平面，，，，且二面角的正弦值为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求四棱锥外接球的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）（Ⅱ） 【分析】（1）根据线面平行的判定定理判定即可. （2）建立空间直角坐标系，求出相关向量，结合二面角的向量求法，即可求出值；判断外接球球心位置，设出球心坐标，列方程求解，进而得到外接球半径，求出表面积. 【详解】（1）因为，，，所以四边形为矩形， 连接交于点，连接，则点为中点， 又为中点，所以是中位线，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）（Ⅰ）因为，平面，平面平面且交于． 所以平面，而平面，所以， 又， 故以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图． 则，，，，，， 设，则， 又， 所以，即，所以， 则，， 设平面的法向量为. 则，即，令，则，， 所以. 又，，，平面， 所以平面， 所以即为平面的一个法向量. 设二面角的平面角为，则， 所以， 即 ， 解得或（舍去，因为），故：． （Ⅱ）所求外接球球心在过点垂直于平面的垂线上，则. 设，又，则，， 所以， 即，整理得，解得， 所以，所以， 故． ( 空间向量与点线面的位置关系 考点 3 ) 一、单选题 1．（2026·安徽淮北·一模）已知直线和平面，下列表述正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用线面平行和垂直的判定定理和面面平行和垂直的判定定理即可求解. 【详解】由，条件中缺少，故A错误； 由，条件中缺少，故B错误； 由，条件中缺少，故C错误； 由，故D正确； 故选：D. 二、多选题 2．（2026·安徽淮南·一模）已知正三棱柱的外接球球心为，，点满足，．则下列结论正确的是（   ） A．球的表面积为 B．当时，的取值范围为 C．当时，不存在点，使得平面 D．当时，设点在直线上运动，则线段长度的最小值为 【答案】ABD 【分析】作的中点，连接，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，结合图形可知正三棱柱的外接球球心在上下底面的重心连线的中点上，计算出半径即可求解A选项； 将平面与平面沿展开使其共面，易知当三点共线时，最短，当点与重合时，最长，结合展开的图形分别计算出长度即可求解B选项； 依题意求出向量的坐标，然后由可得的值，检验的值是否符合即可判断C选项； 根据题意可知三点共线，由此可得的最小值为点到平面的距离，利用点到平面的距离的向量公式即可判断D选项. 【详解】如图，分别作的中点，连接；分别作的中点，连接；分别作靠近的三等分点，连接交于；则两两相互垂直，建立如图空间直角坐标系，则     ， ； 所以， ， ； 对于A，因为，所以即为正三棱柱的外接球球心，半径为，所以球的表面积为，所以A正确； 对于B，如图，分别作的中点，连接，则，    当时，点在上，将平面与平面沿展开使其共面，则 当三点共线时，最短，最小值为； 当点与重合时，最长，最大值为； 所以当时，的取值范围为，所以B正确； 对于C，如图，作的中点，连接，则，    当时，点在上，连接，则， 所以； 由，得，即，即，解得，符合题意，即点与点重合时，； 又平面，所以平面；所以C不正确； 对于D，如图，连接，则，，    当时，，此时三点共线，所以的最小值为点到平面的距离； 设平面的一个法向量为，则，即，化简得，取，则，所以； 所以点到平面的距离为，即线段长度的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 三、解答题 3．（2026·安徽淮南·一模）如图，在三棱锥中，点分别是的中点，平面平面．    (1)判断直线与直线的位置关系，并给出证明； (2)若平面平面，，是直线上的一点，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 【答案】(1)，证明见解析 (2)或． 【分析】（1）由中位线得到线线平行，即可得线面平行，由线面平行的性质得到线线平行； （2）由等腰三角形及面面垂直得到空间内三条两两垂直直线，建立空间直角坐标系，由边长得到点坐标及向量坐标，由向量的数量积求得面的一个法向量，设，由向量的数量积表示出线面角的正弦值，即可求得线段的长度． 【详解】（1）． 证明：因为点分别是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以． （2）因为，点为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，又 所以以为原点，分别以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因为，所以，又， 则． ， 设平面的法向量为， 则，不妨设，解得． 由（1）可知，设， 得，所以． 设直线与平面所成角为， 则， 得或， 所以线段的长度为或． 4．（2026·安徽合肥·一模）如图，直三棱柱的所有棱长都等于2，点，分别是线段，上的动点（异于端点），且． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）在棱上分别取点，使，利用相似得出四边形是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可求证； （2）在中利用余弦定理求出，再以为坐标原点建系，利用坐标计算面面角即可. 【详解】（1）在棱上分别取点，使． 则． 因为，，所以． 又，所以． 由，得， 所以四边形是平行四边形．所以． 又平面，平面，所以平面． （2）由（1）知，令，则， 在中利用余弦定理得， 即，解得． 所以点分别是中点．所以点分别是中点． 以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 所以． 设为平面的法向量， 则，即，可取． 设为平面的法向量， 则，即，可取． 设平面与平面夹角为，则． 故平面与平面夹角的余弦值为． 5．（2026·安徽芜湖·一模）如图，空间六面体中四边形与四边形为共腰的梯形.    (1)求证：四边形与四边形中至少有一个是梯形； (2)在空间直角坐标系中，分别与同向共线. ①若该六面体为正四棱台且，求平面与平面的夹角； ②若四个侧面均为腰长为2的等腰梯形，，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）利用线面平行和面面平行的性质可得，，假设四边形与四边形均不是梯形可得出平面，进而得，与条件矛盾，即可证明； （2）①求出平面与平面的法向量，利用面面角的坐标公式求解即可；②延长直线交于点，过点作交，于，交于，可得正四棱锥，求出点到下底面的距离 等体积法即可求解. 【详解】（1）因为四边形与四边形为共腰的梯形，所以， 由于平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以，同理得， 下面使用反证法： 如果四边形与四边形均不是梯形，那必都是平行四边形， 则， 因为平面，平面，所以平面， 又平面平面，所以， 这与四边形为梯形矛盾， 所以原命题成立，即四边形与四边形中至少有一个是梯形. （2）， ①当该六面体为正四棱台时， ，，由解得， 当时，， 设平面的法向量，平面的法向量， 则，解得平面的一个法向量， ，解得平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面的夹角为， 同理可得：当时，所以平面与平面的夹角为， 综上：平面与平面的夹角为. （另法：因为，， ， 所以平面与平面的夹角为） ②设， ， 则， ，则， 由四边形是等腰梯形知，同理，所以， 同理， 又因为，因此四边形为矩形， 延长直线交于点， 过点作交，于，交于， 由，得，，所以， 如下图，可得到正四棱锥， 又由，所以，又，， 所以，， 点到底面的距离为，点到下底面的距离为. 设点到平面的距离为 因为，,， 即，解得， 点到平面的距离为.    6．（2026·安徽淮北·一模）如图，在四棱锥中，平面，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面． （i）求实数的值； （ii）求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）证明：利用空间向量法求解，求出，求出即，由平面知，利用线面垂直的判定定理得到平面． （2）（i）求出，求出平面的一个法向量，得到，从而得到平面，利用线面平行的性质定理得到，设，求出 ，利用求出的值； （ii）由（i）求出，分别求出平面和平面的一个法向量，利用向量的数量积求出 ．设二面角的平面角为，利用同角关系式求出，从而得到二面角的正弦值． 【详解】（1）证明：以为原点，以、、的正方向分别为轴、轴、轴的正方向， 建立如图的空间直角坐标系，则： ，即． 又平面知，由，则平面． （2）（i），平面的一个法向量为，显然， 故平面，而平面平面，于是， 设； （ii）由（i）， 设平面的一个法向量分别为， 则：， 取，则，即． 设平面的一个法向量分别为， ， 取．则，即， ． 设二面角的平面角为，则， ，，， ，， 即二面角的正弦值为． 6 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $