第09讲 因式分解（知识详解+14典例分析+习题巩固）2025-2026学年北师大版八年级数学下册同步讲义与测试

第09讲 因式分解（知识详解+14典例分析+习题巩固） 【知识点01】因式分解 1. 定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解。因式分解也可称为分解因式。 2. 整式乘法与因式分解的关系 类别 整式乘法 因式分解 区别 化积为和 化和为积 联系 方向相反的变形：多项式（和）        整式乘积（积） 【知识点02】公因式 1. 定义 把多项式各项都含有的相同因式， 叫做这个多项式各项的公因式 . 2. 确定公因式的步骤若多项式中首项的符号是“-”，则公因式的符号一般为“-” 步骤 举例(2ab 与4ab)  (1) 定系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数 2 (取2 和4 的最大公因数) (2) 定字母(或多项式) ：取各项中的相同字母因式(或相同多项式因式)  a-b 与b-a 可以变为相同的因式 a，b  (3) 定指数：确定各项相同字母因式(或相同多项式因式) 的指数， 取其中指数最小的 a 指数最小为2，b 指数最小为1 (4) 写结果 公因式为2a²b 【知识点03】利用提公因式法分解因式 1. 提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方法叫作提公因式法。 2. 利用提公因式法分解因式的一般步骤 确定公因式: 先确定系数，再确定字母和字母的指数其项数与待分解多项式的项数相同 提取公因式 确定另一个因式: 用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式写成乘积的形式 【知识点04】用平方差公式分解因式 1.用平方差公式分解因式把整式乘法的平方差公式的等号两边互换位置就得到此式子 符号表示 a²-b²=(a+b) (a-b)  文字叙述 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 注意 上面式子中的a，b 可以是单项式，也可以是多项式 2. 运用平方差公式分解因式的步骤 一判： 判断是否为平方差，若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项放在后面 . 二定： 确定公式中的 a 和 b，除 a 和 b 是单独一个数或字母外，其余都必须用括号括起来，表示一个整体 . 三套： 套用平方差公式进行分解 . 四整理： 将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式 . 【知识点05】用完全平方公式分解因式 1. 完全平方式 符号表示: ， 把整式乘法的完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2 的等号两边互换位置，就得到此式子 文字叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方 注意：上面式子中的a，b 可以是单项式，也可以是多项式 2. 公式法 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法。 3. 因式分解的一般步骤 一提：看有无公因式，若有，则提取公因式 二套：考虑是否可套用公式法因式分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式 当不能直接因式分解时，可经适当变形后整理成能用提公因式法或公式法因式分解的形式，再进行因式分解 三检查：检查是否分解彻底，若没有，则继续因式分解 【题型一】判断是否是因式分解 例1．（2026八年级下·全国·专题练习）下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的判定，需依据因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，来逐一判断选项． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个最简整式乘积的形式， ∴A选项，是整式的乘法运算，从乘积形式化为多项式，不属于因式分解； B选项，右边的不是整式，不符合因式分解的定义； C选项，右边不是乘积形式，不属于因式分解； D选项，将多项式化为了，即整式的乘积形式，属于因式分解； 故选：D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】③④ 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的对象是多项式，结果是几个整式的积，与整式乘法互为逆运算是解题的关键． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各等式变形是否符合定义． 【详解】解：等式①左边为积的形式，右边为多项式，属于整式乘法，不是因式分解； 等式②左边为单项式，不是多项式，不符合因式分解对象要求； 等式③左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式④左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式⑤右边不是积的形式，因此不是因式分解． 故答案为：③④． 变式2．（22-23八年级下·全国·课后作业）下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？ （1）；（2）； （3）；（4）． 【答案】（1）从左到右不是因式分解，是整式乘法；（2）是因式分解；（3）不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；（4）是因式分解． 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式叫做因式分解，也叫分解因式，逐一判断即可． 【详解】解：（1），从左到右不是因式分解，是整式乘法； （2），是因式分解； （3），不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式； （4），是因式分解． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基础概念题型，熟知因式分解的定义是关键． 【题型二】已知因式分解的结果求参数 例2．（25-26八年级下·四川绵阳）多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】将因式分解后的结果展开，对比原式对应项即可求出． 【详解】∵ 多项式可因式分解为，. ． 变式1．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）已知是多项式的因式，则_______，_______． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查多项式的因式，根据是多项式的因式，可得当时，的值也为0，令，，原多项式为，则，解得；当，时，原多项式为，则，解得． 【详解】解：当，时，，， 是多项式的因式， ， ； 当，时，，， ， ， ， 故答案为：，． 变式2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】(1)，5； (2)． 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 【题型三】公因式 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各组中，没有公因式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【知识点】公因式 【分析】本题主要考查多项式的公因式，熟练掌握多项式的公因式是解题的关键． 将每一组因式分解，找到公因式即可得到答案． 【详解】解：A、，，有公因式，不符合题意； B、多项式与没有公因式，符合题意； C、由，得，有公因式，不符合题意； D、，有公因式，不符合题意； 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）与的公因式是______． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】找出系数的最大公约数，相同字母或多项式因式的最低指数次幂，从而确定公因式即可． 本题主要考查了公因式，解题关键是熟练掌握公因式的定义． 【详解】解：与公因式是， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】公因式 【分析】找多项式各项的公因式，需分别确定系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次幂，再将二者相乘即可． 【详解】（1）解：对于多项式，系数3、、6的最大公约数是3，各项都含有的相同字母为，且的最低次幂是1， ∴各项的公因式为． （2）解：对于多项式，系数4、的最大公约数是2，各项都含有的相同字母为、，的最低次幂是1，的最低次幂是2， ∴各项的公因式为． 【题型四】提公因式法分解因式 例4．（23-24八年级下·重庆·期中）将多项式进行因式分解，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解． 直接通过提取公因式法进行因式分解． 【详解】 故选：B． 变式1．（25-26八年级下·全国·周测）把多项式提取公因式后，另一个因式为_____． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】先将多项式中的变形为，使两项都含有公因式，再提取公因式，即可得到另一个因式． 【详解】解： 提取公因式后，另一个因式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题关键是通过符号变形统一公因式，再完成提取，从而确定另一个因式． 变式2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】（1）原式直接提取公因式即可； （2）原式直接提取公因式即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型五】判断能否用公式法分解因式 例5．（24-25八年级下·福建漳州·期末）下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，平方差公式为，适用于两个平方项的差．需逐一分析选项是否满足该形式． 【详解】A．，不符合平方差公式，排除． B．，括号内为平方和，无法用平方差分解，排除． C． 仅含一项平方项和一次项，无法构成平方差，排除． D．，满足平方差公式． 故选D． 变式1．（23-24八年级下·河北保定·月考）在因式①；②；③；④；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握公式法分解因式的方法是解题的关键． 根据乘法公式，分解因式的概念“把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做分解因式”进行判定即可求解． 【详解】解：①，不能用公式法分解因式，不符合题意； ②，能用公式法分解因式，符合题意； ③，不能用公式法分解因式，不符合题意； ④，不能用公式法分解因式，不符合题意； ⑤，能用公式法分解因式，符合题意； 综上所述，能用公式法分解因式的有②⑤，共2个， 故选：A ． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不可以，因为不是平方差形式 (2)可以，分解为 (3)不可以，因为不是平方差形式 (4)可以，分解为 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题考查利用平方差公式分解因式： （1）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （2）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （3）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （4）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解． 【详解】（1）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （2）解：可以用平方差公式分解因式， ； （3）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （4）解：可以用平方差公式分解因式， ． 【题型六】平方差公式分解因式 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）若多项式可以在有理数范围内运用平方差公式分解因式，则单项式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】平方差公式的形式为，将每个选项代入多项式，判断是否能转化为两个有理数范围内的平方项的差的形式． 【详解】解：当时，多项式为，此为单项式，无法运用平方差公式分解因式，故A选项不符合题意； 当时，多项式为，是平方和，不能运用平方差公式分解因式，故B选项不符合题意； 当时，多项式为，该式子无法转化为两个平方项的差的形式，不能运用平方差公式分解因式，故C选项不符合题意； 当时，多项式为，符合平方差公式的形式，能在有理数范围内分解因式，故D选项符合题意． 变式1．（25-26八年级下·四川绵阳）下列多项式能用平方差公式来分解因式的有_______． ①；②；③；④. 【答案】②③ 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】根据平方差公式分解因式的特征，判断每个多项式是否为两个平方项的差的形式即可． 【详解】解：①是两个平方项的和，不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式； ②符合的形式，能用平方差公式分解因式； ③，变形后符合的形式，能用平方差公式分解因式； ④是两个平方项的和的相反数，不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式． 【点睛】重点掌握平方差公式． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，掌握用公式分解，分解后合并同类项并检查是否能继续分解是解题的关键． （1）观察式子为平方差形式，将看作，看作，直接用平方差公式分解； （2）将和看作平方项，用平方差公式分解后合并括号内的同类项； （3）将和看作平方项，用平方差公式分解后化简，再提取公因式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【题型七】完全平方公式分解因式 例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解的综合运用，熟练掌握运用公式法进行因式分解的方法是解题的关键． 该多项式为完全平方式，可直接套用公式 进行因式分解. 【详解】解：∵ ， ∴ . 故选：B． 变式1．（2023八年级下·全国·专题练习）分解因式：______． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，先展开得到二次三项式，然后合并常数项，最后利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： ， 故答案为． 变式2．（25-26八年级下·天津）因式分解： 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】将看作一个整体，利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【题型八】综合运用公式法分解因式 例8．（24-25八年级下·陕西安康·期中）已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 【答案】B 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出的值是解题的关键．先由已知条件得出的值，再把化成完全平方的形式，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 变式1．（22-23八年级下·浙江宁波）分解因式：___________． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解．先根据整式的乘法运算，把原式变形为，再由完全平方公式和平方差公式，即可求解． 【详解】解： 故答案为： 变式2．（24-25八年级下·山东济南·期中）阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以在中先加上一项4，使它与的和成为一个完全平方式，再减去4，式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)同时运用多项式的配方法能确定一些多项式的最大值或最小值．因为不论取何值，，所以当时，多项式有最小值为．试确定：多项式是否存在最大值或最小值？如果有，请求出最大值或最小值；如果不存在，请说明理由． (3)已知是实数，试比较与的大小，说明理由． 【答案】(1)； (2)有最大值，且最大值为17； (3)，理由见解析． 【知识点】综合运用公式法分解因式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解，根据多项式的前两项配方成完全平方公式，利用非负数的性质求解是解题的关键； （1）根据前两项的情况，分别加9，再减9，利用平方差公式分解即可； （2）先提取负号后，再加1后减1，即可配方，利用非负数的性质即可求得最大值； （3）两式相关，再利用配方法即可判断大小． 【详解】（1）解： ； 故答案为； （2）解： ； ∵， ∴， 即多项式有最大值，且最大值为17； （3）解：； 理由如下： ； ∵， ∴， 即． 【题型九】综合提公因式和公式法分解因式 例9．（25-26八年级下·湖南常德·期末）把多项式因式分解结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，先通过变形提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 变式1．（25-26八年级下·福建福州·月考）因式分解：__________. 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，先提取公因式，再对余下的多项式运用平方差公式继续因式分解. 【详解】解： . 变式2．（25-26八年级下·吉林长春）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】（1）先提取公因式，再使用平方差公式进行分解即可； （2）先提取公因式，再使用完全平方公式进行分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【题型十】实数范围内分解因式 例10．（24-25八年级下·青海海东·月考）因式分解：_______． 【答案】 【知识点】实数范围内分解因式 【分析】此题考查了实数范围内分解因式．利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：， 故答案为： 变式1．（24-25八年级下·上海·假期作业）在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数范围内分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． （2）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型十一】因式分解在有理数简算中的应用 例11．（2025·河北保定·一模）若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 【答案】D 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】将中的分子进行因式分解，再依次判断，即可求解，本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意， 故选：D． 变式1．（24-25八年级下·江西九江·月考）简便运算：________． 【答案】10000 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查了因式分解、完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方公式计算，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式2．（2026八年级下·全国·专题练习）运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查了因式分解的简便运算，涉及提取公因式、平方差公式、完全平方公式，掌握观察式子结构，通过提取公因式或凑乘法公式简化计算是解题的关键． （1）提取公因式，再用平方差公式因式分解简化计算． （2）将转化为，凑完全平方公式因式分解． （3）统一各项系数为，提取公因式后计算括号内的和． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【题型十二】十字相乘法 例12．（24-25八年级下·广东深圳·期中）若多项式可因式分解为，则b的值为（    ） A． B．3 C． D．54 【答案】C 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解的恒等性质，熟练掌握性质是解题的关键，将展开，根据对应系数相等即可求出答案． 【详解】解：由题意可得： ∴， 故答案为：C． 变式1．（2023八年级下·广东佛山·竞赛）把分解因式的结果是____． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查因式分解，采用十字相乘法直接分解即可． 【详解】可将分为， 故， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下列材料，并完成后面的任务． 在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如下图所示． 任务： (1)因式分解：____________． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数的所有可能的值． 【答案】(1) (2)整数的所有可能的值为或 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解的知识点，掌握十字相乘法中 “常数项分解为两数之积，一次项系数为这两数之和” 的规律是解题的关键． （1）利用十字相乘法，找到两个数，它们的和等于一次项系数，积等于常数项，从而分解因式； （2）列出常数项的所有整数因数对，计算每对因数的和，这些和就是的所有可能值． 【详解】（1）解：∵二次三项式中，常数项，一次项系数 ∴ ． （2）解：∵二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式， ，，，， ∴整数的所有可能的值为或或或， 即整数的所有可能的值为或． 【题型十三】分组分解法 例13．（22-23八年级·全国·单元测试）已知有一个因式，把它分解因式后的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分组分解法 【分析】根据已知可以得，之后进行整式乘法计算即可求解本题． 【详解】解：设， ∵， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是整式乘法和因式分解，这里掌握它们互为逆运算是解题的关键． 变式1．（2025·安徽合肥·模拟预测）分解因式： __________ 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】本题考查了利用分组分解法进行因式分解；先把前两项、后两项结合，前两项利用平方差公式分解因式，则可提取公因式，即可分解因式． 【详解】解： ； 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读材料】某校“数学社团”的成员研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．例如和．社团成员经过讨论交流后发现可以将这样的式子先分组，再分解． 方法如下：； ．请在这种方法的启发下，解决下列问题： 【问题解决】 （1）因式分解：； （2）因式分解：； 【方法延伸】 （3）因式分解：． 【答案】（1） （2） （3） 【知识点】分组分解法 【分析】本题主要考查因式分解，掌握分组分解法是关键． （1）根据分组分解法求解即可； （2）根据分组分解法求解即可； （3）根据分组分解法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； ； （3） ． 【题型十四】因式分解的应用 例14．（24-25八年级下·全国·课后作业）若实数x，y满足，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查的知识点为完全平方公式的应用以及因式分解．通过观察式子的结构，对化简后的式子进行因式分解，得到，因为一个数的平方等于 0，所以这个数为 0，所以推导出，从而得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 因为一个数的平方等于 0，所以这个数为 0，即， 所以， 故选：C． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知因式分解为，其中，，均为整数，则的值为______． 【答案】11 【知识点】因式分解的应用 【分析】先通过变形将式子转化为含有相同公因式的形式，提取公因式后整理化简，再与给定的因式分解形式对比确定a、b、c的取值，最后代入代数式计算的值． 【详解】解： ， 对比，可得，，， 则． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图为两个边长为的正方形纸片，一个边长为的正方形纸片，三个长和宽分别为和的长方形纸片．你能否用图中所有的纸片拼成一个长方形？如果能，请画出草图，并据此写出一个多项式的因式分解；如果不能，请说明理由． 【答案】能，见解析 【知识点】因式分解的应用 【分析】计算拼接前后图形的面积，利用面积相等得到多项式的因式分解． 【详解】解：能， 所有纸片的面积和为， 因式分解为． 拼成的长方形的长为、宽为． 拼图如答图所示． 一、单选题 1．用提公因式法分解因式2x2﹣x时，应提取的公因式是（　　） A．x B．2x C．x2 D．2 【答案】A 【分析】根据和均含有即可得出答案． 【详解】解：用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法是解题关键． 2．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的判定，熟练掌握和运用因式分解的定义是解决本题的关键． 根据因式分解的定义，即把一个多项式分解为几个因式的积的形式叫做因式分解，即可一一判定． 【详解】解：A. ，不是因式分解，故该选项不符合题意； B. ，不是因式分解，故该选项不符合题意； C. ，不是因式分解，故该选项不符合题意； D. ，是因式分解，故该选项符合题意； 故选：D． 3．若长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为6，则的值为（    ） A．14 B．16 C．20 D．30 【答案】D 【分析】本题考查整式的运用．根据题意可得，进而代入进行运算即可求值． 【详解】解：长和宽分别为的长方形的周长为10，面积为6， ． 故选：D． 4．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的方法逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、，故A选项错误，不符合题意； B、不能进行因式分解，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 5．，，则M与N的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】利用作差法列出算式，再将算式去括号、合并同类项，继而利用完全平方公式判断结果与0的大小关系，从而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算以及完全平方公式，熟练掌握作差法是进行比较大小的解答关键． 6．已知，则代数式的值为（    ） A．2020 B．2024 C．2021 D．2034 【答案】D 【分析】首先根据题意可得，再由可得，把代入即可求得其值． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了代数式求值问题，利用完全平方公式因式分解，熟练掌握和运用代数式求值问题的方法是解决本题的关键． 7．△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则△ABC是（　　） A．等边三角形 B．腰底不等的等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2再化简得（a−b）2＋（a−c）2＋（b−c）2＝0，得出：a＝b＝c,即选出答案． 【详解】解：等式a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac等号两边均乘以2得： 2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ac 即a2−2ab＋b2＋a2−2ac＋c2＋b2−2bc＋c2＝0， 即（a−b）2＋（a−c）2＋（b−c）2＝0， 解得：a＝b＝c, 所以，△ABC是等边三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的判定，完全平方公式以及非负数的性质，化简式子得a＝b＝c，由三边相等判定△ABC是等边三角形． 8．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是（    ） A．301050 B．103020 C．305010 D．501030 【答案】B 【分析】对多项式利用提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算即可确定出密码． 【详解】x3−xy2＝x（x2−y2）＝x（x＋y）（x−y）， 当x＝30，y＝20时，x＝30，x＋y＝50，x−y＝10， 组成密码的数字应包括30，50，10， 所以组成的密码不可能是103020． 故选：B． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，立意新颖，熟记公式结构是解题的关键． 9．对于二次三项式（为常数），下列结论正确的个数有（   ） ①当时，若，则； ②无论取任何实数，等式都恒成立，则； ③若，，则或； ④满足的整数解共有8个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，①把代入方程，然后利用因式分解得到，据此可可得结论；②提取公因式x后得到，根据恒成立推出，据此可判断②；③两个方程相加后因式分解得到，解方程即可判断③；④去括号后因式分解得到，再根据x、y都是整数，得到都是整数，据此求解即可． 【详解】解：①当时，若，则 ∴或者，故①错误； ②等式化简后为 ∵无论x取任何实数，等式都恒成立， ∴，即， ∴，故②正确； ③若，，则两个方程相加得：， ∴， ∴， ∴根据乘法计算法则得到,, ∴或，故③正确； ④∵， ∴， ∴ ∴， ∵x、y都是整数， ∴都是整数， ∴或或或 ∴或或 或或或或或或， 整数解共9对，故④错误； 综上所述，结论正确的有②③； 故选：B． 10．已知实数，，，其中且满足，，下列结论：①，②，③，其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，完全平方公式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．①由，得到，代入，即可判断；②由，结合，即可判断；③把代入，得到，通过②的结论可知，即可判断． 【详解】解： ，即，故①错误； ， ，故②正确； ， 由①可知，，即 ，即 ，， ，即 ，故③正确； 故选：B． 二、填空题 11．因式分解：________． 【答案】 【分析】直接利用提公因式法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题关键． 12．分解因式：___________． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知平方差公式是解题的关键． 13．若，则的值是__________． 【答案】30 【分析】根据提公因式法即可求出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：30． 【点睛】本题考查提公因式法，解题的关键是熟练运用提公因式法，本题属于基础题型． 14．已知，，则的值为__________． 【答案】1 【分析】直接提取公因式，进而分解因式，再整体代入数据即可得出答案． 【详解】∵，， ∴ = =1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了分解因式的应用以及代数式的求值，正确找出公因式是解题关键． 15．已知，，，均为正整数，且，，，则__． 【答案】 【分析】此题要注意借助巧妙的设法，运用因式分解的知识达到降次的目的求解．设，，，，为正整数），根据已知，运用因式分解的方法得到关于，的方程组，从而求解． 【详解】解：，， 可设，，，，为正整数）， ， ， 即， ∴或 解得：或， 则不为正整数故此结果舍去）或， ． 故答案为：． 16．因式分解：_________________，__________________. 【答案】 【分析】本题考查公式法因式分解及提取公因式法因式分解，根据有公因式先提取公因式，再看符不符合，直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ； ， 故答案为：；． 17．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．例如：可配方成；可配方成．若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据题目中给出的信息，求出x、y的值，然后代入求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是将变形为求出，． 三、解答题 18．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，等式的性质，熟练掌握完全平方公式因式分解是解题的关键．先利用完全平方公式变形为，再利用得，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 19．因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因数，然后利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 20．（1）简便运算：． （2）因式分解：． 【答案】（1）4000；（2） 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，综合运用提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． （1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可； （2）先提取公因式，再运用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 21．阅读与思考：在现今信息化时代，智能手机几乎人手必备，应用到了生活的各个领域，锁屏密码为保护我们个人隐私起到了不可或缺的作用，而诸如“1234”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式；因式分解的结果为或，取个人年龄作为x的值，当时，，，此时可以得到数字密码1016或1610． (1)根据上述方法，若多项式为，当时，求出锁屏密码； (2)若王老师选取的多项式为，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字353334，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由． 【答案】(1)锁屏密码为1119或1911 (2)王老师的年龄是34岁 【分析】本题考查了因式分解的应用以及新定义运算，读懂题意是解题的关键． （1）模仿题干的解题过程，根据因式分解的结果为或，再结合个人具体年龄作进一步分析，即可作答． （2）先把，结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵因式分解的结果为或， ∴当时，，， ∴锁屏密码为1119或1911． （2）解：， ∵王老师手机的锁屏密码是6位数字353334，且结合 ∴， ∴． 答：王老师的年龄是34岁． 22．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)图2大正方形的面积既可以表示为，又可以表示为_______，所以可得等式_______． (2)请利用A、B、C三种纸片各若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图，研究拼图发现可将因式分解为_______． 【答案】(1)， (2)作图见解析， 【分析】本题考查几何背景下的整式的乘法与因式分解，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）图2可看作是边长为的正方形，也可以看作4个部分组成，可分别表示出面积，再根据二者面积相等，即可作答； （2）拼成的大长方形需要2张A种纸片，1张B种纸片，3张C种纸片，据此即可作图，再由面积关系即可解答． 【详解】（1）解：图2大正方形的面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式． 故答案为： ，； （2）解：如图， 由图可知，拼成的大长方形的长为，宽为，即， ∴可将因式分解为． 故答案为：． 23．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：，某数学兴趣小组对“三角形数”展开探究． (1)数学兴趣小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有如下规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： ①写出第5个等式： ； ②写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明； (2)数学兴趣小组还发现：，，，即任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数，请你对发现的该结论加以证明． 【答案】(1)①；②，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查整式的混合运算的应用、因式分解，正确理解“三角形数”的概念是解题的关键． （1）①根据题意即可写出第5个等式； ②根据题意即可写出第n个等式，再进行求解即可； （2）根据规律得到等式并化简即可证明． 【详解】（1）解：（1）①第5个等式：； 故答案为：； ②猜想：； 证明如下： 等式左边 ． 等式右边 等式左边等式右边， 等式成立； （2）发现：， 证明如下： 等式左边， 等式右边， 等式左边等式右边， 等式成立， 任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数． 24．在学习《因式分解》时，邹老师给同学们发了很多硬纸片（的正方形A，的正方形B，的长方形C）．    (1)在探究中，小明用1张A和1张C组成如图1所示的长方形可以说明可以分解为______；    (2)继续探究中，小明用1张A，2张B和3张C再次拼得一个长方形，请在框1中画出示意图，并将长方形面积表达式的因式分解结果写在横线上．    (3)尝试应用：请你仿照小明同学的探究方法，尝试用1张A，4张B和若干张C拼成一个长方形或者正方形，请你设计两种不同的拼法，在框2和框3中分别画出示意图，并在相应的横线上写出所拼长方形的面积表达式及因式分解的结果．    【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）对表达式进行因式分解即可得到答案． （2）根据1张A，2张B和3张C再次拼得一个长方形画出图形，求出边长进而求出面积再进行因式分解． （3）由题意拼凑出一个正方形或一个长方形，求出边长，求得面积再进行因式分解． 【详解】（1）在探究中，小明用1张A和1张C组成如图1所示的长方形可以说明可以提取公因式分解为． （2）框1   ． （3）框2   ． 框3   ． 【点睛】本题主要考查因式分解，而本题的解题的关键在于将小块的图形面积之和等于大的拼凑图形的面积，大的拼凑图形面积用整体的长宽高求得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 因式分解（知识详解+14典例分析+习题巩固） 【知识点01】因式分解 1. 定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解。因式分解也可称为分解因式。 2. 整式乘法与因式分解的关系 类别 整式乘法 因式分解 区别 化积为和 化和为积 联系 方向相反的变形：多项式（和）        整式乘积（积） 【知识点02】公因式 1. 定义 把多项式各项都含有的相同因式， 叫做这个多项式各项的公因式 . 2. 确定公因式的步骤若多项式中首项的符号是“-”，则公因式的符号一般为“-” 步骤 举例(2ab 与4ab)  (1) 定系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数 2 (取2 和4 的最大公因数) (2) 定字母(或多项式) ：取各项中的相同字母因式(或相同多项式因式)  a-b 与b-a 可以变为相同的因式 a，b  (3) 定指数：确定各项相同字母因式(或相同多项式因式) 的指数， 取其中指数最小的 a 指数最小为2，b 指数最小为1 (4) 写结果 公因式为2a²b 【知识点03】利用提公因式法分解因式 1. 提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方法叫作提公因式法。 2. 利用提公因式法分解因式的一般步骤 确定公因式: 先确定系数，再确定字母和字母的指数其项数与待分解多项式的项数相同 提取公因式 确定另一个因式: 用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式写成乘积的形式 【知识点04】用平方差公式分解因式 1.用平方差公式分解因式把整式乘法的平方差公式的等号两边互换位置就得到此式子 符号表示 a²-b²=(a+b) (a-b)  文字叙述 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 注意 上面式子中的a，b 可以是单项式，也可以是多项式 2. 运用平方差公式分解因式的步骤 一判： 判断是否为平方差，若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项放在后面 . 二定： 确定公式中的 a 和 b，除 a 和 b 是单独一个数或字母外，其余都必须用括号括起来，表示一个整体 . 三套： 套用平方差公式进行分解 . 四整理： 将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式 . 【知识点05】用完全平方公式分解因式 1. 完全平方式 符号表示: ， 把整式乘法的完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2 的等号两边互换位置，就得到此式子 文字叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方 注意：上面式子中的a，b 可以是单项式，也可以是多项式 2. 公式法 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法。 3. 因式分解的一般步骤 一提：看有无公因式，若有，则提取公因式 二套：考虑是否可套用公式法因式分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式 当不能直接因式分解时，可经适当变形后整理成能用提公因式法或公式法因式分解的形式，再进行因式分解 三检查：检查是否分解彻底，若没有，则继续因式分解 【题型一】判断是否是因式分解 例1．（2026八年级下·全国·专题练习）下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 变式2．（22-23八年级下·全国·课后作业）下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？ （1）；（2）； （3）；（4）． 【题型二】已知因式分解的结果求参数 例2．（25-26八年级下·四川绵阳）多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）已知是多项式的因式，则_______，_______． 变式2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【题型三】公因式 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各组中，没有公因式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）与的公因式是______． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 【题型四】提公因式法分解因式 例4．（23-24八年级下·重庆·期中）将多项式进行因式分解，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·周测）把多项式提取公因式后，另一个因式为_____． 变式2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）因式分解： (1)； (2)． 【题型五】判断能否用公式法分解因式 例5．（24-25八年级下·福建漳州·期末）下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·河北保定·月考）在因式①；②；③；④；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型六】平方差公式分解因式 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）若多项式可以在有理数范围内运用平方差公式分解因式，则单项式可以是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·四川绵阳）下列多项式能用平方差公式来分解因式的有_______． ①；②；③；④. 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【题型七】完全平方公式分解因式 例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．（2023八年级下·全国·专题练习）分解因式：______． 变式2．（25-26八年级下·天津）因式分解： 【题型八】综合运用公式法分解因式 例8．（24-25八年级下·陕西安康·期中）已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 变式1．（22-23八年级下·浙江宁波）分解因式：___________． 变式2．（24-25八年级下·山东济南·期中）阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以在中先加上一项4，使它与的和成为一个完全平方式，再减去4，式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)同时运用多项式的配方法能确定一些多项式的最大值或最小值．因为不论取何值，，所以当时，多项式有最小值为．试确定：多项式是否存在最大值或最小值？如果有，请求出最大值或最小值；如果不存在，请说明理由． (3)已知是实数，试比较与的大小，说明理由． 【题型九】综合提公因式和公式法分解因式 例9．（25-26八年级下·湖南常德·期末）把多项式因式分解结果为（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·福建福州·月考）因式分解：__________. 变式2．（25-26八年级下·吉林长春）因式分解： (1)； (2)． 【题型十】实数范围内分解因式 例10．（24-25八年级下·青海海东·月考）因式分解：_______． 变式1．（24-25八年级下·上海·假期作业）在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【题型十一】因式分解在有理数简算中的应用 例11．（2025·河北保定·一模）若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 变式1．（24-25八年级下·江西九江·月考）简便运算：________． 变式2．（2026八年级下·全国·专题练习）运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 【题型十二】十字相乘法 例12．（24-25八年级下·广东深圳·期中）若多项式可因式分解为，则b的值为（    ） A． B．3 C． D．54 变式1．（2023八年级下·广东佛山·竞赛）把分解因式的结果是____． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下列材料，并完成后面的任务． 在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如下图所示． 任务： (1)因式分解：____________． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数的所有可能的值． 【题型十三】分组分解法 例13．（22-23八年级·全国·单元测试）已知有一个因式，把它分解因式后的结果是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2025·安徽合肥·模拟预测）分解因式： __________ 变式2．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读材料】某校“数学社团”的成员研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．例如和．社团成员经过讨论交流后发现可以将这样的式子先分组，再分解． 方法如下：； ．请在这种方法的启发下，解决下列问题： 【问题解决】 （1）因式分解：； （2）因式分解：； 【方法延伸】 （3）因式分解：． 【题型十四】因式分解的应用 例14．（24-25八年级下·全国·课后作业）若实数x，y满足，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知因式分解为，其中，，均为整数，则的值为______． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图为两个边长为的正方形纸片，一个边长为的正方形纸片，三个长和宽分别为和的长方形纸片．你能否用图中所有的纸片拼成一个长方形？如果能，请画出草图，并据此写出一个多项式的因式分解；如果不能，请说明理由． 一、单选题 1．用提公因式法分解因式2x2﹣x时，应提取的公因式是（　　） A．x B．2x C．x2 D．2 2．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．若长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为6，则的值为（    ） A．14 B．16 C．20 D．30 4．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 5．，，则M与N的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 6．已知，则代数式的值为（    ） A．2020 B．2024 C．2021 D．2034 7．△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则△ABC是（　　） A．等边三角形 B．腰底不等的等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 8．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是（    ） A．301050 B．103020 C．305010 D．501030 9．对于二次三项式（为常数），下列结论正确的个数有（   ） ①当时，若，则； ②无论取任何实数，等式都恒成立，则； ③若，，则或； ④满足的整数解共有8个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知实数，，，其中且满足，，下列结论：①，②，③，其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题 11．因式分解：________． 12．分解因式：___________． 13．若，则的值是__________． 14．已知，，则的值为__________． 15．已知，，，均为正整数，且，，，则__． 16．因式分解：_________________，__________________. 17．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．例如：可配方成；可配方成．若，则的值为________． 三、解答题 18．已知，求的值． 19．因式分解： (1)； (2) 20．（1）简便运算：． （2）因式分解：． 21．阅读与思考：在现今信息化时代，智能手机几乎人手必备，应用到了生活的各个领域，锁屏密码为保护我们个人隐私起到了不可或缺的作用，而诸如“1234”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式；因式分解的结果为或，取个人年龄作为x的值，当时，，，此时可以得到数字密码1016或1610． (1)根据上述方法，若多项式为，当时，求出锁屏密码； (2)若王老师选取的多项式为，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字353334，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由． 22．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)图2大正方形的面积既可以表示为，又可以表示为_______，所以可得等式_______． (2)请利用A、B、C三种纸片各若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图，研究拼图发现可将因式分解为_______． 23．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：，某数学兴趣小组对“三角形数”展开探究． (1)数学兴趣小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有如下规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： ①写出第5个等式： ； ②写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明； (2)数学兴趣小组还发现：，，，即任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数，请你对发现的该结论加以证明． 24．在学习《因式分解》时，邹老师给同学们发了很多硬纸片（的正方形A，的正方形B，的长方形C）．    (1)在探究中，小明用1张A和1张C组成如图1所示的长方形可以说明可以分解为______；    (2)继续探究中，小明用1张A，2张B和3张C再次拼得一个长方形，请在框1中画出示意图，并将长方形面积表达式的因式分解结果写在横线上．    (3)尝试应用：请你仿照小明同学的探究方法，尝试用1张A，4张B和若干张C拼成一个长方形或者正方形，请你设计两种不同的拼法，在框2和框3中分别画出示意图，并在相应的横线上写出所拼长方形的面积表达式及因式分解的结果．    1 学科网（北京）股份有限公司 $