专题04 三角恒等变换8种常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高一必修第二册

专题04 三角恒等变换8种常考题型 题型一：两角和与差的三角函数 题型二：二倍角公式 题型三：辅助角公式及应用 题型四：积化和差与和差化积公式的应用 题型五：半角公式 题型六：三角恒等变换在平面向量中的应用 题型七：三角恒等变换在三角形中的应用 题型八：三角恒等变换在实际问题中的应用 题型一：两角和与差的三角函数 1．（ ） A． B． C． D． 2.计算：（ ） A． B． C． D． 3.已知，则（ ） A．1 B． C． D． 4.已知，，，，则（ ） A． B． C． D． 5.如图，，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则（ ）    A． B． C． D． 6.（多选）下列化简结果正确的是（  ） A． B． C． D． 7.（多选）已知，为锐角，，，则（  ） A． B． C． D． 8.若是锐角，，则 ． 9.已知，，，，则 . 10.的值为_________ 11.四个直角三角形可以多种拼接方式．如图就是一种拼接方式：其中直角三角形①和直角三角形③全等，直角三角形②和直角三角形④全等，其中直角三角形的斜边长为1个单位长度，根据图所提供的信息，请写出一个关于角和角组合在一起的一个数学公式 ．    12.已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 题型二：二倍角公式 13．已知，，则（ ） A．0 B．2 C．0.5 D．0或2 14.若（ ） A． B． C． D． 15.若，则（ ） A． B． C． D． 16.（ ） A． B． C． D． 17.已知，，则（ ） A． B． C． D． 18.已知第二象限角满足，则（ ） A． B． C． D． 19.已知第二象限角满足，则（ ） A． B． C． D． 20.若，，且，，则的值为（ ） A． B． C． D． 21.已知（），则____________ 22.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ . 23.已知，则 的值为_________ 题型三：辅助角公式及应用 24． （  ） A． B． C． D． 25.若，，，则（ ） A． B． C． D． 26.已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 27.当时，函数取得最小值，则（ ） A． B． C． D． 28.已知函数，其中，满足，则 ． 29.已知，则 ． 30.已知函数，若存在，使得，则的最小值为 . 31.已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)当时，的取值范围为，求m的最大值． 题型四：积化和差与和差化积公式的应用 32．的值为（  ） A． B． C． D． 33.若，则等于（  ） A． B． C． D． 34.已知，则（  ） A． B． C． D． 35.可化简为（  ） A． B． C． D． 36.若，，则（  ） A． B． C． D． 37.已知，，，则_________ 38.的值为_____________ 题型五：半角公式 39．若且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 40.已知为锐角，且，则（  ） A． B． C． D． 41.若且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 42.在中，，则________. 题型六：三角恒等变化在平面向量中的应用 43．已知是平面内三个非零向量，且，则当与的夹角最小时，（ ） A. B. C. D. 44.如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 45.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为，若在该坐标系下，已知，，，则的最大值为___________． 46.如图所示，边长为的正，以的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为______. 47.已知向量，. （1）若，求； （2）若，函数 ； （ⅰ）求的值域. （ⅱ）当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标. 48.在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，，且，其中为坐标原点. (1)若，设为线段上的动点，求的最小值； (2)若，向量，向量，求的最小值. 49.已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，求当且，的值； （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 题型七：三角恒等变化在三角形中的应用 50．若△ABC为斜三角形，，则的值为（ ） A． B． C．0 D．1 51.A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是（ ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 52.关于x的方程有一根为1，则一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 53.在中，，则的形状为（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 54.锐角的内角满足，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 55.在中，若，且，则（  ） A． B． C． D． 56.在中，为它的三个内角，且满足，，则 . 57.已知的角A，B，C满足，其中符号表示不大于x的最大整数，若，则 ． 58.已知为斜三角形． (1)证明：； (2)若为锐角三角形，，求的最小值． 59.某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带，，，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设. (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用. 60.如图，某游乐场的摩天轮半径为，圆心距离地面，设置有个座舱（逆时针编号号号），摩天轮每逆时针转动一圈，游客在座舱转到距离地面最近的位置（点位置）进舱.现甲、乙两人先后分别进入号舱和号舱. (1)游客甲从坐上号舱起，经过后距离地面高度为（单位：），求（单位：）关于时间（单位：）的函数； (2)在运行一周的过程中，求甲、乙两人距离地面的高度差的最大值. 61.如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过、分别作于，于． (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示、两点的坐标； (2)求四边形面积的最大值． 题型八：三角恒等变换在实际问题中的应用 62．某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（ ） A． B． C．5 D． 63.给白炽灯加上一个不透光材料做的灯罩，可以降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角来衡量.遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角满足.若图中，且，则（ ） A．21 B．33 C．42 D．55 64.如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（ ） A． B． C． D． 65.某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为的圆内做一个关于圆心对称的“”型图形，“”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设为圆心，，记矩形的面积为，则的最大值为 . 66.如图，已知扇形的半径为，面积为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形（点、在半径上，点在半径上）. (1)求弧的长. (2)记，当取何值时，矩形的面积最大?并求出这个最大面积. 67.如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为． (1)求； (2)求的最大值及此时的值； (3)若，求的取值范围． 68.如图所示是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图（1）所示的模型，其中桥塔、与桥面垂直，通过测量得知，，当为中点时，. （1）求的长； （2）试问在线段的何处时，达到最大. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角恒等变换8种常考题型 题型一：两角和与差的三角函数 题型二：二倍角公式 题型三：辅助角公式及应用 题型四：积化和差与和差化积公式的应用 题型五：半角公式 题型六：三角恒等变换在平面向量中的应用 题型七：三角恒等变换在三角形中的应用 题型八：三角恒等变换在实际问题中的应用 题型一：两角和与差的三角函数 1．（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的诱导公式与和差公式即可得解. 【解析】 .   故选：C. 2.计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式计算即可. 【解析】 . 故选：A. 3.已知，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切的和差角公式即可代入求解. 【解析】， 故选：C 4.已知，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和差公式即可得解. 【解析】因为，所以， 因为，则，所以， 因为，则， 又，所以. 所以 . 故选：D. 5.如图，，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的正切值，即可得出的正切值，进而求出的度数. 【解析】由题意及图得，，， ∴． ∵，， ∴． 故选：B. 6.（多选）下列化简结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用三角函数的和角公式判断AB，逆用三角函数的和角公式判断CD，从而得解. 【解析】对于A， ，故A正确. 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：AB 7.（多选）已知，为锐角，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，由两角和的余弦公式、商数关系即可验算；对于B，直接由两角差的余弦公式验算即可；对于C，首先得，，然后直接验算即可；对于D，由，即可得解. 【解析】对于A，因为，， 所以， 解得，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，为锐角，所以， 又因为，所以，所以， ，故C错误； 对于D，因为，为锐角，所以， 又因为，所以只能， 因为，解得，故D正确. 故选：BD. 8.若是锐角，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平方关系及差角的余弦公式计算即得. 【解析】由是锐角，得，又，则， 所以. 故答案为： 9.已知，，，，则 . 【答案】 【分析】根据同角三角函数的关系可得与，再结合以及同角三角函数的关系可得. 【解析】∵，且， ∴. ∵，∴，∴. 又，∴， ∴ ， 又∵，∴. 故答案为： 10.的值为_________ 【答案】 【分析】利用两角和的正切公式推得，从而得，依次类推，即可求得的值，即得答案. 【解析】因为，故， 即， 所以， 同理，，， 故， 故答案为： 11.四个直角三角形可以多种拼接方式．如图就是一种拼接方式：其中直角三角形①和直角三角形③全等，直角三角形②和直角三角形④全等，其中直角三角形的斜边长为1个单位长度，根据图所提供的信息，请写出一个关于角和角组合在一起的一个数学公式 ．    【答案】 【分析】利用面积公式与和差公式即可得解. 【解析】由题意可知，四边形为矩形，四边形为菱形， 过点作⊥于点，故， 因为，所以， 故菱形的面积为， 在Rt中，，，， 故，，， 在Rt中，，，， 故，，， 又，， 故矩形的面积为 ， 又矩形的面积为 ， 故 ， 故.    故答案为： 12.已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用同角公式及差角的正弦公式求解. （2）利用同角公式及差角的正弦公式求出即可. 【解析】（1）由，得， 所以. （2）由，得，由， 得，则 ， 所以. 题型二：二倍角公式 13．已知，，则（ ） A．0 B．2 C．0.5 D．0或2 【答案】C 【分析】由正弦的二倍角公式求解即可. 【解析】因为，所以， 所以由得， 故选：C 14.若（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正、余弦的二倍角公式求解即可. 【解析】， 因为，所以， 所以， 因为， 原式=. 故选：A. 15.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和角的余弦公式展开，再平方即得解. 【解析】解：由题得， 两边平方得. 故选：C 16.（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果. 【解析】 . 故选：A. 17.已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合已知条件、平方关系先算出的值，再由二倍角公式、两角差的正弦公式计算即可得解. 【解析】由题意，解得或（舍去）， 从而，， 所以. 故选：C. 18.已知第二象限角满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式化简求值. 【解析】由题意可得，即， 根据二倍角公式展开即：，解得或， 又因为为第二象限角，故，则，， 故． 故选：D． 19.已知第二象限角满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式化简求值. 【解析】由题意可得，即， 根据二倍角公式展开即：，解得或， 又因为为第二象限角，故，则，， 故． 故选：D． 20.若，，且，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的正切值及的取值范围，即可得出的值. 【解析】因为，，则， 又因为，则， 由二倍角正切公式可得， 所以，， 因为，，则，即， 因此，. 故选：B. 21.已知（），则____________ 【答案】 【分析】根据平方关系求出，即可求出、，再由二倍角公式计算可得. 【解析】因为，所以， 又，所以，解得（舍去）或， 所以，则， 则. 故答案为：. 22.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ . 【答案】　 【分析】根据二倍角公式求值. 【解析】原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝ ＝＝＝. 故答案为：　 23.已知，则 的值为_________ 【答案】1 【分析】利用二倍角公式及诱导公式计算即可. 【解析】因为， 所以， ， 故. 故答案为：1 题型三：辅助角公式及应用 24． （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将写成，利用两角和的正弦公式化简即可. 【解析】因为 . 故选：A. 25.若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据辅助角公式化简求值得，结合诱导公式利用两角差的正弦公式求值得，即可比较大小. 【解析】因为， ，又，所以. 故选：D 26.已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据辅助角公式化简求值 【解析】依题意，，解得， 所以． 故选：C 27.当时，函数取得最小值，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据辅助角公式化简求值 【解析】 其中，，， 依题意得，，， ，，，， ， 故选：C． 28.已知函数，其中，满足，则 ． 【答案】 【分析】根据代入计算，化简可得关于的方程，解方程即可. 【解析】因为，， 所以， 所以，即， 所以， 又因为，所以，即. 故答案为：. 29.已知，则 ． 【答案】 【分析】借助辅助角公式与同角三角函数基本关系计算即可得. 【解析】，故， 由，则，故， . 故答案为：. 30.已知函数，若存在，使得，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得. 【解析】函数，由，得， 由存在，使得，得，解得， 所以的最小值为. 故答案为： 31.已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)当时，的取值范围为，求m的最大值． 【答案】(1)，函数的单调递增区间为，；(2) 【分析】（1）利用辅助角公式可得，则可求其最小正周期，利用整体代换法可求其单调递增区间； （2）利用整体代换法求出，由的取值范围为，从而可求解. 【解析】（1）由， 则最小正周期为， 令，因为的单调递增区间是，， 所以，，即，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，； （2）当时，， 令，则，所以的取值范围为， 由的性质可知，，解得， 所以的最大值为． 题型四：积化和差与和差化积公式的应用 32．的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意对目标式合理变形，再利用积化和差公式化简求值即可. 【解析】首先，我们先对合理变形， 得到， ， 由积化和差公式得， 同理可得， ， 则， 得到，故A正确. 故选：A. 33.若，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由积化和差公式化简即可求解. 【解析】因为 ，所以. 故选：C. 34.已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由积化和差公式及余弦二倍角公式化简即可求解. 【解析】由， 可得：， 即，又， 结合平方差公式可得：. 故选：C. 35.可化简为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由和差化积公式化简即可求解. 【解析】． 故选：C. 36.若，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由和差化积公式化简即可求解. 【解析】由题知. ∵， ∴， 即. ∴. 故选：C. 37.已知，，，则_________ 【答案】 【分析】由和差化积公式化简即可求解. 【解析】因为 ， 由题意可知，，所以， 因为，，， 所以，， 所以，， 因为， ， 所以. 故答案为： 38.的值为_____________ 【答案】 【分析】由积化和差公式化简即可求解. 【解析】首先，我们先对合理变形， 得到， ， 由积化和差公式得， 同理可得， ， 则， 得到，故A正确. 故答案为： 题型五：半角公式 39．若且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由半角公式和化简得 ，且， 得，所以. 故选：C. 40.已知为锐角，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得，再求得，然后由半角公式计算． 【解析】， 是锐角，则， ， 故选：B． 41.若且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到的取值范围. 【解析】 由半角公式和化简得 ，且， 得，所以. 故选：C. 42.在中，，则________. 【答案】 【分析】由半角公式即可求解. 【解析】 故答案为： 题型六：三角恒等变化在平面向量中的应用 43．已知是平面内三个非零向量，且，则当与的夹角最小时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】设，以为原点，为坐标轴建立直角坐标系，设，表示出的坐标，利用数量积关系表示出夹角即可求出. 【解析】设， 因为，所以，即是边长为1的等边三角形， 因为，则可以为原点，为坐标轴建立直角坐标系， 设，则，， ， ， 则， ， 则， 令， 则， 当且仅当时等号成立， 此时. 故选：B. 44.如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，设点，其中， 由可得， 即，故， 因为，故， 故当时，取最小值. 故选：D. 45.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为，若在该坐标系下，已知，，，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】求出，然后利用换元法将转化为关于的函数，利用二次函数求最值即可. 【解析】由题意可知， 所以， ， 所以， 令， ， 又因为， 且，所以，所以， 即， 又因为函数在单调递增， 即时，函数取到最大值3， 即，则有， 所以当时，的最大值为. 故答案为： 46.如图所示，边长为的正，以的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】连接，以点为坐标原点，、所在直线别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量数量积的坐标运算、辅助角公式以及正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【解析】连接，因为为等边三角形，且为的中点，则， 以点为坐标原点，、所在直线别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、，设点，其中， 则，， 所以，， 因为，则，所以，， 故. 因此，的取值范围为. 故答案为：. 47.已知向量，. （1）若，求； （2）若，函数 ； （ⅰ）求的值域. （ⅱ）当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）或 【分析】（1）根据向量共线可得，结合三角恒等变换分析求解； （2）根据数量积结合三角恒等变换整理可得.（ⅰ）换元设，可知，结合二次函数求值域；（ⅱ）结合（ⅰ）可知，设，结合向量的坐标运算分析求解. 【解析】（1）因为，，且∥， 则， 即 整理得，所以. （2）因为，则，， 可得 设， 因为，则， 可得，， （ⅰ）设， 因为的图象开口向上，对称轴为， 由二次函数性质可得：， 所以的值域为； （ⅱ）当取最小值时，即，此时， 设，由题意可得，解得 或， 所以或. 48.在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，，且，其中为坐标原点. (1)若，设为线段上的动点，求的最小值； (2)若，向量，向量，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设出点坐标，求得的表达式，结合二次函数的性质求得最小值. （2）结合向量数量积的运算、三角恒等变换、三角函数最值的求法求得的最小值. 【解析】（1）已知点的坐标为，为线段上的动点，设， 因为，且，， 则， 所以， 所以， 所以当时，最小，最小值为. （2）因为，且，的坐标为， 则，则， 又， 则， ， 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值1， 则取得最小值为. 49.已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，求当且，的值； （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点. 【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可可得特征向量；（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；（3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可. 【解析】解：（1） 的相伴特征向量. （2）向量的相伴函数为， ，. ，，. . （3）由为的相伴特征向量知： . 所以. 设，， ，， 又，. ， ，， . 又， 当且仅当时，和同时等于，这时式成立. 在图像上存在点，使得. 题型七：三角恒等变化在三角形中的应用 50．若△ABC为斜三角形，，则的值为（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】斜三角形中，由，可知，再由三角恒等变换化简即可. 【解析】由，可知或， 又为斜三角形，所以，即， 故选：A. 51.A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是（ ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】由韦达定理求得和，再由两角和的正切公式求得，然后由诱导公式得后可判断C角的范围．得三角形形状． 【解析】∵tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝， ∴tan(A＋B)＝＝， ∴tan C＝－tan(A＋B)＝－， ∴C为钝角，三角形为钝角三角形． 故选：A． 52.关于x的方程有一根为1，则一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】将1代入，根据二倍角公式和两角差的余弦公式，整理可得 ，即，根据角的范围，即可求出结果. 【解析】因为1是的根， 所以， 又， 所以有，， 整理可得，，即. 因为，，，所以. 则由可得，，所以. 所以一定是等腰三角形. 故选：A. 53.在中，，则的形状为（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】利用三角公式得到，求出，即可判断. 【解析】在中，因为， 所以， 即, 展开，整理化简得：. 因为为三角形内角，所以，所以. 因为为三角形内角，所以， 所以为直角三角形. 故选：B 54.锐角的内角满足，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，. ，，，从而， 为锐角三角形． ，从而. 故选：D． 55.在中，若，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题及和差化积公式可得，然后结合诱导公式及二倍角余弦公式可得答案. 【解析】由和差化积公式： ，又注意到， 则. 故选：A. 56.在中，为它的三个内角，且满足，，则 . 【答案】 【分析】将题目中的两个式子平方后相加，可得，再利用诱导公式和三角函数单调性即可求得结果. 【解析】由题意可知，将两边同时平方得 将两式相加得 ，即，所以 可得或； 又因为，得， 由余弦函数单调性可得，所以不合题意； 因此. 故答案为： 57.已知的角A，B，C满足，其中符号表示不大于x的最大整数，若，则 ． 【答案】1 【分析】先证得，结合条件得必为整数，分为钝角三角形与锐角三角形讨论求得的值 【解析】由， 得. 记，由条件得， 因为，所以必为整数. 如果为钝角三角形，则，则、均为锐角， 从而、为正整数()， 于是， 这时有，矛盾. 于是只能是锐角三角形，则. 又. 若，则，从而不能成立; 若，则，由，得; 若，则，由，得，与矛盾. 所以，即， 所以. 故答案为：1 58.已知为斜三角形． (1)证明：； (2)若为锐角三角形，，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析;(2) 【分析】（1）利用诱导公式结合两角和的正切公式可证得结论成立； （2）推导出，利用（1）中的结论结合基本不等式可求得的最小值. 【解析】（1）证明：，所以． 因为，所以，所以． 由，可得． （2）解：因为， 所以，可得． 由（1）得 ． 因为为锐角三角形，由可知， 设，则， 当且仅当时取等号，再由（1）可得， 此时，解得或时， 即当或时，等号成立， 故的最小值为. 59.某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带，，，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设. (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用. 【答案】(1)，定义域为;(2);(3)米时，照明装置费用最低，最低费用元. 【分析】（1）利用直角三角形锐角三角函数来表示边，结合勾股定理可得到周长的函数； （2）利用弦化切思想可求解长度； （3）由题意可知只需最小即可，然后利用换元思想，可转化为单调函数求最值. 【解析】（1）在，中，由， 得，， 又中，由勾股定理得， 因， 当点在点时，此时的值最小，，当点在点时，此时的值最大，， 所以函数关系式为，定义域为. （2）由（1）知，， 因此， 于是. （3）依题意，要使费用最低，只需最小即可， 由（1）得，， 设，则， ， ，由，得， ， , 于是， 令，函数在上为增函数， 则当时，最小，且最小值为，此时， 所以当米时，照明装置费用最低，最低费用元. 60.如图，某游乐场的摩天轮半径为，圆心距离地面，设置有个座舱（逆时针编号号号），摩天轮每逆时针转动一圈，游客在座舱转到距离地面最近的位置（点位置）进舱.现甲、乙两人先后分别进入号舱和号舱. (1)游客甲从坐上号舱起，经过后距离地面高度为（单位：），求（单位：）关于时间（单位：）的函数； (2)在运行一周的过程中，求甲、乙两人距离地面的高度差的最大值. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，可得出的值，求出旋转周期可得出的值，根据可得出的值，再根据初始位置可得出的值，即可得出关于的函数关系式； （2）经过后，甲乙距离地面的高度分别为、，，，利用三角恒等变换化简得出关于的函数关系式，结合以及余弦型函数的基本性质可求得的最大值. 【解析】（1）以水平面所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系， 根据题意，设， 由题意知旋转周期，得，， ，解得， 当时，游客甲位于，则， 由题意可得：. （2）设甲、乙两人所在号舱分别为、，则. 经过后，甲乙距离地面的高度分别为、， ，. 则甲、乙的高度差 ， 当时，， 所以当或时，即或时， 取最大值为，即甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为. 61.如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过、分别作于，于． (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示、两点的坐标； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)建系见解析，点，点;(2) 【分析】（1）以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，利用三角函数的定义、诱导公式可得出点、的坐标； （2）利用三角恒等变换化简四边形的面积关于的表达式，结合的取值范围以及正弦型函数的基本性质可求得的最大值. 【解析】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系， ，圆的半径为， 点坐标为，点的坐标为， 坐标为． （2），， 四边形的面积 ，     当时，即时，， 四边形的面积的最大值为． 题型八：三角恒等变换在实际问题中的应用 62．某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（ ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【解析】由题意，为的中点，由，得，当人在点时，如下图所示， 设，则， 在中，， 在中，， 因为， 所以，解得或， 因为，所以，则，则， 当人运动到中点时，作于点，如下图所示， 则，， 所以， 在中， 故选：B． 63.给白炽灯加上一个不透光材料做的灯罩，可以降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角来衡量.遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角满足.若图中，且，则（ ） A．21 B．33 C．42 D．55 【答案】D 【解析】， 所以，则，因为，所以， 所以， 解得， 故选：D. 64.如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，因为半径为1，所以，， 因为，，所以， 所以，所以， 所以， ，其中， 当时，取最大值，则， 所以， 所以，解得，， 因为，所以，满足题意， 所以当矩形的面积最大时，. 故选：A. 65.某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为的圆内做一个关于圆心对称的“”型图形，“”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设为圆心，，记矩形的面积为，则的最大值为 . 【答案】 【解析】过点作，垂足为，设交于点， 则、分别为、的中点. 设四边形为横向矩形，如图所示， 由题意可知，， 因为，，所以， 所以. 所以矩形的面积 ，其中，且为锐角， 因为，则， 故当时，即当时，取得最大值为. 故答案为：. 66.如图，已知扇形的半径为，面积为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形（点、在半径上，点在半径上）. (1)求弧的长. (2)记，当取何值时，矩形的面积最大?并求出这个最大面积. 【答案】(1)；(2)，最大面积为. 【解析】（1）由已知得，解得，则弧的长为. （2）在中，，，在中，， 所以，. 设矩形的面积为， 则 . 由，得， 所以当，即时，. 故当时，矩形的面积最大，最大面积为. 67.如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为． (1)求； (2)求的最大值及此时的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)，； (3) 【解析】（1）根据题意可知，，， 所以， 整理得 . 即. （2）由（1）知， 所以，显然时，，此时. （3）由，可得， 因为，所以，解得， 即不等式的解集为. 68.如图所示是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图（1）所示的模型，其中桥塔、与桥面垂直，通过测量得知，，当为中点时，. （1）求的长； （2）试问在线段的何处时，达到最大. 【答案】(1)；（2）时，最大. 【分析】（1）根据题意得到，，求得，列出方程，即可求得； （2）分别求得，，根据得出关系式，结合换元法和基本不等式，即可求解． 【解析】（1）设，，，则，， 由，解得. （2）设，则，， 所以， 因为，所以，即为锐角， 令，则， 所以， 所以， 当且仅当时，即， 所以时，最大. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $