第2章不等式与不等式组 自主学习同步练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第2章不等式与不等式组》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．若二次根式有意义，则实数x的值可以是（   ） A．5 B．0 C．3 D． 2．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知一个不等式组的解集在数轴上如图所示，则该不等式组的解集为（　　） A． B． C． D． 4．已知关于x的不等式有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．若点在第二象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．如图，直线与的交点的横坐标为，两直线与x轴交点的横坐标分别是，，则关于x的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 8．学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题 9．“的平方与2的差大于的一半”用不等式表示为_________． 10．若，且，则a的取值范围是________． 11．若，则___________． 12．已知一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为______． 13．如果关于的不等式和不等式的解集相同，则求的值为_________． 14．已知三根小棒的长分别是，，，若这三根小棒首尾相连能构成三角形，则正整数的值可以为_______．（写出一个即可） 15．关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是_______． 16．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于25？”为一次操作，如果操作进行了两次才停止，则x的取值范围是______． 三、解答题 17．解下列不等式，并把解集表示在数轴上． (1)． (2)． 18．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 19．已知关于x，y的二元一次方程组若该方程组中x，y满足，求k的取值范围． 20．已知关于x的不等式组 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围． (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围． 21．端午节之前，小明准备买粽子过节，若在当地某超市购买2盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需支付380元，而在某团购群购买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需支付520元．对比发现，甲品牌粽子每盒的团购价相当于超市价的八折，乙品牌粽子每盒的团购价相当于超市价的七五折． (1)甲、乙两种品牌粽子每盒的超市价分别是多少元？ (2)小明打算在团购群购买这两种品牌的粽子，其中乙品牌粽子比甲品牌粽子多3盒，总花费不超过1200元，问小明最多能买多少盒甲品牌粽子？ 22．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点． (1)求直线的表达式； (2)直线与y轴交于点M，求的面积． (3)若，直接写出的取值范围． 23．某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 参考答案 1．A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴四个选项中只有A选项中的值符合题意， 故选：A． 2．D 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式两边加（减）同一个数，不等号方向不变；两边乘（除以）同一个正数，不等号方向不变；两边乘（除以）同一个负数，不等号方向改变，判断各选项即可． 【详解】解：∵ ， A．两边减1，不等号方向不变，则，故本选项不符合题意； B．两边乘，不等号方向改变，则，故本选项不符合题意； C．两边乘3（正数），不等号方向不变，则，故本选项不符合题意； D．两边乘（负数），不等号方向改变，则，故本选项符合题意． 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，根据数轴可知，该不等式组的解集为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据数轴可知，该不等式组的解集为， 故选：． 4．C 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解问题，解题的关键是先解不等式，再根据正整数解的个数确定不等式的取值范围． 1．解不等式，得到； 2．根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列出关于的不等式； 3．解该不等式，得到的取值范围． 【详解】解： 有且仅有三个正整数解， 正整数解为 1， 2， 3． 且 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ． ． 故选C． 5．C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限点的坐标特征，熟记各象限内点的坐标符号，是解题的关键．根据第二象限内点坐标特征列出不等式组，求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是． 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，准确的计算是解决本题的关键． 首先解每个不等式，得到不等式组的解集，然后根据整数解的个数确定m的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式得， 解得， 解不等式得， 解得， ∵整数解有且只有2个， ∴不等式组的解集为， ∵， ∴整数解为和0， ∴， ∴， ∴， 故m的取值范围是， 故选B． 7．C 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、两条直线相交或平行问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和图形可以求得不等式解集就是直线位于直线上方的部分所对应的x取值范围，即可解答本题． 【详解】解：∵直线与的交点的横坐标为，两直线与x轴交点的横坐标分别是，， ∴关于x的不等式解集就是直线位于直线上方的部分所对应的x取值范围，即：， 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可． 【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 9． 【分析】本题考查了列不等式的知识，解题的关键是准确翻译文字语言中的数量关系（如“平方”“差”“大于”“一半”）及明确运算顺序． 先分别将“的平方”“的平方与2的差”“的一半”转化为数学表达式，再根据“大于”关系用对应不等号连接． 【详解】解：的平方为，的平方与2的差为，的一半为， 由“差大于的一半”可得不等式， 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，根据不等式的性质可得，求解即可，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 11．16 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求出x的值，进而求出y的值即可得到答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：16． 12． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系问题，利用数形结合思想求解一元一次不等式是解决本题的关键． 根据一次函数与一元一次不等式的关系问题，分析图象，即可得出答案． 【详解】解：不等式可以看成一次函数中函数值小于0的部分， 从图中可以看出的范围是． 故答案为：． 13．7 【分析】本题考查了解简单不等式的知识点；解不等式要依据不等式的基本性质：分别求解两个不等式，根据解集相同建立方程求解即可． 【详解】解：不等式，的解集是； 不等式，的解集是； 由于两个不等式的解集相同， 因此， 解得． 14． 2（答案不唯一，如3、4等均可） 【分析】本题考查三角形的三边关系，一元一次不等式，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此列不等式，再根据不等式解集取值即可． 【详解】解：三根小棒的长分别为 、、，为正整数，故 为最长边， 根据三角形三边关系（两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度），需满足 ，即 ， 解得 ， 由于 为正整数，因此 ，可取 ． 故答案为： 2（答案不唯一，如3、4等均可）． 15． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，先解不等式组，得到解集，再根据有个整数解的条件，确定参数的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为 不等式组有4个整数解，且 整数解为，，，， ， 解得， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据操作进行了两次才停止，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 由①得：， 由②得：， ∴， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 17．(1)，表示见解析 (2)，表示见解析 【分析】本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键； （1）先去分母再进行移项、合并同类项最后系数化为1即可解出不等式的解集，最后在数轴上表示； （2）先去分母、去括号再进行移项、合并同类项最后系数化为1即可解出不等式的解集，最后在数轴上表示． 【详解】（1）解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集表示在数轴上如图所示． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集表示在数轴上如图所示． 18．，数轴表示见解析． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示出来不等式组的解集．分别求出不等式组中两不等式的解集，表示在数轴上找出解集的公共部分确定出不等式组的解集即可． 【详解】解：∵， ∴由，解得：， 由，解得：， 则不等式组的解集为． 将解集表示在数轴上如下： 19． 【分析】本题考查了方程组与含参不等式，熟练掌握相关解法是解题的关键； 将二元一次方程组中两等式相加代入到不等式中，解出的取值范围． 【详解】解：，得 ． ∵方程组中，满足， ∴， 解得． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，掌握不等式组有解和无解的判定条件，即大小小大中间找、大大小小找不到是解题的关键． （1）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据有解则两个解集有公共部分，建立关于的不等式，从而求出的取值范围； （2）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据无解则两个解集无公共部分的原则，建立关于的不等式，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵这个不等式组有解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． （2）解：由（1）得： ∵这个不等式组无解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 21．(1)甲品牌粽子的超市价为每盒70元，乙品牌粽子的超市价为每盒80元． (2)小明最多可以买8盒甲品牌粽子 【分析】（1）设甲品牌粽子的超市价为每盒x元，乙品牌粽子的超市价为每盒y元，根据“在超市购买2盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需支付380元，在某团购群购买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需支付520元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设买甲品牌粽子a盒，则买乙品牌粽子盒，根据总价=单价×数量结合总花费不超过1200元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲品牌粽子的超市价为每盒x元，乙品牌粽子的超市价为每盒y元，依题意得： ， 解得：． 答：甲品牌粽子的超市价为每盒70元，乙品牌粽子的超市价为每盒80元． （2）解：设买甲品牌粽子a盒，则买乙品牌粽子盒， 依题意，得：， 解得：， ∴a的最大整数解为． 答：小明最多可以买8盒甲品牌粽子． 22．(1) (2)5 (3) 【分析】（1）将代入可得，则，再用待定系数法即可得直线的表达式； （2）在中，令可得，即得有，故的面积； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ∴， 设直线的表达式为，将、代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：在中，令得， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：观察图象，当时，， ∴若，x的取值范围是． 23．(1)A种产品应生产件，B种产品生产件； (2)有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； (3)生产A种产品4件，B种产品11件的方案获利最大，最大利润为37万元 【分析】（1）设A产品应生产x件，则B产品应生产件，根据“工厂计划获利23万元”及两种产品的利润列方程求解即可； （2）设A产品应生产a件，则B产品应生产件，根据“工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元”列出不等式组，求出，即可得到答案； （3）分别求出三种方案获利，比较即可． 【详解】（1）解：设A产品应生产x件，则B产品应生产件， ∵工厂计划获利23万元， ∴， 解得：， ∴， 即A种产品应生产件，B种产品生产件； （2）解：设A产品应生产a件，则B产品应生产件， ∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元， ∴， 解得： ∴， 可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； （3）解：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第二种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第三种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 可知第一种获利最大，最大利润为37万元． 学科网（北京）股份有限公司 $