精品解析：河南信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高二下学期3月测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二下期03月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则实数x的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由空间垂直向量的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得：. 故选：B. 2. 已知直线，圆，则“”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 因为方程表示圆，所以，解得. 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 若直线与圆相交可得，则可得，解得. 所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件. 3. 在正方体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，然后根据已知条件列出各个点的坐标，然后求出的坐标，然后根据四点共面列出方程组，进而求出结果. 【详解】如图所示，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，因为为的中点，，， 所以. 所以. 因为，，，四点共面，所以， 得到，解得. 故选：A. 4. 已知双曲线C：的渐近线方程为，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】双曲线方程标准化，由，得（）. ，所以，即，解得. 5. 已知等差数列的前n项和为，若和的等差中项为6，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【详解】设等差数列的公差为， 由题意得，， 则. 6. 放射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中为时该同位素的含量，已知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则（ ） A. 贝克 B. 贝克 C. 贝克 D. 贝克 【答案】C 【解析】 【分析】求导，由求得，再计算即可． 【详解】求导得：， 因为， 所以，所以 所以， 故选：C 7. 圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆；同样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆．已知二面角的大小为，半平面内的圆在半平面上的正投影是椭圆在半平面上的正投影是椭圆，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】不妨设圆与切于点，过作与垂直的平面分别交半平面，于射线，（如图）. 设圆的半径为，椭圆，的中心分别为，，长短半轴分别为，，，， 则，，，而， 由平面几何知识易得，， 故椭圆的离心率. 8. 已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，，，得到 设和，利用导数求得和的单调性，结合函数的单调性，比较大小，即可得到答案. 【详解】令，，， 可得， 设，其中， 可得，所以在上单调递减， 所以，即，即， 故，所以； 设，其中， 可得，令， 可得，故在上单调递增， 所以，可得，所以在上单调递增， 所以，可得， 故，所以，所以. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 为单调递增数列 C. D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由与的关系求得通项公式，可判断ABC，通过的赋值结合的符号，可判断D. 【详解】由，可得， 所以， 又，符合上式， 所以， 故为等差数列，且单调递增，AB正确， ，C错误， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当，可知， 此时， 由上可知的最小值为，D正确. 10. 已知两曲线与存在两条公切线，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】BCD 【解析】 【分析】设公切线与两曲线相切于点，进而得切线方程，即得，设，利用导数研究的单调性和极值，进而作出的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】设公切线与两曲线与分别相切于， 因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 同理可得曲线在点处的切线方程为， 由题意可得，，即， 设，则， 令得．当时，； 当时，在（0，e）单调递增，在单调递减，时， 的图象如图所示： 由题意可知函数的图象与直线有两个交点，因此，解得， 故选：BCD． 11. 如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交点分别为A，B，C，D．已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为，过点作直线l与曲线E在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P，Q，且，则（ ） A. 开口向下的抛物线的焦点坐标为 B. 曲线E上两点间距离的最大值为 C. 点不在曲线E的内部 D. 直线l的斜率为 【答案】BD 【解析】 【分析】由条件结合对称性求出四个抛物线的方程，对于选项A，结合抛物线性质求焦点坐标即可判断，对于选项B，求点的坐标，由此判断结论，对于选项C，确定阴影部分内的点在第一象限内的点所需满足的条件，再检验点是否满足要求即可，对于选项D，设直线，，联立方程结合根与系数关系求结论即可. 【详解】已知开口向右的抛物线为，焦点为， 根据对称性可设开口向左的抛物线方程为，其焦点坐标为 开口向上的抛物线方程为，其焦点坐标为， 开口向下的抛物线方程为，其焦点坐标为， 由焦点共圆（圆心在原点，半径相等）得， 因此四条抛物线分别为：，， 对于选项A，开口向下的抛物线为，焦点坐标为，不是，A错误， 对于选项B，联立，可得，故点的坐标为， 同理可得， 距离最大的两个点为和（或和）， 最大距离为： ，选项B正确， 对于选项C，曲线的内部的点在第一象限内部的点的坐标满足关系且， 代入： ，，因此在曲线E内部，选项C错误， 对于选项D，设直线，，在最上方，在最下方，故， 由得：，即， 联立，可得，由韦达定理：  ， 代入得：，，解得， 由得，斜率，选项D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与平行，则________. 【答案】 【解析】 【分析】将两直线方程转化成斜截式，根据条件得，即可求解. 【详解】由，得到，易知直线的斜率存在，且斜率为， 因为，则的斜率存在，即，由，得到 则直线的斜率为，由，得，解得， 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点为，点为上可相互重合的点，且，则的取值范围是________，的最小值是________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用焦半径公式表示，进而利用抛物线上点的范围求解第一空，利用焦半径公式结合基本不等式求解第二空即可. 【详解】第一空，如图，设，，，， 故，，， 而，故， 可得，，即有， 由，所以， 所以，所以. 第二空，，故， 而，故，即， 又， 故， 即，，故得的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是合理运用焦半径公式结合基本不等式，然后找到取等条件，得到所要求的最值即可． 14. 已知等差数列首项为2，公差为2，前项和为，数列前项和为，且满足.若对于任意，成立，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据等差数列的通项公式和前项和公式求出，利用裂项相消法求出，再利用导数求的最大值即可. 【详解】因为数列是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，， 所以， 所以 ， 对于任意，成立，只需即可， 令，则， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，取最大值， 所以，即， 所以的最小值为， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用的关系计算即可； （2）应用错位相减法及等比数列的求和公式来求解． 【小问1详解】 因为数列的前项和， 所以时，， 当时，， 又也适合上式， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由， 得， ， 作差得： 得： 得：． 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零； （3）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 函数的定义域为，. 因为4是的极小值点，所以，即，解得. 当时，，， 令，则，解得或. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极大值，， 故此时的极大值小于零. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求解即可. （2）根据4是极小值点求出，结合导数与单调性、极值的关系求出极大值，进一步证明即可. （3）在定义域内单调递增即在定义域内恒成立，结合分离常数法及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，，则，， 所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 在上恒成立，也即在上恒成立. 又，当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数的取值范围为. 17. 如图1，在边长为的正方形中，、分别为线段、的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2所示，记二面角的平面角为． （1）若时，求三棱柱的体积； （2）若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，，可知，证明出平面，当时，求出的面积，结合柱体的体积可求出三棱柱的体积； （2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，分析可知，根据可求出点的坐标，再利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【小问1详解】 翻折前，在图1中，因为四边形为正方形，所以，，， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，且， 因为，所以， 翻折后，在图2中，，， 所以二面角的平面角为， 因为，、平面，所以平面， 当时，即，且，则， 所以三棱柱的体积为. 【小问2详解】 因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设点，其中，由题意可知，则，故， ，， 因为，则，解得， 则点，， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 因此直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 18. 已知圆，圆.动圆与圆外切，且与圆内切，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点且斜率不为的直线与相交于点，（在的左侧）. ①设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； ②设直线，相交于点，点为的内心，记，，的面积分别为，，，证明：为定值. 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据动圆与两定圆的位置关系得出点满足椭圆的定义，进而求出轨迹方程； （2）①设出直线的方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出与的比值，化简得出定值； ②根据三角形内心的性质和三角形面积公式进行推导，得出为定值. 【小问1详解】 设动圆的半径为，圆心。 已知圆，则圆心，半径；圆，则圆心，半径； 因为动圆与圆外切，且与圆内切，所以，； 则； 根据椭圆的定义可得点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 ①设过点的直线方程为，与椭圆联立： ，消去得：， 设，，由韦达定理得：，； 直线的斜率，直线的斜率， 因此：， 代入，，得：， 分子：， 分母：， 因此，代入斜率比得：， 故为定值； ②设的内心到三边的距离为， ，因，故， ，， 因此：， 直线：，由①知，故直线可写为：，即：，直线过和，斜率为，其方程为：，联立直线与的方程，消去后解得：， 代入的方程得，即； ，则：， ， 因为点在椭圆上，故由椭圆方程，得； 将代入化简得： ，. 由题知在的左侧，易得在左半椭圆，故，，， 因此：，； 故：， 因，故，所以，故：. 19. 已知函数. （1）若，证明：. （2）已知函数，存在不同的正数，使得. ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）①②证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明的问题等价于，令，利用导数得出在上的单调性可得答案； （2）①时，根据在上单调递增可得答案；时，在上单调递增，取得出，存在使得.，再由.可得答案；②由，得.，令，根据在上单调递增转化为证，令，再构造，利用单调递减可得答案. 【小问1详解】 等价于，等价于. 令，则， 所以当时，，则在上单调递增， 所以，所以； 【小问2详解】 ①. 当时，，在上单调递增，不符合题意； 当时，在上单调递增， 因为，取， 则，所以， 所以， 所以存在，使得. 当时，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 此时存在不同的正数，使得. 综上，，即的取值范围为； ②由，得， 即. 令，则， 所以在上单调递增. 不妨设，则，即， 所以，即. 要证，即证， 由已证的，故只需证， 即证，（*） 令，则不等式（*）等价于. 令，则， 所以单调递减，所以，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二下期03月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则实数x的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知直线，圆，则“”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在正方体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线C：的渐近线方程为，则m的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前n项和为，若和的等差中项为6，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 6. 放射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中为时该同位素的含量，已知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则（ ） A. 贝克 B. 贝克 C. 贝克 D. 贝克 7. 圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆；同样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆．已知二面角的大小为，半平面内的圆在半平面上的正投影是椭圆在半平面上的正投影是椭圆，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 为单调递增数列 C. D. 的最小值为 10. 已知两曲线与存在两条公切线，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. D. 1 11. 如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交点分别为A，B，C，D．已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为，过点作直线l与曲线E在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P，Q，且，则（ ） A. 开口向下的抛物线的焦点坐标为 B. 曲线E上两点间距离的最大值为 C. 点不在曲线E的内部 D. 直线l的斜率为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与平行，则________. 13. 已知抛物线的焦点为，点为上可相互重合的点，且，则的取值范围是________，的最小值是________. 14. 已知等差数列首项为2，公差为2，前项和为，数列前项和为，且满足.若对于任意，成立，则的最小值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零； （3）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 17. 如图1，在边长为的正方形中，、分别为线段、的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2所示，记二面角的平面角为． （1）若时，求三棱柱的体积； （2）若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 18. 已知圆，圆.动圆与圆外切，且与圆内切，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点且斜率不为的直线与相交于点，（在的左侧）. ①设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； ②设直线，相交于点，点为的内心，记，，的面积分别为，，，证明：为定值. 19. 已知函数. （1）若，证明：. （2）已知函数，存在不同的正数，使得. ①求的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $