精品解析：广西南宁市2026届普通高中毕业班第二次适应性测试数学试卷

南宁市2026届普通高中毕业班第二次适应性测试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数除法化简，进而确定对应点所在的象限. 【详解】由，则复数对应的点位于第二象限. 故选：B 2. 已知集合，，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集运算结合空集的定义分析求解即可. 【详解】因为集合，，且， 可得，所以a的取值范围是. 3. 若向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出，，，再利用平方求模即可. 【详解】由，可得.由，可得， 即，所以. 由，可得. 所以，则. 4. 若是角终边上一点，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，求得，再由两角和的正切公式，即可求解. 【详解】因为点是角终边上一点，所以， 则. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】展开式通项为， 令，可得， 故展开式中的系数为. 6. 在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意证明三棱锥外接球的球心即是正三角形的中心，计算得解. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为为正三角形，所以，又二面角的平面角为， 所以平面，则， 设为正三角形的中心，则， 因为，所以，又， 所以， 所以，则，即为三棱锥外接球的球心， 因为，所以， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 7. 抛物线的光学性质是一个非常重要且优美的几何特性，它描述了抛物线如何反射光线．这个性质在数学、物理学和工程学中有广泛的应用．其光学性质如下：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．若抛物线的焦点为F，从F发出的光线经过抛物线C上点G反射后，其反射光线过点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可得轴，得到，得到，利用斜率求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】对于抛物线，可得焦点为，准线方程为， 根据抛物线的光学性质，可得轴，所以， 将代入抛物线，可得，即， 因为，可得 整理得，即，解得或(舍去），所以， 此时，，， 所以的面积为. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过指数与对数的恒等变换，将含对数指数的表达式转化为关于与的代数方程，再求比值即可. 【详解】， 令，则，所以，， 即，所以， 令，则，所以，即， 所以是一元二次方程的根，且大于0，所以； , 令，则，即，所以， 令，则，所以， 即，所以是一元二次方程的根，且大于0，所以， 因为是单调递减函数，由得:. 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 曲线的一条对称轴方程为 C. 在上的最小值为 D. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角函数最小正周期的公式可判断A；验证曲线与对称轴的交点是否为最值即可判断B；整体法求得在上的值域，进而判断C；根据图象平移的规则“左加右减”即可判断D. 【详解】因为，所以的最小正周期，故A正确； 因为， 所以是曲线的一个最高点，即曲线的一条对称轴方程为，故B正确； 当时，，由正弦曲线知， 所以在上的最小值为，故C错； 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，故D正确. 10. 已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，过原点O的直线l（斜率不为0）与W交于B，C两点，M为AC的中点，则（ ） A. 直线OM与AC的斜率之积为 B. 点B到点的距离与到点F的距离之和的最大值为 C. D. B，F，M三点共线 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，，利用斜率公式计算判断选项A；B选项，问题转化为点B到点的距离与到左焦点的距离之差的最大值；由向量与的关系判断CD选项. 【详解】椭圆的右焦点为，右顶点为， 过原点O的直线l（斜率不为0）与W交于B，C两点，设， 则有，满足，有， M为AC的中点，则， ，A选项正确； 椭圆的左焦点为，则， 点在椭圆内，， ， 当且仅当三点共线，在之间时等号成立，B选项正确； ，，，则，C选项错误； 与共线，且与有公共点，所以B，F，M三点共线，D选项正确； 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若恒成立，则 B. 是的极值点 C. 若函数恰有2个正零点，则 D. 若关于x的不等式有解，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：可得恒成立，令，利用导数求其最值，即可得结果；对于B：举反例，取，结合定义域分析判断；对于C：令，可得，结合函数单调性可得，利用导数分析其单调性和最值即可求解；对于D：令，分和两种情况讨论，结合选项C的结论运算求解. 【详解】由题意可知：. 对于选项A：若恒成立，可得恒成立， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，即，故A正确； 对于选项B：若，令，解得， 此时的定义域为，不在定义域内，故B错误； 对于选项C：由题意可知：，令，解得， 令，可得， 构造，则， 因为在定义域内单调递增，则，即， 构造，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则 即，解得，所以，故C正确； 对于选项D：令， 若，可知的定义域为， 当趋近于时，趋近于，符合题意； 若，可知的定义域为， 令，可得， 由选项C可知：在定义域内单调递增， 因为，则，即， 可知有解，由选项C可得：，解得； 综上所述：，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为递减的等比数列，且，，则公比______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得，解方程组可得，进而可得公比，根据递减数列的定义可排除不符合题意的. 【详解】因为为等比数列，且， 所以， 又，联立解得或， 因为是递减的等比数列，所以，且公比， 所以，解得或（舍去）. 13. 在中，角所对的边分别为，已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化为角，再结合三角形内角和与两角和的正弦公式化简，最后利用同角三角函数基本关系式即可得. 【详解】因为， 所以由正弦定理得：， 所以， ， 即，因为，所以， 所以，又因为，所以， 因为，且，即， 所以. 14. 设，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 【答案】8 【解析】 【详解】由. 从而原问题转化为求的最小值. 因为 ， （以上均为当且仅当时取等号）. 所以. 即实数的最大值为8. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 中考体育成绩关系到考生最终的中考分数，广西多地将1000米跑（男）、800米跑（女）作为必考项目．某校体育老师对自己所带一个班的学生进行1000米跑（男）、800米跑（女）测试，通过统计，整理数据得到如下列联表： 男生 女生 合计 达标 24 18 42 不达标 11 7 18 合计 35 25 60 （1）试估计该班的达标率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析成绩是否达标与学生性别有关． 参考公式：，． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）无关 【解析】 【分析】（1）根据表中数据进行计算即可； （2）应用卡方公式求卡方值，结合独立性检验基本思想得结论． 【小问1详解】 该班的达标率为 【小问2详解】 零假设：成绩是否达标与学生性别无关， ， 根据“显著性水平的独立性检验，我们推断没有充分证据拒绝原假设，即认为成绩是否达标与学生性别无关． 16. 在如图所示的几何体中，四边形是边长为4的菱形，，平面，，且． （1）证明：平面平面． （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 因为四边形是菱形，所以，， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）9 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设与交于点，以为原点，分别为轴，过点平行为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，， 所以，取平面的法向量， 所以，解得，故. 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若方程在上有解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求的切线方程； （2）由可得，令，其中，则实数的取值范围为函数在上的值域，利用导数求解即可. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，， 当时，曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 当时，由可得， 令，其中，则， 令，则， 当时，，即函数在上为减函数， 当时，，即函数在上为增函数， 当时，，即， 故函数在上为增函数， 当时，， 故函数在上的值域为， 故实数的取值范围为. 18. 已知双曲线的左顶点为，斜率不为0的直线l过点． （1）当直线l的斜率为2时，直线l与双曲线C恰有一个交点，求双曲线C的标准方程． （2）设直线l与双曲线C交于P，Q两点，且直线AP与AQ的斜率之积不小于． ①求双曲线C的离心率e的取值范围； ②当离心率e最大时，记双曲线C的右顶点为B，直线AP与BQ的交点为M，判断点M是否在定直线上． 【答案】（1） （2）①；②点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）根据直线与渐近线平行可求的值，进而得双曲线的标准方程. （2）设直线：，双曲线：，将方程联立，利用韦达定理，结合条件，先求的取值范围. ①根据离心率的概念求离心率的取值范围； ②分别表示直线与的方程，借助①中的有关结论，求两直线交点的横坐标即可. 【小问1详解】 由题意知，当直线的斜率为2时与一条渐近线平行，则. 所以双曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 由题意，双曲线的标准方程为. 因为直线的斜率不为0，故可设直线的方程为:， 将其代入，得， 整理得：（）. 设，，则，. ，. 所以. 由. ①所以，又，所以双曲线离心率的取值范围是. ②当双曲线离心率最大时，. 此时.，. 直线的方程：， 直线的方程：. 由. 化简得：. 由，. 所以. 由. 即直线与直线的交点在定直线上. 19. 已知数列满足，，，函数． （1）证明：数列是等差数列． （2）求使不等式成立的最小正整数的值． （3）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：由可得，， 则，即， 又，故数列是以首项为1，公差为1的等差数列. （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）对已知条件进行变形，结合等差数列的定义判断即可. （2）根据（1）的结论求出，再利用对数运算性质化简，得到关于的不等式后，通过构造函数或试值法求解最小正整数即可. （3）通过分离常数即换元法将不等式变为，构造函数，结合单调性与最值的关系，求出的最小值，进而确定的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，所以. . 则. 则不等式可化为. 设， 因为，在定义域内均为增函数， 所以在定义域内为增函数， 又， 令，， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 所以在处取得最大值，又， 所以，即，也即当时，. 因为，所以，所以，即当时，. 所以不等式成立的最小正整数的值为3. 【小问3详解】 若恒成立，即恒成立. 令，则的取值集合为，且， 则不等式可化为，即恒成立. 设，， 则. 令，， 则 . 当时，，，， 所以，则在上单调递增，故，则， 故在上单调递增. 当时，， 所以，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市2026届普通高中毕业班第二次适应性测试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 若是角终边上一点，则（ ） A. B. C. 4 D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的光学性质是一个非常重要且优美的几何特性，它描述了抛物线如何反射光线．这个性质在数学、物理学和工程学中有广泛的应用．其光学性质如下：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．若抛物线的焦点为F，从F发出的光线经过抛物线C上点G反射后，其反射光线过点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 曲线的一条对称轴方程为 C. 在上的最小值为 D. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 10. 已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，过原点O的直线l（斜率不为0）与W交于B，C两点，M为AC的中点，则（ ） A. 直线OM与AC的斜率之积为 B. 点B到点的距离与到点F的距离之和的最大值为 C. D. B，F，M三点共线 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若恒成立，则 B. 是的极值点 C. 若函数恰有2个正零点，则 D. 若关于x的不等式有解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为递减的等比数列，且，，则公比______． 13. 在中，角所对的边分别为，已知，则______． 14. 设，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 中考体育成绩关系到考生最终的中考分数，广西多地将1000米跑（男）、800米跑（女）作为必考项目．某校体育老师对自己所带一个班的学生进行1000米跑（男）、800米跑（女）测试，通过统计，整理数据得到如下列联表： 男生 女生 合计 达标 24 18 42 不达标 11 7 18 合计 35 25 60 （1）试估计该班的达标率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析成绩是否达标与学生性别有关． 参考公式：，． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 在如图所示的几何体中，四边形是边长为4的菱形，，平面，，且． （1）证明：平面平面． （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若方程在上有解，求的取值范围． 18. 已知双曲线的左顶点为，斜率不为0的直线l过点． （1）当直线l的斜率为2时，直线l与双曲线C恰有一个交点，求双曲线C的标准方程． （2）设直线l与双曲线C交于P，Q两点，且直线AP与AQ的斜率之积不小于． ①求双曲线C的离心率e的取值范围； ②当离心率e最大时，记双曲线C的右顶点为B，直线AP与BQ的交点为M，判断点M是否在定直线上． 19. 已知数列满足，，，函数． （1）证明：数列是等差数列． （2）求使不等式成立的最小正整数的值． （3）若恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $