精品解析：浙江杭州市萧山城区初中8校2025-2026学年九年级下学期3月阶段检测数学试题

2025学年第二学期九年级3月独立作业 数学调研卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意； C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 2025年经济时政新闻显示，1－9月全国规模以上工业企业营收总额达138.6万亿元．将“138.6万亿元”用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法，将“138.6万亿元”转换为科学记数法，需先理解“万亿元”表示元，然后调整系数至1到10之间． 【详解】解：∵ 138.6万亿元 元， 又∵ 科学记数法要求系数a满足， ∴元 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用完全平方公式、幂的乘方、合并同类项、积的乘方法则逐一判断选项． 【详解】解：A、，与选项等式不符，∴A计算错误； B、，与选项等式不符，∴B计算错误； C、∵与不是同类项，无法合并，∴C计算错误； D、，与选项等式一致，∴D计算正确． 4. 米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器，如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图所示（2），则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．理解看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线是解题关键．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可． 【详解】解：俯视图是在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，其图形为： 故选：B． 5. 某学校开展“书香校园，立体阅读”活动，为了了解学生阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的阅读时间（单位：h）统计如下表： 阅读时间（h） 6 7 8 9 10 11 12 人数（人） 5 6 9 10 6 3 1 九年（1）班学生阅读时间的中位数和众数是（ ） A. 8，9 B. ，9 C. ，10 D. 8，10 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中的数据可知该班有学生40人，从而可以求得中位数和众数，本题得以解决． 【详解】解：由表格可得，读书时间为9小时最多，故一周读书时间的众数为9， 该班学生一周读书时间的第20个数8和第21个数是9， 故该班学生一周读书时间的中位数为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了众数和中位数的求法，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的众数和中位数． 6. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行到B．已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（ ）m． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：这名滑雪运动员的高度下降了米； 故选A． 【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键． 7. 二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的开口向上可得到，二次函数的对称轴在轴右边可得到，二次函数与轴的交点在轴下方可得到，即可判断和的取值，再由正比例函数和反比例函数的图象性质进行判断即可． 【详解】解：由二次函数的图象可得：，， ∴ ∴， ∴正比例函数经过二和四象限；反比例函数经过二和四象限； ∴在同一坐标系中的大致图象可能是：，D正确． 8. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 与的周长比是 D. 与的面积比是 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出，，再根据对应线段的比和周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即可得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，． 相似比为， ，与的周长比是，与的面积比是， ， 故A、C、D正确，不符合题意，B错误，符合题意． 故选：B． 9. 如图，在中，，，在上取一点D，使得，求和的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可先推导 是等腰直角三角形，过作于，再推导出也是等腰直角三角形，再在和中，根据勾股定理推导和的数量关系． 【详解】∵，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴，，． 过作于 ， ∵， ∴ ． 在  中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴， ∴ ， 又∵ ， 整理得：①， 在 中， ， 又∵，将① 代入得：， 又∵ ​， ∴  ​． 在 中，， ∴， 将① 代入，得 ，即 ． 10. 已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先对二次函数配方得到顶点坐标，将顶点代入一次函数得到a与b的关系，再根据整理得到关于x的不等式，利用开口向上二次函数的性质，只需区间端点处函数值即可满足区间内不等式恒成立，解不等式后取交集得到a的取值范围． 【详解】解：∵， ∴的顶点坐标为， ∵顶点在上， ∴将顶点坐标代入得：， 整理得， 即， 即， 将代入化简得， 对于二次函数， ∵二次项系数为，抛物线开口向上， 要使时恒成立，即恒成立，结合函数图象可知只需端点处函数值， 当时，， 整理得， 对于二次函数， 二次项系数为，抛物线开口向上， 当时，解得或2， ∴满足的a为， 当时，， 整理得， 对于二次函数， 二次项系数为，抛物线开口向上， 当时，解得或3， ∴满足的a为， 综上，a的取值范围是． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 把多项式－27分解因式的结果是________． 【答案】3（m＋3）（m－3） 【解析】 【分析】先提取公因数3，后利用平方差公式分解即可． 【详解】∵－27 =3（） =3（） =3（m＋3）（m－3）， 故答案为：3（m＋3）（m－3）． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，后用公式法分解的基本思路是解题的关键． 12. 使得函数有意义的的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数的自变量、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0和二次根式的被开方数是非负数是解题关键． 根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数是非负数求解即可得． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 所以自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 13. 已知扇形的圆心角度数为，面积为，则该扇形的弧长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算．根据扇形面积公式S，先求出扇形的半径，再根据扇形的弧长公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵扇形的圆心角为，扇形的面积为， ∴， 解得（负值舍去）， ∴扇形的弧长． 故答案为：． 14. —个不透明的口袋里有4颗球，除颜色以外完全相同，其中2颗红球，2颗白球，从口袋中随机摸出两颗球，则恰好摸出1颗红球1颗白球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果，找出摸出的一颗红球和一颗白球的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中摸出的1颗红球1颗白球的结果数为8，所以摸出的一个红球和一个白球的概率=． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 15. 某函数满足当自变量时，函数值，当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式______． 【答案】 【解析】 【分析】题目未指定函数的具体类型，可从一次函数，反比例函数或二次函数等角度构造函数，只要满足题目给出的自变量与函数值的对应关系即可． 【详解】解：若构造一次函数，设一次函数解析式为． 将和分别代入解析式，得， 解得， ∴函数表达式为，（答案不唯一）． 16. 如图，已知矩形中点E，F分别是，上的点，其中，将沿折叠，沿折叠，点B和点D恰好落在同一点P上，求______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形和折叠，勾股定理及解锐角三角函数，先确定、、的长度，以及矩形的基本性质，得到各边的垂直关系与边长关系．根据折叠的性质，可得，过点P作，结合锐角三角函数求 ，，的长，再利用勾股定理，结合已知边长和折叠得到的线段关系，建立关于的方程求解． 【详解】解：如图，过点P作，则， ∴， ∴四边形是矩形， 由折叠性质得：，，，，， 设， 在中，，，则． 设，则，． ∴，， ∵， ∴，， 设， 由，在中，有 解得 由，，在中，有 代入，得 解得 因此，． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】先化简算术平方根、零指数幂和负整数指数幂，再进行加减． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①， 解不等式②得， 原不等式组的解集为． 19. 如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点． （1）求证：为的中点； （2）若，，求． 【答案】（1） ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆的知识，垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识，解题的关键是掌握以上定理，进行解答，即可． （1）根据直径所对的圆周角是直角，得，根据平行线是性质，可得， 根据垂径定理，即可； （2）根据三角形的中位线，则，根据，求出，根据勾股定理求出，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为的中点，为的中点， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 20. 萧山区某校为积极备战中考，引入赋能的体育打卡平台，为全校学生打造良好的运动氛围．现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每天运动打卡时长（单位：小时），结果分为六组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，老师整理数据后，绘制了如下不完整的两幅统计图，解答下列问题． （1）分别求本次调查共抽取了多少学生人数及第组的学生人数； （2）抽查的每天运动打卡时长的众数在第______组； （3）若该校有名学生，试估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于小时”的学生人数． 【答案】（1）本次调查共抽取了200名学生；第组的学生人数为30人 （2）3 （3）1600名 【解析】 【分析】（1）由表格中的数据可得到：第组的人数为人，占比为，利用抽查总数4组的人数占比运算即可；利用抽查总数减去其余组人数可求出第组人数． （2）从表格中得出第组人数最多，可判断众数在第组； （3）先求出不低于小时的占比，再用该校学生总人数占比即可求解． 【小问1详解】 解：由表格中的数据可得到：第4组的人数为人，占比为， ∴本次调查抽取人数（人）； 第组的学生人数（人）； 【小问2详解】 解：∵第三组人数最多， ∴每天运动打卡时长的众数在第组； 【小问3详解】 解：∵中小学生每天综合体育活动时间不低于小时的占比为：， ∴中小学生每天综合体育活动时间不低于小时的人数为：（人）． 21. 如图，在直角坐标系中，已知，点． （1）若点与关于轴对称，在直角坐标系中作出点，并写出点的坐标． （2）点为轴上一动点，求的最大值，并直接写出点的坐标． 【答案】（1）的坐标为 （2）最大值，的坐标为 【解析】 【分析】（1）依据关于轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数）来确定点的坐标并作图；（2）利用轴对称性质将转化为，再结合三角形三边关系确定的最大值，进而求出对应点的坐标． 【小问1详解】 解：如图， ∵，其关于轴对称的点的横坐标保持3不变，纵坐标为2的相反数， 因此的坐标为． 在直角坐标系中，找到横坐标为、纵坐标为的位置，标记该点即为． 【小问2详解】 解：由于点是关于轴的对称点，且点在轴上， ． ． 根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边， 即． 当且仅当点在直线的延长线与轴的交点时，等号成立， 此时， 即的最大值为的长度． ，， ， ， ， ， ， 的最大值为． 22. 如图，，过点，分别作，，交，的延长线于点，． （1）求证：四边形为矩形． （2）连接，交于点，若，，，求矩形的周长． 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形， ． ，， ，， ， ∴四边形是矩形． （2）24 【解析】 【分析】 （1）根据有三个角是直角的四边形为矩形，进行证明即可； （2）先证出四边形是菱形，故设，（），则，再根据勾股定理得出，，列出方程，再解方程进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形，， ∴四边形是菱形， ． 设，（），则， 根据勾股定理得，， 即， ， 解得，， ，， ， ， ∴矩形的周长是24． 23. 在二次函数中． （1）已知该函数图象经过，求这个二次函数的表达式． （2）当时，该二次函数图象与轴有且只有一个交点，求的范围． （3）如果，在该二次函数图象上，且，求的范围． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得顶点坐标为，根据题意得到，结合图象得到保证在处不在x轴上方，保证在处在x轴上方，据此列出不等式即可求解； （3）由，，结合，求得，分情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得， 解得， 这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点坐标为，恒在轴下方， ∵该二次函数图象与轴有且只有一个交点， ∴开口向上，即， 要满足时与x轴有且只有一个交点，需满足： 当时， (保证在处不在x轴上方)，解得； 当时，(保证在处在x轴上方)，解得； ∴； 【小问3详解】 解：将代入函数得， ∴， ∵， ∴，解得或， 将代入函数得， ∵， ∴， ∴， 当时，则， ∴，解得或， 当时，则； 当时，则或； 当时，则， ∴，解得， 当时，则； 当时，则； 综上，当时，或；当时，． 即． 24. 如图，内接于，，作直径，过点D作交于点E，连接． （1）求证：． （2）若，． ①求的半径长． ②在上取一点F，使得，连接，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵， ∴为直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2）①5；② 【解析】 【分析】（1）连接，由得出为直径，根据证明，从而可得结论； （2）①根据得，由得，再根据勾股定理得，从而可求出的半径长． ②延长，交于点G，根据证明，得．，可证，求得，从而可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵，， ∴． ∵， ∴， ∴在中，， ∴． ②延长，交于点G． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∴ 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期九年级3月独立作业 数学调研卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年经济时政新闻显示，1－9月全国规模以上工业企业营收总额达138.6万亿元．将“138.6万亿元”用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器，如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图所示（2），则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 某学校开展“书香校园，立体阅读”活动，为了了解学生阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的阅读时间（单位：h）统计如下表： 阅读时间（h） 6 7 8 9 10 11 12 人数（人） 5 6 9 10 6 3 1 九年（1）班学生阅读时间的中位数和众数是（ ） A. 8，9 B. ，9 C. ，10 D. 8，10 6. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行到B．已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（ ）m． A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 与的周长比是 D. 与的面积比是 9. 如图，在中，，，在上取一点D，使得，求和的数量关系是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 把多项式－27分解因式的结果是________． 12. 使得函数有意义的的取值范围是______． 13. 已知扇形的圆心角度数为，面积为，则该扇形的弧长为__________． 14. —个不透明的口袋里有4颗球，除颜色以外完全相同，其中2颗红球，2颗白球，从口袋中随机摸出两颗球，则恰好摸出1颗红球1颗白球的概率是______． 15. 某函数满足当自变量时，函数值，当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式______． 16. 如图，已知矩形中点E，F分别是，上的点，其中，将沿折叠，沿折叠，点B和点D恰好落在同一点P上，求______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点． （1）求证：为的中点； （2）若，，求． 20. 萧山区某校为积极备战中考，引入赋能的体育打卡平台，为全校学生打造良好的运动氛围．现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每天运动打卡时长（单位：小时），结果分为六组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，老师整理数据后，绘制了如下不完整的两幅统计图，解答下列问题． （1）分别求本次调查共抽取了多少学生人数及第组的学生人数； （2）抽查的每天运动打卡时长的众数在第______组； （3）若该校有名学生，试估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于小时”的学生人数． 21. 如图，在直角坐标系中，已知，点． （1）若点与关于轴对称，在直角坐标系中作出点，并写出点的坐标． （2）点为轴上一动点，求的最大值，并直接写出点的坐标． 22. 如图，，过点，分别作，，交，的延长线于点，． （1）求证：四边形为矩形． （2）连接，交于点，若，，，求矩形的周长． 23. 在二次函数中． （1）已知该函数图象经过，求这个二次函数的表达式． （2）当时，该二次函数图象与轴有且只有一个交点，求的范围． （3）如果，在该二次函数图象上，且，求的范围． 24. 如图，内接于，，作直径，过点D作交于点E，连接． （1）求证：． （2）若，． ①求的半径长． ②在上取一点F，使得，连接，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $