第七章《复数》同步单元必刷卷（基础卷）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

第七章《复数》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算法则，将化成的形式，即可得到其虚部. 【详解】因为，所以. 所以的虚部为. 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算性质，化简得到，即可求解. 【详解】由复数的运算性质，可得，则， 所以，所以. 3．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据给定等式，结合复数的几何意义确定z在复平面内对应的点的轨迹即可. 【详解】由复数z满足，得z在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，5为半径的圆， 圆心到实轴、虚轴的距离都大于5，且圆心在第四象限， 所以z在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 4．已知复数（为虚数单位），则等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】因为复数， 根据复数的运算法则，可得. 故选：C. 5．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加法、减法运算和复数的加减运算即可求解. 【详解】， 故选：B 6．若复数z满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设，利用复数的模的计算公式即可求出. 【详解】由题意可设，所以， 则， 故当时取最小值，最小值为． 故选：B 7．若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数乘方和除法的运算，求得，再利用共轭复数的定义求得，最后复数的数乘和加法运算计算即可. 【详解】，， 故选：D 8．使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数模的公式，列不等式求出实数的取值范围. 【详解】由，得，即， 或，解得或. 故选：C. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 二、多选题 9．若复数，则（    ） A． B．的实部与虚部之和等于的实部与虚部之和 C．的共轭复数为 D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AC 【分析】先对两个复数进行化简，再利用公式计算其模长，最后根据共轭复数的定义和复数对应点在复平面的位置即可得到答案. 【详解】对于选项，由题意得，，则，故正确． 对于选项，的实部与虚部之和为，的实部与虚部之和为，故错误． 对于选项，根据共轭复数的定义可得，的共轭复数为，故正确. 对于选项，在复平面内对应的点位于第二象限，故错误． 故选：. 10．已知复数，其中，，为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．是为纯虚数的充要条件 C．若，则 D．若，则的最大值为 【答案】AD 【分析】利用复数的运算，得到，对A，利用复数相等的条件，即可求解；对B和C，利用复数的定义即可求解；对D，根据选项条件得，令，利用辅助角公式及三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为， 对于A，若，则，所以，故A正确， 对于B，若为纯虚数，则且，所以是为纯虚数的必要不充分条件，故B错误， 对于C，若，则，所以C错误， 对于D，若，则，即，令， 则，当， 即时，取等号，所以D正确. 11．任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．的实部为 C． D．若，时，若n为偶数，则复数为纯虚数 【答案】AC 【分析】对A，利用复数的运算及模长的计算公式，即可判断正误；对B，根据题设定义可得的实部为，即可求解；对C利用共轭复数的定义及复数的运算，即可求解；对D，根据题设可得，再分取奇和偶，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 所以， 又，所以，故A正确， 对于B，令，则，所以的实部为，故B错误， 对于C，令，则， 所以，故C正确， 对于D，若时，则， 当为偶数时，设，， 所以且为奇数时，为纯虚数；且为偶数时，为实数，故D错误. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数z满足，则_____________． 【答案】2 【分析】化简等式可得，由与为共轭复数，可得即可求解. 【详解】由，得，所以，因为与为共轭复数，所以，因此． 故答案为：2 13．将复数所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转角所得的向量对应的复数为，则_____________． 【答案】 【分析】根据复数的三角表示式进行求解即可. 【详解】由题意得，，． 所以将所表示的向量逆时针旋转，所得向量对应的复数为． 根据复数乘法的几何意义，旋转角。该值满足. 故答案为：. 14．若，则_______. 【答案】0 【分析】根据复数的运算法则计算，再利用的整数次幂的周期性求解. 【详解】已知， 所以 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【详解】（1）． （2）原式． （3）． （4）原式． 16．把下列复数用三角形式表示（用辐角主值）. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】由复数的三角形式表示的概念可得解. 【详解】（1）由复数的三角形式表示为，且，且，， 又，所以，解得，所以； （2）由，所以，解得，所以； （3）由，所以，解得，所以； （4）由，所以，解得，所以. 17．已知复数（i是虚数单位），为z的共轭复数. (1)求复数z的模； (2)若（a，），求a，b的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用复数的运算法则化简复数，再根据复数模的定义，直接计算 的模长即可 （2）先利用复数的运算法则化简复数，再根据复数相等即可求解 【详解】（1）∵，∴ （2）∵，∴ ∴，∴∴ 18．已知复数，其中，i为虚数单位． (1)若复数z为纯虚数，求实数m的值； (2)若复数z对应的点在第三象限，求实数m的取值范围； (3)当时，求． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）利用纯虚数的定义，列式计算即得； （2）利用复数在复平面对应点的性质，列式计算即得； （3）代入参数求得复数的模长. 【详解】（1）由复数是纯虚数，且， 得，解得，所以实数m的值为3. （2）由复数对应的点在第三象限，且， 得，解得，即， 所以实数m的取值范围为. （3）当时，， ． 所以. 19．已知关于z的方程． (1)在复数域范围内求该方程的解集； (2)已知该方程虚根分别为、，若z满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，代入方程得，则实部虚部对应相等均为零，分别讨论或时，求解在复数域范围内求该方程的解集； （2）由可得Z的轨迹为x轴，即可求出答案. 【详解】（1）设，代入方程得，则实部虚部对应相等均为零， 时，z为实数， 当时，，解得，，舍去； 当时，，解得，，舍去； 时， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，解集为 （2）因为，即Z到的距离和到的距离相等， 则Z的轨迹为x轴，那么点到x轴的最短距离为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章《复数》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知复数（为虚数单位），则等于（   ） A．1 B． C． D． 5．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为（   ） A． B． C． D． 6．若复数z满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 7．若复数，则（   ） A． B． C． D． 8．使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 二、多选题 9．若复数，则（    ） A． B．的实部与虚部之和等于的实部与虚部之和 C．的共轭复数为 D．在复平面内对应的点位于第四象限 10．已知复数，其中，，为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．是为纯虚数的充要条件 C．若，则 D．若，则的最大值为 11．任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．的实部为 C． D．若，时，若n为偶数，则复数为纯虚数 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数z满足，则_____________． 13．将复数所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转角所得的向量对应的复数为，则_____________． 14．若，则_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．把下列复数用三角形式表示（用辐角主值）. (1)； (2)； (3)； (4). 17．已知复数（i是虚数单位），为z的共轭复数. (1)求复数z的模； (2)若（a，），求a，b的值. 18．已知复数，其中，i为虚数单位． (1)若复数z为纯虚数，求实数m的值； (2)若复数z对应的点在第三象限，求实数m的取值范围； (3)当时，求． 19．已知关于z的方程． (1)在复数域范围内求该方程的解集； (2)已知该方程虚根分别为、，若z满足，求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $