广东深圳市盐田高级中学2026届高三下学期数学三月周三测试卷（3）

盐田高级中学2026届高三（下）数学周三测试卷（3） 班级：___________ 姓名：___________ 命题人：李博 审题人：葛贻文 一、单选题 1．已知集合，若，则（   ） A．－2 B．0 C．2 D．4 2．在的展开式中，含的项的系数是（   ） A． B．4 C． D．16 3．已知为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 4．已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．某圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．已知函数，若函数为偶函数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 8．已知曲线，则曲线上的点到原点距离的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 二、多选题 9．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的有（   ） A． B． C． D． 10．在正三棱柱中，，，，分别为，，的中点，则下列说法中正确的有（   ） A．平面 B．平面平面 C． D．平面 11．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 三、填空题 12．已知等差数列的前项和为，若，则______． 13．如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和点，月牙尖的坐标分别为，则圆的标准方程为______． 14．已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________. 四、解答题 15．近年来，青少年近视问题备受关注.为了探究中学生手机使用习惯与近视之间是否存在关联，某研究小组在某中学随机抽取了200名学生进行问卷调查.调查项目包括平均每天使用手机的时间（分为“少于1小时”和“1小时及以上”两类）以及是否被医院诊断为近视（分为“是”和“否”两类）.调查结果汇总如下表： 使用手机时间 近视 不近视 总计 少于1小时 40 60 100 1小时及以上 65 35 100 总计 105 95 200 (1)从该校学生中任选1人，记“该人平均每天使用手机时间少于1小时”为事件，记“该人近视”为事件.根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断平均每天使用手机时间与近视是否有关联，简要说明理由； (2)利用列联表中的数据，计算卡方统计量（精确到0.001），并判断是否有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关. 附：公式，独立性检验临界值表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 16．如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． (1)求证：，，，四点共面； (2)设，求平面与平面夹角的余弦值． 17．设函数，已知是函数的极值点． (1)求的值； (2)设函数，证明：． 18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求； (2)若，，，求的面积； (3)若N是的平分线与的交点，且，则求的最小值. 19．设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最小值； (3)记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《周三测试卷3》参考答案 1．B【详解】由于集合，，则，故 2．D【详解】对于的展开式，含的项为， 故该项的系数为16. 3．A【详解】因， 则. 4．D【详解】当时，原不等式可化为，解得，此时解集为. 当时，原不等式可化为，即，解得或. 又，所以或.综上，不等式的解集为. 5．A【详解】圆锥的轴截面为，，， 则，，圆锥的侧面积为.故选：A. 6．B【详解】因的平均数为1，方差为2，则， 于是数据的平均数为， 又，则， 于是数据的方差为： . 7．B【详解】令， 因为函数为偶函数，且为三次函数， 所以为奇函数，即， 所以， 即， 即， 所以，解得. 8．A【详解】设，则得，显然，则， 设，则， 当时，，即函数在上单调递增， 又，则，此时，， 设曲线上任一点，则，且， 则， 故当时，取得最小值为. 9．BD【详解】对于A，因函数在上单调递减，故在区间上单调递增，故A错误； 对于B，函数的最小正周期为，且在上单调递减，故B正确； 对于C，函数的最小正周期为，故C错误； 对于D，因函数的最小正周期为，则函数的最小正周期为， 当时，，函数在上单调递减且函数值为正， 故函数在上单调递减，即D正确. 10．BC【详解】取AC中点O，中点，连接，设， 因为正三棱柱，所以两两垂直， 以O为原点，为轴正方向建系，如图所示， 则 ， 所以 ， 选项A：设平面的法向量， 则，即，令，则，即， 则，所以与平面不平行，故A错误； 选项B：连接，因为正三角形ABC，所以， 又正三棱柱，所以平面ABC， 因为平面ABC，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故B正确； 选项C：，所以，则，故C正确；选项D：因为，所以与不平行，所以与平面不垂直，故D错误. 11．ACD【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身， 表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动. 则，，，， 因为，所以， 因为，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D正确. 12．27【详解】依题意，. 13． 【详解】由题易知，圆的半径为，圆心在的垂直平分线上， 又的斜率，则直线的方程为， 设，所以，解得， 所以圆的方程为. 14．【详解】由题可知，设夹角为， 则，， 设， ，代入坐标化简得： 故的最大值为原点到圆上的点最大距离，如下图所示， 又圆心，半径，， 故. 15．【详解】（1）在（平均每天使用手机时间1小时以下）条件下，近视的频率为， 用频率估计概率，得，在（平均每天使用手机时间1小时及以上）条件下，近视的频率为，用频率估计概率，得，使用手机时间少于1小时的学生近视概率约为0.4，而使用手机时间1小时及以上的学生近视概率约为0.65，两者有较大差异.因此直观判断，平均每天使用手机时间与近视有关联，使用手机时间越长，近视的概率越高. （2）由题意，，，，， 则，由于，所以有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关. 16．【详解】（1）由平面平面，，得平面，以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系： 设， 则， 故，， 共面. （2）设，故， 设平面的法向量为， 由， 得，取，可得； ， 设平面的法向量为， 由，得，取，所以， ，设平面与平面夹角为, 即平面与平面夹角的余弦值. 17．【详解】（1）因为，所以， 则， 因为是函数的极值点， 所以，解得， 当时，，， 当时，，则，，故， 所以函数在上单调递增； 当时，，则，，故， 所以函数在上单调递减； 综上，是函数的极值点，符合题意，故. （2）由（1）得，所以， 由（1）可知，是函数的最小值点，所以对任意的，， 要证，即证， 即证，只需证， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，综上，在上恒成立. 18．【详解】（1）由由正弦定理有 ， ∵，，∴，整理得. 又∵，，，∴. （2）由 ∵，，，即 ∴，解得（舍）或. ∴； （3）由已知有： ， 得，整理得 当且仅当时取到最小值，即取等号. 19．【详解】（1）不妨设点在第一象限，点在第四象限，离心率① ， 在中，当时，，故，即②  ， 又因③ ，联立① ②③，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）由（1）得，当直线的斜率为0时，直线与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不符合条件； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 由，化简得， 设，则，解得， 则， 因，则，故，即. 故的最小值为9. （3）如图，设与边切于点， 由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得， ，即点与点重合，即与边切于点. 设与边切于点，则， 在中，. 设点，点，则，解得， 即点在直线上，过点作直线的垂线，交直线于点， 其中，， 设点关于直线的对称点为点，所以. 因为点与点，点与点分别关于直线对称， 所以，且， 所以点均在上，且， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $