专题03 平面直角坐标系中的规律探索与面积专项训练（8大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

专题03 平面直角坐标系中的规律探索与面积专项训练（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 平行于坐标轴运动的点坐标规律 题型二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律 题型三 平面直角坐标系中图形变换运动规律 题型四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律 题型五 求规则图形的面积 题型六 求不规则图形的面积 题型七 根据图形的面积求点坐标 题型八 平面直角坐标系中面积综合 【经典例题一 平行于坐标轴运动的点坐标规律】 1．（2025·云南·模拟预测）如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点，如果且，则______． 【答案】8 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 连接，根据三角形中位线定理得出，，，再由矩形的判定得出四边形为矩形，利用其性质即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ，，，分别是四边形边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴ 故答案为：8． 2．（24-25八年级下·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，点，点，若，则称点A与点B互为“等差点”．例如，点，点，因为，所以点A与点B互为“等差点”． (1)若点A的坐标是，则在点中，点A的“等差点”为点________； (2)若点A的坐标是的“等差点”B在坐标轴上，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查坐标系中的新定义，理解并掌握“等差点”的定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）分点在轴上和轴上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴点A的“等差点”为点； 故答案为：； （2）解：当点在轴上时，设， 由题意，得：，解得：； ∴ 当点在轴上时，设， 由题意，得：，解得：； ∴； 综上：或． 3．（2025·上海杨浦·三模）已知：如图，在中，，点D是边的中点，，联结．    (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，再由平行线的性质及各角之间的关系得出，利用全等三角形的判定证明即可； （2）延长交的延长线于点F，根据角平分线的性质及全等三角形的性质得出，再由等边对等角及等腰三角形的判定和性质得出，由全等三角形的判定和性质得出，最后由中位线的性质及平行四边形的判定和性质即可证明 【详解】（1）证明：∵，点D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）延长交的延长线于点F，    ∵，平分， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质及中位线的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 4．（25-26八年级上·福建三明·月考）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”，例如：点的“3级关联点”为，即， (1)已知点的“2级关联点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“级关联点”为，求的值； (3)已知点的“级关联点”位于坐标轴上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】本题考查点的坐标，“关联点”的定义，列方程计算是解题的关键 （1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论； （2）根据关联点的定义，得到，求出的值代入计算解题； （3）根据关联点的定义得到点，然后分为点在轴和轴上计算即可． 【详解】（1）解：点的“2级关联点”是， 即点的坐标为； （2）解：点的“级关联点”为， 则， 解得， ． （3）解：点的“级关联点”为，即， 当点在轴上时，，解得，这时点， 当点在轴上时，，解得，这时点， 综上所述，点的坐标为或． 5．（24-25八年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)当点P在线段上运动时，请用含t的代数式表示在这一运动过程中线段的长，并直接写出t的取值范围； (3)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据非负数之和求出a，b，从而得出B和C点坐标； （2）分析出点P从A到B需要的时间，再求出B到C需要的时间，从而得出用含t表示的长度； （3）分类讨论当点P在线段上，当P在线段运动时，分别求出t值和P点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 根据平移的性质可知：，，C，B两点的纵坐标相同，纵坐标都为3， ∵垂直x轴， ∴垂直x轴， ∴C，D两点的横坐标相同，横坐标都是4， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵P的速度为每秒2个单位长度， ∴P由A到B需要的时间为：（秒）； A到B需要的时间为（秒）； ∴P由A到B，再由B到C需要的时间为（秒）， 当点P在线段上运动时，点P的坐标为， ∴； （3）解：分以下两种情况讨论： 当点P在线段上运动时，点P的坐标为， 则，如图1， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴； 当点P在线段上运动时，点P的坐标为， 即，如图2， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴， ∴此时． 综上所述，当时，；当时，． 【点睛】本题是动点移动问题，考查了非负数的性质，分类讨论思想，方程思想，解题关键是熟练掌握动点移动问题． 6．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、分别在轴、轴上，点在第一象限，点的坐标是，． (1)直接写出点、点的坐标． (2)点从原点出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为秒，探究下列问题： ①当为多少时，直线轴？ ②在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形的面积的？若能，请直接写出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由 【答案】(1)， (2)①；②， 【分析】此题主要考查了长方形的性质，长方形的面积公式，梯形的面积公式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先求出点C的坐标，再利用矩形的性质求出点B的坐标； （2）①利用轴得出建立方程求解即可；②先求出长方形的面积，再表示出梯形的面积，进而建立方程求出时间t即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 四边形是长方形，点的坐标是， ， （2）解：①由题意得，， ， ，， 轴， ， 四边形是长方形， ， ， 当值为秒时，直线轴； ②，， ， 由运动知，，， ， ∴梯形的面积 ， 四边形的面积是长方形的面积的， ， ， ， ，． 【经典例题二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律】 7．（24-25八年级下·吉林松原·期中）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，动点从点出发，沿的方向以每秒2个单位长度的速度运动，与点第二次相遇时停止，设点运动的时间为秒． (1)点的坐标为_______； (2)在点从点运动到点的过程中，用含的代数式表示的长度； (3)当点第一次运动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，当点停止运动时直线也随之停止．在运动过程中，当点在直线上时，求点的坐标； (4)连接、、，当三角形的面积为2时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)点的坐标为或； (4)的值为或4或6． 【分析】本题考查了四边形综合题，涉及了动点问题，矩形的性质，解答本题关键是讨论点P的位置，由题意建立方程从而求出符合题意的x值，同时要数形结合进行思考． （1）根据矩形的性质和坐标特点解答即可； （2）当时，点P在上运动，即可求解； （3）分当和当两种情况，根据题意得出方程解答即可； （4）分当点P由O向A运动、当点P由A向B运动和当点P由B向A运动三种情况，利用三角形面积公式得出方程解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵A的坐标为，C的坐标为， ∴， ∴B的坐标为， 故答案为：； （2）解：当时，点P在上运动， 则， 故答案为：； （3）解：①当（或点P由A向B运动）时： 此时直线l运动的距离点运动的距离， 即：， ∴， 故点的坐标为； ②当（或点P由B向A运动）时： 此时直线l运动的距离点运动的距离， 即：， ∴， 故点P的坐标为：； 综上，点P的坐标为或； （4）解：①当点P由O向A运动时， ∵， ∴， 解得：， ②当点P由A向B运动时， ∵， ∴， 解得：， ③当点P由B向A运动时， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，当x的值为 或4或6时，的面积为2． 8．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点在轴上，点坐标为，等边的面积为，点从点出发沿着射线运动，点从点出发沿轴负半轴运动，点、点同时出发，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，过点作轴于点． (1)①直接写出点的坐标为（________），点的坐标为（________）； ②当点在线段上运动时，则的长度________（用含的式子表示）； (2)在点、点的运动过程中，当时，求点、点的运动时间，并直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)①， ；② (2)，点的坐标为或，点的坐标为 【分析】（1）①根据等边三角形的性质即可解决问题； ②由题意，得，当点在线段上运动时，，所以，进而可以解决问题； （2）分两种情况讨论：①当点在线段上运动时，，②当点在延长线上运动时，，利用含度角的直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）①解：∵为等边三角形，， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∴点的坐标为； ∵为等边三角形，， ∴， 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴点的坐标为；     ②解：如图所示，过点作轴于点， ∴， 由题意，得， 当点在线段上运动时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的长度为； 故答案为：①，②； （2）解：由题意，得， ∵，， ∴， 在等边中，，，    如图所示，当点在线段上运动时， ∴， ∵，， ∴，   ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴， 此时点的坐标为；     ②如图所示，当点在延长线上运动时， ∴， ∴， ∵， ∴，     ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴， 此时点的坐标为， 综上所述，，点的坐标为或，点的坐标为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、坐标与图形的性质，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质、含度角的直角三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 9．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，点C在y轴上，且轴，a、b满足．一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点P首次回到点O时停止运动），运动时间为t秒（）． (1)_______，_____． (2)当点P运动1秒时，点P的坐标为______；当点P运动3秒时，点P的坐标为______． (3)点P在运动过程中，是否存在点P，使的面积为6?如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出求解过程． 【答案】(1)3，5 (2)， (3)存在，见解析 【分析】本题是平面直角坐标系中的动点问题，主要考查了绝对值和完全平方式的非负性、平行线的性质、动点路程问题， （1）利用绝对值和完全平方式的非负性即可求得； （2）当点P运动1秒时，点P运动了个单位长度，点P在线段上，可写出的坐标；当运动3秒时，点运动了6个单位长度，根据，即可得点在线段上且，写出的坐标即可； （3）由得点可能运动到或或上．再分类讨论列出一元一次方程即可． 【详解】（1）解：，且，， ∴，， ， 故答案为：3，5； （2）解：， ， ， 轴， C点、B点的纵坐标相等， ， ，， 当P运动1秒时，点P运动了个单位长度， ， 点P在线段上， ； 当点P运动3秒时，点P运动了个单位长度，点P在线段上， ， ， 点P的坐标是； 故答案为：，； （3）解：分以下三种情况： 当点P在上时，设，则的底边，高为n， 的面积为，即， ； 当点P在上时，则的底边，高为5， 的面积为 这样的点P不存在； 当点P在上时，设，则的底边，高为m， 的面积为，即， ； 综上，存在点P，使的面积为6，点P的坐标为或． 10．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）当运动到的中点时，根据时间等于路程除以时间即可求得，进而求得的坐标； （2）证明，则，，则和平行且相等，则四边形为平行四边形； （3）分两种情况，即点在线段上或点在线段延长线上，再利用勾股定理分别求得平行四边形的两边即可． 【详解】（1）解：点，的坐标分别是，， ，， 点运动到线段的中点， ， 则， ， ， ， 则的坐标是， 故答案为：；； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （3）解：当点在线段上时， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 如图，当点在线段的延长线上时， 同（2）中原理可得， ，， ， 四边形是平行四边形， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 综上，四边形的周长为或． 【点睛】注意第三小问，需要考虑点在线段上或点在线段延长线上，两种情况，再结合第二小问，考虑到用勾股定理求出平行四边形的两边长即可． 11．（24-25八年级下·江西南昌·期中）已知，如图，在直角坐标系中，轴，轴，，，有个点从运动，每秒钟1个单位，同时点从也以每秒1个单位运动，运动时间为， (1)写出，，三个点坐标． (2)当秒时，求的面积． (3)当到轴距离等于到轴距离时，求时间． 【答案】(1)，， (2)12 (3)或 【分析】本题考查了坐标系点的坐标，坐标系点的动点问题，坐标系点坐标到坐标轴的距离，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键． （1）根据题意，先求得和，再写出点的坐标即可； （2）先判断点和所在位置，写出两个点的坐标，然后求出三角形的面积即可； （3）分4种情况①时，点在线段时，②，点在线段时，③，点在线段时，④，点在线段时，依次讨论即可． 【详解】（1）解：轴，轴，，， ，， ，，； （2）解：当秒时，有个点从运动，每秒钟1个单位，同时点从也以每秒1个单位运动， 点走了6个单位长度，点走了6个单位长度， 点在线段上，此时，点在线段上， 的纵坐标为，， ， ； （3）解：①时，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上， 当到轴距离等于到轴距离时，； ②，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上， 当到轴距离等于到轴距离时，，； ③，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上， 当到轴距离等于到轴距离时，，即，不符合题意； ④，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上, 到轴距离为8，不符合题意； 综上，或． 12．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运动，即→→→→→→→…，按这样的运动规律，完成下列任务： (1)直接写出下列各点的坐标： ①：______；②：______； (2)在动点A的运动过程中，若有连续四点，，，，请写出，，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)；理由见解析 【分析】本题考查了点的坐标规律，发现规律是关键． （1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：观察发现：点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ，， ，， 故答案为：①；②； （2）解：． 理由：由点的坐标的变化规律可知：横坐标依次增加1，纵坐标以3，0，，0为周期循环． ，，，为动点A在运动过程中的连续四点， ． 【经典例题三 平面直角坐标系中图形变换运动规律】 13．（24-25八年级下·广西北海·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标，点的坐标．点P是轴上的一个动点，从点C出发，沿轴向点O运动，当运动到点O时停止运动，速度为2个单位/秒，运动时间为t秒，点在轴的负半轴上，且的面积：的面积． (1)请直接写出点B的坐标； (2)若点D在轴的正半轴上，是否存在点P，使以为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点D坐标；若不存在，请说明理由； (3)点Q是轴上的一个动点，从点A出发，向轴的负半轴运动，速度为4个单位/秒．若P、Q分别从C、A两点同时出发，求：t为何值时，以三点构成的三角形与全等． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)1秒或3秒 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由点A，C的坐标可得的长，结合的面积：的面积，利用三角形面积公式列式可求出，即可求出点B的坐标； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）分和两种情况，结合与讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标，点的坐标， ∴,， 又的面积：的面积， ∴， ∴, ∵点在轴的负半轴上， ∴点的坐标为； （2）解：在轴上，在轴， ， 以、、为顶点的三角形与全等， ①， ， ； ②， ， ， 即：满足条件的的坐标为或； （3）解：在轴上，在轴， ， 由运动知，，， ，， 当时，，， 以、、为顶点的三角形与全等， ①， ， ， ， 满足条件，即： ②， ， ，， ， 不满足条件，舍去； 当时，，， 以、、为顶点的三角形与全等， ①， ， ， ， ， 不满足条件，舍去； ②， ， ，， 即：满足条件的时间或． 14．（24-25八年级下·吉林白城·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；③能，点P的坐标是，点Q的坐标是 【分析】本题是四边形综合题．考查了长方形的性质以及四边形的面积，解题的关键是化动为静，用含t的代数式表示线段的长． （1）根据给定点的坐标和线段长，再利用长方形的性质求出点B和点C的坐标； （2）①根据题意得，，则，可知，根据题意有，列方程求解即可； ②根据题意可知，则有，求解t即可； ③根据题意求得，有题意知，，可求得，，则，结合题意求得t，即可知点的坐标． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点A的坐标是，， ∴， ∴， 故点； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ①∵直线轴， ∴ ∴， ∴， ∴当t值为秒时，直线轴； ②∵点Q到y轴的距离为2个单位长度， ∴， 由①知，则，解得， ③∵，， ∴， 由运动知，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积是长方形的面积的， ∴，解得， ∴， ∴，． 15．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于点C． (1)点C的坐标为__________； (2)P，Q为两个动点，点P从C出发，在线段，上以2个单位长度每秒的速度沿着运动，到达原点时P停止运动；点Q从B出发，以1个单位长度每秒的速度沿着线段向原点运动，到达原点时Q停止运动，若P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当点P在线段上时，t取何值，P、Q、C三点构成的三角形面积为1？ (3)如图2，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴的负半轴上，连接交x轴于点K，记M、B、K三点构成的三角形面积为，记N、O、K三点构成的三角形面积为，若，求点N的坐标． 【答案】(1)； (2)或或； (3)． 【分析】本题考查平面直角坐标系点的坐标和线段长度间的关系，算术平方根的意义等知识，解决问题的关键是转化面积相等的条件． （1）根据平面直角坐标系的坐标特征，进而求得点坐标； （2）由三角形面积公式，求得的长，分为当点到O点之前和到O点之后进行分类讨论，进一步求得结果； （3）先由一次函数和求出M点坐标，由得出，进而求得点坐标． 【详解】（1）解：，，且轴，轴， ； 故答案为：； （2）当点P 在线段BO上运动时， 由得， ， ， 当P、Q都未到达O点时 ∴ ∴或， 当P到达O点，Q点未达到O点时， 此时 综上所述：或或； （3）设点， ，，， 直线的解析式是：， ， ，且M在线段AB上 ∴ ∴ 解得∴ ， ， ， ∴， ． 16．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、分别在轴、轴上，，点在线段上，，过点作，交的延长线于点，直线交轴于点． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿折线轴负方向以每秒个单位长度的速度运动．、两点同时出发，且点到达点处时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示． (3)在（2）的条件下，是否存在值，使得是以坐标轴为对称轴的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时：；当时： (3)存在，或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，列函数关系式，写出点的坐标； （1）证明得出，即可求解； （2）分两种情况讨论，当时，点在上，当时，点在轴的负半轴，根据三角形的面积公式列出关系式，即可求解； （3）根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论，，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴； （2）解：当时： 如图，点在上， 依题意，， ∴ 当时，如图，点在轴的负半轴， ∴， ∵， ∴ 综上，当时：；当时： （3）解：当时， 当时，即， 解得： ； 当时， 当时，即， 解得：； 综上所述，存在，或． 17．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴，垂足为点．点B，C分别在原点两侧，且B，C两点间的距离等于10个单位长度． (1)填空：_____，点的坐标为_____； (2)在轴上是否存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的，若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，过点作轴，垂足为点，线段上有一点，且m，n满足，点到轴的距离为1，点在轴负半轴上，连接交轴于点，当三角形面积与三角形的面积相等时，求点的坐标． (4)P，Q为两动点，其中点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，到达点停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿着向点运动，到达点停止运动．设运动时间为，当点在（含B，O两个端点）上时，若存在值，使A，P，Q三点构成的三角形面积为3，请直接写出所有符合条件的值． 【答案】(1)， (2)存在，或 (3) (4)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系、三角形的面积公式、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）根据三角形的面积公式即可求解； （3）由题意得，根据点的坐标特征求出的值，由得到，再利用三角形面积公式求出的长，即可求出点的坐标； （4）分2种情况讨论：①当时；②当时，分别表示出的长，再利用三角形面积公式列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴综上所述，，点的坐标为； 故答案为：，； （2）解：存在， 由题意得：， ∴， 解得， ∴或； （3）解：轴，， ， 点到轴的距离为1，在第一象限， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：由题意得：，， 则点运动的时间为秒，点运动到点的时间为秒，点运动的时间为8秒， ①当时，此时点在线段上，未到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ， 解得：（不合题意，舍去）或， ； ②当时，此时点已到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ， 解得：； 综上，当在上时，取或时，三角形的面积为3． 18．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）操作与探究 【问题情景】 数学课上，数学老师以平面直角坐标系中的运动问题作为研究方向，提出如下问题： 如图，点在第二象限，轴交轴于点，点在轴负半轴上，，连，点为线段上的一个动点，点为线段上的一个动点． 【问题初探】 （）①点的坐标为 ； ②若，则四边形的面积为 ； 【深入研究】 （）如图，动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度，同时动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度． 运动要求：当其中一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动． 设运动时间为秒，连接．在运动的过程中，当线段恰好把四边形的面积分成相等的两部分时，求时间的值； 【拓展提升】 （）如图，连接交于点，若（）中的动点和动点速度保持不变，，求点的横坐标． 【答案】（）①；②；（）；（） 【分析】（）①由题意可得，即得，即可求解；②由题意得，即得，再根据四边形的面积解答即可求解； （）由题意得，，，，即得，即得到，解方程即可求解； （）连接，设点到轴的距离为，可得，即得，进而得到，解方程即可求解； 本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】解：（）①∵点在第二象限，轴交轴于点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵点在轴负半轴上， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：； （）由题意得，，，，， ∴， ∵恰好平分四边形的面积， ∴， 解得； （）连接，设点到轴的距离为， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 即点的横坐标是． 【经典例题四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律】 19．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）探索规律：点，，，，…，按此规律，求： (1)点的坐标； (2)点的坐标(为正整数)； (3)若点到轴的距离为，求的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，求一个数的算术平方根，找到纵坐标是横坐标的平方，是解题的关键； （1）根据规律直接写出点的坐标； （2）根据纵坐标是横坐标的平方写出点的坐标； （3）根据到轴的距离为纵坐标的绝对值，即可求解． 【详解】（1）解：点，，，， ∴ （2）解：依题意，点的坐标为 （3）解：由（2）可得 ∴． 又∵为正整数， ∴ 20．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如下图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将变换成，则的坐标是______，的坐标是______． (2)若按第（1）题的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测的坐标是______，的坐标是______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解题的关键． （1）根据规律直接写出结论； （2）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点的坐标为：． 又∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：0， ∴点的坐标为：． 故答案为：； （2）解：由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：． 由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：． 故答案为：． 21．（25-26八年级上·河南焦作·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格中建立平面直角坐标系． (2)分别作出与关于轴、轴对称的和． (3)观察（2）中和各顶点坐标特征，你发现有什么规律？ 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)和对应点的横坐标与纵坐标都为互为相反数 【分析】本题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）根据点的坐标即可确定平面直角坐标系位置； （2）根据轴对称的性质即可分别作出与关于轴、轴对称的和； （3）通过观察即可得和的对应点的横坐标与纵坐标都为互为相反数． 【详解】（1）解：如图所示即为所作， （2）解：如图所示即为所作， （3）解：和对应点的横坐标与纵坐标都为互为相反数． 22．（24-25八年级下·天津北辰·期中）（1）如图是某学校的平面示意图，在的正方形网格中，如果校门所在位置的坐标为，教学楼所在位置的坐标为．    ①请画出符合题意的平面直角坐标系； ②在（1）的平面直角坐标系内表示下列位置的坐标： 旗杆______；体育馆______； 图书馆______；实验楼______． （2）填写下表，观察被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律： 根据你发现的规律填空： ①已知，则______． ②已知，，则是的______倍． 【答案】（1）①作图见解析；②；；；；（2）填表见解析；①；② 【分析】本题考查坐标位置的确定，利用算术平方根的定义进行规律判断， （1）①校门向右个单位，向上个单位确定出坐标原点，然后建立平面直角坐标系即可； ②根据平面直角坐标系写出各位置的坐标即可； （2）根据算术平方根的定义先求出每一个数的算术平方根，然后再根据小数点的变化进行解答； ①根据（2）中的规律对小数点移动进行求解即可； ②根据（2）中的规律对小数点移动进行求解即可； （1）确定出坐标原点的位置是解题的关键；（2）通过表格中的数据找出小数点的移动规律是解题的关键． 【详解】解：（1）①建立平面直角坐标系如图所示；    ②旗杆：、体育馆：；图书馆：；实验楼：； 故答案为：；；；； （2），， 填表如下： ①由表格可知：被开方数的小数点向右（或向左）每移动两位时，的小数点向右（或向左）移动位， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴是的倍． 故答案为：． 23．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）下图所示的“鱼”图案是将坐标为，，，，，，，的点用线段依次连接而成的． (1)若纵坐标保持不变，横坐标分别加上3，在上图中画出所得的图案． (2)若横坐标保持不变，纵坐标分别减去2，在上图中画出所得的图案． (3)通过以上两种变换，你发现了什么规律？请用简洁的语言加以概括． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)通过以上两种变换，我发现：横坐标（纵坐标）加上或减去n，图案形状不变，即向右（向上）或向左（向下）平移n个单位长度． 【分析】（1）（2）根据平移的规律即可得出答案； （3）根据（1）（2）中画出的相应图形，由图形可以得到两幅图形的位置关系，从而找到相应的规律． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：示例：通过以上两种变换，我发现：横坐标（纵坐标）加上或减去，图案形状不变，即向右（向上）或向左（向下）平移个单位长度． 【点睛】本题考查坐标与图形性质，主要利用了点的位置的确定，几何图形的变化，能根据题意画出图案是解题的关键． 24．（24-25八年级下·广东潮州·期中）综合与实践 （）【动手探索】如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，.观察图形，直接写出，，，，各点的坐标； （）【观察归纳】关于以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为，，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律为__________，__________，并用，的坐标验证规律是否正确； （）【实践运用】利用上面探索得到的规律解决问题： 若点，，则线段的中点的坐标为__________； 已知点N是线段的中点，且点，，求点的坐标. 【答案】（），，，，； （），，验证见解析； （）；． 【分析】本题考查了坐标与图形，探索规律，解决本题的关键是通过观察得到线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系，再根据中点坐标与线段两端点坐标的对应关系解决问题． （1）根据图形读出平面直角坐标系中点，，，，的坐标即可； （2）根据（1）线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系，可得线段的中点是的横坐标、纵坐标分别是，；因为点，分别为，的中点，根据（1）中的规律验证即可； （3）根据点，，点是线段的中点，利用中的规律求出点的坐标即可； 设点的坐标为，根据规律可得：，，解方程即可求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：由图可知：点，，，，的坐标分别为：，，，，； （2）解：由（1）中的规律可知： 点的坐标是，点的坐标是， ，； 点，分别为，的中点，点，，，， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 通过点，的坐标的验证规律是正确的， 故答案为：，； 解：点，，点是线段的中点， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 点的坐标为是， 故答案为：； 解：设点的坐标为， 点N是线段的中点，且点，， ，， 解得：，， 点的坐标为． 【经典例题五 求规则图形的面积】 25．（25-26八年级上·宁夏银川·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)求出的面积． (2)在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1)4 (2)或 【分析】（1）过点M作轴于点N，根据列式求解即可； （2）设点P的坐标为，则，根据三角形的面积公式可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点M作轴于点N， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 26．（24-25八年级下·内蒙古兴安·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，x轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为________，点B的坐标为________． (2)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积与长方形面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积是长方形的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4秒 (3)或 【分析】本题考查了绝对值，平方的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由，可得，解得，则，； （2）设，则，由题意知，，得到，进一即可求出答案； （3）由（2）可知，设，得，由列方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：， ， 解得， ，． 故答案为：，． （2）解：设，则， 由题意知，， ， 解得， （秒）， 点P的运动时间为4秒； （3）解：由（2）可知 设，则，， ， 解得或， 或 27．（24-25八年级下·天津·期中）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为且，满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)则 ； ；点的坐标为 ； (2)在移动过程中，当点移动秒时，求的面积； (3)在（）的条件下，坐标轴上是否存在点，使的面积与的面积相等，若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，或或或 【分析】（）根据非负数的性质可求出的值，进而根据长方形的性质可得出点的坐标； （）由题意可得，即得，再根据三角形面积公式计算即可求解； （）分两种情况，根据三角形面积公式列出方程解答即可求解； 本题考查了非负数的性质，坐标与图形，一元一次方程的几何应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴轴，轴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：当点移动秒时，移动的路程为， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在． ①当点在轴上时 ，设，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴或； ②当点在轴上时，设，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴或； 综上，存在或或或，使的面积与的面积相等． 28．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的m，n满足，点C在x轴的负半轴上，且． (1)写出点A的坐标为___________；点B的坐标为___________；点C的坐标为___________； (2)已知点P的坐标为，连接，请用含t的式子来表示三角形的面积S； (3)在（2）的条件下，，点Q在线段上且，当三角形的面积等于三角形的面积时，求点P的坐标． 【答案】(1)；； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形，利用分类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得m，n的值，即可求解； （2）根据题意可得轴，然后分两种情况，结合三角形的面积公式解答即可； （3）设三角形边边上的高为h，结合三角形的面积公式，可得出，进而得到，由（2）得，根据，得到关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵点， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴点； 故答案为：；；； （2）解：， 轴， ①当时，如图， ； ②当时，如图， ； 综上所述，三角形的面积； （3）解：∵，，， ，， 设三角形边边上的高为h，则 ， 即， ， ， ， ， ， 由（2）得，即， ， ， 解得， 或． 29．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积有两种不同的表示方式”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法． (1)【学有所用】如图1，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，小明发现，通过连接，将的面积转化为和的面积之和，建立等量关系，便可证明，请你结合图形来证明：； (2)【尝试提升】如图2，在中，，D是边上一点，使，过上一点P，作，垂足为点E，作，垂足为点F，已知，，求的长； (3)【拓展迁移】如图3，在平面直角坐标系中有两条直线：，：，若上的一点M到的距离是2，请直接写出符合题意的M点坐标 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点M的坐标为或 【分析】本题主要考查了等积法、勾股定理、一次函数的应用、三角形全等的判定和性质等知识点，灵活利用数形结合的思想是解题的关键． （1）如图：连接，根据，结合三角形面积公式和即可证明结论； （2）根据勾股定理可求出，再根据，结合（1）所得结论即得出； （3）根据函数解析式可求得，从而可得，即为等腰三角形．再根据上的一点M到的距离是，则可分类讨论：当点M在边上时，当点M在延长线上时，分别作出图形，求出结果即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，由题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴， 又∵， ∴结合（1）可知． （3）解：对于，令，得：；令，得：， ∴． ∴ 对于，令，得：，则，即， ∵，， ∴，即为等腰三角形． ∵上的一点M到的距离是，则点M在边上或点M在延长线上， ①当点M在边上时，如图：过点作于点G，作于点H， 由（1）知：， 由题可知：，则， 将，代入，得：，解得：， ∴； ②当点M在延长线上时，过点作于点P，轴于点E，轴于点F， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的纵坐标为， 把代入得，解得：， ∴； 综上分析可知，点M的坐标为或． 故答案为：或． 30．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）【综合与实践】确定组合图形匀质薄板的重心位置． 我们已发现：平行四边形匀质薄板的重心在两条对角线的交点处． 通过实验操作，得出结论：若一个平面图形组合图形匀质薄板的重心坐标为，面积为S，被分成n部分匀质薄板的重心坐标分别为，，…，，面积分别为，，…，，则，． 如图1①，“L”形匀质薄板中，，，，，确定该薄板的重心位置的步骤： ①先求出该薄板的面积； ②将该薄板分为两个长方形薄板Ⅰ，Ⅱ，以B为原点，以1为单位长度建立平面直角坐标系（如图1②）； ③确定长方形薄板Ⅰ的重心为，面积；长方形薄板Ⅱ的重心为，面积； ④求出，，得到该匀质薄板的重心坐标为． 【解决问题】 (1)如图2，正方形中，，直接写出正方形的重心坐标； (2)如图3，多边形中，，，，请以C点为原点，1为单位长度建立平面直角坐标系，并求出多边形的重心坐标． 【答案】(1) (2)多边形的重心坐标 【分析】本题考查坐标与图形的应用、有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂材料中重心定义和运算法则． （1）根据正方形的性质可知点的坐标是，根据正方形对角线的交点就是正方形的重心，可知正方形的重心是线段中点的坐标，根据平面直角坐标系中两点中点的坐标公式求解即可； （2）把多边形分成三个规则的矩形：正方形、长方形、正方形，根据重心的定义分别求出三个矩形的重心，再根据不规则图形重心的公式求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形，点的坐标是， ， 点的坐标是， 连接交于点M， 线段中点M的坐标是， 正方形的重心坐标为； （2）解：如下图所示，建立平面直角坐标系分割图形， 多边形的面积为， 点的坐标是，点的坐标是， 正方形的重心坐标是，， 点的坐标是，点的坐标是， 四边形的重心坐标是，， 点的坐标是，点的坐标是， 正方形的重心坐标是，， ， 多边形的重心坐标． 【经典例题六 求不规则图形的面积】 31．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段平移得到线段，点A与点C是对应点． (1)点D的坐标是______； (2)若点P为y轴上一点，且三角形的面积与三角形的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移： （1）根据点A与点C是对应点，可得线段先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到线段，即可求解； （2）设点P的坐标为，则，根据三角形的面积与三角形的面积相等，得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点， ，点A与点C是对应点． ∴线段先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到线段， ∵， ∴点D的坐标是，即； 故答案为： （2）解：设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 即， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 32．（2025八年级下·上海长宁·专题练习）如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【答案】(1) (2)面积不发生变化，其面积是 【分析】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）作轴于点轴于点，如图所示，数形结合得到，代值求解即可得到答案； （2）由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，即可得到答案． 【详解】（1）解：作轴于点轴于点，如图所示： ； （2）解：由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，其面积是． 33．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）解决下列与平面直角坐标系有关的知识： (1)已知点，解答下列问题： ①若点Q的坐标为，直线轴，直接写出点P的坐标 ； ②若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，若是y轴上一点，且的面积不小于四边形面积的一半，求m的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，割补法求面积，一元一次不等式的应用． （1）①根据直线轴可知点P、Q的横坐标相同，求出，进而求出点P的坐标； ②根据第二象限点的坐标特征及“到x轴、y轴的距离相等”求出a的值，再代入计算即可； （2）过点A作轴于点E，作轴于点D，根据割补法计算即可； （3）连接，分三种情况根据割补法求出，列不等式计算即可 【详解】（1）解：①∵直线轴， ∴点P、Q的横坐标相同， 即， 解得 ∴， 即点P的坐标为， 故答案为：； ②点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ， 解得，， ； （2）如图，过点A作轴于点E，作轴于点D， 则 ， ， ； （3）连接，则， ①当时，点M与O重合，成立； ②如图1，当时，， ， ， ，解得， ； ③如图2，当时，， ， ， ，解得， ． 综上所述：m的取值范围为． 34．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． (1)求三点的坐标； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出的值，即可得出答案； （2）根据求解即可； （3）当时，，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （2）解： ； （3）解：存在，设点的坐标为， 当时，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴点的坐标为或 35．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，其中a，b满足，现将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段． (1)直接写出点C，D的坐标：C______，D______； (2)若点P在x轴上，且使得三角形的面积是三角形面积的倍，求点P坐标； (3)如图2，点是三角形内部的一个动点，连接，，，若三角形与三角形面积之比为，求m，n之间满足的关系式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质，平移的性质即可得到结论； （2）根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）根据三角形的面积公式列方程即可得到m，n之间满足的关系． 【详解】（1）解：， ，， ，, ，， 将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段， ，； 故答案为：，； （2）由（1）可知，，，， ， ， ， ，且点P在x轴上，， ， ， ， 点P的坐标为或； （3）已知，如图所示，连接， ，，， ， ， ∵三角形与三角形面积之比为， ， 化简得：． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了非负数的性质，平移的性质，三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 36．（24-25八年级下·广西河池·期中）在数学活动课上，老师给出一些点的坐标，请同学们在平面直角坐标系中描点，连线，画图，并求所得图形的面积． （1）【操作1】如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，，，． （2）【问题1】顺次连接各点，得到一个封闭图形，请问是什么图形？ 【问题解决】 【操作2】由于该图形的面积不能用公式计算，所以可将六边形分割成可以利用坐标直接计算的图形．甲、乙、丙……等几位同学分别给出了以下分割方法： 甲：分割成两个梯形； 乙：分割成两个三角形和一个长方形； 丙：分割成四个三角形，且每一个三角形都有一边在轴上或平行于轴；…… 根据以上同学的描述，得出图，图，图的图形． （3）【问题2】请计算以上图多边形的面积； 【归纳总结】在平面直角坐标系中，求不规则图形的面积时，常将原图形分割成三角形、长方形和梯形等图形，这些图形至少有一边在坐标轴上或平行于坐标轴． （4）【模仿应用】 【问题3】请在图平面直角坐标系中描出下列各点：，，，，，； 【问题4】依次连接，，，，，，，求所得图形的面积． 【答案】[问题1] 六边形； [问题2] ；[问题3] 见解析；[问题4] ． 【分析】本题考查了多边形概念，平面直角坐标系坐标与图形，掌握知识点的应用是解题的关键． [问题1]根据多边形概念即可求解； [问题2]通过即可求解； [问题3]在平面直角坐标系描点，连线即可； [问题4]通过即可求解； 【详解】解：[问题1]顺次连接各点，得到一个封闭图形是六边形； [问题2] ； [问题3]如图， [问题4] ． 【经典例题七 根据图形的面积求点坐标】 37．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知点，将线段平移至线段（点与对应，点与对应），且点坐标为． (1)求点的坐标． (2)若点在轴上，且的面积是面积的2倍，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，熟知“上加下减，左减右加”的平移规律是解题的关键． （1）根据点B和点D的坐标可得平移方式，根据平移方式和点A的坐标可得点C的坐标； （2）设点的坐标为，则，根据三角形的面积公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，点坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵点A的坐标为， ∴点C的坐标为，即； （2）解：设点的坐标为， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 38．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）在平面直角坐标系中，，点在轴的负半轴上，的面积等于8． (1)求点的坐标； (2)如图1，点从点出发，沿轴正方向运动，速度为每秒2个单位，设点运动时间为，的面积为，求含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)如图2，若点在上，点在上，与交于点，过点作交直线于点，交轴于点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，主要考查了三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形． （1）根据三角形面积公式即可求解； （2）分点P在上，点P在延长线上，两种情况，利用三角形面积公式即解答； （3）过点O作于M，根据，得到，易证，推出，再证明，推出，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在x轴的负半轴上， ∴． （2）解：①当点P在上时， ， ②当点P在延长线上时， ， 综上，． （3）解：过点O作于M， ∵， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 39．（24-25八年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，，，（见图1），且 (1)求、的值； (2)①在轴的正半轴上存在一点，使的面积的面积，求出点的坐标； ②在坐标轴的其它位置是否存在点，使的面积的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标； (3)如图2，过点作轴交轴于点，点为线段延长线上的一动点，连接，平分，，当点运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或或 (3) 【分析】本题考查非负数的性质、平行线的性质、等角的余角相等等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）由非负数的性质即可解决问题； （2）①设，，根据三角形的面积关系构造方程，解方程，解方程，即可求解； ②根据对称性以及三角形的面积公式即可解决问题； （3）是定值，通过角的和差证明即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 解得： （2）解：①设，， ∵， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ②当点在轴负半轴上时，由①可知， 当点在轴上时，同理可计算出，即或 满足条件的点坐标为或或． （3）结论：的值不会改变，． 理由：如图2中， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 40．（24-25八年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且 (1)请直接写出点的坐标； (2)若动点P从原点O出发，沿x轴以每秒2个长度单位的速度向右运动，在运动过程中形成的的面积是长方形面积的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，点P停止运动后，在y轴上是否存在一点Q，连接，使的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）由算术平方根的性质求出，，得出，，即可得出答案； （2）设点的运动时间为，则，由面积关系得出，得出即可； （3）由（2）得，①当点在点的上方时，由面积关系得出，求出，则，得出；②当点在点的下方时，由面积关系得出，求出，则，得出即可． 【详解】（1）， ，， ， ， 轴，轴， ，， ； （2）设点的运动时间为，则，如图1所示： ，， ， ， 解得：， 点的运动时间为； （3）存在；理由如下： 由（2）得：， ①当点在点的上方时，如图2所示： ， ， ， ， ； ②当点在点的下方时，如图3所示： ， ， ， ， ； 综上所述，点的坐标为：或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角形面积、算术平方根的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和面积关系是解题的关键． 41．（25-26八年级上·湖北荆州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的负半轴上，的面积等于18． (1)求点的坐标； (2)如图1，点从点出发，沿轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为，试用含的式子表示（表示的面积），并直接写出的取值范围； (3)如图2，若点在上，点在上，与交于点C，过点作交直线于点，交轴于点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质． （1）先求出，根据三角形面积公式求出，最后根据点B在x轴的负半轴上即可求出点的坐标； （2）分点P在上、点P在的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算即可； （3）过点作于，根据三角形面积公式求出，证明，，得到，即可求出点D的坐标． 【详解】（1）解：， 点B在x轴的负半轴上， 点B的坐标为； （2）解：当点P在上时， 当点P在的延长线上时， ∴ （3）解：过点作于， ， ， ， ， 在和中， （）， ， ， ， 在和中， （）， ， 点D的坐标为． 42．（24-25八年级下·山西大同·期中）阅读与思考 利用面积法求直线上点的坐标 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，点，在直线上，求点的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 第一步：过点作轴于点，由，两点的坐标，可直接得出三角形的面积为________； 第二步：过点作轴于点，三角形的面积，三角形的面积为________． ∵三角形的面积三角形的面积三角形的面积， ∴可得关于的一元一次方程为________． 解这个方程，可得点的坐标为________． 【问题迁移】 （2）连接，请仿照（1）中的方法，求点的坐标． 【问题拓展】 （3）若点在直线上，且在轴的左侧，三角形的面积为5，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）6；m；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）用两种不同的方法求出的面积，构建方程求解即可； （2）利用面积法，构建方程求解即可； （3）首先判断出点在轴下方，过点作轴于点，则，然后根据构建方程求解． 【详解】解：（1）过点作轴于点，过点作轴于点， ，，点， ∴，，，， ， ∴，． ， ， 解得，， 点的坐标为； 故答案为：，，，； （2）如图，连接，过点作于，于． 依题意，直线与坐标轴交于，两点，点，在直线上， ， ， ， 点的坐标为； （3）∵点在直线上，且三角形的面积等于5， ∵， ∴点在轴下方， 如图所示，过点作轴于点，则 ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴． 【经典例题八 平面直角坐标系中面积综合】 43．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图所示的坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标依次为A（﹣1，2），B（﹣4，1），C（﹣2，﹣2） （1）请在这个坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）分别写出A1、B1、C1的坐标； （3）求△ABC的面积． 【答案】（1）见解析；（2），，；（3） 【分析】（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1即可； （2）根据画出的图形写出A1、B1、C1的坐标即可； （3）用△ABC所在的矩形面积减去△ABC周围三个直角三角形的面积即可． 【详解】解：（1）如图即为所作： ； （2），，； （3）． 【点睛】本题考查了坐标与图形－轴对称变换，根据题意画出相应的轴对称图形是解本题的关键． 44．（24-25八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）坐标系中，的顶点坐标是． (1)画出关于轴对称后的，并写出坐标． (2)x轴上有一动点P，点与点到P的距离之和的最小值为________； (3)求的面积． 【答案】(1)画图见解析， (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形的轴对称变换、利用轴对称求最短路径以及图形面积的计算，通过对称点的性质找到对应点坐标，利用两点间距离公式和割补法求解相应问题是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数的性质来确定各顶点坐标并画图； （2）利用轴对称的性质，找到点A关于x轴的对称点，则的最小值为的长度，通过两点间距离公式计算； （3）使用割补法求的面积． 【详解】（1）解： 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数， ， , 在坐标系中描点，然后顺次连接这三个点，得到， 点的坐标为； （2） 作点关于轴的对称点，则的坐标为，连接，当动点P为与轴的交点时， 的值最小，， 故答案为：； （3）以，构造矩形（长为5，宽为4），然后减去三个直角三角形的面积。 矩形面积，三个直角三角形面积分别为：，，， 则． 45．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在网格点上． (1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)点C到x轴的距离为 ； (3)将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．请在所给坐标系中画出； (4)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标为 ； (5)求的面积． 【答案】(1)，， (2)1 (3)见解析 (4) (5)7 【分析】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解答本题的关键． （1）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标即可； （2）根据“点到轴的距离为纵坐标的绝对值”求解即可； （3）根据网格结构找出点、、的位置，然后顺次连接即可； （4）根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减解答； （5）利用所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【详解】（1）解：由图知，，， 故答案为：，， （2）解： 到轴的距离为 故答案为： （3）解：如图，即为所求； （4）解：根据题意，点P的坐标为； 故答案为：； （5）解：的面积， ， ， ． 46．（24-25八年级下·重庆秀山·期末）已知：A（4，3），B（0，1），C（2，0）． (1)在坐标系中描出各点，画出△ABC； (2)求△ABC的面积； (3)设点M在x轴上，且△BCM与△ABC的面积相等，求点M的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)（-6，0）或（10，0） 【分析】（1）根据A（4，3），B（0，1），C（2，0）先进行描点，然后再顺次连接，即可在坐标系中画出△ABC； （2）根据网格利用割补法即可求出△ABC的面积； （3）结合（2）根据△BCM与△ABC的面积相等，即可求点M的坐标． 【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求． （2）解： 即△ABC的面积为4． （3）解：设点M的坐标为（m，0），根据题意可得： ， 解得：或， 即点M的坐标为：（-6，0）或（10，0）． 【点睛】本题主要考查了作图−复杂作图，坐标与图形性质，三角形的面积，解决本题的关键是利用分类讨论思想． 47．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）在如图的直角坐标系中，将三角形平移后得到三角形，它们的顶点坐标如表所示： 三角形 三角形 (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：三角形向____平移____个单位长度，再向____移_____个单位长度可以得到三角形； (2)写出点，的坐标，并在坐标系中画出平移后的三角形为； (3)计算四边形的面积． 【答案】(1)上，2，右，4； (2)，；画图见解析； (3)6． 【分析】本题考查的是由坐标变化判断平移方式，画平移图形，求解网格图形面积； （1）由表格信息的坐标变化可得平移分式； （2）根据平移方式可得，，再描点画图即可； （3）利用网格特点求解面积即可； 【详解】（1）解：由表格信息可得： 三角形向上平移2个单位长度，再向右移4个单位长度可以得到三角形； （2）解：∵，，三角形向上平移2个单位长度，再向右移4个单位长度可以得到三角形； ∴，； 如图，即为所求； （3）解：四边形的面积为：； 48．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）综合与实践：对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如长方形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤，请你根据以下素材，完成任务． 素材1 在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点，坐标为 顶点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材2 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤：1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等．2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积．3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标．4．代入公式计算：把步骤2和3的相应结果分别代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标，其中． 素材3 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为， 其中． 任务1 求阴影部分图形的重心坐标． 任务2 求阴影部分图形的重心坐标．    【答案】任务一：；任务二： 【分析】本题考查重心的有关性质，重心的应用． 任务一：将图形分为：矩形和矩形，根据素材二计算即可； 任务二：将图形分为：直角三角形、矩形和直角三角形，根据素材二计算即可． 【详解】解：任务一：如图： 矩形的重心，面积，矩形的重心，面积， ∴，， ∴重心坐标为； 任务二：如图： ①直角三角形，，，重心，面积， ②矩形重心，面积， ③直角三角形，重心，面积， ∴，， 重心坐标为． 1．（24-25八年级下·云南昭通·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2021秒瓢虫在（    ）处 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出长方形的周长为14，得到瓢虫爬行一圈的时间为7秒，再根据即可求解． 【详解】解：由题意得四边形是长方形，， 则长方形的周长为，（秒）， 而，， 由于， 所以第2021秒瓢虫在D处，即坐标为． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将第个点作为第列，作为第列，以此类推，则第列有个坐标，第列有个坐标，，第列有个坐标，，列共有坐标总数为，据此找出第2024个点的位置即可求解． 【详解】解：将第个点作为第列，作为第列，以此类推， 则第列有个坐标，第列有个坐标，，第列有个坐标，列共有坐标总数为， ， ， 第个坐标在第列， ， 从下往上数第个坐标的纵坐标为， 第2024个点的坐标是． 3．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，依作点关于直线的对称点，关于y轴的对称点，关于x轴的对称点，关于直线的对称点，关于y轴的对称点，关于x轴的对称点……按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化对称、点的坐标变化规律及关于坐标轴对称的点的坐标，根据题意，依次求出点，，，，的坐标，发现规律即可解决问题．能根据题意得出从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环是解题的关键． 【详解】解：如图， 因为点的坐标为， 所以点关于直线对称的点的坐标为， 依次类推，点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 由此可见，从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环，即6个一循环， 因为， 所以点的坐标为． 故选：B． 4．（24-25八年级下·辽宁抚顺·月考）如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度，记点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换，正确找出规律是解题的关键．根据点坐标计算长方形的周长为10，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，进一步求出第一次、第二次、第三次……相遇点的坐标，直到找出五次相遇一循环，再用的结果即可求出第2025次相遇点的坐标． 【详解】解：，，，， ， 长方形的周长为， 设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为， 根据题意得， 解得， ∴当时，P，Q第一次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第二次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第三次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第四次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第五次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第六次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 五次相遇循环一次， ， 点的坐标为． 故选：C． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）《综合与实践活动》探究中发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的运用，理解重心的计算方法是关键． 根据题意分别算出，结合重心坐标的计算方法代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系， ∴， ∵四边形，四边形是长方形，点是对角线的交点， ∴，即， ，即， ∴“”形的重心坐标的计算如下， ，， ∴， 故选：B ． 6．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）定义：任意三点A，B，C的“矩面积”计算方法：“水平底”a是任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如，三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”h＝6，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为20，则______． 【答案】5或 【分析】本题考查坐标与图形的性质，根据矩面积的定义表示出“水平底”a和铅垂高h，利用分类讨论对其铅垂高h进行讨论，从而列出关于m的方程，解出方程即可求解． 【详解】解：∵“水平底”，“矩面积”为20， ∴“铅垂高”， ∴或， ∴或， 故答案为：5或． 7．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，先根据点A，B，C的坐标求出和的面积，再结合四边形的面积是的面积的得出的面积，据此求出a的值即可． 【详解】解：由题知， ∵的顶点坐标分别为，，， ∴，． 又∵四边形的面积是的面积的， ∴四边形的面积为， ∴， 则， 解得， 所以点P的坐标为． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，的坐标为，的坐标为，的坐标为，，的坐标为，的坐标为，的坐标为，，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为，覆盖的整点的个数记为，面积的值记为，覆盖的整点的个数记为，面积的值记为，；则_____．【提示：】 【答案】3040 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变化规律的探求，由点的坐标变化找出P与S的变化规律是关键．根据题意，先分别求出，，，，，的值，并从中找到变化规律，再写出，的表达式，最后把代入计算即可． 【详解】解：根据题意，，， ，， ，， ， 依次类推，，， 当时，，， ． 9．（24-25九年级上·广东梅州·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，，．把一条长为个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，求细线另一端所在位置的点的坐标是____． 【答案】 【分析】根据题意可得绕四边形一周的细线长度为，再由，可得细线另一端在绕四边形第圈的第个单位长度的位置，即可求解． 【详解】∵，，，， ∴，，， ∴绕四边形一周的细线长度为， ∵， ∴细线另一端在绕四边形第圈的第个单位长度的位置，也就是点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据点的坐标求出四边形一周的长度，从而确定个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键． 10．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一个动点从点出发，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点按照上述规律运动下去，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，可得点在第三象限，再根据第三象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ∵， ∴点在第三象限， 又∵第三象限的点，点，…… 设点的下标为n， ∴可得横坐标为：，纵坐标为， ∴点． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）（1）写出图中小鱼身上所标各点的坐标； （2）观察点A与点E，点B与点D的位置，看看它们的坐标有什么特点． 【答案】（1）各点的坐标为：、、、、、 （2）点与点，点与点，它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：①关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． （1）根据点在坐标系中的位置，直接写出个点的坐标即可； （2）根据图象可直观看出点和点在轴上，且到轴的距离都是2个单位长度所以它们关于轴对称；点与点也是关于轴对称，所以它们的横坐标相同纵坐标互为相反数． 【详解】解：（1）各点的坐标为：、、、、、； （2）点与点，点与点，它们的横坐标相同纵坐标互为相反数． 12．（2025八年级下·上海长宁·专题练习）如图，已知长方形中，边．以为原点，所在的直线为轴和轴建立平面直角坐标系． (1)点的坐标为，写出两点的坐标； (2)若点从点出发，以2个单位长度/秒的速度向方向移动（不超过点），点从原点出发，以1个单位长度/秒的速度向方向移动（不超过点）．设两点同时出发，在它们移动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 【答案】(1)点的坐标是，点的坐标是 (2)不变，值为 【分析】本题考查了点坐标与图形，熟练掌握点坐标的求法是解题关键． （1）根据长方形的性质可得，，由此即可得； （2）设两点移动时间为秒，则可得，，再根据四边形的面积等于，由此即可得． 【详解】（1）解：∵长方形中，边， ∴，， ∴点的坐标是，点的坐标是． （2）解：设两点移动时间为秒， 由题意得：，， ∵长方形中，边， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ， 所以在它们移动过程中，四边形的面积不发生变化，其值为16． 13．（24-25八年级下·重庆合川·期中）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为， 且a是64的立方根， b是36的算术平方根，点B在第一象限内， 点P从原点出发， 以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)求点B的坐标；  当点P移动3.5秒时，求点P的坐标． (2)在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间； (3)在移动过程中，当的面积是10时，求点P移动的时间． 【答案】(1)点B的坐标为，点P的坐标为 (2)P移动时间为2秒或6秒 (3)点P移动时间为秒，秒，秒或秒 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义可求出a、b的值，根据长方形的性质，可以求得点b的坐标，根据题意点p从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点P移动3.5秒时，点P的位置和点P的坐标； （2）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可； （3）分为点P在上分类计算即可． 【详解】（1）解：a是64的立方根， b是36的算术平方根， ，， ， 点B的坐标为， 当点P移动3.5秒时，点P运动的路程为， 根据题意可知，， 此时P在上运动，且， 此时点P的坐标为； （2）在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时存在两种情况， 若点P在边上时，运动时间为； 若点P在边上时，运动时间为， P移动时间为2秒或6秒； （3） 如图所示，， ， ， ； 如图所示，， ， ， ； 如图所示，， ， ， ； 如图所示，， ， ， ； 综上所述，点P移动时间为秒，秒，秒或秒． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 14．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为 ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题考查了根据新定义求点的坐标，绝对值方程． （1）①根据“等距点”的定义作答即可；②根据“等距点”的定义列出方程即的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【详解】（1）①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 故答案为：； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：，，且 ∴或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点与点两点为“等距点”， ∴或， 解得：， ∴，或，（舍去）或，或，（舍去）， ∴，或，， 当，时，如图， ∴，即的值为； 当，时， 同理，得，即的值为； 综上，的值为． 15．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践（1）动手、计算：数学活动课上，在边长为1的小正方形组成的网格中建立如图1所示的平面直角坐标系，小明进行了下列操作研究图形的面积计算问题：将点向下平移5个单位长度，得到点，再将点向左平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为：______，的面积为：______；（方法：直接计算） （2）在图2中，线段的端点坐标、，将线段向下平移5个单位长度，得到线段，再将线段向左平移4个单位长度，得到线段，则四边形的面积为：______；（方法：直接计算） 总结规律：平移变换下可直接利用特殊图形的面积公式求面积． （3）在图3中，线段的端点坐标、，将线段向下平移5个单位长度，得到线段，再将线段向左平移4个单位长度，得到线段，则四边形的面积为：______，（方法：间接计算）并写出算式． 总结规律：平移变换下当不容易直接计算图形的面积时，可利用面积的“割补”来完成计算． 【答案】（1）（-1，-2），10；（2）8 ；（3）13． 【分析】（1）先确定A1（3，3）、A2（3，-2）、A3（-1，-2），然后再求解即可； （2）利用平行四边形的面积公式计算即可； （3）利用分割法把平行四边形的面积看成长方形面积减去周围4个三角形面积进行解答即可． 【详解】解：（1）由题意可得：A1（3，3）、A2（3，-2）、A3（-1，-2）， ∴A1A2=5，A2A3=4，∠A1A2A3=90°， ∴△A1A2A3的面积=×4×5=10； 故填（-1，-2），10； （2）由题意得：A1B1=3-1=2 ∴四边形A1B1B3A3的面积为=2×4=8； 故填8； （3）四边形A1B1B3A3的面积=． 故填13． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-平移、点的坐标、三角形的面积等知识点，掌握用分割法求平行四边形面积是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面直角坐标系中的规律探索与面积专项训练（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 平行于坐标轴运动的点坐标规律 题型二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律 题型三 平面直角坐标系中图形变换运动规律 题型四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律 题型五 求规则图形的面积 题型六 求不规则图形的面积 题型七 根据图形的面积求点坐标 题型八 平面直角坐标系中面积综合 【经典例题一 平行于坐标轴运动的点坐标规律】 1．（2025·云南·模拟预测）如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点，如果且，则______． 2．（24-25八年级下·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，点，点，若，则称点A与点B互为“等差点”．例如，点，点，因为，所以点A与点B互为“等差点”． (1)若点A的坐标是，则在点中，点A的“等差点”为点________； (2)若点A的坐标是的“等差点”B在坐标轴上，求点B的坐标． 3．（2025·上海杨浦·三模）已知：如图，在中，，点D是边的中点，，联结．    (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 4．（25-26八年级上·福建三明·月考）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”，例如：点的“3级关联点”为，即， (1)已知点的“2级关联点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“级关联点”为，求的值； (3)已知点的“级关联点”位于坐标轴上，请直接写出点的坐标． 5．（24-25八年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)当点P在线段上运动时，请用含t的代数式表示在这一运动过程中线段的长，并直接写出t的取值范围； (3)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、分别在轴、轴上，点在第一象限，点的坐标是，． (1)直接写出点、点的坐标． (2)点从原点出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为秒，探究下列问题： ①当为多少时，直线轴？ ②在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形的面积的？若能，请直接写出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由 【经典例题二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律】 7．（24-25八年级下·吉林松原·期中）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，动点从点出发，沿的方向以每秒2个单位长度的速度运动，与点第二次相遇时停止，设点运动的时间为秒． (1)点的坐标为_______； (2)在点从点运动到点的过程中，用含的代数式表示的长度； (3)当点第一次运动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，当点停止运动时直线也随之停止．在运动过程中，当点在直线上时，求点的坐标； (4)连接、、，当三角形的面积为2时，直接写出的值． 8．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点在轴上，点坐标为，等边的面积为，点从点出发沿着射线运动，点从点出发沿轴负半轴运动，点、点同时出发，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，过点作轴于点． (1)①直接写出点的坐标为（________），点的坐标为（________）； ②当点在线段上运动时，则的长度________（用含的式子表示）； (2)在点、点的运动过程中，当时，求点、点的运动时间，并直接写出此时点的坐标． 9．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，点C在y轴上，且轴，a、b满足．一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点P首次回到点O时停止运动），运动时间为t秒（）． (1)_______，_____． (2)当点P运动1秒时，点P的坐标为______；当点P运动3秒时，点P的坐标为______． (3)点P在运动过程中，是否存在点P，使的面积为6?如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出求解过程． 10．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 11．（24-25八年级下·江西南昌·期中）已知，如图，在直角坐标系中，轴，轴，，，有个点从运动，每秒钟1个单位，同时点从也以每秒1个单位运动，运动时间为， (1)写出，，三个点坐标． (2)当秒时，求的面积． (3)当到轴距离等于到轴距离时，求时间． 12．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运动，即→→→→→→→…，按这样的运动规律，完成下列任务： (1)直接写出下列各点的坐标： ①：______；②：______； (2)在动点A的运动过程中，若有连续四点，，，，请写出，，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【经典例题三 平面直角坐标系中图形变换运动规律】 13．（24-25八年级下·广西北海·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标，点的坐标．点P是轴上的一个动点，从点C出发，沿轴向点O运动，当运动到点O时停止运动，速度为2个单位/秒，运动时间为t秒，点在轴的负半轴上，且的面积：的面积． (1)请直接写出点B的坐标； (2)若点D在轴的正半轴上，是否存在点P，使以为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点D坐标；若不存在，请说明理由； (3)点Q是轴上的一个动点，从点A出发，向轴的负半轴运动，速度为4个单位/秒．若P、Q分别从C、A两点同时出发，求：t为何值时，以三点构成的三角形与全等． 14．（24-25八年级下·吉林白城·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 15．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于点C． (1)点C的坐标为__________； (2)P，Q为两个动点，点P从C出发，在线段，上以2个单位长度每秒的速度沿着运动，到达原点时P停止运动；点Q从B出发，以1个单位长度每秒的速度沿着线段向原点运动，到达原点时Q停止运动，若P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当点P在线段上时，t取何值，P、Q、C三点构成的三角形面积为1？ (3)如图2，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴的负半轴上，连接交x轴于点K，记M、B、K三点构成的三角形面积为，记N、O、K三点构成的三角形面积为，若，求点N的坐标． 16．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、分别在轴、轴上，，点在线段上，，过点作，交的延长线于点，直线交轴于点． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿折线轴负方向以每秒个单位长度的速度运动．、两点同时出发，且点到达点处时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示． (3)在（2）的条件下，是否存在值，使得是以坐标轴为对称轴的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 17．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴，垂足为点．点B，C分别在原点两侧，且B，C两点间的距离等于10个单位长度． (1)填空：_____，点的坐标为_____； (2)在轴上是否存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的，若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，过点作轴，垂足为点，线段上有一点，且m，n满足，点到轴的距离为1，点在轴负半轴上，连接交轴于点，当三角形面积与三角形的面积相等时，求点的坐标． (4)P，Q为两动点，其中点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，到达点停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿着向点运动，到达点停止运动．设运动时间为，当点在（含B，O两个端点）上时，若存在值，使A，P，Q三点构成的三角形面积为3，请直接写出所有符合条件的值． 18．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）操作与探究 【问题情景】 数学课上，数学老师以平面直角坐标系中的运动问题作为研究方向，提出如下问题： 如图，点在第二象限，轴交轴于点，点在轴负半轴上，，连，点为线段上的一个动点，点为线段上的一个动点． 【问题初探】 （）①点的坐标为 ； ②若，则四边形的面积为 ； 【深入研究】 （）如图，动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度，同时动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度． 运动要求：当其中一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动． 设运动时间为秒，连接．在运动的过程中，当线段恰好把四边形的面积分成相等的两部分时，求时间的值； 【拓展提升】 （）如图，连接交于点，若（）中的动点和动点速度保持不变，，求点的横坐标． 【经典例题四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律】 19．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）探索规律：点，，，，…，按此规律，求： (1)点的坐标； (2)点的坐标(为正整数)； (3)若点到轴的距离为，求的值． 20．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如下图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将变换成，则的坐标是______，的坐标是______． (2)若按第（1）题的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测的坐标是______，的坐标是______． 21．（25-26八年级上·河南焦作·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格中建立平面直角坐标系． (2)分别作出与关于轴、轴对称的和． (3)观察（2）中和各顶点坐标特征，你发现有什么规律？ 22．（24-25八年级下·天津北辰·期中）（1）如图是某学校的平面示意图，在的正方形网格中，如果校门所在位置的坐标为，教学楼所在位置的坐标为．    ①请画出符合题意的平面直角坐标系； ②在（1）的平面直角坐标系内表示下列位置的坐标： 旗杆______；体育馆______； 图书馆______；实验楼______． （2）填写下表，观察被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律： 根据你发现的规律填空： ①已知，则______． ②已知，，则是的______倍． 23．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）下图所示的“鱼”图案是将坐标为，，，，，，，的点用线段依次连接而成的． (1)若纵坐标保持不变，横坐标分别加上3，在上图中画出所得的图案． (2)若横坐标保持不变，纵坐标分别减去2，在上图中画出所得的图案． (3)通过以上两种变换，你发现了什么规律？请用简洁的语言加以概括． 24．（24-25八年级下·广东潮州·期中）综合与实践 （）【动手探索】如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，.观察图形，直接写出，，，，各点的坐标； （）【观察归纳】关于以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为，，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律为__________，__________，并用，的坐标验证规律是否正确； （）【实践运用】利用上面探索得到的规律解决问题： 若点，，则线段的中点的坐标为__________； 已知点N是线段的中点，且点，，求点的坐标. 【经典例题五 求规则图形的面积】 25．（25-26八年级上·宁夏银川·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)求出的面积． (2)在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 26．（24-25八年级下·内蒙古兴安·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，x轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为________，点B的坐标为________． (2)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积与长方形面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积是长方形的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（24-25八年级下·天津·期中）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为且，满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)则 ； ；点的坐标为 ； (2)在移动过程中，当点移动秒时，求的面积； (3)在（）的条件下，坐标轴上是否存在点，使的面积与的面积相等，若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 28．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的m，n满足，点C在x轴的负半轴上，且． (1)写出点A的坐标为___________；点B的坐标为___________；点C的坐标为___________； (2)已知点P的坐标为，连接，请用含t的式子来表示三角形的面积S； (3)在（2）的条件下，，点Q在线段上且，当三角形的面积等于三角形的面积时，求点P的坐标． 29．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积有两种不同的表示方式”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法． (1)【学有所用】如图1，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，小明发现，通过连接，将的面积转化为和的面积之和，建立等量关系，便可证明，请你结合图形来证明：； (2)【尝试提升】如图2，在中，，D是边上一点，使，过上一点P，作，垂足为点E，作，垂足为点F，已知，，求的长； (3)【拓展迁移】如图3，在平面直角坐标系中有两条直线：，：，若上的一点M到的距离是2，请直接写出符合题意的M点坐标 ． 30．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）【综合与实践】确定组合图形匀质薄板的重心位置． 我们已发现：平行四边形匀质薄板的重心在两条对角线的交点处． 通过实验操作，得出结论：若一个平面图形组合图形匀质薄板的重心坐标为，面积为S，被分成n部分匀质薄板的重心坐标分别为，，…，，面积分别为，，…，，则，． 如图1①，“L”形匀质薄板中，，，，，确定该薄板的重心位置的步骤： ①先求出该薄板的面积； ②将该薄板分为两个长方形薄板Ⅰ，Ⅱ，以B为原点，以1为单位长度建立平面直角坐标系（如图1②）； ③确定长方形薄板Ⅰ的重心为，面积；长方形薄板Ⅱ的重心为，面积； ④求出，，得到该匀质薄板的重心坐标为． 【解决问题】 (1)如图2，正方形中，，直接写出正方形的重心坐标； (2)如图3，多边形中，，，，请以C点为原点，1为单位长度建立平面直角坐标系，并求出多边形的重心坐标． 【经典例题六 求不规则图形的面积】 31．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段平移得到线段，点A与点C是对应点． (1)点D的坐标是______； (2)若点P为y轴上一点，且三角形的面积与三角形的面积相等，求点P的坐标． 32．（2025八年级下·上海长宁·专题练习）如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 33．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）解决下列与平面直角坐标系有关的知识： (1)已知点，解答下列问题： ①若点Q的坐标为，直线轴，直接写出点P的坐标 ； ②若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，若是y轴上一点，且的面积不小于四边形面积的一半，求m的取值范围． 34．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． (1)求三点的坐标； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，其中a，b满足，现将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段． (1)直接写出点C，D的坐标：C______，D______； (2)若点P在x轴上，且使得三角形的面积是三角形面积的倍，求点P坐标； (3)如图2，点是三角形内部的一个动点，连接，，，若三角形与三角形面积之比为，求m，n之间满足的关系式． 36．（24-25八年级下·广西河池·期中）在数学活动课上，老师给出一些点的坐标，请同学们在平面直角坐标系中描点，连线，画图，并求所得图形的面积． （1）【操作1】如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，，，． （2）【问题1】顺次连接各点，得到一个封闭图形，请问是什么图形？ 【问题解决】 【操作2】由于该图形的面积不能用公式计算，所以可将六边形分割成可以利用坐标直接计算的图形．甲、乙、丙……等几位同学分别给出了以下分割方法： 甲：分割成两个梯形； 乙：分割成两个三角形和一个长方形； 丙：分割成四个三角形，且每一个三角形都有一边在轴上或平行于轴；…… 根据以上同学的描述，得出图，图，图的图形． （3）【问题2】请计算以上图多边形的面积； 【归纳总结】在平面直角坐标系中，求不规则图形的面积时，常将原图形分割成三角形、长方形和梯形等图形，这些图形至少有一边在坐标轴上或平行于坐标轴． （4）【模仿应用】 【问题3】请在图平面直角坐标系中描出下列各点：，，，，，； 【问题4】依次连接，，，，，，，求所得图形的面积． 【经典例题七 根据图形的面积求点坐标】 37．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知点，将线段平移至线段（点与对应，点与对应），且点坐标为． (1)求点的坐标． (2)若点在轴上，且的面积是面积的2倍，求点坐标． 38．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）在平面直角坐标系中，，点在轴的负半轴上，的面积等于8． (1)求点的坐标； (2)如图1，点从点出发，沿轴正方向运动，速度为每秒2个单位，设点运动时间为，的面积为，求含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)如图2，若点在上，点在上，与交于点，过点作交直线于点，交轴于点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 39．（24-25八年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，，，（见图1），且 (1)求、的值； (2)①在轴的正半轴上存在一点，使的面积的面积，求出点的坐标； ②在坐标轴的其它位置是否存在点，使的面积的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标； (3)如图2，过点作轴交轴于点，点为线段延长线上的一动点，连接，平分，，当点运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由． 40．（24-25八年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且 (1)请直接写出点的坐标； (2)若动点P从原点O出发，沿x轴以每秒2个长度单位的速度向右运动，在运动过程中形成的的面积是长方形面积的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，点P停止运动后，在y轴上是否存在一点Q，连接，使的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 41．（25-26八年级上·湖北荆州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的负半轴上，的面积等于18． (1)求点的坐标； (2)如图1，点从点出发，沿轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为，试用含的式子表示（表示的面积），并直接写出的取值范围； (3)如图2，若点在上，点在上，与交于点C，过点作交直线于点，交轴于点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 42．（24-25八年级下·山西大同·期中）阅读与思考 利用面积法求直线上点的坐标 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，点，在直线上，求点的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 第一步：过点作轴于点，由，两点的坐标，可直接得出三角形的面积为________； 第二步：过点作轴于点，三角形的面积，三角形的面积为________． ∵三角形的面积三角形的面积三角形的面积， ∴可得关于的一元一次方程为________． 解这个方程，可得点的坐标为________． 【问题迁移】 （2）连接，请仿照（1）中的方法，求点的坐标． 【问题拓展】 （3）若点在直线上，且在轴的左侧，三角形的面积为5，请直接写出点的坐标． 【经典例题八 平面直角坐标系中面积综合】 43．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图所示的坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标依次为A（﹣1，2），B（﹣4，1），C（﹣2，﹣2） （1）请在这个坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）分别写出A1、B1、C1的坐标； （3）求△ABC的面积． 44．（24-25八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）坐标系中，的顶点坐标是． (1)画出关于轴对称后的，并写出坐标． (2)x轴上有一动点P，点与点到P的距离之和的最小值为________； (3)求的面积． 45．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在网格点上． (1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)点C到x轴的距离为 ； (3)将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．请在所给坐标系中画出； (4)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标为 ； (5)求的面积． 46．（24-25八年级下·重庆秀山·期末）已知：A（4，3），B（0，1），C（2，0）． (1)在坐标系中描出各点，画出△ABC； (2)求△ABC的面积； (3)设点M在x轴上，且△BCM与△ABC的面积相等，求点M的坐标． 47．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）在如图的直角坐标系中，将三角形平移后得到三角形，它们的顶点坐标如表所示： 三角形 三角形 (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：三角形向____平移____个单位长度，再向____移_____个单位长度可以得到三角形； (2)写出点，的坐标，并在坐标系中画出平移后的三角形为； (3)计算四边形的面积． 48．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）综合与实践：对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如长方形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤，请你根据以下素材，完成任务． 素材1 在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点，坐标为 顶点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材2 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤：1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等．2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积．3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标．4．代入公式计算：把步骤2和3的相应结果分别代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标，其中． 素材3 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为， 其中． 任务1 求阴影部分图形的重心坐标． 任务2 求阴影部分图形的重心坐标．    1．（24-25八年级下·云南昭通·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2021秒瓢虫在（    ）处 A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，依作点关于直线的对称点，关于y轴的对称点，关于x轴的对称点，关于直线的对称点，关于y轴的对称点，关于x轴的对称点……按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁抚顺·月考）如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度，记点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）《综合与实践活动》探究中发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）定义：任意三点A，B，C的“矩面积”计算方法：“水平底”a是任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如，三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”h＝6，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为20，则______． 7．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为________． 8．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，的坐标为，的坐标为，的坐标为，，的坐标为，的坐标为，的坐标为，，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为，覆盖的整点的个数记为，面积的值记为，覆盖的整点的个数记为，面积的值记为，；则_____．【提示：】 9．（24-25九年级上·广东梅州·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，，．把一条长为个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，求细线另一端所在位置的点的坐标是____． 10．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一个动点从点出发，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点按照上述规律运动下去，则点的坐标为_____． 11．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）（1）写出图中小鱼身上所标各点的坐标； （2）观察点A与点E，点B与点D的位置，看看它们的坐标有什么特点． 12．（2025八年级下·上海长宁·专题练习）如图，已知长方形中，边．以为原点，所在的直线为轴和轴建立平面直角坐标系． (1)点的坐标为，写出两点的坐标； (2)若点从点出发，以2个单位长度/秒的速度向方向移动（不超过点），点从原点出发，以1个单位长度/秒的速度向方向移动（不超过点）．设两点同时出发，在它们移动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 13．（24-25八年级下·重庆合川·期中）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为， 且a是64的立方根， b是36的算术平方根，点B在第一象限内， 点P从原点出发， 以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)求点B的坐标；  当点P移动3.5秒时，求点P的坐标． (2)在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间； (3)在移动过程中，当的面积是10时，求点P移动的时间． 14．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为 ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 15．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践（1）动手、计算：数学活动课上，在边长为1的小正方形组成的网格中建立如图1所示的平面直角坐标系，小明进行了下列操作研究图形的面积计算问题：将点向下平移5个单位长度，得到点，再将点向左平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为：______，的面积为：______；（方法：直接计算） （2）在图2中，线段的端点坐标、，将线段向下平移5个单位长度，得到线段，再将线段向左平移4个单位长度，得到线段，则四边形的面积为：______；（方法：直接计算） 总结规律：平移变换下可直接利用特殊图形的面积公式求面积． （3）在图3中，线段的端点坐标、，将线段向下平移5个单位长度，得到线段，再将线段向左平移4个单位长度，得到线段，则四边形的面积为：______，（方法：间接计算）并写出算式． 总结规律：平移变换下当不容易直接计算图形的面积时，可利用面积的“割补”来完成计算． 学科网（北京）股份有限公司 $