第19章二次根式 知识点分类填空题专题训练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026学年人教版八年级数学下册《第19章二次根式》 知识点分类填空题专题训练（附答案） 一、二次根式及其性质 1．的相反数是 ，绝对值是 ． 2．化简： ． 3．若，则的取值范围为 ． 4．化简：当时， ． 5．化简二次根式 ． 6．已知有理数，满足，则的值为 ． 二、二次根式的乘法与除法 7．计算： ． ． 8．若，则 ． 9．计算： . 10．不等式的解集为 ． 11．三角形的面积为，底边长为，则底边上的高为 ． 12．如图，四边形中，，，，，则四边形的面积为 ． 三、二次根式的加法与减法 13．下列二次根式：①；②；③；④；⑤．其中不能与合并的是 （填序号）． 14．计算： ． 15．若最简二次根式与能进行合并，则 ． 16．计算的结果为 ． 17．已知，则 ． 18．现将一个面积为的正方形的一组对边缩短，就成为一个长方形，这个长方形的面积为 ． 四、分母有理化 19．的倒数是 ；的相反数是 ，绝对值是 ． 20．计算= ． 21．不等式的解集是 ． 22．已知，则的值为 ． 23．阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是 ． 五、复合二次根式的化简 24．化简的结果为 ． 25．若为的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 26．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = ． 六、二次根式的应用 27．已知长方形的长为，面积为，要在这个长方形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积为 ． 28．一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，表示物体的质量，单位是千克，表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名运动员在匀速跑步，他的体重是60千克，若动能是1000焦耳，则该运动员的跑步速度为 米/秒（结果保留根号）． 29．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：即若一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积．现已知的三边长，，分别为，2，，则的面积为 ． 30．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和8，则阴影部分的面积为 ． 参考答案 1． 解： 的相反数是 ； ∵ ， ∴ ，其绝对值为它本身， 即 ； 故答案为：，． 2．解：由题意，，即 ； ；； 当 时，； 故原式 ． 故答案为：． 3． 【分析】根据二次根式的性质，可知，结合已知等式可转化为绝对值不等式求解． 【详解】解：由二次根式的性质，得： ． 已知， ∴． 根据绝对值的非负性，的条件是， ∴． 解不等式得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与绝对值的化简，解题关键是利用将等式转化为绝对值不等式，再根据绝对值的定义确定变量的取值范围． 4． 【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简．由条件且平方根内表达式非负，推出且，再将平方根内的表达式分解为平方因子和非平方因子进行化简，即可求解． 【详解】解：∵，且为实数， ∴， ∵和， ∴，即， ∵， ∴且． ∴． 故答案为：． 5． 【分析】本题考查了二次根式的化简及有意义的条件，解题的关键是先根据二次根式的被开方数非负确定的范围，再将根号外的因式移到根号内化简． 先由得，从而确定的符号；再将变形为负的形式，移到根号内进行化简． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， ，即， ． 原式 ． 故答案为：． 6．8 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数必须是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，从而确定的值，再代入原式求，最后计算的值． 【详解】解：由题意，和均有意义，则被开方数且， 解得且， 所以． 代入原式，． 则． 故答案为：． 7． 【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法运算；根据二次根式的性质以及二次根式的乘法法则进行计算即可求解． 【详解】解： ，   ， 故答案为：，． 8． 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质，正确的计算是解题的关键． 通过简化根式乘法运算，比较等式两边系数和根号内值，求出和的值，再代入计算表达式． 【详解】解：， 又 ， ， 解得：， 又 ， ， 解得：， ， 故答案为：． 9． 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法运算及二次根式的性质是解题的关键；将根式的除法运算转化为乘法，利用二次根式的性质进行简化即可． 【详解】解：； 故答案为：． 10． 【分析】本题考查解一元一次不等式以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键； 先通过移项，然后系数化为1，求解不等式，并简化表达式． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴不等式的解集为：． 11． 【分析】本题考查了二次根式乘除法的应用，三角形的面积公式，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． 利用三角形面积公式求解即可. 【详解】解：设底边上的高为 ， 由题意，得 ， 化简得 ， 解得 . 故答案为：. 12．46 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，利用割补法求面积，二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握以上性质和运算法则． 延长交于点，判定出与为等腰直角三角形，得出相等的边，假设，利用勾股定理表示出斜边，然后利用相等的边求出的值，最后利用割补法求四边形的面积即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴与为直角三角形， ∵， ∴， ∴与为等腰直角三角形， ∴，， 假设， 则根据勾股定理得， ∴， 即， 解得， ∴四边形的面积为， 故答案为：46． 13．②⑤ 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键． 判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，被开方数相同才能合并；化简 =，被开方数为，再逐一化简各选项，比较被开方数即可． 【详解】解：=，被开方数为； ①=，被开方数为，可合并； ②=，被开方数为，不可合并； ③==，被开方数为，可合并； ④，被开方数为，可合并； ⑤=，被开方数为，不可合并． 故答案为：②⑤． 14． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键是先化简二次根式，再按运算顺序计算，最后合并同类二次根式． 先将各二次根式化为最简形式，再计算二次根式的乘法，最后合并同类二次根式． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 15．4 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，根据最简二次根式与可以合并，可得，据此即可求解，掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与能进行合并， ∴， 解得：． 故答案为：4 16． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键． 先将化为，然后根据积的乘方与幂的乘方运算法则，结合平方差公式，进行计算即可解答． 【详解】原式 = = = = = = ． 故答案为：． 17． 2029 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，利用已知条件变形，得到，再通过平方运算求出的值，最后代入原式计算． 【详解】解：∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴． 故答案为：2029． 18．60 【分析】本题考查了正方形及长方形的面积公式、二次根式的混合运算，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 先求出正方形的边长，再根据缩短后的对边长度计算长方形的面积． 【详解】解：正方形的面积为，故边长为 = cm． 将一组对边缩短 cm， 则缩短后的对边长度为 = cm． 另一组对边长度不变，仍为 cm． 因此长方形的面积为 = = = cm²． 故答案为：60． 19． / / 【分析】本题主要考查了分母有理化，求一个数的相反数，倒数和绝对值，乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值是它的相反数，据此逐一求解即可． 【详解】解：的倒数为． 的相反数为． ∵， ∴的绝对值为， 故答案为：；；． 20． 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键． 通过有理化分母，分别简化两个分式，然后相减得到结果． 【详解】解：对于第一项，分子和分母同乘以分母的共轭式： 对于第二项，分子和分母同乘以分母的共轭式： 原表达式为第一项减第二项： ， 故答案为． 21． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤． 首先展开不等式右边，然后移项合并同类项，注意到系数为负，除以负数时不等式方向反转，最后再分母有理化即可． 【详解】解： ∴原不等式的解集为， 故答案为：． 22．18 【分析】本题主要考查了二次根式的分母有理化，利用平方差公式和完全平方公式求解，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化． 先进行二次根式的分母有理化，再整理分式，然后利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：18． 23．2026 【分析】本题考查二次根式化简、代数式求值；先对进行分母有理化，得到，进而得到，平方后得到，然后利用这个关系简化代数式． 【详解】解： ， ∴， 两边平方得，即， ∴． ∴ ． 故答案为：2026． 24．5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 25．/ 【分析】将两个根式分别用完全平方公式进行化简，再代入，即可求解，本题考查了完全平方公式，根式的化简，分母有理化。解题的关键是：熟练掌握配方法，化简根式． 【详解】， ， ，整数部分为， ， ， ， ，整数部分为， ， ， 故答案为：． 26． 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 仿照示例，将表达式化为完全平方形式，再利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：首先将写成，这里，，即，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 27．解：∵长方形的长为，面积为， ∴长方形的宽为， ∵，，， ∴， ∴正方形的最大边长为长方形的宽， ∴正方形的最大面积为． 故答案为：60． 28．解：∵， ∴， 当时，（米/秒）． 故答案为：． 29．解：∵的三边长，，分别为，2，， ∴该三角形的面积 ． 故答案为：． 30．解：长方形内两个相邻的正方形的面积分别为4和8， 大正方形的边长为，小正方形的边长为2， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $