第七章相交线与平行线解答题突破训练2025-2026学年冀教版数学七年级下册

第七章相交线与平行线解答题突破训练2025-2026学年 冀教版七年级下册 板块一：与相交线有关的角度计算 1.如图，已知直线，相交于点，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 2.如图：已知，，，，在同一条直线上. (1)的余角是_________，的补角是_________. (2)如果，求的度数. (3)找出图中所有相等的角（除直角外），并对其中一对相等的角说明理由. 3.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分，，且．求和的度数． 4.如图，直线，相交于点，，垂足为．若，求的度数． 5.如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE． (1)判断OF与OD的位置关系，并说明理由； (2)若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数． 板块二：相交线与平行线之阅读理解填理由题 1.如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（        ）． 又∵（已知）， ∴， ∴（    ）（____________）． 又∵（已知）， ∴， ∴（____________）． 2.如图已知：，，，求的度数. 解：， ________（________） 又， ________ ________（________） ________，（________） ， ________. 3.如图，已知：平分，，，求证：平分 ． 证明：平分(已知)， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴ ， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴ （            ）， （                 ）， ∴ （等量代换）， ∴平分 （    ）． 4.如图，点E在AB上，点F在CD上，AF∥ED，∠A＝∠D，求证：∠B＝∠C． 证明：∵AF∥ED（已知） ∴∠AED+　 　＝180°（ 　 　） ∵∠A＝∠D（已知） ∴　 　+　 　＝180°（ 　 　） ∴　 　（ 　 　） ∴∠B＝∠C（ 　 　） 5.已知：如图，EC⊥AD，FG⊥AD，∠DFG＝∠BCE．求证：∠ACB＝∠D． 证明：∵EC⊥AD，FG⊥AD， ∴∠ECD＝90°，∠FGC＝90°（ 　 　①）． ∴∠ECD+∠FGC＝180°． ∴EC∥FG（ 　 　②）． ∴∠E＝∠DFG（ 　 　③）． 又∵∠DFG＝∠BCE， ∴∠E＝∠BCE． ∴　 　④∥　 　⑤（ 　 　⑥）． ∴∠ACB＝∠D（两直线平行，同位角相等）． 板块三：平行线的判定 1.如图，∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，且∠2＝∠3，求证：BC∥AD． 2.已知：如图∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4． 求证：AB∥CD． 3.如图，已知AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．求证：BE∥DF． 4.如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由． 5.如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF且EC平分∠DEF． （1）求证：AE⊥CE； （2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD． 板块四：平行线线的性质 1.如图，已知，若∠C=40°，∠E=20°，求∠A的度数． 2.如图所示，，，，求的度数． 3.如图，，∠CAD=∠D．求证：AD平分∠BAC． 4.已知AB∥CD，直线MN分别交AB，CD于E、F，∠MFD=50°，EG平分∠MEB，求证：∠MEG的度数为25°． 5.已知AB∥CD，直线MN分别交AB，CD于E、F，∠MFD=50°，EG平分∠MEB，求证：∠MEG的度数为25°． 板块五：平行线的判定与性质综合 1.已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F． (1)求证：DEAC； (2)若∠DEF＝40°，∠B＝35°，求∠BAC的度数． 2.如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°． （1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数； （2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF． 3.如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG． （1）求证：AB∥CD；（2）若∠CED＝75°，求∠FHD的度数． 4.如图所示，已知于点，于点，交于点，交的延长线于点，且问：平分吗？并说明理由． 5.如图，已知点，为四边形的边的延长线上的两点，连接，，作的平分线交的延长线于点．若，，． (1)判断与是否平行？并说明理由； (2)试说明：∠C＝2∠P． 板块六：平行线中的拐点问题 1.有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AD，BC，然后在平行线间画了一点E，连接CE，DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，∠C，∠D与∠DEC之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系． （1）请直接写出图①到图④各图中的∠C，∠D与∠DEC之间的关系吗？ （2）请从图③④中，选一个说明它成立的理由． 2.课题学习：平行线的“等角转化”功能． (1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程． 解：过点A作， ， ， ， ． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图2，已知，求的度数； (3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数． ②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示） 3．如图1，直线分别交，于点E，F（点F在点E的右侧），若． (1)求证：； (2)如图2所示，点M、N在，之间，且位于E，F的异侧，连，若，则，，三个角之间存在何种数量关系，并说明理由． (3)如图3所示，点M在线段上，点N在直线的下方，点P是直线上一点（在E的左侧），连接，，，若，，则请直接写出与之间的数量． 【答案】 第七章相交线与平行线解答题突破训练2025-2026学年 冀教版七年级下册 板块一：与相交线有关的角度计算 1.如图，已知直线，相交于点，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2.如图：已知，，，，在同一条直线上. (1)的余角是_________，的补角是_________. (2)如果，求的度数. (3)找出图中所有相等的角（除直角外），并对其中一对相等的角说明理由. 【答案】(1)； (2) (3)，理由见（1）详解 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的余角是，的补角是， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， （3）解：由（1）得． 3.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分，，且．求和的度数． 【答案】， 【详解】解：∵OE平分，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4.如图，直线，相交于点，，垂足为．若，求的度数． 【答案】150° 【详解】解：，， ， ， ， 答：的度数为． 5.如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE． (1)判断OF与OD的位置关系，并说明理由； (2)若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数． 【答案】(1)OF⊥OD，理由见解析； (2)∠EOF＝60° （1） 解：OF⊥OD， 理由：∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF＝∠FOE， ∵∠DOE＝∠BOD， ∴∠AOF＋∠BOD＝∠FOE＋∠DOE＝×180°＝90°，即∠FOD＝90°， ∴OF与OD的位置关系是OF⊥OD； （2） ∵∠AOC：∠AOD＝1：5， ∴∠AOC＝×180°＝30°， ∴∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°， ∴∠AOE＝120°， ∴∠EOF＝∠AOE＝60°． 板块二：相交线与平行线之阅读理解填理由题 1.如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（        ）． 又∵（已知）， ∴， ∴（    ）（____________）． 又∵（已知）， ∴， ∴（____________）． 【答案】垂直的定义；，对顶角相等；同位角相等，两直线平行． 2.如图已知：，，，求的度数. 解：， ________（________） 又， ________ ________（________） ________，（________） ， ________. 【答案】，两直线平行，同位角相等；；，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补； 3.如图，已知：平分，，，求证：平分 ． 证明：平分(已知)， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴ ， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴ （            ）， （                 ）， ∴ （等量代换）， ∴平分 （    ）． 【答案】；；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；；角平分线的定义 4.如图，点E在AB上，点F在CD上，AF∥ED，∠A＝∠D，求证：∠B＝∠C． 证明：∵AF∥ED（已知） ∴∠AED+　 　＝180°（ 　 　） ∵∠A＝∠D（已知） ∴　 　+　 　＝180°（ 　 　） ∴　 　（ 　 　） ∴∠B＝∠C（ 　 　） 【答案】∠A；两直线平行，同旁内角互补；∠AED；∠D；AB∥CD；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 5.已知：如图，EC⊥AD，FG⊥AD，∠DFG＝∠BCE．求证：∠ACB＝∠D． 证明：∵EC⊥AD，FG⊥AD， ∴∠ECD＝90°，∠FGC＝90°（ 　 　①）． ∴∠ECD+∠FGC＝180°． ∴EC∥FG（ 　 　②）． ∴∠E＝∠DFG（ 　 　③）． 又∵∠DFG＝∠BCE， ∴∠E＝∠BCE． ∴　 　④∥　 　⑤（ 　 　⑥）． ∴∠ACB＝∠D（两直线平行，同位角相等）． 【答案】①垂直的定义；②同旁内角互补，两直线平行；③两直线平行，同位角相等；④DE；⑤BC；⑥内错角相等，两直线平行． 板块三：平行线的判定 1.如图，∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，且∠2＝∠3，求证：BC∥AD． 【答案】证明：∵BE、DF分别是∠ABC和∠ADC的平分线， ∴∠1∠ABC，∠2∠ADC， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠1＝∠2， ∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴BC∥AD． 2.已知：如图∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4． 求证：AB∥CD． 【答案】证明：∵∠1＝∠2＝∠E， ∴AD∥BE，∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE， 即∠BAE＝∠DAC， ∴∠DAC＝∠3， ∴∠3＝∠BAE， ∵∠3＝∠4， ∴∠4＝∠BAE， ∴AB∥CD． 3.如图，已知AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．求证：BE∥DF． 【答案】证明：∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， 即∠3+∠4＝90°， ∵∠1+∠2＝90°，且∠2＝∠3， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠1＝∠4， ∴BE∥DF，理由是：同位角相等，两直线平行． 4.如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由． 【答案】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知）， ∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的性质）， 所以∠BAG＝∠AGC（ 同角的补角相等）， 因为EA平分∠BAG， 所以∠1∠BAG（ 角平分线的性质）， 因为FG平分∠AGC，所以∠2∠AGC， 得∠1＝∠2（等量代换）， 所以AE∥GF（ 内错角相等，两直线平行）． 5.如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF且EC平分∠DEF． （1）求证：AE⊥CE； （2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD． 【答案】证明：（1）∵EA平分∠BEF且EC平分∠DEF， ∴∠2BEF，∠3DEF， ∵∠BEF+∠DEF＝180°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∴AE⊥CE； （2）∵∠1＝∠A，∠4＝∠C， ∴∠1+∠A+∠4+∠C＝2（∠1+∠4）＝180°， ∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠4）＝360°﹣2（∠1+∠4）＝180°， ∴AB∥CD． 板块四：平行线线的性质 1.如图，已知，若∠C=40°，∠E=20°，求∠A的度数． 【答案】∠A=20°． 【详解】解：如图， ∵ABCD， ∴∠1=∠C=40°， ∴∠A=∠1-∠E=40°-20°=20°． 2.如图所示，，，，求的度数． 【答案】 【详解】解：，， ， ， ． 3.如图，，∠CAD=∠D．求证：AD平分∠BAC． 【答案】见解析 【详解】证明：∵ABCD， ∴∠D=∠BAD， ∵∠CAD=∠D， ∴∠CAD=∠BAD， ∴AD平分∠BAC． 4.已知AB∥CD，直线MN分别交AB，CD于E、F，∠MFD=50°，EG平分∠MEB，求证：∠MEG的度数为25°． 【答案】证明：∵AB∥CD， ∴∠MEB=∠MFD=50°， ∵EG平分∠MEB， ∴∠MEG=∠MEB=25°． 5.已知AB∥CD，直线MN分别交AB，CD于E、F，∠MFD=50°，EG平分∠MEB，求证：∠MEG的度数为25°． 【答案】证明：∵AB∥CD， ∴∠MEB=∠MFD=50°， ∵EG平分∠MEB， ∴∠MEG=∠MEB=25°． 板块五：平行线的判定与性质综合 1.已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F． (1)求证：DEAC； (2)若∠DEF＝40°，∠B＝35°，求∠BAC的度数． 【答案】(1)见解析 (2) （1） 解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵∠EAD=∠EDA， ∴∠EDA=∠CAD， ∴； （2） 解：∵EF⊥BD， ∴∠EFD=90°， ∴∠EDF=180°-∠DEF-∠EFD=50°， ∴∠BED=180°-∠B-∠BDE=95°， ∵， ∴∠BAC=∠BED=95°． 2.如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°． （1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数； （2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF． 【答案】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC， ∴∠BHC+∠HBF＝180°， ∴BF∥EC， ∴∠ACE＝∠F＝30°， 又∵CE平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ACE＝60°． 故∠ACB的度数为60°； （2）证明：∵CE平分∠ACB， ∴∠BCE＝∠ACE， ∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G， ∴∠BCE＝∠G， ∴DG∥EC， 又∵BF∥EC， ∴DG∥BF． 3.如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG． （1）求证：AB∥CD；（2）若∠CED＝75°，求∠FHD的度数． 【答案】（1）证明：∵∠D+∠AED＝180°， ∴AB∥CD； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠DGF＝∠EFG， ∵∠C＝∠EFG， ∴∠DGF＝∠C， ∴CE∥GF， ∵∠CED＝75°， ∴∠DHG＝75°， ∴∠FHD＝105°． 4.如图所示，已知于点，于点，交于点，交的延长线于点，且问：平分吗？并说明理由． 【答案】平分，理由见解析 【详解】解：平分． 理由：如图所示 ，， ， ． 又， ∴， 平分． 5.如图，已知点，为四边形的边的延长线上的两点，连接，，作的平分线交的延长线于点．若，，． (1)判断与是否平行？并说明理由； (2)试说明：∠C＝2∠P． 【答案】(1)DEBF，理由见解析 (2)说明见解析 （1） 解：（1）DEBF， 理由是：∵∠3＝∠4， ∴BDCE， ∴∠5＝∠FAB， ∵∠5＝∠C， ∴∠C＝∠FAB， ∴ABCD， ∴∠2＝∠BGD， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BGD， ∴DEBF； （2） ∵ABCD， ∴∠P＝∠PDH， ∵DP平分∠BDH， ∴∠BDP＝∠PDH， ∴∠BDP＝∠PDH＝∠P， ∵∠5＝∠P＋∠BDP， ∴∠5＝2∠P， ∵∠C＝∠5， ∴∠C＝2∠P． 板块六：平行线中的拐点问题 1.有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AD，BC，然后在平行线间画了一点E，连接CE，DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，∠C，∠D与∠DEC之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系． （1）请直接写出图①到图④各图中的∠C，∠D与∠DEC之间的关系吗？ （2）请从图③④中，选一个说明它成立的理由． 【答案】解：（1）①∠C+∠D＝∠DEC； ②∠C+∠D+∠DEC＝360°； ③∠DEC＝∠C﹣∠D； ④∠DEC＝∠D﹣∠C； （2）选图③，过点E作EF∥AD，如图： ∵EF∥AD，AD∥BC， ∴EF∥AD∥BC， ∴∠C＝∠CEF，∠D＝∠DEF， 又∵∠DEC＝∠CEF﹣∠DEF， ∴∠DEC＝∠C﹣∠D． 2.课题学习：平行线的“等角转化”功能． (1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程． 解：过点A作， ， ， ， ． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图2，已知，求的度数； (3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数． ②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【详解】（1）解： ， ，（两直线平行，内错角相等）； 故答案为：； （2）解：过C作， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①过E作， ， ， ， 平分， ， ， 平分， ， ， ， ； ②过E作， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， ． 3．如图1，直线分别交，于点E，F（点F在点E的右侧），若． (1)求证：； (2)如图2所示，点M、N在，之间，且位于E，F的异侧，连，若，则，，三个角之间存在何种数量关系，并说明理由． (3)如图3所示，点M在线段上，点N在直线的下方，点P是直线上一点（在E的左侧），连接，，，若，，则请直接写出与之间的数量． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 (3)，理由见详解 （1） 解：∵，，， ∴， ∴， 得证； （2） 解：，理由如下： 过作，过作， 设，，，， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3） 解：，理由如下： 连接PF，如图3， 即有：，， ∴， ∵，， ∴设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $