专题08：向量的数量积 （知识梳理+8大题型+能力提升） 讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 专题08 向量的数量积 知识点一、投影向量与数量投影 1、向量的夹角：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作＝，＝，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角；记作〈，〉； 【说明】（1）当θ＝〈，〉=0时，与同向；当θ＝π时，与反向； （2）垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作⊥； 2、向量在向量的方向上的投影向量： 设，是两个非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量， ＝，＝，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线， 垂足分别为A1，B1，得到， 我们称上述变换为向量在向量方向上的投影向量，叫做向量在向量上的投影向量； 记为| 【说明】（1）向量在向量上的投影向量是与向量平行的向量； （2）如果向量与向量平行或垂直，向量在向量上的投影向量具有特殊性； （3）由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果； （3）、向量在向量的方向上的数量投影； 其中就是向量在向量的方向上的数量投影； 知识点二、向量的数量积及运算律 1、向量的数量积定义 已知两个非零向量和，它们的夹角是θ，我们把数量||||cos θ叫做向量和的数量积(或内积)， 记作·，即·＝||·||cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2、向量的数量积的运算律 向量数量积的运算律：已知向量，，和实数λ； （1）·＝·； （2）(λ)·＝·(λ)＝λ(·)＝λ·； （3）( ＋)·＝·＋·; 3、数量积的性质： 设，是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 （1）·＝||2或||＝； （2）|·|≤||||； （3）⊥⇒·＝0； （4）·＝·＝||cos θ. （5）当∥时，·b＝特别地，·＝||2或||＝； （6）|·|≤|||b|； （7）cos θ＝； 【说明】（1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写． （2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. （3）·＝0不能推出和中至少有一个零向量． （4）||＝是求向量的长度的工具． （5）区分0·＝0与0·＝. （6）·>0是与的夹角为锐角的必要不充分条件；·<0是与的夹角为钝角的必要不充分条件． 4、向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立.以上结论可作为公式使用. （6）若两非零向量，的夹角为锐角⇔·＞0且·≠||||； 两非零向量，的夹角为钝角⇔·＜0且·≠－|||. 提醒：求两向量的夹角时，要注意θ∈[0，π]； 题型01：求向量数量积 【例1】已知和的夹角为，且，则（    ） A．1 B． C．3 D．-1 【例2】（24-25七宝中学高一下期中）已知中的边，，，若为边上的动点，则________． 【跟踪训练】 1. （24-25上外附中高一下期中）等边的边长是2，则______. 2．设向量、的夹角的余弦值为，且，，则 . 3. （24-25闵行区高一下期中）如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为_____． 题型02：向量夹角问题 【例3】（24-25金山中学高一下期中）已知，若，则向量与的夹角的余弦值为__________. 【跟踪训练】 1．若向量、满足，，且，则与夹角的余弦值为 . 2．已知向量，满足，，，则______ 3.已知非零向量满足，则向量与的夹角为_____. 4.已知平面向量满足：，记向量与向量的夹角为，则的值为_____． 题型03：向量模的有关问题 【例4】若，，，则 ； ； ； ； . 【例5】若均是单位向量，且，则（ ） A. B. 7 C. D. 6 【例6】已知是单位向量，，若，则的最大值是 ． 【跟踪训练】 1. （24-25上外附中高一下期中）已知向量，，，的夹角为，则______. 2. （24-25上海市西中学高一下期中）设 、 为夹角为 的单位向量，求 _____. 3．已知平面向量，的夹角为，若，则的值为 . 4. （24-25七宝中学高一下期中）已知，，则的最大值为________． 题型04：已知向量模或夹角求参数 【例7】 （24-25金山中学高一下期中）已知正方形ABCD边长为2，且，，则__________． 【例8】（24-25闵行区高一下期中）已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是_____． 【跟踪训练】 1．已知在同一平面上的3个单位向量，它们相互之间的夹角均为，且，则实数k的取值范围是 . 2.已知，是互相垂直的单位向量．若与的夹角为，求实数的值． 3.已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 4.已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 题型05：平面向量的垂直问题 【例9】（24-25上外附中高一下期中）已知，，且，则的值为______. 【跟踪训练】 1．已知均为非零向量，且与垂直，与垂直，则与的夹角为 ． 2．已知向量的夹角为，且，，若与向量垂直的非零向量满足（其中，则（    ） A． B．1 C．6 D． 3．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知，，且与的夹角为， (1)求的值， (2)若，求的值． 4.已知向量，，，满足，且，，． (1)求与的夹角； (2)是否存在实数使与垂直？ 题型06：向量的投影与数量投影 【例10】（24-25上外附中高一下期中）已知 则在上的投影向量为______ 【例11】已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为 . 【跟踪训练】 1. （24-25闵行区高一下期中）已知，，且在上的数量投影为，则_____． 2.已知平面向量满足，，，则在上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 3. （24-25建平中学高一下期中）已知，向量在向量方向上的数量投影为，则________ 4. （24-25上师大附中闵行分校高一下期中）已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 _____(结果用数值表示) 5. （24-25上海大学附中高一下期中）已知、的夹角为，设，则在上的数量投影为___． 题型07：平面向量数量积的最值 【例12】如图，以边长为1的正方形的各边为基准向外作正三角形，构成八边形.若点、在八边形的内部（含边界），则的最小值为_____. 【例13】 设平面上四点、、、满足：，，若，则的最小值为________. 【例14】（24-25奉贤中学高一下期中）已知，，.若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的最大值为______. 【例15】（24-25七宝中学高一下期中）已知平面向量，，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是______． 题型08：综合提升 【例16】（24-25上师大附中闵行分校高一下期中）已知，，． （1）求向量与的夹角； （2）当向量与的模相等时，求实数的值． 【例17】（24-25上海市西中学高一下期中）已知两个不共线的平面向量，记. （1）若，求的值. （2）若时，，求的夹角. 【例18】（24-25七宝中学高一下期中）已知向量，满足，，设与的夹角为， （1）当时，求与的夹角； （2）若对任意实数，不等式恒成立，求的值． 【例19】（24-25金山中学高一下期中）设是两个不共线的非零向量 （t∈R） （1）记，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？ （2）若且与夹角为，那么实数x为何值时的值最小？ 一、填空题 1.等边三角形中，与的夹角为______ 2.已知非零向量在向量上的投影向量为，，则______ 3.已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于______ 4.如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 . 5.已知，，，则______ 6.已知平面向量，，的夹角为，，则实数=____ 7.已知向量，满足，，则与的夹角为_____ 8.已知平面向量，，若，则实数_____ 9.已知向量，满足，，且，则 . 10.已知且，则向量在向量上的投影向量为_______ 11.已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则____ 12.已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 二、选择题 13．下列各式中正确的个数是（    ） ①；②；③；④若，则；⑤若，则或． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14. 已知向量满足，则在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 15.设，是两个非零向量，则“与的夹角为钝角”是“·<0”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 16.如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3、 解答题 17. 已知点、. （1）求的单位向量； （2）求向量与夹角的余弦值. 18．已知的夹角为，，，， (1)若，求实数t的取值范围； (2)是否存在实数t，使得，若存在，求实数t. 19. （24-25上海大学附中高一下期中）设与均为单位向量. （1）若，求向量与的夹角； （2）若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值. 20.平面上的两个非零向量，满足. (1)当时，求正实数t的值； (2)用表示，夹角余弦值的取值范围. 21.在中，满足：，是的中点. (1)若，求向量与向量的夹角的余弦值； (2)若是线段上任意一点，且，求的最小值； (3)若点是内一点，且，，，求的最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 专题08 向量的数量积 知识点一、投影向量与数量投影 1、向量的夹角：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作＝，＝，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角；记作〈，〉； 【说明】（1）当θ＝〈，〉=0时，与同向；当θ＝π时，与反向； （2）垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作⊥； 2、向量在向量的方向上的投影向量： 设，是两个非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量， ＝，＝，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线， 垂足分别为A1，B1，得到， 我们称上述变换为向量在向量方向上的投影向量，叫做向量在向量上的投影向量； 记为| 【说明】（1）向量在向量上的投影向量是与向量平行的向量； （2）如果向量与向量平行或垂直，向量在向量上的投影向量具有特殊性； （3）由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果； （3）、向量在向量的方向上的数量投影； 其中就是向量在向量的方向上的数量投影； 知识点二、向量的数量积及运算律 1、向量的数量积定义 已知两个非零向量和，它们的夹角是θ，我们把数量||||cos θ叫做向量和的数量积(或内积)， 记作·，即·＝||·||cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2、向量的数量积的运算律 向量数量积的运算律：已知向量，，和实数λ； （1）·＝·； （2）(λ)·＝·(λ)＝λ(·)＝λ·； （3）( ＋)·＝·＋·; 3、数量积的性质： 设，是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 （1）·＝||2或||＝； （2）|·|≤||||； （3）⊥⇒·＝0； （4）·＝·＝||cos θ. （5）当∥时，·b＝特别地，·＝||2或||＝； （6）|·|≤|||b|； （7）cos θ＝； 【说明】（1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写． （2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. （3）·＝0不能推出和中至少有一个零向量． （4）||＝是求向量的长度的工具． （5）区分0·＝0与0·＝. （6）·>0是与的夹角为锐角的必要不充分条件；·<0是与的夹角为钝角的必要不充分条件． 4、向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立.以上结论可作为公式使用. （6）若两非零向量，的夹角为锐角⇔·＞0且·≠||||； 两非零向量，的夹角为钝角⇔·＜0且·≠－|||. 提醒：求两向量的夹角时，要注意θ∈[0，π]； 题型01：求向量数量积 【例1】已知和的夹角为，且，则（    ） A．1 B． C．3 D．-1 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】利用向量数量积的运算律及数量积的定义即得. 【详解】因为和的夹角为，，， 所以. 故选：D. 【例2】（24-25七宝中学高一下期中）已知中的边，，，若为边上的动点，则________． 【答案】 【分析】利用基底表示出，结合数量积的运算可得答案. 【详解】依题意设。， 则，， 所以 因为， 所以， 所以. 故答案为：2 【跟踪训练】 1. （24-25上外附中高一下期中）等边的边长是2，则______. 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的计算公式直接求解即可. 【详解】因为等边的边长是2，与的夹角为， 所以， 故答案为： 2．设向量、的夹角的余弦值为，且，，则 . 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的定义求出的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以. 故答案为：. 3. （24-25闵行区高一下期中）如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据三点共线的性质可得，结合向量的数量积运算即可求解. 【详解】因为三点共线，且是上的三等分点， 由三点共线的性质可得， 同理因为三点共线，且是上的三等分点， 可得， 所以 . 故答案为：. 题型02：向量夹角问题 【例3】（24-25金山中学高一下期中）已知，若，则向量与的夹角的余弦值为__________. 【答案】## 【分析】设向量与的夹角为，根据向量垂直运算可得答案. 【详解】设向量与的夹角为， 若，则， 所以， 可得. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．若向量、满足，，且，则与夹角的余弦值为 . 【答案】 【分析】由向量垂直、向量数量积的定义和运算律可求得结果. 【解析】因为，所以， ，所以， 可得. 故答案为：. 2．已知向量，满足，，，则______ 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】计算、，再利用向量的夹角公式计算. 【详解】由题意得，，， 所以． 3.已知非零向量满足，则向量与的夹角为_____. 【答案】/ 【分析】由可得，由可得，利用平面向量数量积的定义求解夹角即可. 【详解】因为，所以，展开整理得， 由得，所以， 所以，则， 设向量与的夹角为，则， 又，所以． 4.已知平面向量满足：，记向量与向量的夹角为，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据数量积的运算律求，，，再结合向量夹角公式求结论. 【详解】， ， ， 所以． 故答案为：. 题型03：向量模的有关问题 【例4】若，，，则 ； ； ； ； . 【答案】 13 37 【分析】利用平面向量的数量积运算求解. 【解析】解：因为，，， 所以； ； ； ； ； 故答案为：；13；37；；. 【例5】若均是单位向量，且，则（ ） A. B. 7 C. D. 6 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算律，准确计算，即可求解. 【详解】由向量均是单位向量，且， 则， 所以. 故选：A. 【例6】已知是单位向量，，若，则的最大值是 ． 【详解】由及， 将两边平方得， 则，，而， 所以，当且仅当向量与反向共线时取等号， 所以的最大值是. 故答案为： 【跟踪训练】 1. （24-25上外附中高一下期中）已知向量，，，的夹角为，则______. 【答案】 【分析】根据向量的模长公式即可求解. 【详解】， 故答案为：. 2. （24-25上海市西中学高一下期中）设 、 为夹角为 的单位向量，求 _____. 【答案】 【分析】根据，结合数量积的运算求解，即得答案. 【详解】由于 、 为夹角为 的单位向量， 故， 故答案为： 3．已知平面向量，的夹角为，若，则的值为 . 【答案】 【分析】利用平面向量的数量积与模长公式建立方程计算即可. 【解析】由两边平方得， 即， 即，解得. 故答案为：. 4. （24-25七宝中学高一下期中）已知，，则的最大值为________． 【答案】6 【分析】根据向量模长的三角不等式求解即可． 【详解】，当且仅当与同向时取等号， 故答案为：6． 题型04：已知向量模或夹角求参数 【例7】 （24-25金山中学高一下期中）已知正方形ABCD边长为2，且，，则__________． 【答案】##0.5 【分析】由平面向量的线性运算及数量积运算即可求解． 【详解】由题意，，则， 所以，， 所以 ， 解得． 故答案为：． 【例8】（24-25闵行区高一下期中）已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量夹角为锐角，即且不共线，列出不等式求解作答. 【详解】由题，可得且不共线， ，且，即且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．已知在同一平面上的3个单位向量，它们相互之间的夹角均为，且，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过平方将向量的模转化为数量积，解不等式可得. 【解析】因为为单位向量，且相互之间的夹角均为 所以， 因为 所以 即，解得或 即实数k的取值范围是. 故答案为： 2.已知，是互相垂直的单位向量．若与的夹角为，求实数的值． 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出的值. 【详解】因为， 所以，解得． 3.已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于求向量的模长，可先对其平方，再利用向量数量积运算求解； （2）对于两向量夹角为锐角的问题，可根据向量数量积大于且两向量不同向共线来确定参数的取值范围. 【详解】（1）对先平方可得： 展开得： 因为，为单位向量，所以，则，. 又因为与的夹角为，可得： 将，，代入可得： 所以. （2）因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向共线. 可得： 将，，代入上式可得： 整理得：，即，得：，解得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以可得，将代入得，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 4.已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）由数量积的定义、投影向量的定义即可求解； （2）由题意当且仅当向量与的数量积大于0且不共线，进一步列不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， 所以在方向上的投影向量为； （2）若向量与的夹角为锐角， 则当且仅当向量与的数量积大于0且不共线， 而与的夹角为，即与可以视作平面内的一组基底向量， 所以，且， 解得或， 故所求为. 题型05：平面向量的垂直问题 【例9】（24-25上外附中高一下期中）已知，，且，则的值为______. 【答案】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得，结合已知求参数值. 【详解】由题设，即. 故答案为： 【跟踪训练】 1．已知均为非零向量，且与垂直，与垂直，则与的夹角为 ． 【答案】/ 【分析】根据向量垂直的条件以及向量的夹角公式计算即可． 【解析】解：设与的夹角为， 非零向量，满足与互相垂直，与互相垂直， ，， ，， ，， ， 又， 故答案为： 2．已知向量的夹角为，且，，若与向量垂直的非零向量满足（其中，则（    ） A． B．1 C．6 D． 【答案】D 【分析】由向量垂直数量积为0建立方程，由数量积公式求出向量的数量积和，代入方程后得到. 【解析】由，，得． 又，， 所以，整理，得． 故选：D． 3．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知，，且与的夹角为， (1)求的值， (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)3 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】（1）根据数量积的定义可得，再结合数量积的运算律运算求解即可； （2）根据题意可得，再结合数量积的运算律运算求解即可. 【详解】（1）因为，，且与的夹角为，则， 所以. （2）由（1）可知：，，， 若，则， 可得，即，解得. 4.已知向量，，，满足，且，，． (1)求与的夹角； (2)是否存在实数使与垂直？ 【答案】(1) (2)存在 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】（1）由已知得，再平方后由数量积的定义求解； （2）利用求得即可. 【详解】（1）， ，， ，即， ． 又， ， ，又，所以； （2）若，则， 即， ，， ∴存在使得与垂直． 题型06：向量的投影与数量投影 【例10】（24-25上外附中高一下期中）已知 则在上的投影向量为______ 【答案】 【分析】根据投影向量的公式即可得解. 【详解】因为，且 所以在 上的投影向量为 . 故答案为： . 【例11】已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解． 【解析】，，， 则，解得， 故， 故向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 【跟踪训练】 1. （24-25闵行区高一下期中）已知，，且在上的数量投影为，则_____． 【答案】 【分析】根据平面向量数量投影的概念可得的值，再根据数量积与模长的关系求解即可. 【详解】因为，， 又在上的数量投影为，则， 所以. 故答案为：. 2.已知平面向量满足，，，则在上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 【详解】设， 因为， 所以，解得， 所以在上的投影数量为， 3. （24-25建平中学高一下期中）已知，向量在向量方向上的数量投影为，则________ 【答案】 【分析】利用平面向量数量投影的定义可求得的值，结合向量夹角的定义可求得的值. 【详解】由题意可知，向量在向量方向上的数量投影为， 可得， 因为，故. 故答案为：. 4. （24-25上师大附中闵行分校高一下期中）已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 _____(结果用数值表示) 【答案】 【分析】根据投影向量的概念结合已知条件，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，向量 在向量 方向上的投影向量为， 所以有. 故答案为：. 5. （24-25上海大学附中高一下期中）已知、的夹角为，设，则在上的数量投影为___． 【答案】##1.5 【分析】由分别表示在、方向上的单位向量，结合已知可得且、的夹角为，进而可求在上的数量投影. 【详解】由分别表示在、方向上的单位向量，且、的夹角为， 由知：且、的夹角为， 所以在上的数量投影为. 故答案为： 题型07：平面向量数量积的最值 【例12】如图，以边长为1的正方形的各边为基准向外作正三角形，构成八边形.若点、在八边形的内部（含边界），则的最小值为_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的几何意义，结合几何图形求出最小值. 【详解】要使取到最小值，则的夹角为钝角或平角，且它们的模尽可能的大， 因此点应在八边形边界上，由对称性不妨取点为点， 则点在直线上的投影在的延长线， 当点与重合时，在上的投影向量的模最大，且与方向相反， 此时取得最小值，，， ， 所以. 故答案为： 【例13】 设平面上四点、、、满足：，，若，则的最小值为________. 【答案】 【分析】首先分析向量关系，建立平面直角坐标系，设点的坐标，根据已知条件得到，消去m得到，借助三角函数的值域得到的取值范围，最后最后求的最小值即可. 【详解】已知，则这两个向量垂直，所以. 则Q再以MN为直径的圆上. 以原点O建立平面直角坐标系，设，，，. 由，可得，对于， 从解出，代入中，经过化简可以得到. 将代入，得到，进一步变形为. 因为，所以. 当时，解方程， 令，则方程变为，可得. 因为，所以（舍去），则； 当时，，，或者， 又因为且存在其他条件限制，所以. 因为，当取最小值时，. 故答案为：. 【例14】（24-25奉贤中学高一下期中）已知，，.若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的最大值为______. 【答案】 【分析】问题化为，应用向量数量级的运算律及二次函数的性质求最小值，即可得. 【详解】对任意的实数，不等式恒成立，即， 由， 对称轴，所以，所以. 故答案为： 【例15】（24-25七宝中学高一下期中）已知平面向量，，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是______． 【答案】## 【分析】由题意画出图形，知，在以为直径的圆上，过作，交于，交圆于，在上的射影最长为，，设，则，，可得，代入．整理后利用二次函数求最值． 【详解】如图， 设，， 若对任意实数，都有，成立， 则，在以为直径的圆上，过作，交于，交圆于， 在上的射影最长为， ． 设，则，， ， ， 则当时，有最大值为． 故答案为：. 题型08：综合提升 【例16】（24-25上师大附中闵行分校高一下期中）已知，，． （1）求向量与的夹角； （2）当向量与的模相等时，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）利用数量积的性质及运算律求出，再利用夹角公式计算作答； （2）利用向量的模相等，两边同时平方，由数量积的运算律求解的值. 【小问1详解】 因，，， 则有，解得， 因此，而，于是得， 所以向量与的夹角. 【小问2详解】 由，则， 即，得，解得或. 【例17】（24-25上海市西中学高一下期中）已知两个不共线的平面向量，记. （1）若，求的值. （2）若时，，求的夹角. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由题意意可得，利用向量相等可求； （2）由，可求得，利用向量的夹角公式可求的夹角. 【小问1详解】 因为，不共线，所以为非零向量，所以由可得存在，使得， 即， 所以，解得； 【小问2详解】 当时，，又， 所以， 又，所以，解得， 所以，又，所以， 所以的夹角为. 【例18】（24-25七宝中学高一下期中）已知向量，满足，，设与的夹角为， （1）当时，求与的夹角； （2）若对任意实数，不等式恒成立，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出，再利用夹角公式即可得解； （2）把不等式两边平方，将问题转化为一元二次不等式恒成立问题，即可得解. 【小问1详解】 向量，满足，，设与的夹角为， 所以， ，则， 则， 故与夹角为. 【小问2详解】 将不等式两边同时平方， 得， 即 因为，与的夹角为， 则恒成立， 所以， 化简得，解得． 【例19】（24-25金山中学高一下期中）设是两个不共线的非零向量 （t∈R） （1）记，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？ （2）若且与夹角为，那么实数x为何值时的值最小？ 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由三点A，B，C共线，必存在一个常数t使得，由此等式建立起关于λ，t的方程求出t的值； （2）由题设条件，可以表示成关于实数x的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的x的值． 【小问1详解】 由三点A，B，C共线，必存在一个常数使得， 则有， 又， ，又是两个不共线的非零向量， 解得， 故存在时，A、B、C三点共线； 【小问2详解】 且两向量的夹角是120°， ， ∴当时，的值最小为. 一、填空题 1.等边三角形中，与的夹角为______ 【分析】根据平面向量夹角的定义可得结果. 【详解】解：延长到，则为与的夹角，所以，与的夹角为．    2.已知非零向量在向量上的投影向量为，，则______ 【分析】由投影向量的求法得，再应用向量数量积的运算律求结果. 【详解】非零向量在向量上的投影向量为，， 则，所以， 故． 3.已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于______ 【分析】设的中点为D，由题意可得，由等边的边长为2，可得， ，最后由，求解即可. 【详解】解：设的中点为D，则． 因为， 所以． 因为等边的边长为2， 则，所以． 所以． 4.如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 . 【答案】 【分析】用表示出，然后根据向量数量积的运算性质求解可得. 【详解】因为为上靠近于C的三等分点，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故答案为： 5.已知，，，则______ 【分析】对 两边平方可得答案. 【详解】因为，，， 所以. 6.已知平面向量，，的夹角为，，则实数=____ 【分析】对两边平方，再由数量积公式计算可得答案. 【详解】因为，所以， 即，解得. 7.已知向量，满足，，则与的夹角为_____ 【分析】利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可. 【详解】已知，，设与的夹角为， 由， 解得，则与的夹角． 8.已知平面向量，，若，则实数_____ 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求出的值. 【详解】因为， 所以. 因为，所以 所以. 解得. 9.已知向量，满足，，且，则 . 【答案】 【分析】根据向量垂直的数量积表示，求出向量的数量积即可. 【详解】由得，， 化简得，因为，， 所以，解得. 故答案为：. 10.已知且，则向量在向量上的投影向量为_______ 【分析】根据投影向量的定义即可求解． 【详解】因为且， 所以向量在向量上的投影向量为． 11.已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则____ 【分析】由题意知，由投影向量公式解得，然后由向量的数量积公式求得结果. 【详解】由题意可知，且， ∴， ∴. 12.已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 【答案】且 【分析】由两向量的夹角为锐角得两向量的数量积大于0且两向量不共线求解即可． 【详解】因， 由，解得， 若与的夹角为锐角， 则，且与不共线， 由，即，解得， 由与不共线，可得， 故实数的取值范围为且. 故答案为：且. 二、选择题 13．下列各式中正确的个数是（    ） ①；②；③；④若，则；⑤若，则或． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】对①，根据数量积运算律即可判断；对②，由数量积为实数结合共线向量来判断；对③，由数量积运算的运算律可判断；对④，将等式整理为，进而判断；对⑤，由数量积为，可知两向量的位置关系，进而判断. 【解析】对①，由数量积的运算律知①正确； 对②，设，（，为实数且不为）， 若，则， 当与不共线时，等式不成立，故②错误； 对③，由数量积运算的运算律可得③正确； 对④，若，则，所以，故④错误； 对⑤，若，则，无法说明一定满足或，故⑤错误. 综上，正确的为①③， 故选：A 14. 已知向量满足，则在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律可得，再根据投影向量公式可求投影向量. 【详解】设向量的夹角为，因为，可得， 所以在的投影向量为. 故选：B. 15.设，是两个非零向量，则“与的夹角为钝角”是“·<0”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】结合平面向量数量积的定义，根据充分必要条件的定义判断. 【详解】当与的夹角为钝角时，，充分性满足， 但当与的夹角时，，必要性不满足， 因此是充分不必要条件， 故选：A. 16.如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，，结合数量积运算性质即可求解. 【详解】过点作，垂足为， ， 又，且共线同向， 所以 故选：B 3、 解答题 17. 已知点、. （1）求的单位向量； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算及单位向量的定义求解. （2）利用向量数量积的定义及夹角公式求解. 【小问1详解】 由点、，得， 则 【小问2详解】 依题意，、， 则，， ，， 所以向量与夹角的余弦值为. 18．已知的夹角为，，，， (1)若，求实数t的取值范围； (2)是否存在实数t，使得，若存在，求实数t. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由列式求得值； （2）利用共线向量定理列式求解即可. 【解析】（1），的夹角为，且，， . 由，得 ，解得； （2）由，得， 即，解得 所以存在实数，使得. 19. （24-25上海大学附中高一下期中）设与均为单位向量. （1）若，求向量与的夹角； （2）若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据向量数量积的定义及运算性质，利用向量的夹角公式求解； （2）根据向量的模可得，利用重要不等式求解． 【小问1详解】 因为与均为单位向量，， 所以， 又， 所以， 又，所以． 【小问2详解】 因为，与的夹角为与均为单位向量， 所以， 即，所以， 解得，所以， 当且仅当时等号成立，即的最大值为 20.平面上的两个非零向量，满足. (1)当时，求正实数t的值； (2)用表示，夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1)1； (2)答案见解析. 【知识点】垂直关系的向量表示、向量夹角的计算、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】（1）根据已知及向量数量积的运算律化简得，即可得求参数； （2）设，，与的夹角为，应用向量数量积的定义和运算律得，讨论参数及基本不等式求余弦值的范围. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以正实数t的值为1. （2）设，，与的夹角为， 由得，， 则有， 则有，即①， 若，由①式得，， 若，由①式得，当且仅当时等号成立，则（当向量，同向时可取1）， 若，由①式得，当且仅当时等号成立，故（当向量，反向时可取），. 综上， 当时，； 当时，； 当时，. 21.在中，满足：，是的中点. (1)若，求向量与向量的夹角的余弦值； (2)若是线段上任意一点，且，求的最小值； (3)若点是内一点，且，，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量数量积的变形公式直接求解即可； （2）由题得到，设，则，利用向量的数量积公式直接求解，根据二次函数求最值即可； （3）设，，则，由条件求得，，则化简所求为，即可求出最小值. 【详解】（1）根据题意，在中，有，且， 则， 又， 又， 故. （2）因为， 所以，. 设，则，而， 则 ， 当且仅当时，的最小值是. （3）根据题意，设，，则， 若，则，变形可得. 同时，，则，即， 则有 . 又由，则， 由三角函数的性质，当，，， 则，变形可得：， 故的最小值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $