专题03：解三角形 （知识梳理+9大题型+能力提升）培优讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 专题03 解三角形 知识点一、正弦定理 1、正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则有 ==. 若△ABC外接圆半径为，则有===2R 2、正弦定理常见变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； 3、三角形的边角关系： 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 知识点二、余弦定理 对三角形，角A对应的边为，角B对应的边为，角C对应的边为 余弦定理公式：；；． 推论： 知识点三、解三角形 1、解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2、余弦定理在解三角形中的应用 （1）利用余弦定理求边跟角： 已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； 已知三边，求三角形的三个角. （2）判断三角形形状 将已知的边角关系全部化为纯边的关系式（利用余弦定理将角换成边），然后进行代数恒等变形。 若 ，则 （勾股定理逆定理）。 若 ，则 （锐角）。 若 ，则 （钝角）。 (3) 求三角形边长或角的范围 结合余弦定理与基本不等式（如 ）或二次函数性质，确定边或角的取值范围。 3、正弦定理在解三角形中的应用 0. 已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 0. 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （3）在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者sin的齐次式，可以考虑用正弦定理。 0. 三角形中的射影定理：在△ABC中，；； 知识点四、三角形的面积公式 1、 2、（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） 知识点五、三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时： 若A为直角或者钝角时： 知识点六、解三角形中的重要模型（拓展） 1．中线模型 (1)中线长定理：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则. (2)向量法：. 2．倍角模型 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1：； 推论2：. 3．角平分线模型 角平分线张角定理：如图，为平分线，则. 斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积-下积． 4．等分点模型 如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接.易知∥，且，，． 题型01：正弦定理解三角形 【例1】已知中，，则___________. 【答案】2或4 【详解】 ，，， 或 当时，， ， 当时，， 为等腰三角形，故 故答案为：2或4. 【例2】在非等边斜三角形中，为的外接圆半径，为的面积，下列式子中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 对于A，利用诱导公式化简已知可得2cos2cos1＝0，解方程可解得cos的值，可求范围∈（0，），即可判断； 对于B，利用SabsinC＝2R2sinAsinBsinC判定； 对于C，利用tanA＝﹣tan（B+C），计算即可； 对于D，利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求A＝B＝C，结合已知即可判断得解． 【详解】 解：对于A，因为sinsin（）＝cos， 若cosA＝sin，则可得2cos2cos1＝0，解得cos1，或， 因为A∈（0，π），可得∈（0，），可得cos∈（0，1），故错误； 对于B，SabsinC•2RsinA•2RsinB•sinC＝2R2sinAsinBsinC，故错误； 对于C，因为△ABC为非直角三角形，所以tanA＝﹣tan（B+C）， 则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，故正确； 对于D，若，则，即tanA＝tanB＝tanC，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，由于△ABC为非等边斜三角形，故错误． 故选：C． 【例3】若的三个内角，，且面积，则该三角形的外接圆半径是______. 【答案】 【详解】由题： 设三角形外接圆半径为R（），根据正弦定理和三角形面积公式： 即， 解得：. 【例4】在锐角三角形中，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】 首先通过余弦定理对已知条件化简整理，得出、、之间的关系，然后再对化简整理，并结合正弦定理和、、之间的关系即可求解. 【详解】 由余弦定理可知，，从而可得， ， 即且， 又∵， 由正弦定理可知，. 故答案为：4. 【跟踪训练】 1.在中，角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为，所以． 故选：C. 2.在中，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】或 3.在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 4.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角C为，且．（1）求的值；（2）若的内切圆的半径，求的面积． 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：（1），， ， 由正弦定理得， ， ． （2）由（1）知，，， 设的内切圆圆心为，与圆相切于点，与圆相切于点， 在中，， ， ， 的面积． 题型02：余弦定理解三角形 【例5】在中，若，则=______ 【答案】 【详解】由得，， ， ， ，而， 故，即， ，而中，，故. 故答案为：. 【例6】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】 由正弦定理角化边，即可得到，从而得到，再由余弦定理求出，最后由同角三角函数的基本关系计算可得； 【详解】 解：因为，即，由正弦定理可得， 又，即，即， 由余弦定理，即， 所以， 所以； 故答案为： 【跟踪训练】 1.在中，已知，，，则边的值为（   ） A． B． C．或 D．不存在 【答案】C 【分析】根据余弦定理计算即可求解. 【详解】由余弦定理可得，即， 化简得，解得或， 经检验，均符合题意，故边的值为或. 故选：C 2.边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设中间角为，则为所求 3.若的三边满足，则最小的内角为______. 【答案】 【详解】因为，所以设，，， 所以，，，又，所以为最小内角， 由余弦定理，得， 所以，即最小的内角为. 故答案为：. 4.在中，角的对边分别为，且，则的值为______ 【解析】因为， 所以，由正弦定理与余弦定理得，化简得. 5.在中，角的对边分别为，若，则______ 【解析】由正弦定理，得， 又，所以， 所以，因为，所以或， 题型03：正余弦定理判断三角形形状 【例7】在中，，则为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 【答案】C 【解析】为钝角 【例8】中，分别表示三个内角的对边，如果，判断三角形的形状 【答案】等腰三角形或直角三角形 【解析】方法一：由已知得 所以 由正弦定理，得 所以 所以 即等腰三角形或直角三角形 方法二：同方法一可得，由正、余弦定理，即得 所以等腰三角形或直角三角形 【例9】如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ） A．和都是锐角三角形 B．和都是钝角三角形 C．是钝角三角形，是锐角三角形 D．是锐角三角形，是钝角三角形 【答案】D 【解析】的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形， 若是锐角三角形，由，得， 那么，，矛盾，所以是钝角三角形。故选D。 【跟踪训练】 1.在中，若，则的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【答案】C 【解析】方法一： 又∵，∴∴ 方法二：由得，∴ 2.（2021·上海市七宝中学高一期中）在△中，已知，则△的形状为（       ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】 由、，结合已知及两角和差正弦公式可得，根据三角形内角的性质即可判断△的形状. 【详解】 由题意，， ∴或， ∵，， ∴或. 故选：D 3.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（       ） A．等腰非等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】由条件可得，由正弦定理结合三角形中有，利用正弦的和角公式可得，从而可得出答案. 【详解】 由，可得，所以， 所以. 在中，，故， 因为，所以，因为，所以， 故为直角三角形. 故选：B 4.若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【解题思路】利用二倍角公式将已知等式化为 ，然后利用正弦定理边角互化得，进而求得，即可判断. 【解答过程】利用二倍角公式将已知等式化为， 即 ，由正弦定理得，即，所以， 所以是直角三角形. 故选：A. 5.已知钝角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)若 ，证明：是等腰三角形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由正弦定理、二倍角公式及两角和差的余弦公式化简得到，即可求解； （2）利用余弦定理得到，结合得到，即可证明. 【解答过程】（1）由和正弦定理， 可得 因为， 所以， 即得，即. 又因是钝角三角形，，故， 因，即. （2）由，及余弦定理得： 解得， 又，解得， 所以是等腰三角形. 题型04：正弦定理判定三角形解的个数 【例10】已知在中，、、分别为角、、的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】 【分析】 利用正弦定理求出的值，结合大边对大角定理可判断各选项. 【详解】 对于A选项，由正弦定理可得，且，故有两解； 对于B选项，由正弦定理可得，且，故只有一解； 对于C选项，由正弦定理可得，故无解； 对于D选项，因为，则角为的最大内角，且，故无解. 故选：B. 【例11】在△中，角、、所对的边分别为、、，若，，且该三角形有唯一解，则的取值范围为________. 【答案】 【详解】 因为，，由正弦定理得， 要使三角形有唯一解，则或，所以或， 即或，解得或. 故答案为：. 【例12】在三角形ABC中（A点在BC上方），若，，BC边上的高为h，三角形ABC的解的个数为n，则以下错误的是（       ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】 作出外接圆如图所示，根据题意可求出外接圆的半径为2，然后结图形判断即可 【详解】 作出外接圆如图所示， 因为， 所以的外接圆半径为 因为，所以，， 所以当时，最大为3，此时是唯一的，所以B正确，A正确， 当时，由圆的对称性可知，此时， 所以C错误，D正确， 故选：C 【跟踪训练】 1.在中，，，若该三角形有两个解，则边范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为三角形有两个解，所以， 所以，所以. 故选：D 2.在中，内角的对边分别为a，b，c，若，且此三角形有解，则A的取值范围是___________. 【答案】 【详解】由正弦定理得， 所以， 所以， 所以或， 因为此三角形有解，， 所以. 故答案为：. 3.设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理，即，所以， 因为不唯一，即有两解，所以且，即， 所以，所以，即； 故选：A 4．在中，，，，若满足要求的三角形有且只有一个，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意设边上的高为，要使只有一个三角形满足，可得或，即可求解. 【详解】设边上的高为，则，又， 要使满足要求的三角形有且只有一个，则有或， 即的取值范围为. 故答案为：. 5．在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的长的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据条件，利用正弦定理判断三角形解的个数的方法，即可求解. 【详解】如图，过作垂直所以直线于， 因为，则， 又有两解，则， 故答案为：. 题型05：正余弦定理边角互化的应用 【例13】在中，角所对的边分别为，已知，则角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理及三角恒等变换化简可得角C. 【详解】因为， 由正弦定理得， 因为, 即 所以， 因为，所以， 所以， 故或（舍去），得， 故选：D. 【跟踪训练】 1.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若，则 ． 【答案】1 【分析】利用正弦定理边化角，结合和差公式可得，利用余弦定理，结合已知和即可求解． 【详解】由及正弦定理得， 又，所以， 因为，所以. 由余弦定理知， 即， 即， 所以， 所以． 故答案为：1． 2.在锐角中，角的对边分别为．为外接圆圆心，已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．周长取值范围为 D．和面积之差的取值范围为 【答案】B 【分析】对A：借助正弦定理将角化为边后结合余弦定理计算即可得；对B：结合所给条件与正弦定理计算即可得；对C：借助正弦定理可将边化为角，并用表示出周长，再利用的范围计算周长范围即可得；对D：借助表示出与面积，即可表示出面积之差，从而可结合换元法与二次函数性质得解. 【详解】对A：由和正弦定理，可得， 即，则， 由余弦定理，， 又，故，故A正确； 对B：因， 由正弦定理，可得，即①， 又因为，则， 即，也即②， 将①代入②可得，解得，故B错误； 对C：由为锐角三角形，则，解得， 由正弦定理，，则， 则，， 则 ， 由，则， 由， 故，则， 则，故C正确； 对D：设外接圆半径为，则， ，即， 因为， 所以， ， 所以， 由，则，令， 则； 和面积之差的取值范围为，故D正确. 故选：B. 题型06：三角形（四边形）的面积 【例14】设的内角所对应的边分别是，且． (1)求角的值． (2)，，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）由正弦定理得到，再由三角恒等变换化简得，即可求得； （2）由题给关系求得，，再由正弦定理得，再由三角形面积公式即可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， 即， 由可得，所以， 所以； （2）因为，，所以，所以， 所以，， 由正弦定理得，即，所以， 所以. 【跟踪训练】 1.记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】应用余弦定理得出，再应用面积公式计算求解. 【解答过程】由余弦定理得， 所以， 则的面积为. 故选：B. 2.在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 【答案】(1)； (2)，. 【解题思路】（1）根据给定条件，利用正弦定理及同角公式化简求得角. （2）由正弦定理求出即得，再利用两角和的正弦公式及三角形的面积公式求解. 【解答过程】（1）在中，由及正弦定理得， 则，而，所以. （2）由（1）知，而，由正弦定理得， 由，得，则， ， 所以的面积. 3.在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)当，时，求边长和的面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合及两角和的正弦公式计算化简即可得； （2）根据正弦定理即可计算出，结合可求出，再使用正弦定理即可得到，再使用面积公式即可得到面积. 【解析】（1）由正弦定理得， 由于，则， 展开得， 化简得， 则， 所以； （2）由正弦定理，得，即有， 因为，所以是锐角，即， 因为， 所以， ， 所以 . 题型07：三角形的高、中线和角平分线 【例15】已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦定理求出的长度，再利用角平分线定理得到与的比例关系，进而求出的长度，最后在中利用余弦定理求出的长度. 【解答过程】在中，根据余弦定理， 已知，，，设，则有： 解得或（边长不能为负舍去），所以. 因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得. 又因为，所以. 在中，再根据余弦定理， 将，，代入可得： 所以.的长度为 故选：D. 【例16】的内角的对边分别为．其中，则边上的中线的长为_____ 【解题思路】根据题意可得，进而结合平面向量数量积的运算律、余弦定理求解即可. 【解答过程】由题意，， 则， 则 ， 则，即. 故选：A. 【例17】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边上的高_____ 【解题思路】由余弦定理求得边，利用三角形面积公式，可得答案. 【解答过程】∵，，， ∴由余弦定理得，即， 解得或（舍去），又，∴， 由三角形的面积公式可得，即. 故选：B. 【例18】如图，在中，为边上靠近点的四等分点，，，的面积为，则等于______    【解题思路】由，求得，在中，利用余弦定理求得，然后由求解. 【解答过程】由题意得， 解得， 在中，， 所以， 所以， 解得. 【跟踪训练】 1．在中，边上的高等于，则______ 【分析】根据三角函数，结合图形，即可求解. 【详解】如图，边上的高为，，且， 所以，则， 则，， 所以，则. 2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边上的高（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理求得边，利用三角形面积公式，可得答案. 【详解】∵，，， ∴由余弦定理得，即， 解得或（舍去），又，∴， 由三角形的面积公式可得，即. 故答案为：. 3.在△中，，边上的高等于，则______ 【分析】由已知可求得，利用余弦定理可求得，由余弦定理可求得. 【详解】设，由，边上高，且，可得． 设，代入、， 由余弦定理可是得，即． 所以． 4.在中，角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)已知面积为，为7，求边上中线长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理边化角，利用内角和定理变角，即可求角； （2）利用面积公式和余弦定理列出等式，再由向量中线的线性表示，借助向量的运算得到方程求解即可. 【解答过程】（1）因为， 由正弦定理边化角得 利用三角形内角和定理可得 即 因为所以，即 因为，所以. （2）由得① 由得② 由①②得 由， 得. 5.在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据正弦定理进行边角互化，再根据二倍角公式化简可得解； （2）根据三角形面积可得，再根据等面积法可得角分线长度. 【解答过程】（1）由已知， 又由正弦定理可得， 又，所以， 则，又，即， 又，，即， 则，所以，； （2）由已知，所以， 因为为角的角分线， 故， 所以， 即， 解得. 6.已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若的面积为，，点D为边上靠近B的四等分点，求的长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由已知结合余弦定理角化边得，接着由余弦定理即可得解. （2）先由和求出角，接着由正弦定理形式的面积公式求出，再由余弦定理 即可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以由余弦定理可得，整理得.     所以由余弦定理可得， 又，所以. （2）因为，， 所以， 即，         又，故，则， 所以，所以.       所以，所以，   所以在中，，，由余弦定理可得 ，即. 7．已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式转化为关于角的三角函数关系，进而求解. （2）利用正弦定理和三角形内角和定理，将高表示为角的函数，再利用三角函数性质求其范围． 【详解】（1）由， 用正弦定理得， 化简得：， 又, 从而，， 得又. （2）由正弦定理得: , 所以 , 在 中， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ． 题型08：三角形中的边长或周长的最值或范围 【例19】在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且，，则周长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先将已知条件中的切分离开来且切化弦，再结合三角恒等变换公式进行整理得出角A，接着利用正弦定理进行边化角利用三角函数有界性即可探究周长取值范围，从而得出周长最大值. 【解答过程】由题意得， 整理得， ，又，故角为， 所以由正弦定理得， 所以，， 所以的周长为： ， 因为是锐角三角形，所以，，， ，所以，则， 所以， 故周长的最大值为. 故选：B. 【例20】在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）结合正弦定理求出三边之间的关系，再结合余弦定理求出角的大小； （2）利用正弦定理推出a、b和、之间的关系，再结合三角形面积公式将面积表示为三角函数，最后结合三角恒等变换求出最大值即可． 【解答过程】（1）由正弦定理，因为， 所以，化简整理得， 由余弦定理，， ， ． （2）由（1）知，，由正弦定理可得， 面积， 又，， 又，其中， 当，即时，面积有最大值，为． 【跟踪训练】 1.已知的内角的对边分别为，且的周长为 (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将的周长为利用正弦定理及余弦定理变形化简，求出，再结合角的范围，即可求出角； （2）利用余弦定理及基本不等式先求出，再根据三角形面积公式即可求出面积的最大值. 【解答过程】（1）由正弦定理可得， 因为的周长为， 所以，即，化简可得， 故由余弦定理可得， 因为，所以； （2）因为，，所以由余弦定理 可得，解得，当且仅当时取等号， 所以面积， 即当时，面积取最大值. 2.在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足． (1)求角B； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）已知条件利用余弦定理角化边，即可得，可求角B； （2）已知，，由正弦定理结合三角恒等变换得，再利用角的范围和正弦函数的性质求得周长的取值范围. 【解答过程】（1）因为， 所以由余弦定理得， 即，即， 又，则. （2）由（1）知，又， 由正弦定理可得， 则 ， 由，得到，， 则，可得， 故周长的取值范围为． 题型09：距离、高度、角度测量问题 【例21】某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则_______ 【分析】根据已知条件得到为等腰三角形，得出，根据正弦定理得出，因为，所以为直角三角形，所以. 【详解】已知，则. 所以，即为等腰三角形. 所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以. 【例22】某大型商业区周边有一块三角形空地，为了优化环境，拟在此三角形区域建造一个花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域，分别种植牡丹，芍药，将区域设计成人工湖，在人工湖周围安装护栏，已知，AC=200m，，M，N在BC上且． (1)当BN=200m时，求护栏的长度； (2)为了节约开支，如何设计能使人工湖面积尽可能小，请写出设计方案并求出人工湖面积的最小值． 【答案】(1) (2)当时人工湖的面积最小，最小值为 【分析】（1）使用勾股定理得到，使用余弦定理得到，进一步得到，，然后得出，最后得出结果； （2）假设，得到，然后利用正弦定理得到，表示，然后计算判断即可. 【详解】（1）因为∠CAB=90°，AC=200m，， 所以BC=400m，， 所以，， 所以AN=200m， 则为等腰三角形，， 所以，则， 得，，则MN=100m， 所以护栏的长度为． （2）设计使得时人工湖面积最小．（或设计，或都可） 法1：设，，则， 在中，，即， 解得， 在中，，即， 解得， 所以人工湖的面积 ， 则当即时人工湖的面积最小，最小值为． 法2：设，，则， 在中，，即， 解得， 在中，，即 解得， ， 则当即时人工湖的面积最小，最小值为． 【跟踪训练】 1.某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，. (1)求的值； (2)若测量后发现，求两地的距离. 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）先利用三角函数的二倍角公式求出，然后求出，进而根据正弦定理求出结果即可. （2）先根据余弦定理求出，然后根据余弦定理求出，最后根据余弦定理求出结果. 【详解】（1）因为，所以. 所以，所以. 在中，根据正弦定理，，即， 解得. （2）在中，根据余弦定理，， 化简得，由于，所以解得米. 因为，在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 2.如图，扇形OMN的半径为，圆心角为，A为弧MN上一动点，B为半径上一点且满足. (1)若，求AB的长； (2)求△ABM面积的最大值. 【答案】(1)1；(2). 【分析】(1)在△OAB中，利用余弦定理即可求AB； (2)由题可知AB∥OM，则，设，，在中利用余弦定理和基本不等式求出xy的最大值，再由即可求面积最大值. (1) 在△OAB中，由余弦定理得，， 即，即，即， ∴； (2)，，，∥，， 设，，则在中，由余弦定理得， 即，当且仅当时取等号， ∴，当且仅当时取等号. ∴△ABM面积的最大值为. 1. 2024年5月，在美丽崇明岛将举办第十届中国花卉博览会，主办方要对布展区域精心规划，如图扇形OMN是一个布展区域的平面示意图，其中扇形半径为100米，∠MON＝． （1）如图1，主办方在该区域内铺设了一条由线段AB和弧BN组成的道路，线段AB的一个顶点B在弧MN上，另一顶点A在半径OM上，且AB∥ON，经测量线段OA的长为80米，现主办方拟在道路的弧BN段布置一根灯带，求所需灯带的长度（答案精确到0.1）(参考数值)；（2）如图2，拟在该区域内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC的一个顶点B在弧MN上，另两个顶点A、C在半径OM、ON上，且AB∥ON，AC⊥ON，求花圃△ABC面积的最大值． 【答案】（1）76.5；（2）. 【详解】 解：（1）因为，，所以， 又，设，， 在中，由正弦定理知：， 所以，则，即， 则所需灯带的长度为； （2）在中，，，，所以， 由余弦定理得， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以平方米． 所以花圃面积的最大值． 一、填空题 1．在△中，若，，，则________ 【答案】 【分析】利用正弦定理可直接求得结果. 【详解】由正弦定理得：.故答案为：. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题. 2．在中，，则_________. 【答案】 【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； 【详解】解：因为，由正弦定理可得，又由余弦定理，所以，因为，所以 故答案为： 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题. 3．在中，已知，则角=_______． 【答案】 试题分析：根据三角形的正弦定理，则可知的三个角所对应的三个边的比，根据三角形的余弦定理，则有，故． 考点：1．正弦定理；2．余弦定理． 4．在中，，则边上的高为__________. 【答案】 【解析】中，，， 所以，， h= 故答案为 5．中，a，b，c分别是的对边，，则_________. 【答案】 【分析】由，结合余弦定理得到求解. 【详解】因为，所以， 即：，因为，所以，故答案为： 【点睛】本题主要考查三角形面积公式与余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 6．在中，若，则_________. 【答案】 【分析】根据正弦定理求得，由三角形内角和求得，进而求得，再根据三角形的面积公式即可得到答案. 【详解】解：由正弦定理得，， 因为, 所以 , 所以.故答案为：. 【点睛】本题主要考查正弦定理，三角形面积公式，两角和的正弦公式，考查学生的计算能力及公式得掌握程度，属于中档题. 7．在中，若，则_______． 【答案】 【分析】由余弦定理结合已知条件即可求出的值． 【详解】由余弦定理 ， 即答案为． 【点睛】本题考查了余弦定理的应用，是基础题． 8．在中，若，则是________三角形. 【答案】等腰 【分析】利用代入条件化简即可得解. 【详解】在中，， 又，可得，有：， 所以，即是等腰三角形.故答案为：等腰. 【点睛】本题主要考查了三角形中内角和为，及两角和的正弦展开，属于基础题. 9．在中，若，则的形状是_________. 【答案】等腰三角形 【分析】根据余弦定理，由题意，先得到，化简整理，得到，进而可得出结果. 【详解】因为，由余弦定理得：， 即，即 即，即， 因为三角形中，两边之和大于第三边，所以，即， 故是等腰三角形.故答案为：等腰三角形. 【点睛】本题主要考查由余弦定理判定三角形形状，属于基础题型. 10.设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若的面积为S，且，则________ 【分析】 由三角形面积公式及余弦定理结合已知条件可得，利用两角和差化积公式可得 【详解】 ∵， 代入，即， ∵，∴，即 ， 11.（2025上海高一课时练习）若，且，则实数t的取值范围是_________． 【答案】 【分析】参变分离得，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系得，再根据及正切函数的性质计算可得； 【详解】解：因为， 所以，即 因为，所以，所以， (因为，即，解得 因为，所以) 所以，所以，故答案为： 【点睛】本题考查二倍角公式及同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题. 12.在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是___ 【答案】 【分析】由题意及正弦定理得到，于是可得，；然后在和中分别由余弦定理及可得．在此基础上可得，再由基本不等式得到，于是可得三角形面积的最大值． 【详解】如图，设，则, 在和中，分别由余弦定理可得， 两式相加，整理得，∴．① 由及正弦定理得， 整理得，② 由余弦定理的推论可得，所以． 把①代入②整理得， 又，当且仅当时等号成立，所以，故得． 所以．即面积的最大值是． 故答案为． 【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力． 二、选择题 13.中，已知下列条件：①；②；③；④，其中满足上述条件的三角形有两解的是（     ） A．①④ B．①② C．①②③ D．③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据判断三角形解的个数的公式，即可判断选项. 【详解】 ①，三角形有两解；②，三角形有两解；③，三角形有一解；④，三角形无解. 故选：B. 14．在中，若，则是（ ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理，结合已知可得，再利用二倍角的正弦公式即可判断三角形的形状． 【详解】在中， ，又由正弦定理得：， ，，或， 或．故是等腰三角形或直角三角形，故选D． 【点睛】本题考查三角形的形状判断，突出考查正弦定理与二倍角的正弦公式，属于中档题．判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 15．在锐角中，角所对的边长分别为，若且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正弦定理可得，再结合为锐角三角形可得，代入求解即可. 【详解】解：因为且，由正弦定理可得：， 则，又为锐角三角形， 则 ，解得：，即，即， 故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理及正弦的二倍角公式，重点考查了三角函数的值域的求法，属中档题. 16.已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为（ ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形 【答案】D 【分析】先利用同角三角函数基本关系得，结合正余弦定理得进而得B,再利用化简得,得A值进而得C,则形状可求 【详解】 由题 即，由正弦定理及余弦定理得 即 故 整理得 ，故 故为顶角为的等腰三角形，故选D 【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用，是中档题 3、 解答题 17．在中，若. （1）求角A的大小； （2）若，分别求的值. 【答案】（1）；（2），或，. 【分析】（1）利用三角恒等变换中的倍角公式，求得，再根据三角形中角的范围，得到； （2）利用余弦定理得到，再结合，构造方程，解方程得到 的值. 【详解】（1）由及倍角公式可得： 解得：，因为，所以. （2）由（1）知，又因为， 所以，解得：，可设是方程两根， 解得：，或， . 【点睛】本题考查三角恒等变换、余弦定理，在第（1）问中求得，要记得写上，才能得到；第（2）问中有两组解，不能遗漏. 18．在中，角的对边分别为，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积. 【答案】（1）.(2) . 试题分析：（Ⅰ）由同角三角函数关系式由可得．由诱导公式和两角和差公式可得．（Ⅱ）由正弦定理可求得,根据三角形面积公式可求得三角形面积． 试题解析：解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且， ∴， ∴ 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴． ∴△ABC的面积 12分 考点：1诱导公式,两角和差公式;2正弦定理． 19.已知的内角，，所对的边分别为，，， （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由，切化弦，再利用两角和差公式化简可求得角； （2）由余弦定理可求得，再用三角形的面积公式可求得的面积. 解：（1）由得 ∴，∴ 即，又显然不等于0，∴，∵∴ （2）由（1）知，又， 根据余弦定理得∴，∴ ∴. 20. 已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且. (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)钝角三角形 (2) 【难度】0.5 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）根据余弦定理，可得，则，故C为钝角，可得△ABC为钝角三角形.或使用正弦定理对条件进行边化角，由两角和的正弦公式可得，从而得到△ABC为钝角三角形； （2）由正弦定理进行边角互化，可求得，从而得.由此可用表示，利用正弦定理将表示成的函数，根据正弦函数的最值，可求得的最大值，再求出，即可得到周长的最大值. 【详解】（1）因为，由余弦定理得，即. 故，所以，故C为钝角， 所以△ABC为钝角三角形. 另解：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 即，即， 因为，所以， 所以，故C为钝角， 所以为钝角三角形. （2）的外接圆半径为. 由题，由正弦定理， 得，即. 由（1）知C为钝角，所以. 又. 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值，取得最大值，即的最大值为4. 又， 所以的周长的最大值为. 21．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（，H是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低．设计要求管道的接口H是的中点，点E，F分别落在线段上．已知，记． （1）试将污水管道的长度表示为的函数，并写出定义域； （2）已知，求此时管道的长度l； （3）当取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，l取到最小值 【分析】（1）由∠BHE＝θ，H是AB的中点，易得，，，由污水净化管道的长度L＝EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数． （2）若，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值． （3）设sinθ+cosθ＝t得，利用角的范围结合三角函数性质求得t的范围，再利用的单调性求最值即可 【详解】（1）由题，， 由于，， ， （2）当时，， ； （3） 设sinθ+cosθ＝t则 由于，所以 因为在内单调递减，于是当时．L的最小值米． 答：当时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为米 【点睛】本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出L关于θ的函数，利用sinθ+cosθ＝t则化简函数求最值是解答本题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 专题03 解三角形 知识点一、正弦定理 1、正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则有 ==. 若△ABC外接圆半径为，则有===2R 2、正弦定理常见变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； 3、三角形的边角关系： 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 知识点二、余弦定理 对三角形，角A对应的边为，角B对应的边为，角C对应的边为 余弦定理公式：；；． 推论： 知识点三、解三角形 1、解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2、余弦定理在解三角形中的应用 （1）利用余弦定理求边跟角： 已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； 已知三边，求三角形的三个角. （2）判断三角形形状 将已知的边角关系全部化为纯边的关系式（利用余弦定理将角换成边），然后进行代数恒等变形。 若 ，则 （勾股定理逆定理）。 若 ，则 （锐角）。 若 ，则 （钝角）。 (3) 求三角形边长或角的范围 结合余弦定理与基本不等式（如 ）或二次函数性质，确定边或角的取值范围。 3、正弦定理在解三角形中的应用 0. 已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 0. 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （3）在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者sin的齐次式，可以考虑用正弦定理。 0. 三角形中的射影定理：在△ABC中，；； 知识点四、三角形的面积公式 1、 2、（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） 知识点五、三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时： 若A为直角或者钝角时： 知识点六、解三角形中的重要模型（拓展） 1．中线模型 (1)中线长定理：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则. (2)向量法：. 2．倍角模型 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1：； 推论2：. 3．角平分线模型 角平分线张角定理：如图，为平分线，则. 斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积-下积． 4．等分点模型 如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接.易知∥，且，，． 题型01：正弦定理解三角形 【例1】已知中，，则___________. 【例2】在非等边斜三角形中，为的外接圆半径，为的面积，下列式子中正确的是（       ） A． B． C． D． 【例3】若的三个内角，，且面积，则该三角形的外接圆半径是______. 【例4】在锐角三角形中，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则______. 【跟踪训练】 1.在中，角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 2.在中，若，则等于（ ） A． B． C． D． 3.在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 4.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角C为，且．（1）求的值；（2）若的内切圆的半径，求的面积． 题型02：余弦定理解三角形 【例5】在中，若，则=______ 【例6】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则___________． 【跟踪训练】 1.在中，已知，，，则边的值为（   ） A． B． C．或 D．不存在 2.边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A． B． C． D． 3.若的三边满足，则最小的内角为______. 4.在中，角的对边分别为，且，则的值为______ 5.在中，角的对边分别为，若，则______ 题型03：正余弦定理判断三角形形状 【例7】在中，，则为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 【例8】中，分别表示三个内角的对边，如果，判断三角形的形状 【例9】如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ） A．和都是锐角三角形 B．和都是钝角三角形 C．是钝角三角形，是锐角三角形 D．是锐角三角形，是钝角三角形 【跟踪训练】 1.在中，若，则的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 2.（2021·上海市七宝中学高一期中）在△中，已知，则△的形状为（       ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰或直角三角形 3.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（       ） A．等腰非等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 4.若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 5.已知钝角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)若 ，证明：是等腰三角形. 题型04：正弦定理判定三角形解的个数 【例10】已知在中，、、分别为角、、的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例11】在△中，角、、所对的边分别为、、，若，，且该三角形有唯一解，则的取值范围为________. 【例12】在三角形ABC中（A点在BC上方），若，，BC边上的高为h，三角形ABC的解的个数为n，则以下错误的是（       ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【跟踪训练】 1.在中，，，若该三角形有两个解，则边范围是（    ） A． B． C． D． 2.在中，内角的对边分别为a，b，c，若，且此三角形有解，则A的取值范围是___________. 3.设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．在中，，，，若满足要求的三角形有且只有一个，则的取值范围为 . 5．在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的长的取值范围是 . 题型05：正余弦定理边角互化的应用 【例13】在中，角所对的边分别为，已知，则角等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若，则 ． 2.在锐角中，角的对边分别为．为外接圆圆心，已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．周长取值范围为 D．和面积之差的取值范围为 题型06：三角形（四边形）的面积 【例14】设的内角所对应的边分别是，且． (1)求角的值． (2)，，求的面积． 【跟踪训练】 1.记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2.在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 3.在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)当，时，求边长和的面积. 题型07：三角形的高、中线和角平分线 【例15】已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 【例16】的内角的对边分别为．其中，则边上的中线的长为_____ 【例17】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边上的高_____ 【例18】如图，在中，为边上靠近点的四等分点，，，的面积为，则等于______    【跟踪训练】 1．在中，边上的高等于，则______ 2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边上的高（    ） A． B． C． D． 3.在△中，，边上的高等于，则______ 4.在中，角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)已知面积为，为7，求边上中线长. 5.在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 6.已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若的面积为，，点D为边上靠近B的四等分点，求的长. 7．已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 题型08：三角形中的边长或周长的最值或范围 【例19】在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且，，则周长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例20】在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【跟踪训练】 1.已知的内角的对边分别为，且的周长为 (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 2.在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足． (1)求角B； (2)若，求周长的取值范围． 题型09：距离、高度、角度测量问题 【例21】某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则______ 【例22】某大型商业区周边有一块三角形空地，为了优化环境，拟在此三角形区域建造一个花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域，分别种植牡丹，芍药，将区域设计成人工湖，在人工湖周围安装护栏，已知，AC=200m，，M，N在BC上且． (1)当BN=200m时，求护栏的长度； (2)为了节约开支，如何设计能使人工湖面积尽可能小，请写出设计方案并求出人工湖面积的最小值． 【跟踪训练】 1.某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，. (1)求的值； (2)若测量后发现，求两地的距离. 2.如图，扇形OMN的半径为，圆心角为，A为弧MN上一动点，B为半径上一点且满足. (1)若，求AB的长； (2)求△ABM面积的最大值. 3. 2024年5月，在美丽崇明岛将举办第十届中国花卉博览会，主办方要对布展区域精心规划，如图扇形OMN是一个布展区域的平面示意图，其中扇形半径为100米，∠MON＝． （1） 如图1，主办方在该区域内铺设了一条由线段AB和弧BN组成的道路，线段AB的一个顶点B在弧MN上，另一顶点A在半径OM上，且AB∥ON，经测量线段OA的长为80米，现主办方拟在道路的弧BN段布置一根灯带，求所需灯带的长度（答案精确到0.1）(参考数值)； （2）如图2，拟在该区域内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC的一个顶点B在弧MN上，另两个顶点A、C在半径OM、ON上，且AB∥ON，AC⊥ON，求花圃△ABC面积的最大值． 一、填空题 1．在△中，若，，，则________ 2．在中，，则_________. 3．在中，已知，则角=_______． 4．在中，，则边上的高为__________. 5．中，a，b，c分别是的对边，，则_________. 6．在中，若，则_________. 7．在中，若，则_______． 8．在中，若，则是________三角形. 9．在中，若，则的形状是_________. 10.设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若的面积为S，且，则________ 11.若，且，则实数t的取值范围是_________． 12.在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是___ 二、选择题 13.中，已知下列条件：①；②；③；④，其中满足上述条件的三角形有两解的是（     ） A．①④ B．①② C．①②③ D．③④ 14．在中，若，则是（ ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 15．在锐角中，角所对的边长分别为，若且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 16.已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为（ ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形 3、 解答题 17．在中，若. （1）求角A的大小； （2）若，求的值. 18．在中，角的对边分别为，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积. 19.已知的内角，，所对的边分别为，，， （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 20. 已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且. (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 21．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（，H是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低．设计要求管道的接口H是的中点，点E，F分别落在线段上．已知，记． （1）试将污水管道的长度表示为的函数，并写出定义域； （2）已知，求此时管道的长度l； （3）当取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $