精品解析：江苏南京市鼓楼实验中学2025-2026学年上学期七年级期末数学试卷

江苏省南京市鼓楼实验中学2025－2026学年上学期七年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共8小题．每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填该在答题卡对应位置上） 1. 下列选项中为负数的是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 2025年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到23.6万亿美元．用科学记数法表示23.6万亿是（　　） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图正方体纸盒，展开后可以得到（ ） A. B. C. D. 5. 北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间，同一时刻的莫斯科时间是．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 C. 两点之间的所有连线中，线段最短 D. 如果，，那么 7. 如图，按下列方式将一边长为的正方形纸张对折三次，再剪掉部分①，已知剩下的部分②展开图形的面积为，图中的值为（ ） A. B. C. D. 2 8. 有理数a，b，c满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大国共10小题，每小题2分，共20分，需招答案填写在等题卡根容位罩上） 9. 比较大小：____（填“”“”或“”） 10. 当a，b满足___________，a，b互为相反数；当a，b满足___________，a，b互为倒数． 11. 计算：___________． 12. 下列三个日常现象： ①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上； ②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程； ③体育课上，老师测量某名同学的跳远成绩． 其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是________ .(填序号) 13. 如图，直线与直线相交于点O，平分，平分，若的度数为，则的度数为___________°． 14. 已知代数式的值是，则代数式的值是___________． 15. 若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 16. 如图，一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在的位置，若，则___________． 17. 某小组计划做一批中国结，如果每人做5个，就比计划多做10个；如果增加1人，每人做3个，比计划少做5个，设计划做x个“中国结”，可列方程___________． 18. 关于x的方程（k为常数，）的解为___________（用含k的代数式表示）． 三、解答题（本大题共9小题，共64分，请在答题卡原零区项内作答，解答时应写出文字说明、证明过程成演算步数） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 解方程：． 22. 如图是由一些棱长都为1的小正方体组合成的简单几何体． （1）画出该几何体的主视图、左视图和俯视图； （2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加 块小正方体． 23. 点C是直线上一点，点D是的中点，若，，求的长． 24. 在四边形中，，E为边上一点，交于点F． （1）用无刻度的直尺与圆规作；（保留作图痕迹） （2）连接，若，求的度数． 25. 如图，数轴上点A，B，C的位置如图所示，分别表示数，，c． （1）用直尺与圆规作出数a对应的点D； （2）用直尺与圆规作出数b对应的点E； （3）比较与的值． 26. 电信公司电话费有两个套餐方案可供顾客选择． 套餐1：月租20元，每分钟元； 套餐2：月租40元，每分钟k元． （1）若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ （2）若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ （3）若每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ 27. 解决问题 （1）如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； （2）如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； （3）如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） （4）结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市鼓楼实验中学2025－2026学年上学期七年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共8小题．每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填该在答题卡对应位置上） 1. 下列选项中为负数的是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正负数、绝对值、乘方的意义．根据正负数的意义可直接判断A，C；根据绝对值、乘方的意义化简后可判断B，D． 【详解】解：A．5是正数，故不符合题意； B．是正数，故不符合题意； C．是负数，故符合题意； D． 是正数，故不符合题意； 故选C． 2. 2025年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到23.6万亿美元．用科学记数法表示23.6万亿是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，为整数，先将23.6万亿转化为数字形式，再根据规则确定和的值即可． 【详解】解：23.6万亿． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. 如图正方体纸盒，展开后可以得到（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠后白色圆与蓝色圆所在的面的位置进行判断即可. 【详解】A.两个白色圆和一个蓝色圆折叠后互为邻面，符合题意； B.两个白色圆所在的面折叠后是对面，不符合题意; C.白色圆与一个蓝色圆所在的面折叠后是对面，不符合题意; D.白色圆与一个蓝色圆所在的面折叠后是对面，不符合题意. 故答案选A. 【点睛】本题考查了正方体的展开图，解决本题的关键是熟练掌握正方体的展开图,明白对面相隔不相邻这一原则. 5. 北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间，同一时刻的莫斯科时间是．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据北京时间比莫斯科时间早5小时解答即可． 【详解】解：小丽的通话时间范围是北京时间； 小红的通话时间范围（莫斯科时间）换算为北京时间是至次日． 两人共同通话时间范围为北京时间， 选项中只有在此范围内， 故这个时刻可以是北京时间． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 C. 两点之间的所有连线中，线段最短 D. 如果，，那么 【答案】AB 【解析】 【分析】本题考查平行公理、线段的基本性质、平行公理推论、两角两别分别平行的结论，只需逐一判断各选项说法的正误即可。 【详解】解：A、∵平行公理要求必须是过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，∴A选项说法错误； B、∵若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，并非一定相等，∴B选项说法错误； C、两点之间的所有连线中，线段最短，是线段的基本性质，说法正确； D、根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此若，，那么，说法正确． 因此本题错误的说法是AB． 7. 如图，按下列方式将一边长为的正方形纸张对折三次，再剪掉部分①，已知剩下的部分②展开图形的面积为，图中的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的面积为，构建方程求解．本题考查剪纸问题，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． 【详解】解：由题意， 解得． 故选：B． 8. 有理数a，b，c满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数加法、绝对值的性质，根据和，可推得b、c同号，a与b、c异号，结合绝对值性质分析各选项即可． 【详解】解：A、∵，且， ∴a、b、c三个数不同号，且都不为0，且， 若b、c异号， 则， 与矛盾， ∴b、c同号，a与b、c异号， 可得， 当a为正，b、c为负时， ∵， ∴， ∴A选项不成立， ∴A错误； B、∵，且， ∴a、b、c三个数不同号，且都不为0，且， ∴B选项错误； C、当时，； 当时，． ∴不恒成立， ∴C错误； D、∵和， 当时， ∴． ∴D正确． 二、填空题（本大国共10小题，每小题2分，共20分，需招答案填写在等题卡根容位罩上） 9. 比较大小：____（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．据此解答即可． 【详解】解：∵， ， 又， ∴． 故答案为：． 10. 当a，b满足___________，a，b互为相反数；当a，b满足___________，a，b互为倒数． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两个数和为，因此当，满足，，互为相反数． 根据倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数，因此当，满足，，互为倒数． 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂的运算法则计算即可. 【详解】解：原式 ． 12. 下列三个日常现象： ①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上； ②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程； ③体育课上，老师测量某名同学的跳远成绩． 其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是________ .(填序号) 【答案】② 【解析】 【详解】解：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，根据两点确定一条直线； ②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，根据两点之间线段最短； ③体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩，根据垂线段最短； 故答案为②． 13. 如图，直线与直线相交于点O，平分，平分，若的度数为，则的度数为___________°． 【答案】 【解析】 【分析】先由角平分线得到，再由平角得到，而，求出，最后根据对顶角的性质即可求解． 【详解】解：∵平分，平分 ∴， 又∵，而， ∴ ∴， ∴． 14. 已知代数式的值是，则代数式的值是___________． 【答案】11 【解析】 【详解】解：当时，原式． 15. 若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 【答案】 ①. 7 ②. 【解析】 【分析】先合并同类项，再根据已知条件列出方程式，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵无论x取何值代数式的值不变， ∴，， ∴，． 16. 如图，一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在的位置，若，则___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】先由折叠可知，，再根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 由折叠可知，． ∵， ∴． 17. 某小组计划做一批中国结，如果每人做5个，就比计划多做10个；如果增加1人，每人做3个，比计划少做5个，设计划做x个“中国结”，可列方程___________． 【答案】 【解析】 【分析】设计划做个“中国结”，根据两种制作情况中人数的等量关系，原小组人数加1等于增加1人后的总人数，分别用表示出两种情况下的人数，即可列出一元一次方程． 【详解】解：设计划做个“中国结”，根据题意，得 ． 18. 关于x的方程（k为常数，）的解为___________（用含k的代数式表示）． 【答案】或 【解析】 【分析】找出每个绝对值部分取到0时x的值，进行分类讨论即可． 【详解】解：k为常数，， 当时，， 当时，， 当时，方程化为， 解得，满足， 当时，方程化为， 解得，满足， 当时，方程化为， 解得，若，则分母为0，无解，不满足恒成立，舍去． 三、解答题（本大题共9小题，共64分，请在答题卡原零区项内作答，解答时应写出文字说明、证明过程成演算步数） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】；6 【解析】 【分析】先去小括号，再去中括号，然后合并同类项，再把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．先把原方程整理得：，然后再根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】解：， 整理，得， 方程两边同时乘以，去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，， 将系数化为，得． 22. 如图是由一些棱长都为1的小正方体组合成的简单几何体． （1）画出该几何体的主视图、左视图和俯视图； （2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加 块小正方体． 【答案】（1） 如图所示： （2）3 【解析】 【分析】（1）根据三视图的定义画出图形即可． （2）根据题意，在第二列和第三列分别添加1个和2个小正方体即可． 注意在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加3个小正方体， 故答案为：3． 23. 点C是直线上一点，点D是的中点，若，，求的长． 【答案】或 【解析】 【分析】根据点D的位置分两种情况分别画出图形，由线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图1，当点D在点B的左侧时， ∵，， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， ∴； 如图2，当点D在点B的右侧时， ∵，， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， ∴； 综上所述，或． 24. 在四边形中，，E为边上一点，交于点F． （1）用无刻度的直尺与圆规作；（保留作图痕迹） （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角以及平行线的判定进行解答即可； （2）根据四边形的内角和是进行计算即可． 【小问1详解】 解：用无刻度的直尺与圆规作EF； 做法：①连接，以点C为圆心，任意长为半径画弧交于点M，交于点N， ②以点E为圆心，以为半径画弧交于点P， ③以点P为圆心，以为半径画弧与以点E为圆心，为半径的弧交于点Q， ④连接并延长交于点F， 就是要求作的线段； 【小问2详解】 解：在四边形中， ∵， ∵， ∴． 25. 如图，数轴上点A，B，C的位置如图所示，分别表示数，，c． （1）用直尺与圆规作出数a对应的点D； （2）用直尺与圆规作出数b对应的点E； （3）比较与的值． 【答案】（1） 点D为的中点， 如图所示， （2） 如图所示， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得出点D为中点，据此可解决问题； （2）由，则从点A依次向右平移a，c个单位即可； （3）①在数轴上向右依次截取，向右截取，则点H表示，②在数轴上向右依次截取，则点N表示，即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵点A，B分别表示数，， ∴中点表示的数为， 则点D为的中点， 【小问2详解】 解：∵点A，C，D分别表示数，c，a， ∴， 即点A向左依次平移a、c个单位得到点E， 【小问3详解】 解：①在数轴上向右依次截取，向右截取，则点H表示， ②在数轴上向右依次截取，则点N表示，如图， 点N在点H的右侧，故． 26. 电信公司电话费有两个套餐方案可供顾客选择． 套餐1：月租20元，每分钟元； 套餐2：月租40元，每分钟k元． （1）若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ （2）若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ （3）若每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ 【答案】（1）无论通话时间多长，套餐1更划算 （2） 当分钟时，选套餐1； 当分钟时，两套餐费用相同； 当分钟时，选套餐2； （3） ①当时，，选套餐1； ②当时，临界时间， 若，选套餐1； 若，两套餐费用相同； 若，选套餐2． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程． （1）先写出两套餐费用表达式，令费用相等求出x，因x为负无意义，判断套餐1费用始终更低，故选套餐1； （2）列出两套餐费用，令其相等算出分界时间200分钟，按x小于、等于、大于200分钟分别判断选哪种套餐； （3）设费用表达式，令相等求临界x，分三种情况讨论套餐选择． 【小问1详解】 解：当时，且通话时间， 套餐1费用：，套餐2费用：， 令：， ∴在实际情况中，恒成立， 答：当时，无论通话时间多长，套餐1更划算； 【小问2详解】 解：当时， 套餐1费用：，套餐2费用：， 令：， 解得， 当分钟时，，选套餐1； 当分钟时，，两套餐费用相同； 当分钟时，，选套餐2； 【小问3详解】 解：一般情况（k为任意正数）， 套餐1：，套餐2：， 令，即， 解得， 分三种情况讨论： ①当时，，选套餐1； ②当时，临界时间， 若，选套餐1； 若，两套餐费用相同； 若，选套餐2． 27. 解决问题 （1）如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； （2）如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； （3）如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） （4）结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【答案】（1） （2） （3） （4） 一般化研究示意图：画两条平行线，在两线之间依次画多个折线角（如，，，），与的角平分线交于点P， 结论：，即内部所有折点（点）中所有奇数项的角和减去所有偶数项的角和的一半． 例如，若有3个折线角，则，与第（3）问一致． 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，列代数式， （1）利用平行线性质得，结合角平分线定义得，再由三角形内角和求出； （2）作辅助线构造平行线，利用内错角相等推导角的关系，结合已知，通过角平分线性质求出； （3）作辅助线转化折线角，利用平行线性质建立与α、β、γ的关系，再由角平分线定义得； （4）画出及多个折线角的示意图，总结规律：等于内部所有折点（点）中奇数项角的和减去所有偶数项角的和的一半． 【小问1详解】 解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，作，则， ∴，， ∴， 设， ∴ ，即， 整理得， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由平行线性质及角平分线定义，， 如图所示，作，则， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $