8.3第2课时实数的相关概念及运算 课时分层训练 2025-2026学年七年级数学下册（人教版）

8.3第2课时实数的相关概念及运算 知识分点练 夯基础 知识点1 实数的相反数、绝对值 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的性质、相反数，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键．根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数即可得出结果． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2．的绝对值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正数的绝对值等于本身解答即可． 本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵是正数， ∴的绝对值是， 故选：C． 3．4的平方根是________，绝对值是________，的相反数是________． 【答案】 【分析】分别根据平方根的定义，绝对值的性质，相反数的定义计算三个空的结果即可． 【详解】解： 的平方根是； ； 的相反数是． 4．的值为_____． 【答案】 【分析】先根据绝对值的性质化简绝对值，再确定最终结果． 【详解】解：． 5．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为_____ ． 【答案】/ 【详解】解：正方形的面积为， 正方形的边长为， 则由题意可知， 点表示的数为， 点所表示的数为． 6．求下列各数的相反数和绝对值： (1)． (2)． 【答案】(1)的相反数为3， (2)的相反数为， 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的化简，以及相反数和绝对值的定义，掌握先化简根式，再根据定义求相反数和绝对值，绝对值要先判断数的正负是解题的关键． （1）先化简立方根得到，再根据相反数、绝对值的定义，分别计算的相反数和绝对值； （2）先判断的正负性，再根据相反数的定义改变符号，正数的绝对值为其本身，直接得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴的相反数为3． 由绝对值的意义，得． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴的相反数为． 由绝对值的意义，得． 知识点2 实数的运算 7．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故A错误． B．，故B错误． C．，故C错误． D．，故D正确． 8．计算结果为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，实数的加减，掌握知识点是解题的关键． 原式为多个绝对值之和，每个绝对值均为两个连续平方根之差．由于平方根函数单调递增，每个绝对值可化简为后一个平方根减前一个平方根，形成望远镜求和，中间项相互抵消，最终结果为最后一个平方根减去第一个平方根． 【详解】解： =， ． 故选：B． 9．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，再进行加减运算； （2）先计算立方根、算术平方根、绝对值，再进行加减法运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先去掉绝对值，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点3 实数的近似计算 11．小南用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 根据表中的信息判断下列结论中，正确的有______．（填序号） ①275.56的平方根是；    ②265的算术平方根比16.3大； ③；        ④只有4个正整数满足． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，无理数的估算，求一个数的平方根等等，根据一个正数的两个平方根互为相反数，结合即可判断①；根据，据此可判断②；根据被开方数小数点向右（向左）每移到两位，则开方的结果的小数点向右（向左）移动一位，即可判断③；根据，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴的平方根是，故①正确； ∵， ∴265的算术平方根比小，故②错误； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴满足的正整数有共4个，故④正确； 故答案为：①③④． 12．与最接近的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先利用平方数确定的取值范围，再判断更接近的整数，即可求出最接近的整数． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∴ 与最接近的整数是． 13．实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，通过确定与被开方数相邻的完全平方数，得到无理数的范围，再结合不等式性质求出的范围，进而确定整数的值. 【详解】解：∵ ∴ 即不等式两边同时加3，得，即 ∵在整数与之间 ∴ 故选：A. 能力综合练 练思维 14．在实数范围内，下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据实数的性质和立方根的概念，需逐一判断各选项的正确性. 本题考查实数的性质，立方根的意义. 【详解】解：∵ 选项A：若，则或， ∴ A错误. ∵ 选项B：若，如但， ∴ B错误. ∵ 选项C：若，则或， ∴ C错误. ∵ 选项D：若，两边立方得，且在实数范围内立方根唯一， ∴ D正确. 故选：D 15．下列各组数中互为相反数的是() A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了求立方根与算术平方根，相反数，实数的性质；通过计算每组数的值，判断其和是否为零，只有选项C中的两个数互为相反数． 【详解】解：A：∵=，∴与相等，不互为相反数． B：∵，∴，∴与相等，不互为相反数． C：∵=，∵=．∴与互为相反数， D：∵，∴不互为相反数． 故选：C． 16．如图所示的是嘉琪同学的答卷，她的得分应是（   ） 姓名：嘉琪得分：____ 填空题（每小题20分，共100分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③； ④平方根与立方根相等的数是； ⑤． A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的性质，立方根和平方根，算术平方根，熟知相关知识是解题的关键．通过判断每个填空题的正确性，结合实数的性质、平方根、算术平方根和立方根的定义，计算得分． 【详解】解：①的倒数是，不是，计算错误； ②的绝对值是，计算正确； ③表示算术平方根，结果是2，不是，计算错误； ④0的平方根和立方根都是0，计算正确； ⑤，计算正确； ∴正确题数为3，得分：分， 故选：B． 17．实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算． 先通过估算无理数的范围，确定的整数部分和小数部分，再代入式子计算结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴． 故选：A． 18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，依次连结O，P，Q，R四点，可以得到一个阴影正方形，借助圆规就能准确地把表示在数轴上点处．记左侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记左侧最近的整数点为，以为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，数轴上两点间的距离，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．由题意可得表示的数为，，则表示的数为，表示的数为，则，则表示的数为，表示的数为，进而求出． 【详解】解：∵表示的数为，， ∴表示的数为， ∴， ∴表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为， ∴， ∴表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为， ∴． 故选：B． 19．计算：． 【答案】 【分析】根据算术平方根、立方根、化简绝对值，结合实数的混合运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 20．（1）若实数互为相反数，互为倒数，是16的平方根，求的值； （2）若的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】（1）10或26（2） 【分析】本题考查的是相反数，倒数，平方根的含义，无理数的整数部分与小数部分的含义． （1）先求解，，，再进一步代入计算即可． （2）先求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：（1） 由题意可得：，，， 原式 当时，原式； 当时，原式． （2）∵， ∴整数部分为4， ∴； ∵， ∴整数部分为3， ∴， ∴． 21．小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为． (1)求正方形纸片的边长． (2)若长方形纸片能裁出来，求它的长． (3)小丽不知能否裁出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 【答案】(1)正方形纸片的边长为 (2)长方形纸片的长为 (3)不同意小明的说法，见解析 【分析】本题考查了算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根；0的算术平方根为0．也考查了估算无理数的大小． （1）设正方形纸片的边长为，则，开平方即可； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，解方程，进一步可得解； （3）比较长方形的长和正方形的边长即可得出结论． 【详解】（1）解：设正方形纸片的边长为，则， 因为， 所以（负值已舍去）， 答：正方形纸片的边长为； （2）解：设长方形纸片的长为，宽为， 根据边长与面积的关系，得，即， 因为， 所以， 因此长方形纸片的长为； （3）解：不同意小明的说法．理由如下： 由（2）可得长方形纸片的长为， 因为， 所以， 显然， 由（1）可得正方形纸片的边长只有， 因为， 所以不同意小明的说法，小丽不能用这块正方形纸片裁出需要的长方形纸片． 拓展探究练 提素养 22．项目式学习 设计合适的盒子 素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．小志制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，这把团扇的扇面面积为． 素材2 为了美观，小志特设计一个底面积为，长，宽，高的比为的长方体纸盒进行包装． 任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为________； （2）根据素材2，求出该长方体盒子的长； （3）如果只考虑团扇的面宽，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由． 【答案】（1）10 （2） （3）能，见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，由团扇面积为，则，从而计算即可求解； （2）依据题意，设长方体盒子的长为，宽为则，由边长的实际意义，得，进而计算可以求解； （3）依据题意，由（1）知该团扇的半径为，则团扇的直径为，又，则，从而，进而可以判断求解． 【详解】解：（1）团扇面积为， ，． ，． 故答案为：10． （2）设长方体盒子的长为，则宽为， ，． ，． ． 长方体盒子的长为． （3）这个长方体盒子能装得下这面团扇．理由如下： 由（1）知该团扇的半径为， 团扇的直径为， ， ． 这个长方体盒子能装得下这面团扇． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3第2课时实数的相关概念及运算 知识分点练 夯基础 知识点1 实数的相反数、绝对值 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．的绝对值是（   ） A．2 B． C． D． 3．4的平方根是________，绝对值是________，的相反数是________． 4．的值为_____． 5．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为_____ ． 6．求下列各数的相反数和绝对值： (1)． (2)． 知识点2 实数的运算 7．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．计算结果为（） A． B． C． D． 9．计算： (1) (2) 10．计算： (1)； (2)． 知识点3 实数的近似计算 11．小南用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 根据表中的信息判断下列结论中，正确的有______．（填序号） ①275.56的平方根是；    ②265的算术平方根比16.3大； ③；        ④只有4个正整数满足． 12．与最接近的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 13．实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 能力综合练 练思维 14．在实数范围内，下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．下列各组数中互为相反数的是() A．与 B．与 C．与 D．与 16．如图所示的是嘉琪同学的答卷，她的得分应是（   ） 姓名：嘉琪得分：____ 填空题（每小题20分，共100分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③； ④平方根与立方根相等的数是； ⑤． A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 17．实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，依次连结O，P，Q，R四点，可以得到一个阴影正方形，借助圆规就能准确地把表示在数轴上点处．记左侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记左侧最近的整数点为，以为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 19．计算：． 20．（1）若实数互为相反数，互为倒数，是16的平方根，求的值； （2）若的小数部分为，的整数部分为，求的值． 21．小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为． (1)求正方形纸片的边长． (2)若长方形纸片能裁出来，求它的长． (3)小丽不知能否裁出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 拓展探究练 提素养 22．项目式学习 设计合适的盒子 素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．小志制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，这把团扇的扇面面积为． 素材2 为了美观，小志特设计一个底面积为，长，宽，高的比为的长方体纸盒进行包装． 任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为________； （2）根据素材2，求出该长方体盒子的长； （3）如果只考虑团扇的面宽，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $