6.4.3.2 正弦定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3.2 正弦定理　 学习目标： 1、理解并掌握正弦定理的内容； 2、掌握正弦定理证明的方法； 3、正确选择正、余弦定理解简单的三角形问题。 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即 复习回顾 思考：在上节课中，若已知两边及一角或三边，可以利用余弦定理解三角形。那么，若已知三角形两角及一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ 在初中，我们有三角形中等边对等角的理论 实际上，三角形中还有大边对大角的边角关系 从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：在中，设的对边为，的对边为，求之间的定量关系. 可以解决“在中，已知，求”的问题. 新知探究 问题1：通过对直角三角形的研究，观察它的角和三边之间的关系，猜想它们之间的联系. A B C c b a 根据锐角三角函数，在中，有: 则： 又因为所以 新知探究 问题2：对锐角三角形和钝角三角形，关系式是否仍成立？ A C a b B D 锐角三角形 钝角三角形 D A B C a b c ； 即： 同理，有 即： ； 即： 同理，有 即： c 方法一：用几何法证明正弦定理 新知探究 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： （为外接圆半径）. 新知探究 外接圆法 D 如图，的外接圆为圆，其半径为， 连接并延长，交三角形的外接圆于点，连接， 易知， °,，且 在中，，且 同理可得， ， 综上， 方法二：用外接圆法证明正弦定理 新知探究 方法三：用向量知识证明正弦定理 分析：可用由诱导公式：sinθ=cos(90θ)转化。 A C B 夹角的确定为我们构造数量积创造了有利条件。 追问1:向量的数量积的定义中两向量的夹角是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢？ 这一转化产生了新角90θ，为了方便证明， 就需要添加垂直于三角形一边的单位向量。 则： 问题3：你能用其他方法证明关系式成立吗？ 新知探究 证明： ①如图，在锐角△ABC中，过点A作与 垂直的单位向 量j，则j与 的夹角为 －A，j与 的夹角为 －C. 因为 ＋ ＝ ，所以j·（ ＋ ）＝j· . 由分配律，得j· ＋j· ＝j· ，即｜j｜｜ ｜· cos ＋｜ j｜｜ ｜ cos （ －C）＝｜j｜｜ ｜ cos （ －A）， 方法三：用向量知识证明正弦定理 问题3：你能用其他方法证明关系式成立吗？ 新知探究 ②当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角（如图所示）， 过点A作与 垂直的单位向量j，则j与 的夹角为A－ ，j与 的夹 角为 －C， 仿照上述方法，同样可得 ＝ ＝ . 也即a sin C＝c sin A，所以 ＝ .同理，过点C作与 垂直的单位向量m，可得 ＝ .因此 ＝ ＝ . 方法三：用向量知识证明正弦定理 新知探究 (1)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A. (2)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. (3)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C．　 (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝. (5) 正弦定理变形 边化角 角化边 新知探究 例1：在中，已知，，，解这个三角形. 解：由三角形内角和定理，得： 由正弦定理，得： 已知ASA 正弦定理可以解决已知两角，及其中一角的邻边(ASA)的解三角形问题。 典例探究一|已知两角及一边解三角形 先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边. 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如)，再根据上述思路求解. 已知两角及一边解三角形的策略 典例探究一|已知两角及一边解三角形 训练1：在中，已知，，则 【答案】： 已知AAS 正弦定理可以解决已知两角，及其中一角的对边(AAS)的解三角形问题。 结论：我们利用正弦定理可以解决一些解三角形问题 1．已知三角形的任意两个角与一边，解三角形． 2．已知三角形任意两边与其中一边的对角，解三角形． 典例探究一|已知两角及一边解三角形 例2：在中，已知，，，解这个三角形. 解：由正弦定理 ，得： 因为，所以 于是或 ①当时， 此时， 已知SSA ②当时， 此时， 典例探究二|已知两边及其中一边的对角解三角形 训练2：在中，已知求. 解：∵ ，∴，解得. 又∵，，∴. ∴， ， ∴. 已知SSA 典例探究二|已知两边及其中一边的对角解三角形 变式2-1：在中，已知，，求边的长. 解：由，得. ∵，∴，∴或. ①当时，. 此时，. ②当时，. 此时，. 综上知或. 已知SSA 典例探究二|已知两边及其中一边的对角解三角形 思考：在前面的题目中我们可以发现，有一些三角形有一个解，有一些有两个解，为什么会出现这一情况？ 由三角函数的性质可知， 在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解； 正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解. 典例探究二|已知两边及其中一边的对角解三角形 三角形解的个数判断 已知三角形的两边和其中一边的对角，可求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.判断方法如下： （1）代数法：三角形解的个数可由三角形中“大边对大角”来判定.不妨 设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解.若a＜b，则A ＜B，由正弦定理得 sin B＝ ， ① sin B＞1，即a＜b sin A，无解； ② sin B＝1，即a＝b sin A，一解； ③ sin B＜1，即b sin A＜a＜b，两解. 提能点|三角形解的个数问题 分类 图形 关系式 解的个数 A为锐角 a＜b sin A 无解 a＝b sin A 一解 （2）几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为 半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个 数，见下表： 提能点|三角形解的个数问题 分类 图形 关系式 解的个数 A为锐角 b sin A＜a＜b 两解 a≥b 一解 A为钝角或直角 a＞b 一解 a≤b 无解 例3：不解三角形，判断下列三角形解的个数（△ABC中，角A， B，C的对边分别为a，b，c）： （1）a＝5，b＝4，A＝120°； 解： （1） sin B＝ sin 120°＝ × ＜ ，所以三角形有一解. 提能点|三角形解的个数问题 （2）a＝9，b＝10，A＝60°； （3）b＝72，c＝50，C＝135°. （2）a＝9，b＝10，A＝60°； 解： sin B＝ sin 60°＝ × ＝ ，而 ＜ ＜1. 所以当B为锐角时，满足 sin B＝ 的角B的取值范围是60°＜B＜90°. 满足A＋B＜180°； 当B为钝角时，满足 sin B＝ 的角B的取值范围是90°＜B＜120°，也 满足A＋B＜180°.故三角形有两解. 提能点|三角形解的个数问题 （3）b＝72，c＝50，C＝135°. 解： sin B＝ ＝ sin C＞ sin C＝ . 所以B＞45°，所以B＋C＞180°，故三角形无解. 提能点|三角形解的个数问题 训练3. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列判断正确的是（　　） A. B＝30°，c＝4，b＝5，有两解 B. B＝30°，c＝4，b＝3.9，有一解 C. B＝30°，c＝4，b＝3，有一解 D. B＝30°，c＝4，b＝1，无解 √ 提能点|三角形解的个数问题 解析：　选项A，因为b＝5＞c＝4，所以B＝30°＞C，△ABC只有一 解，故A错误；选项B，因为c sin 30°＝2＜b＝3.9＜c＝4，所以△ABC 有两解，故B错误；选项C，因为c sin 30°＝2＜b＝3＜c＝4，所以△ABC 有两解，故C错误；选项D，因为b＝1＜c sin 30°＝2，所以△ABC无解， 故D正确.故选D. (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断出另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一. (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求出两个角，要分类讨论. 已知两边及一边的对角解三角形的方法 典例探究二|已知两边及其中一边的对角解三角形 例3：在中，若且试判断的形状. 解：(法一)根据正弦定理，得 . ∵∴ ∴是直角，， ∴ ∴.∵，∴ ∴是等腰直角三角形. 典例探究三|判断三角形的形状 例3：在中，若且试判断的形状. 解：(法二)根据正弦定理，得 . ∵∴ ∴是直角， ∵ ∴ ∴.又，∴ ∴是等腰直角三角形. 典例探究三|判断三角形的形状 (1)化边为角，常用的转化方式有：①为外接圆的半径)；② (2)化角为边，常用的转化方式有：①为外接圆的半径)；② 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等. 利用正弦定理判断三角形形状的方法 典例探究三|判断三角形的形状 练习3（1）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5，则△ABC的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 √ 典例探究三|判断三角形的形状 （2）在中，若且那么一定是（ ） ．等腰直角三角形 ．直角三角形 ．等腰三角形 ．等边三角形 【答案】： （3）在中，若且那么一定是（ ） ．等腰直角三角形 ．直角三角形 ．等腰三角形 ．等边三角形 【答案】： 典例探究三|判断三角形的形状 课堂小结 1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列等式正确的 是（　　） A. a∶b＝A∶B B. a∶b＝ sin A∶ sin B C. a∶b＝ sin B∶ sin A D. a sin A＝b sin B 解析：　由正弦定理 ＝ 可得a∶b＝ sin A∶ sin B，可知B正确. √ 课堂达标检测 2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝4 ，b＝ 4 ，B＝45°，则A＝（　　） A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 以上答案都不对 解析：　由正弦定理 ＝ ，得 sin A＝ ＝ .∵a＞b，∴A＞ B，∴A＝60°或120°. √ 课堂达标检测 3. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，A＝ 45°，B＝30°，则b的值及△ABC外接圆的半径分别为（　　） A. ，2 B. ， C. 2 ， D. 2 ，2 解析：　由正弦定理可得b＝ ＝ ＝ .设△ABC的外接圆的半径 为R，则由正弦定理可得2R＝ ＝ ＝2 ，所以R＝ .故选B. √ 课堂达标检测 4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝6 ，c ＝6，C＝30°，求a. 解：由正弦定理，得 ＝ ，得 sin B＝ ＝ . 因为b＞c，所以B＞C＝30°，所以B＝60°或B＝120°. 当B＝60°时，A＝90°，a＝ ＝ ＝12； 当B＝120°时，A＝30°，a＝ ＝ ＝6. 所以a＝6或a＝12. 课堂达标检测 谢谢大家！ $