6.4.3.1余弦定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3.1 余弦定理 学习目标： （1）理解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理内容及公式变形。 （2）能用余弦定理解决已知两边及夹角或已知三边的两类三角形问题。 （3）通过实际问题引导，经历猜想、验证、推导的探究过程，提升数学建模素养与逻辑推理素养。 ？ 老欧，我想拜您为师？ 我要先考考你？合格录取！ 余弦定理都不会，还拜啥！快去跟刘老师学定理吧！ 3 4 不错不错！再考考你…夹角C=600呢？ 古希腊有个数学家叫欧几里得，写了本书叫《几何原本》，给现在的很多学生带来困扰，然而…… 我是华山 A B C A B C C 情境引入 哈哈，简单，勾股定理，5里！ 若为任意三角形，已知角求边 c. 由向量减法的三角形法则得 b a c A B C 新知探究 提示：如图，设 ＝a， ＝b， ＝c， 那么c＝a－b，① 我们的研究目标是用｜a｜，｜b｜和C表示｜c｜， 联想到数量积的性质c·c＝｜c｜2， 可以考虑用向量c（即a－b）与其自身作数量积运算. 由①得｜c｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b） ＝a·a＋b·b－2a·b ＝a2＋b2－2｜a｜｜b｜ cos C. 所以c2＝a2＋b2－2ab cos C. 余弦定理(law of cosines) 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 C B A b a c 已知两边和它们的夹角求第三边 新知探究 ？ a=3 b=4 A B C 600 情境解决 ？ a=3 b=4 A B C 情境解决 一般地，三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c叫做三角形的元素。 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形(solving.triangles) 思考1：若已知a,b,c,可以求什么？ 余弦定理推论 新知探究 思考3：A为锐角或钝角时，三边a，b，c有什么关系？ 勾股定理 令A＝900 请问：A为锐角时，∆ABC就是锐角三角形吗？ 思考2：勾股定理、余弦定理之间的联系？ 根据推论 新知探究 解：由余弦定理得 例1：（1）在△ABC中，已知, 解三角形. 典例1——已知三边解三角形 （2）（链接教材P43例5、P44例6）（1）在△ABC中，内角A，B， C的对边分别是a，b，c.若a＝2，b＝3，c＝ ，则C＝（　C　） A. B. C. D. 解析： 因为a＝2，b＝3，c＝ ，所以 cos C＝ ＝ ＝ .因为C∈（0，π），所以C＝ .故选C. C 典例1——已知三边解三角形 （3）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a∶b∶c＝ 4∶5∶6，则其最大内角的余弦值为（　A　） A. B. C. D. 解析： 根据题意，设a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0，且最大角为 C，所以 cos C＝ ＝ ＝ .故选A. A 典例1——已知三边解三角形 已知三边求解三角形的方法 （1）已知三角形的三边求角时，可利用余弦定理求解； （2）若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化 为已知三边求解.在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角. 典例1——已知三边解三角形 训练1（1）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a ＝3，b＝ ，c＝7，则A＋C的值为（　C　） A. B. C. D. 解析： 在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos B＝ ＝ ＝ ，又0＜B＜π，所以B＝ ，所以A＋C＝ .故选C. C 典例1——已知三边解三角形 （2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ 3 ，b＝3，B＝30°，解这个三角形. 解：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2ca cos B，即c2－9c＋18＝0， 解得c＝3或c＝6.当c＝3时， cos A＝ ＝－ ， 因为0°＜A＜180°，所以A＝120°，故C＝180°－120°－30°＝30°； 当c＝6时， cos A＝ ＝ ， 因为0°＜A＜180°，所以A＝60°，故C＝180°－60°－30°＝90°. 综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3. 典例1——已知三边解三角形 例2（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已 知b＝3，c＝2 ，A＝30°，则a＝ 　 　； 解析： 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝32＋（2 ）2－ 2×3×2 cos 30°＝3，所以a＝ . 　 典例2——已知两边及一角解三角形 （2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝ ， c＝2， cos A＝ ，则b＝ ⁠. 解析： 由余弦定理得5＝22＋b2－2×2b cos A，因为 cos A＝ ，所以 3b2－8b－3＝0，所以b＝3（b＝－ 舍去）. 3　 已知两边及一角解三角形的两种情况 （1）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用 余弦定理和三角形内角和定理求其他角； （2）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元 二次方程求解. 典例2——已知两边及一角解三角形 训练2（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝ 3 ，c＝2，A＋C＝ ，则b＝（　A　） A. B. 6 C. 7 D. 8 解析： 因为A＋C＝ ，所以B＝π－（A＋C）＝ ，因为a＝ 3 ，c＝2，所以由余弦定理得b＝ ＝ ＝ . A 典例2——已知两边及一角解三角形 （2）已知△ABC中，AB＝ ，BC＝1，A＝30°，则AC＝ ⁠. 解析： 在△ABC中，令角A，B，C的对边分别为a，b，c，则AB ＝c＝ ，BC＝a＝1， cos A＝ ，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得1＝b2＋3－3b，解得b＝1或b＝2，则AC＝1或AC＝2. 1或2　 典例2——已知两边及一角解三角形 思考4：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直 角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？ 提示：A为直角⇔a2＝b2＋c2； A为锐角⇔b2＋c2＞a2（前提是b，c是两个较小边）； A为钝角⇔b2＋c2＜a2. 典例3——判断三角形的形状 例3：在△ABC中，若 cos A－ cos B＋ ＝0，则△ABC的形状是 （　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 D 典例3——判断三角形的形状 解：由 cos A－ cos B＋ ＝0，得a－c cos B＝b－c cos A，由余弦 定理的推论得a－c· ＝b－c· ，化简得 ＝ .当a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2时，△ABC为直角三角形；当 a2＋b2－c2≠0时，a＝b，则△ABC为等腰三角形.故△ABC为等腰三角形 或直角三角形，故选D. 判断三角形形状的两条思考路线 （1）先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； （2）先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. 典例3——判断三角形的形状 训练3：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝ 60°，a2＝bc，则△ABC一定是（　　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 解析：　在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得， a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即（b－ c）2＝0，所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形. √ 典例3——判断三角形的形状 余弦定理可以解决的有关三角形的问题： 1、解三角形 2、判断三角形的形状.(若a为最大边) 余弦定理： 推论: 小结 两边一角，三边 课堂小结 1.理清单 （1）余弦定理及推论； （2）利用余弦定理解三角形； （3）应用余弦定理判断三角形的形状. 2.应体会 在解三角形的过程中，余弦定理及推论可以做到“知三求一”，体现了转化与化归、方程的思想方法. 3.避易错 三角形的隐含条件，如内角和为180°，两边之和大于第三边. 课堂小结 1. 在△ABC中，AC＝2AB＝4， cos A＝ ，则BC＝（　　） A. 2 B. 3 C. D. 4 解析：　由已知及余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos A＝4 ＋16－2×2×4× ＝18.故BC＝3 . √ 达标检测 2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ ，b＝ 1，c＝2，则A＝（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 解析：　由余弦定理的推论得 cos A＝ ＝ ＝ ，又A为 △ABC的内角，所以A＝60°. √ 达标检测 3. △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝b cos A，则△ABC一定是（　　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 解析：　由余弦定理有c＝b· ，整理得b2＝a2＋c2，故△ABC 一定是直角三角形.故选C. √ 达标检测 4. 在△ABC中，已知b＝ ，c＝ ，B＝30°，解这个三角形. 解：由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B， 得（ ）2＝a2＋（ ）2－2a× × cos 30°， 即a2－3 a＋10＝0，解得a＝ 或a＝2 . 当a＝ 时，A＝30°，C＝120°； 当a＝2 时，a2＝20＝b2＋c2，所以该三角形为直角三角形，且A＝ 90°，C＝60°. 达标检测 谢谢大家！ $