6.3.2-6.3.3 平面向量的分解及加减运算的坐标表示 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加减运算的坐标表示 学习目标: (1)理解向量正交分解及坐标表示的意义; (2)掌握两个向量的和、差以及向量数乘的坐标运算法则; (3)理解坐标表示的平面向量共线的条件,并会解决向量共线问题。 知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示 01 PART 目 录 如果是同一平面内的两个_向量,那么对于这一平面内的_向量,_实数,使 1. 平面向量的基本定理 有且只有一对 若 _,我们把叫做表示这一平面内_向量的一个基底. 不共线 所有 2. 基底 不共线 任一 M N O 复习回顾 在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便。 的长度为多少时更方便我们研究呢? M N O 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解. 1. 平面向量的正交分解 新知探究 O x y 在平面直角坐标系中,设与轴、轴方向相同的两个单位向量 取 作为基底. 对于平面内的任意一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数,使得 思考:我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示. 那么,如何表示直角坐标平面内的每一个向量呢? M N 新知探究 我们把有序数对叫做向量 的坐标,记作: O 对于平面内的任意一个向量 ,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数 ,使得 叫做 在 轴上的坐标 叫做 在 轴上的坐标, 叫做向量 的坐标表示, 特殊向量的坐标: 注:每个向量都有唯一的坐标. 新知探究 6 O 新知探究 2.以原点O为起点作,点A的坐标与向量的坐标关系如何? 两者相同 1.以原点O为起点作,点A的位置由谁确定? 由唯一确定 注意:相等向量的坐标是相同的,但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同. 3.向量与相等,利用坐标如何表示? 当且仅当向量的起点为原点时,向量终点的坐标等于向量本身的坐标. x y 新知探究 4.向量坐标与点坐标区别: (1)表达形式不同,如 (3)符号在平面直角坐标系中有双重意义: ①表示一个固定的点②表示一个向量.为了加以区分,在叙述中,常说点或向量. 向量有等号,点无等号 (2)给定一个向量,它的坐标是唯一的; 给定一个有序实数对,由于向量可以平移,故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个. 新知探究 牛刀小试: 如图,用基底分别表示向量 并求它们的坐标. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 A B 1 2 -2 -1 y 4 5 3 -4 -3 -5 (1)向量的坐标表示 新知探究 (2)向量坐标与点的坐标的关系 在直角坐标平面中,以原点O为起点作 =a,设 =xi+yj,则向量 的坐标(x,y)就是 的坐标;反过来,终点A的坐标 (x,y)也就是向量 的坐标. 终点A 典例探究 例1:(链接教材P29例3)如图所示,在边长为1的正方形ABCD中, AB与x轴正半轴成30 角.求点B和点D的坐标以及向量 与 的坐标. 解:由题意及题图知B,D分别是30 角,120 角的终边与单位圆的交点. 设B(x1,y1),D(x2,y2),由三角函数的定义, 得x1= cos 30 = ,y1= sin 30 = , x2= cos120 =- ,y2= sin 120 = , ∴B( , ),D(- , ), 又A(0,0),∴ =( , ), =(- , ). 训练1(1)已知 =(-2,4),则下列说法正确的是( D ) A. 点A的坐标是(-2,4) B. 点B的坐标是(-2,4) C. 当B是原点时,点A的坐标是(-2,4) D. 当A是原点时,点B的坐标是(-2,4) D 典例探究 (2)已知长方形ABCD的长为4,宽为3,建立如图所示的平面直角坐标 系,i是与x轴方向相同的单位向量,j是与y轴方向相同的单位向量,则 和 的坐标分别为 . (4,3),(-4,3) (2)已知长方形ABCD的长为4,宽为3,建立如图所示的平面直角坐标 系,i是与x轴方向相同的单位向量,j是与y轴方向相同的单位向量,则 和 的坐标分别为 . 解析:由题图知,CB⊥x轴,CD⊥y轴,因为 AB=4,AD=3,所以 =4i+3j,所以 =(4,3);因为 = + =- + =-4i+3j,所以 =(-4,3). (4,3),(-4,3) 典例探究 知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示 02 PART 目 录 思考1: 已知向量,你能得出的坐标吗? 向量的加法;三角形法则、平行四边形法则. 向量的减法;三角形法则 向量差的三角形法则 新知探究 思考:已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),作出a+b,a-b的坐标. 提示:a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2) j,即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2). 新知探究 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: (1)a+b= ;a-b= , 即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) 【知识梳理】 新知探究 思考2:如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样求 的坐标? (2)向量坐标的几何意义: 如图所示,在平面直角坐标系中,若A(x1,y1),则 =(x1,y1), 若A(x1,y1),B(x2,y2),则 = . 结论:(1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 的坐 标减去 的坐标; (2)两向量相等,对应坐标分别 . 终点 起点 相等 (x2-x1,y2-y1) 提示: = - =(x2,y2)-(x1,y1) =(x2-x1,y2-y1). 例2(1)(链接教材P29例4)已知向量a=(2,4),a+b= (3,2),则b= ,b-a= ; 解析: b=a+b-a=(3,2)-(2,4)=(1,-2).b-a= (1,-2)-(2,4)=(-1,-6). (2)已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和D(-2,3),则 + + 的坐标为 . 解析: =(-3,5), =(-4,2), =(-5,1),所 以 + + =(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8). (1,-2) (-1,-6) (-12,8) 典例探究 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则进行 计算; (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,再进行向 量的坐标运算; (3)向量的坐标运算可类比数的运算进行. 典例探究 训练2:已知点A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设 = a, =b, =c,且 =c, =b. (1)求a+b-c; 解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)a+b-c=(5,-5)+(-6,-3)-(1,8)=(-2,- 16). 典例探究 (2)求点M,N的坐标及向量 的坐标. 解: 设O为坐标原点, ∵ = - =c, ∴ =c+ =(1,8)+(-3,-4)=(-2,4), ∴M(-2,4). 又∵ = - =b, ∴ =b+ =(-6,-3)+(-3,-4)=(-9,-7), ∴N(-9,-7), ∴ =(-9,-7)-(-2,4)=(-7,-11). 典例探究 03 PART 提能点 平面向量坐标运算的应用 目 录 例3(链接教材P30例5)如图,已知平行四边形ABCD的三个顶点 B,C,D的坐标分别是(-1,3),(3,4),(2,2),求: (1)向量 的坐标; 解:因为点B,C的坐标分别是(-1,3), (3,4), 所以 =(3,4)-(-1,3)=(4,1). 提能点|平面向量坐标运算的应用 (2)顶点A的坐标. (2)顶点A的坐标. 解: 设顶点A的坐标为(x,y), 因为四边形ABCD为平行四边形,点D的坐标是(2,2),所以 =(2 -x,2-y), 所以 = ,即(4,1)=(2-x,2-y), 所以 解得 所以顶点A的坐标为(-2,1). 提能点|平面向量坐标运算的应用 坐标形式下向量相等的条件及应用 (1)条件:相等向量的对应坐标相等; (2)应用:利用坐标形式下向量相等的条件,可以建立相等关系即构造 方程(组),由此可以求出某些参数的值或点的坐标. 提能点|平面向量坐标运算的应用 训练3:已知点A(2,3),B(5,4), =(5 ,7 )( ∈R).若 = + ,试求 为何值时: (1)点P在第一、三象限的角平分线上; 解:设点P的坐标为(x,y),则 =(x,y)-(2,3)=(x- 2,y-3), + =(5,4)-(2,3)+(5 ,7 )=(3,1)+ (5 ,7 )=(3+5 ,1+7 ).∵ = + ,且 与 不共线,∴ 则 (1)若点P在第一、三象限的角平分线上,则5+5 =4+7 ,∴ = . 提能点|平面向量坐标运算的应用 (2)点P在第三象限内. 解: 若点P在第三象限内,则 ∴ <-1. 提能点|平面向量坐标运算的应用 1.理清单 (1)平面向量的正交分解及坐标表示; (2)平面向量加、减运算的坐标表示; (3)平面向量坐标运算的应用. 2.应体会 平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式,只是 要求两个向量互相垂直;向量的和与差的坐标就是它们对应向量坐标的 和与差;两个向量相等,则它们的坐标相同. 3.避易错 (1)向量的坐标不一定是终点的坐标; (2) 的坐标一定是终点B的坐标减去起点A的坐标. 课堂小结 1. 已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b+a=( ) A. (-2,1) B. (2,-1) C. (2,0) D. (4,3) 解析: 因为a=(1,2),b=(3,1),所以b+a=(3,1)+ (1,2)=(4,3).故选D. √ 课堂达标检测 2. 如果用i,j分别表示与x轴和y轴方向相同的单位向量,且A(2, 3),B(4,2),则 可以表示为( ) A. 2i+3j B. 4i+2j C. 2i-j D. -2i+j 解析: 设O为坐标原点,因为A(2,3),B(4,2),所以 =2i +3j, =4i+2j,所以 = - =4i+2j-2i-3j=2i-j. √ 课堂达标检测 3. 如图,分别用基底{i,j}表示向量 a,b,c,则a+b+c=( ) A. (-4,6) B. (-6,0) C. (-2,-4) D. (0,2) 解析: 因为a=-i-3j=(-1,-3),b=-3i+j=(-3, 1),c=2i-2j=(2,-2),所以a+b+c=(-2,-4). √ 课堂达标检测 4. 已知边长为单位长度的正方形ABCD,若A点与坐标原点重合,边 AB,AD分别落在x轴,y轴的非负半轴上,则向量 - + 的坐标 为 . 解析:因为 - + = +( + )= + ,由题意得A (0,0),B(1,0),所以 =(1,0),故 - + = + =(1,0)+(1,0)=(2,0). (2,0) 课堂达标检测 谢谢大家! $