第三章圆的单元练习 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

北师大版九年级下册数学第三章圆的单元练习 一、单选题 1．的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．无法确定 2．下列语句中，不正确的是( ) A．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合 D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 3．如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 5．已知方程x2－7x＋12＝0的两根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，则这个直角三角形的外接圆的直径为（） A．2.5 B．6 C．5 D． 6．若O是ABC的内心，当时，（    ） A．130° B．160° C．100° D．110° 7．如图，在等腰 Rt△ABC 中，AC＝BC＝ 2，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PC的中点．当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长是（    ） A．2 B．2 C．π D．π 8．若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A∶∠B∶∠C＝1∶4∶8，则∠D的度数是(  ) A．10° B．30° C．80° D．100° 9．如图，将边长为的正六边形铁丝框（面积记为），变形为以点为圆心，为半径的扇形（面积记为），则的值为（    ）    A． B． C．1 D． 10．如图，已知在中，，，将绕点逆时针旋转．得到．点是边的中点，点为边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是（    ）． A． B． C． D．18 二、填空题 11．如图，点A在半圆O上，是直径，．若，则的长为 __． 12．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为_______寸． 13．如图，在中，为弦，于点C，交于点D，E，连接，，则图中存在的相等关系有_________（写出两组即可）． 14．设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的外接圆面积为_____． 15．如图，是的切线，弦与过切点的直径交于点 E，的延长线与切线交于点 P，连接．若，则线段的长为________．    三、解答题 16．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦，分别与小圆相切于点D、E．求证：． 17．如图，正六边形的半径为5． (1)求对角线的长； (2)求这个正六边形的周长与面积． 18．如图，已知在⊙O中，AB=，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°． （1）求出图中阴影扇形OBD的周长？ （2）求出图中阴影扇形OBD的面积？ 19．如图，正方形的边长为2，以为半径作圆，为弧上的一点，过点作于点，连接、． (1)求证：； (2)连接，求的最小值． 20．如图，是的直径，是的弦，，垂足为M，E为上一点，且，连接交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．如图，中，，点为上一点，且，过三点作，是的直径，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 22．如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E、F分别在边AD、AB上，且AE＝1． （1）当m＝3，AF：FB＝1：3时，求证：AEF∽BFC； （2）当m＝3.5时，用直尺和圆规在图②的线段AB上确定所有使AEF与以点B、F、C为顶点的三角形相似的点F（请保留画图痕迹）； （3）探究：对于每一个确定的m的值，线段AB上存在几个点F，使得AEF与以点B、F、C为顶点的三角形相似？（直接写出结论即可） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《北师大版九年级下册数学第三章圆的单元练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C C A C D A C 11． 12．26 13．；（答案不唯一） 14． 15．4 16．连接， ∵分别与小圆相切于点D、E， ∴，，， ∵是大圆的弦， ∴，， ∴． 17（1）解：连接，， 正六边形的半径等于边长， ，， ， ， ， ， ，； （2）解：如图，连接，，作于点， 由题意得； ∴正六边形的周长； ∴， 正六边形的面积． 18．解：（1）∵AC⊥BD于F，∠A=30°， ∴∠BOC=60°，∠OBF=30°，∠BOD=120°， ∴BF=AB=， 在Rt△BOF中，OB=， 即⊙O的半径为3； 又的长=， ∴阴影扇形OBD的周长=2π+6； （2）图中阴影扇形OBD的面积=． 19（1）解：∵四边形是正方形， ， ，即， ， ， ， ， ； （2）连接、交于点，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 当、、三点共线且时，最小， 当、、三点共线时，最小， 此时， ， 的最小值为． 20．（1）证明：∵是的直径，， ， 又， ， ． （2）解：连接， 由（1）可知， ， 在中，， ∴， ∴， 设， 则在中，， ， 解得：， ． 21．（1）解：如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点作于点，则， ∵，， ∴， 在中，∵， ∴， 设，，则， ∴， 解得， ∴，， ∴， 由（）知，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的半径为． 22．（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵AE＝1，BC＝m＝3，AF：FB＝1：3， ∴， ∴AEF∽BFC； 解：（2）如图，延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连接CE′，交AB于点F1； 连接CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F3．点F1、F2、F3即为所求； （3）如（2）中所作图形，当m=4时，由已知条件可得DE＝3，则CE＝5，即圆的直径为5，由梯形中位线定理可得此时圆心到AB的距离为2.5，等于半径，点F2、F3重合，符合条件的点F有2个；当m＞4时，圆和AB相离，此时点F2、F3不存在，即符合条件的点F只有1个；当1＜m＜4且m≠3时，符合条件的点F有3个； 综上所述，可得：当1＜m＜4且m≠3时，有3个；当m=3时，有2个；当m=4时，有2个；当m＞4时，有1个． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $