整式的乘法7种高频考点专项训练-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

整式的乘法7种高频考点专项训练 整式的乘法7种高频考点专项训练 考点目录 单项式乘单项式 单项式乘多项式 多项式乘多项式 （x+p）（x+q）型多项式的乘法 多项式乘法与面积问题 多项式乘法与规律探究问题 利用多项式的乘法求字母或代数式的值 考点一 单项式乘单项式 例1．（24-25七年级下·云南昭通·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级下·福建厦门·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25七年级下·宁夏中卫·月考）计算：______． 例4．（24-25七年级下·广东佛山·月考）计算：___________． 变式1．（24-25七年级下·广东深圳·月考）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·湖南株洲·月考）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）计算_______． 变式4．（25-26八年级上·四川乐山·期末）计算：______． 考点二 单项式乘多项式 例1．（24-25七年级下·福建福州·月考）一个长方体的长、宽、高分别是，和，则它的体积等于（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级下·山东青岛·月考）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知，则代数式_____． 例4．（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是________． 变式1．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）计算： （    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）计算__________ 变式4．（25-26七年级上·山东济南·期末）计算：_____． 考点三 多项式乘多项式 例1．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）若，，a为有理数，则的值是（　　） A．为正数 B．为负数 C．为非正数 D．不能确定 例2．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）要使的展开式中项系数为1，则的值为（    ） A． B．2 C．0 D．1 例3．（24-25七年级下·江苏南通·月考）已知的展开式中不含和项，则____，_____． 例4．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）若，则_______． 变式1．（24-25七年级下·山东潍坊·月考）若，则代数式的值为（    ） A．16 B． C．20 D． 变式2．（24-25七年级下·江西赣州·月考）下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知，，则M与N的大小关系是______． 变式4．（25-26八年级上·山东德州·期末）若的计算结果中项的系数为，则的值为________． 考点四 （x+p）（x+q）型多项式的乘法 例1．（25-26八年级上·河南周口·期末）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 例3．（24-25七年级下·江苏常州·期中）若，则的值为____ ． 例4．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知，为常数，且为恒等式，则________． 变式1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，则的值为(　　)． A．， B．， C．， D．， 变式2．（24-25七年级下·山东青岛·月考）若，则p、q的值是（   ） A．3，10 B．10，3 C．， D．3， 变式3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)已知，则__________． (2)若，则__________． 变式4．（25-26八年级上·四川自贡·期末）已知关于的代数式有，则___________． 考点五 多项式乘法与面积问题 例1．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）有下列四个表达式： ①；②；③；④．其中不能表示如图所示的正方形的面积的是___________（填序号）． 例2．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）如图，点F在内，，于点E，于点D，且，，四边形的面积分别为3，9，6，则的面积为________． 例3．（24-25七年级下·山东青岛·月考）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的面积为______． 例4．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，为利用图形面积说明平方差公式，先构造面积为的长方形，再过上的裁切点作这条边的垂线，若沿着这条垂线将这个长方形裁开，两部分能拼接成面积为的图形，则裁切点到的距离为_____．（用含或的式子表示） 变式1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，大长方形地面是由两个相同的长方形和两个相同的大正方形以及两个相同的小正方形地砖铺成的（既不重叠也无缝隙）．小正方形地砖的面积和大正方形地砖的面积之比为，若阴影部分的面积为，则大长方形的面积可以表示为______． 变式2．（25-26八年级上·北京丰台·期末）如图，某小区准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建两条宽为的小路，则草坪（阴影部分）的总面积为___________． 变式3．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图是某公司的平面结构示意图，用含、的式子表示会议厅比办公区多出的面积为_____．注：（图形中的四边形均是长方形或正方形）． 变式4．（25-26八年级上·陕西安康·月考）如图1，一个小长方形的长为，宽为a，把5个大小相同的小长方形放入图2的大长方形内，则下列说法：①大长方形的长为；②大长方形的面积为；③阴影部分的面积为；④若，大长方形的面积为，大长方形内阴影部分的面积为，则．正确的有______．（填序号） 考点六 多项式乘法与规律探究问题 例1．（25-26七年级上·福建漳州·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 三角形解释”展开式各项系数之间的关系，此三角形称为 “杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为3，则的展开式中第三项的系数为（       ） A．1 B．5 C．10 D．15 例2．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）“杨辉三角”(如图)，是中国古代数学无比睿智的成就之一，见“杨辉三角”可以解释 (n为非负整数)计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，小明经过仔细观察，还发现 (n为非负整数)计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2025，余数为2023． 其中，正确的是(　　) A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 例3．（25-26八年级上·天津·月考）观察下列式子： ；；． 利用上面式子存在的规律，计算：________． 例4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）观察下列各式： ， …… 请根据你发现的规律完成下列各题． （1）___________（其中为正整数）； （2）___________． 变式1．（25-26八年级上·福建福州·月考）杨辉三角是数学之花，是中国古代数学的伟大成就．它有许多有趣的性质和用途，这个由数字排列成的三角形数就称为杨辉三角，如图，其中每一横行都表示，(此处n为自然数)的展开式中各项的系数．那么展开式中第四项的系数为(    ) A．8 B．10 C．18 D．20 变式2．（25-26八年级上·四川资阳·期末）观察下列各式，寻找规律．已知，计算： ，， ，，… 则的个位数字是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将此表称为“杨辉三角”．如图所示，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，则的值是______． 变式4．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）小明同学在计算时发现一次项可以利用交叉相乘再相加的规律算得．例如计算时一次项为．仿照小明的方法，计算展开式中项的系数为______．（用含n的代数式表示） 考点七 利用多项式的乘法求字母或代数式的值 例1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 例3．（24-25七年级下·广东河源·月考）若，则________． 例4．（24-25七年级下·湖南怀化·月考）若，则的值为 __． 变式1．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 变式2．（24-25八年级上·河南南阳·月考）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 变式3．（25-26八年级上·广东广州·月考）若，，则____________． 变式4．（25-26八年级上·四川巴中·月考）如果与相乘的结果是，那么__，__，___． 2 学科网（北京）股份有限公司 $整式的乘法7种高频考点专项训练 整式的乘法7种高频考点专项训练 考点目录 单项式乘单项式 单项式乘多项式 多项式乘多项式 （x+p）（x+q）型多项式的乘法 多项式乘法与面积问题 多项式乘法与规律探究问题 利用多项式的乘法求字母或代数式的值 考点一 单项式乘单项式 例1．（24-25七年级下·云南昭通·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 例2．（24-25七年级下·福建厦门·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 故选：C． 例3．（24-25七年级下·宁夏中卫·月考）计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 例4．（24-25七年级下·广东佛山·月考）计算：___________． 【答案】 【详解】解：． 变式1．（24-25七年级下·广东深圳·月考）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴A选项中，，故A错误； ∵积的乘方，需将积中每个因式分别乘方，再把所得幂相乘， ∴B选项中，，故B错误； ∵单项式乘单项式，系数相乘，同底数幂分别按法则计算， ∴C选项中，，故C正确； ∵与底数不同，无法合并为以6为底的幂， ∴D选项中，，故D错误． 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·湖南株洲·月考）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项错误，不符合题意；     D．，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 变式3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）计算_______． 【答案】 【详解】解：． 变式4．（25-26八年级上·四川乐山·期末）计算：______． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 考点二 单项式乘多项式 例1．（24-25七年级下·福建福州·月考）一个长方体的长、宽、高分别是，和，则它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得   故选：C． 例2．（24-25七年级下·山东青岛·月考）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、等式左边，但等式右边为 ，两者不相等，计算错误，符合题意； B、等式左边 ，等于等式右边，不符合题意； C、等式左边 ，等于等式右边，不符合题意； D、等式左边 ，等于等式右边，不符合题意． 故选：A． 例3．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知，则代数式_____． 【答案】4 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为 4． 例4．（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是________． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 变式1．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）计算： （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 故选D 变式2．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， 又， ， 原式 ． 故选：． 变式3．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）计算__________ 【答案】 【详解】解： ． 变式4．（25-26七年级上·山东济南·期末）计算：_____． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 考点三 多项式乘多项式 例1．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）若，，a为有理数，则的值是（　　） A．为正数 B．为负数 C．为非正数 D．不能确定 【答案】B 【详解】解：∵， ∴ ∵为有理数， ∴ ∴ ∴， 即的值为负数． 例2．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）要使的展开式中项系数为1，则的值为（    ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】D 【详解】解： ， 的展开式中项系数为1， ， 解得：． 故选：D． 例3．（24-25七年级下·江苏南通·月考）已知的展开式中不含和项，则____，_____． 【答案】 3 9 【详解】解：． ∵展开式中不含和项， ∴项的系数，项的系数， 解得，； 故答案为：，． 例4．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）若，则_______． 【答案】3 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 变式1．（24-25七年级下·山东潍坊·月考）若，则代数式的值为（    ） A．16 B． C．20 D． 【答案】D 【详解】∵ , 又∵ , ∴ , ∴ 原式 . 变式2．（24-25七年级下·江西赣州·月考）下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与右边相等，正确，不符合题意； B、与右边相等，正确，不符合题意； C、而选项右边是，错误，符合题意； D、与右边相等，正确，不符合题意． 故选：C． 变式3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知，，则M与N的大小关系是______． 【答案】 【详解】∵ ， ∴， 故答案为：． 变式4．（25-26八年级上·山东德州·期末）若的计算结果中项的系数为，则的值为________． 【答案】3 【详解】解：展开 ． ∵项的系数为 ， ∴， 解得． 故答案为 3． 考点四 （x+p）（x+q）型多项式的乘法 例1．（25-26八年级上·河南周口·期末）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 故选：A． 例2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， 又∵， ∴对比对应项系数可得 ：， ∴． 例3．（24-25七年级下·江苏常州·期中）若，则的值为____ ． 【答案】 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴． 例4．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知，为常数，且为恒等式，则________． 【答案】 【详解】解：， 比较系数得：且， 解得 ，； ∴， 故答案为 变式1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，则的值为(　　)． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴． 变式2．（24-25七年级下·山东青岛·月考）若，则p、q的值是（   ） A．3，10 B．10，3 C．， D．3， 【答案】C 【详解】解：∵ ∴， 变式3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)已知，则__________． (2)若，则__________． 【答案】(1)2025 (2) 【详解】（1）解：， 整理得①， 又②， 将①代入②可得， 故答案为∶． （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为∶． 变式4．（25-26八年级上·四川自贡·期末）已知关于的代数式有，则___________． 【答案】3 【详解】解：展开左边代数式：=， 与右边代数式比较，得： 常数项：，解得； 一次项系数：，代入，得， 因此，， 故答案为：3． 考点五 多项式乘法与面积问题 例1．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）有下列四个表达式： ①；②；③；④．其中不能表示如图所示的正方形的面积的是___________（填序号）． 【答案】③ 【详解】解：由图可知，大正方形的边长为， 大正方形的面积为，故①能表示； 大正方形的面积也可以看作是四个小图形的面积之和，即，故②能表示； 大正方形的面积还可以看作是上下两个矩形的面积之和，上方矩形面积为，下方矩形面积为，总面积为，故④能表示； 而表示的是边长为的正方形的面积，与题意不符，故③不能表示． 例2．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）如图，点F在内，，于点E，于点D，且，，四边形的面积分别为3，9，6，则的面积为________． 【答案】6 【详解】解：由题意可得：的面积，的面积，四边形的面积， 设，，则，，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 例3．（24-25七年级下·山东青岛·月考）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的面积为______． 【答案】/ 【详解】解：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 根据图形可得，拼成的长方形的一边长为，另一边长为， 则这个长方形的面积为：． 例4．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，为利用图形面积说明平方差公式，先构造面积为的长方形，再过上的裁切点作这条边的垂线，若沿着这条垂线将这个长方形裁开，两部分能拼接成面积为的图形，则裁切点到的距离为_____．（用含或的式子表示） 【答案】b 【详解】解：如图，把长方形沿折叠，得到， ∵长方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，大长方形地面是由两个相同的长方形和两个相同的大正方形以及两个相同的小正方形地砖铺成的（既不重叠也无缝隙）．小正方形地砖的面积和大正方形地砖的面积之比为，若阴影部分的面积为，则大长方形的面积可以表示为______． 【答案】 【详解】解：设小正方形边长为，大正方形边长为， ∵小正方形地砖的面积和大正方形地砖的面积之比为， ∴，， 即：， ∵，， ∴． 故答案为：． 变式2．（25-26八年级上·北京丰台·期末）如图，某小区准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建两条宽为的小路，则草坪（阴影部分）的总面积为___________． 【答案】 【详解】根据题意，将两条小路分别平移到长方形草坪的边缘，此时草坪（阴影部分）可看作一个新的长方形， 新长方形的长为， 新长方形的宽为， 则阴影部分的面积为 故答案为：． 变式3．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图是某公司的平面结构示意图，用含、的式子表示会议厅比办公区多出的面积为_____．注：（图形中的四边形均是长方形或正方形）． 【答案】 【详解】解：会议厅的宽为：， ∴会议厅的面积为：， 办公区的面积为：， ∴会议厅比办公区多出的面积为：． 故答案为： ． 变式4．（25-26八年级上·陕西安康·月考）如图1，一个小长方形的长为，宽为a，把5个大小相同的小长方形放入图2的大长方形内，则下列说法：①大长方形的长为；②大长方形的面积为；③阴影部分的面积为；④若，大长方形的面积为，大长方形内阴影部分的面积为，则．正确的有______．（填序号） 【答案】②④ 【详解】解：大长方形的长为，故①错误；大长方形的宽为， ∴大长方形的面积为，故②正确； ∵5个小长方形的面积为：， ∴阴影部分的面积为：，故③错误； ∵， ∴，， ∴，故④正确． 故答案为：②④． 考点六 多项式乘法与规律探究问题 例1．（25-26七年级上·福建漳州·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 三角形解释”展开式各项系数之间的关系，此三角形称为 “杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为3，则的展开式中第三项的系数为（       ） A．1 B．5 C．10 D．15 【答案】D 【详解】解：通过观察可得除了每行最左侧和最右侧的数字以外，每个数字都等于它的左上方和右上方两个数字之和； ∴每一行第三项的系数等于上一行第二项与第三项的系数之和， 的各项系数分别为1，3，3，1， 的各项系数分别为1，4，6，4，1， 的各项系数分别为1，5，10，10，5，1， ∴的第三项系数， 故选：D． 例2．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）“杨辉三角”(如图)，是中国古代数学无比睿智的成就之一，见“杨辉三角”可以解释 (n为非负整数)计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，小明经过仔细观察，还发现 (n为非负整数)计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2025，余数为2023． 其中，正确的是(　　) A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：由题意知，的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2026行第2个数与的积，即， 故结论①正确； 的计算结果中各项系数之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为， 故结论②正确； 当时，， 故结论③正确； 当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2025，因此除以2025，余数为，即2024．故④结论错误． 综上所述，①②③结论正确． 例3．（25-26八年级上·天津·月考）观察下列式子： ；；． 利用上面式子存在的规律，计算：________． 【答案】1023 【详解】解：根据给定的等式规律，， ∴， ∴， 故答案为：1023． 例4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）观察下列各式： ， …… 请根据你发现的规律完成下列各题． （1）___________（其中为正整数）； （2）___________． 【答案】 【详解】解：（1）根据已知规律，， 故答案为：； （2）由已知规律，可得： ， ∴， 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·福建福州·月考）杨辉三角是数学之花，是中国古代数学的伟大成就．它有许多有趣的性质和用途，这个由数字排列成的三角形数就称为杨辉三角，如图，其中每一横行都表示，(此处n为自然数)的展开式中各项的系数．那么展开式中第四项的系数为(    ) A．8 B．10 C．18 D．20 【答案】D 【详解】解：观察杨辉三角中数据可知，每一行的首尾数字均为1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．依次类推，则： 第5行的数为1，4，6，4，1； 第6行的数为1，5，10，10，5，1； 第7行的数为1，6，15，20，15，6，1， 所以展开式中第四项的系数为20． 变式2．（25-26八年级上·四川资阳·期末）观察下列各式，寻找规律．已知，计算： ，， ，，… 则的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依据变化规律，可得：， ∴（当)， 令，，则 . 求 的个位数字， ∵的幂的个位周期为4（3，9，7，1），且 ，余数为1， ∴的个位为， ∴的个位为， ∵为偶数，除以后个位为， ∴和的个位数字为． 故选：C． 变式3．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将此表称为“杨辉三角”．如图所示，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，则的值是______． 【答案】36 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ， ， ， 故答案为：36． 变式4．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）小明同学在计算时发现一次项可以利用交叉相乘再相加的规律算得．例如计算时一次项为．仿照小明的方法，计算展开式中项的系数为______．（用含n的代数式表示） 【答案】（写作亦可） 【详解】解：展开式中项为： ， ∴展开式中项的系数为． 故答案为：（写作亦可）． 考点七 利用多项式的乘法求字母或代数式的值 例1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ∴． 故选：A． 例2．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 例3．（24-25七年级下·广东河源·月考）若，则________． 【答案】2 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 例4．（24-25七年级下·湖南怀化·月考）若，则的值为 __． 【答案】4 【详解】解：∵ ， ∴， ∴①，②． ∴，得． 故答案为：4． 变式1．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【详解】解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 变式2．（24-25八年级上·河南南阳·月考）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 变式3．（25-26八年级上·广东广州·月考）若，，则____________． 【答案】1 【详解】解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 变式4．（25-26八年级上·四川巴中·月考）如果与相乘的结果是，那么__，__，___． 【答案】 3 4 32 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：3；4；32． 2 学科网（北京）股份有限公司 $