专题1.8 等腰三角形的性质和判定【专项培优讲义】（16个难度分层题型讲练+能力提升练 共46题）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专题1.8 等腰三角形的性质和判定【专项培优讲义】 （第一章 三角形的证明及其应用） 【北师大版八下●新教材】 难度分层题型讲练 2 【基础考点过关】 2 题型一 等边对等角 2 题型二 三线合一 3 题型三 等边三角形的性质 6 题型四 格点图中画等腰三角形 8 题型五 找出图中的等腰三角形 10 题型六 反证法证明中的假设 12 题型七 用反证法证明命题 13 题型八 等边三角形的判定 15 【能力创新拓展】 18 题型九 根据等角对等边证明等腰三角形 18 题型十 根据等角对等边证明边相等 19 题型十一 根据等角对等边求边长 23 【思维提升跃进】 24 题型十二 等腰三角形的性质和判定 24 题型十三 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 28 题型十四 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 31 题型十五 等边三角形的判定和性质 35 题型十六 含30度角的直角三角形 40 能力提升训练 44 【基础考点过关】 题型一 等边对等角 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，中，，D是边上一点，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据等腰三角形的性质得到，设，则，由三角形的外角的性质得到，再根据三角形的内角和求得，据此计算即可得到结论． 【规范解答】解：∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由三角形内角和定理得，即， 解得， ∴． 【变式训练】（2026八年级下·山东青岛·专题练习）在正五边形的外部，以为边作正六边形．，连接，则的度数为________． 【答案】 /24度 【思路引导】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和公式及等腰三角形的判定与性质，先根据多边形的内角和公式算出每个正五边形和正六边形的内角，再得出的度数，再求证是等腰三角形，最后根据三角形的内角和求出的度数即可． 【规范解答】解：正五边形每个内角：， 且，， 正六边形每个内角：，且，， 由此可得，是等腰三角形． ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 题型二 三线合一 【典例精讲】如图，在中，，是的平分线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【思路引导】根据题意得到并且平分，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【规范解答】解：在中，，是的平分线， 并且平分， 在中，， ． 【变式训练】（25-26八年级上·河南开封·期末）【活动初探】在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系 （1）如图1，在中，，点D为中点，于点E，于点F．求证：． 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点G，连接并延长，交于点D，求证：点D为中点． 【类比深探】 （3）在中，，点D为中点，，点F为直线上一动点，点E为射线上一动点（点E不与点A，C重合），，连接．如图3，当点F在点A上方时，请直接写出、、的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【思路引导】（1）根据等腰三角形的性质得到平分，再利用角平分线的性质证明即可； （2）由等腰三角形的性质得到，再根据等边三角形的性质得到，进而得到、，从而得到结论即可； （3）在上截取，连接，，易得到，根据等腰三角形的性质得到，垂直平分，进而证得是等边三角形，则，易证得，进而得到，据此可得到，进而得到，从而得到结论． 【规范解答】解：（1），点为中点， 平分， 于点，于点， ； （2）， ， 和分别为等边三角形， ， ，即， ， 点G在的垂直平分线上， ， 点A在的垂直平分线上， 垂直平分， 点为中点， （3），证明如下： 如图所示，在上截取，连接，， ， ， ； 点为中点， ，垂直平分， ，， ， ， ； ， ， ， ； ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 题型三 等边三角形的性质 【典例精讲】（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点G，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】利用正多边形的内角公式，求出正五边形的内角度数，得到和的度数，再借助等边三角形的内角为，四边形的内角和为，计算即可． 【规范解答】解：由正多边形的内角公式，可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴． 【变式训练】（25-26八年级下·北京·开学考试）如图，与都是等边三角形，点在边上，于点，连接． (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】（1）根据等边三角形的性质和三角形内角和定理求得和，即可证得结论； （2）根据等边三角形的性质，利用“”证得，再根据全等三角形对应角相等和（1）中的结论即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴，即． （2）解：∵是等边三角形，于点， ∴，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 题型四 格点图中画等腰三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，以为腰，为顶角作等腰三角形（点在格点上），则的面积为（   ） A．3 B．5 C．3或5 D．4或6 【答案】C 【思路引导】本题考查网格中的等腰三角形，与三角形有关的计算，根据等腰三角形的定义，结合网格特点，画出，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【规范解答】解：由题意，作图如下： 由图可知：的面积为或； 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）图①，图②，图③都是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且小正方形边长均为1，线段的端点和均在格点上．在给定的网格中用无刻度直尺按要求画图． (1)在图①中，以为边画一个三角形，且有一边长为5，点为格点． (2)在图②中，以为边画一个面积为3的等腰三角形，点为格点． (3)在图③中，以为边画一个面积为5的等腰直角三角形，点为格点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）使为直角边分别为3和4的直角三角形的斜边，可得，画出三角形即可． （2）根据题意，画底为2，高为3的等腰三角形即可． （3）使，且即可． 【规范解答】（1）解：如图①，三角形即为所求． 理由：, 所以，三角形即为所作； （2）解：如图②，等腰三角形即为所求． 理由：∵，， ∴， ∴三角形是等腰三角形， ； （3）解：如图③，等腰直角三角形即为所求． 理由：∵，， ∴， 又， ∴， ∴是等腰直角三角形． 题型五 找出图中的等腰三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【思路引导】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)点关于轴对称的点的坐标为________； (3)是轴上的一个动点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点的个数为________个． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了轴对称作图、轴对称的性质、等腰三角形的定义和性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质确定点、、关于轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案； （3）根据等腰三角形的定义，分以为等腰三角形的腰和以为等腰三角形的底两种情况，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为：； （3）解：如图， 当以为等腰三角形的腰时，可得，，， 当以为等腰三角形的底时，可得， 所以，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，符合条件的动点有个． 故答案为：． 题型六 反证法证明中的假设 【典例精讲】（25-26八年级上·吉林长春·期末）用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中每一个内角都小于 C．三角形中有一个内角大于 D．三角形中每一个内角都大于 【答案】D 【思路引导】本题考查了反证法． 反证法需假设结论的反面成立，原结论“至少有一个内角不大于”的反面是“每一个内角都大于”． 【规范解答】解：∵原命题为“至少有一个内角不大于”， ∴其反面为“所有内角都大于”， 即应假设“三角形中每一个内角都大于”． 故选：D． 【变式训练】牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（   ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中没有一个内角小于 D．三角形中每个内角都大于 【答案】D 【思路引导】本题考查反证法的应用，根据反证法的意义及步骤即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设三角形中每个内角都大于， 故选：D． 题型七 用反证法证明命题 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知直角三角形的三边长分别是，其中为斜边． (1)长分别为的三条线段能否组成一个直角三角形，判断并说明理由； (2)小明为了证明“长分别为的三条线段不能组成一个直角三角形．”是真命题．他给出了部分思考如下，请补全他的证明过程． 【答案】(1)能，见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，反证法等知识点． （1）由勾股定理得到，再由勾股定理逆定理证明即可； （2）利用反证法求解即可． 【规范解答】（1）解：长分别为的三条线段能组成一个直角三角形，理由如下： ∵直角三角形的三边长分别是，其中为斜边， ∴， ∴， ∴长分别为的三条线段能组成一个直角三角形，长为的边是斜边； （2）解：假设长分别为的三条线段能组成一个直角三角形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，与矛盾， ∴假设不成立， ∴长分别为的三条线段不能组成一个直角三角形． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，点，，分别在，，上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)用反证法证明不可能是直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键． （1）根据，可知，再利用证明≌，得，即可证明结论； （2）假设是等腰直角三角形，则，由知≌，则，可可得到，则假设不成立． 【规范解答】（1）证明：， ， 又， ， 在与中， ， ≌， ， 是等腰三角形； （2）解：假设是等腰直角三角形， 则， ， 由（1）可知：≌， ∴， ， ， ， 不可能是等腰直角三角形． 题型八 等边三角形的判定 【典例精讲】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，D为的中点，，垂足分别为E，F，且．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，掌握相关判定与性质是解题的关键． 先证明，推出，进而推出，即可证明是等边三角形． 【规范解答】证明：， ， 为的中点，， ． 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如下图，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，．，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：． (2)求直线，所夹锐角的度数． (3)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)是等边三角形，理由见解析 【思路引导】（1）由“”可证，可得； （2）如图，延长交于点．由全等三角形的性质可得到，由对顶角相等即可得到，即为直线，所夹锐角的度数； （3）由“”可证，可得，，可证是等边三角形． 【规范解答】（1）证明：和均为等边三角形， ，，， 在和中， ， ． （2）解：如图，延长交于点． 由（1）可知，， ． ， ，即直线，所夹锐角的度数为． （3）为等边三角形．理由如下： 由（1）可知，，． ，分别为，的中点， ． 在和中， ， ，， ， 是等边三角形． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明是本题的关键． 【能力创新拓展】 题型九 根据等角对等边证明等腰三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在中，，是上一点，且，且，连接、、． (1)求的度数； (2)证明：是等边三角形． 【答案】(1)； (2)证明见详解 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰、等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理及等边三角形的判定方法是解题关键． （1）首先利用三角形内角和求出，结合等腰三角形性质得到；再根据平行线的性质得到，结合已知条件推导出，最后通过证明，利用全等三角形对应角相等求出的度数； （2）由全等三角形的对应边相等得到，再结合全等的对应角求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可证明是等边三角形． 【规范解答】（1）解：∵在中，， ∴， 且； ∵， ∴； 又∵，， ∴； 在和中，， ∴； ∴； （2）解：由得：，； ∵， ∴； 又∵， ∴是等边三角形． 题型十 根据等角对等边证明边相等 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，为边上一点，为延长线上一点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】此题考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边等知识，证明是关键． （1）根据平行线的性质得到，再根据已知即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明，则，由即可得到结论． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段． 【问题探究】 （1）如图1，在中，平分交于点，，点在边上，且，连接，试说明：． 【综合研究】 （2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在中，米，校学生会在边、上分别取点、，使得点为的中点，于点，在线段上找点，使得米，为等腰直角三角形，，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区．为了预算，需要知道的长，请你帮助校学生会计算出的长． 【答案】（1）见解析；（2）米． 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的性质等，熟练掌握一线三等角的全等模型和倍长中线的全等模型是解题的关键． （1）先证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）过点作，交的延长线于点，根据等腰的性质证明，再根据倍长中线证明，最后通过等量代换求解即可． 【规范解答】解：（1）∵平分， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）过点作，交的延长线于点，如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵米， ∴（米）， ∴米， ∵米， ∴（米）． 题型十一 根据等角对等边求边长 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则等于（    ） A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形的性质得出相等的边和角的度数，根据三角形的外角定理求出角的度数，然后利用等角对等边得出相等的边，最后利用线段的和差进行求解即可． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练】如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交于，交于，若，，求的长为______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，角平分线有关计算．利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的关键． 根据、分别平分、的外角，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得． 【规范解答】解：平分， ， ， ， ， 同理可得 ，， ， ， 故答案为：． 【思维提升跃进】 题型十二 等腰三角形的性质和判定 【典例精讲】已知中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，若过顶点B的一条直线交于点D，若，显然直线是的关于点B的二分割线． (1)在图2的中，，，请在图2中画出关于点B的二分割线，且角度是____． (2)已知，在图3中画出不同于图1，图2的，所画同时满足： ①为最小角； ②存在关于点B的二分割线，的度数是____． (3)已知，同时满足： ①为最小角； ②存在关于点B的二分割线，请求出的度数（用表示）． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析，或 (3)或或或，或时， 【思路引导】（1）根据二分割线的定义，只要把分成角和角即可； （2）根据二分割线的定义作图即可； （3）设为的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：是等腰三角形，是直角三角形；第二种情况：是直角三角形，是等腰三角形分别利用直角三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可． 【规范解答】（1）解∶所求图形如图所示． ∵，， ∴当时，， ∴是等腰三角形，是直角三角形． （2）解：所求图形如图所示． 或 由图可得或． （3）解：设为的二分割线，分以下两种情况． 第一种情况：是等腰三角形，是直角三角形，易知和必为底角， ∴． 当时，存在二分割线； 当时，存在二分割线，此时； 当时，存在二分割线，此时且； 第二种情况：是直角三角形，是等腰三角形， 当时，若，则存在二分割线，此时； 当时，若，则存在二分割线，此时， 综上，或或或，或时，． 【变式训练】如图，是等腰直角三角形，，将沿着一条直线折叠，使顶点的对应点刚好落在边上，这条折痕分别交，于点，．的平分线交于点，连接，若，则______． 【答案】 【思路引导】根据等腰直角三角形的性质可得，由折叠可得，由平分可得，推出，证明，得到，根据等腰三角形的性质即可求解． 【规范解答】解： 是等腰直角三角形，， ， 由折叠可得：， ， 平分， ， ， ， 又 ， 在和中， ， ， ， ． 题型十三 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【典例精讲】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，已知直线于点O，点A，B分别在上，，在直线或直线上找一点C，使是以为腰的等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．根据等腰三角形的性质，利用以为半径，分别以和点为圆心画圆求解即可． 【规范解答】解：使△是等腰三角形， 当以当腰时，则以点为圆心，为半径画圆交，有三点，所以有三个， 当以点为圆心，为半径画圆，交，有三点，所以有三个． 所以共6个． 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽·月考）如图，直线与轴交于点，与轴交于点 ，直线垂直轴于点，直线与直线交于点． (1)直线的解析式为 ，点的坐标为 ； (2)若点在直线上，且与点、构成的三角形的面积是8，求点的坐标； (3)若点是直线上一个动点，当点N与点A、点构成的三角形是等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)，，， 【思路引导】本题考查的是待定系数法求一次函数表达式、一次函数应用、勾股定理及轴对称的性质， （1）待定系数法求出表达式，再根据一次函数性质求出点的坐标； （2）设点P的坐标为，分两种情况：当点P在直线左侧或当点P在直线右侧时，分别求出即可； （3）设N的坐标为，先求出，，再分类讨论求出即可． 【规范解答】（1）解：设直线的解析式为，则由题意得： ， 解得：， 直线的解析式为， 直线垂直轴于点，直线与直线交于点． 当时，， 点的坐标为； （2）解：连接，如下图， 点在直线上， 设点P的坐标为， 当点P在直线左侧且时， ， ， 解得：， 当时，， ； 当点在直线右侧且时， ， ， ， 解得：， 当时，， ； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：点是直线上一个动点， 设N的坐标为， ， ，， 当点N与点A、点构成的三角形是等腰三角形时， 当时，， ， 解得：或， （不合题意舍去）或； 当时，， ， 解得：， ； 当时，， ， 解得：或， 或； 综上所述，点的坐标为，，，． 题型十四 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【典例精讲】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）如图，小明将一根笔直的铁丝放置在数轴上，点，对应的数分别为，5，从点，两处将铁丝弯曲两头对接，围成等腰，若点对应的数为，则点在数轴上对应的数可能为多少？ 甲认为答案是1； 乙认为甲的答案不全，还可能是2； 丙认为除了甲、乙的答案外，还可能是1.5； 丁认为除了甲、乙、丙的答案以外还有其他可能． 四个同学谁的说法正确？（） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【思路引导】本题考查数轴，折叠，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 设D对应的数为x，先求出，，，，，，再分类讨论并求解，即可解答． 【规范解答】解：设D对应的数为x， ∵点A，B对应的数分别为，5，点C对应的数为， ∴，，，， 由题意，得， ∴， 由围成等腰，分类讨论： ①当时，， 解得， 即点D在数轴上对应的数为2； ②当时，， 解得， 即点D在数轴上对应的数为1； ③当时，， 解得， 即点D在数轴上对应的数为， 综上所述，点D对应的数为1、2、，丙的说法正确． 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度在线段间往返运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动． (1)当为何值时，四边形的面积为36？ (2)时，若，当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题考查梯形的面积，全等三角形的判定及性质，勾股定理和等腰三角形的判定及性质，根据设问找到对应线段之间的等量关系是解题关键． （1）分两种情况讨论，用含t的代数式表示出对应线段，通过梯形的面积公式求解即可； （2）根据等腰三角形的腰的不确定，分两种情况讨论，借助勾股定理和全等三角形的判定与性质，用含t 的代数式表示出对应线段，利用腰相等列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：分两种情况讨论： 第一种：点P抵达点C前，则，，，， 由题意，可得，， ∴即为梯形的高， 由梯形的面积公式可得，梯形的面积为， 令， 解得， 第二种：点P抵达点C后， ，， ∴当点P抵达点C时，，， ∴， 故梯形的面积为， 故该种情况不存在， ∴； （2）解：由（1）可知，此时点P在抵达点C前，则，，，， 分两种情况讨论： 第一种：如图，，过点Q作于点E，连接， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， 解得； 第二种，如图，，过点P作于点E， 同第一种情况，可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， 综上，，或． 题型十五 等边三角形的判定和性质 【典例精讲】已知：为的中线，分别以和为一边在的外部作等腰三角形和等腰三角形，且，，连接，． (1)如图，若，，求的度数． (2)如图，求证：． (3)如图，设交于点，交于点，与交于点，若点为中点，且，请探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【思路引导】（1）利用三角形的内角和定理求出，，再根据构建方程即可解决问题； （2）延长至H，使，连接，想办法证明即可解决问题； （3）结论：．想办法证明，推出，再证明即可． 【规范解答】（1）解：， ． ． ， ． ． ， ． ． ． （2）证明：如图，延长至点H，使，连接． 是的中线， ． 在和中 ，． ． ． ， ． ， ． 在和中 ． ． ， ； （3）解：结论：． 理由：由（2）得，，又点G为中点， ． 由（2）， ． 在和中， ． ，． ∵， 是等边三角形，，． ． ． 在和中， ． ． ， ． 在四边形中，． ． ． ． ． ． 【考点剖析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式训练】（25-26八年级下·北京·开学考试）在中，，，点在上，连接，在的上方作，且，连接．作点关于的对称点，连接，交于点． (1)补全图1，连接，并写出___________（用含的式子表示）； (2)如图2，当时， ①求证：； ②写出与的数量关系，并证明． 【答案】(1)补全图见解析， (2)①见解析；②，证明见解析 【思路引导】（1）根据三角形内角和定理可得到，再利用对称的性质得到，即可得到答案； （2）①连接，，根据、都是等边三角形，易证得，进而得到，再根据点A关于的对称点是点F，可得到； ②在上取点，使，连接，先证明，再证明，则，得到，即可证明． 【规范解答】（1）解：如图，    中，，， 点A关于的对称点F， ∴； （2）解：①连接，，    ，，，， 是等边三角形，是等边三角形， ，，， ． 即， ， ， ， ， ， 点A关于的对称点是点F， ， ∴， ， ． ②，如图    在上取点，使，连接， 由①得，，， ∵， ∴ ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，即 ∵ ∴ ． 题型十六 含30度角的直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西榆林·月考）如图，在等腰三角形中，，点E，F在等腰三角形的内部，连接，，，使，且平分．若，，则_______． 【答案】13 【思路引导】延长交于，延长交于，由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由等腰三角形的性质得，，由直角三角形的特征得，即可求解． 【规范解答】解：延长交于，延长交于， ， ， 是等边三角形， ， ， ，平分 ，， ， ， ， ． 【变式训练】（24-25八年级下·甘肃白银·开学考试）【发现探究】 （1）如图1，在中，点，，分别在边，，上，连接、，且满足，．若为等边三角形，求证：； 【拓展延伸】 （2）如图2，李大伯在自家院子的墙角处搭建了一个花卉养殖区域，点、、分别为墙边、篱笆、墙边上的三个固定点，他用篱笆连接、、，将花卉养殖区域分成四个不同的区域分别养殖不同的鲜花，且，．已知墙边墙边，，且，篱笆，求篱笆的长． 【答案】 (1)见解析；(2) 【思路引导】(1)由等边三角形的性质可知，由三角形外角的性质可得，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立； (2)过点作交于点，交的延长线于点，使，可得是等边三角形，证明，由全等三角形的性质可得，设，则有，，根据含角的直角三角形的性质可得：，解方程求出的值即为线段的长度，再根据线段之间的关系可得的长度． 【规范解答】(1)证明：是等边三角形， ， 是的外角， ， ， ， ∵在和中， ， ， ； (2)解：如下图所示，过点作交于点，交的延长线于点，使， ∵，， ∴， ∵， ， ， ， 是等边三角形， ， 是的外角， ， ， ， ∵在和中， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ∵在和中， ， ， ， ， ， ， 设， ， ，， ∵在中，， ， ， 解得：， ， ． 1．如图，在正五边形中，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先求出正五边形的一个内角的度数，再根据等边对等角，进而求出的度数即可． 【规范解答】解：根据正五边形的性质得，， ∵， ∴． 2．（25-26八年级上·四川德阳·月考）如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先由全等三角形的对应角相等得出，，再结合等腰三角形的性质解答即可． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 【答案】A 【思路引导】当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数，此时必定不满足，据此可判断A；根据可判断B、C、D． 【规范解答】解：当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数， ∴是偶数， ∴此时一定不满足， ∴不可能都是奇数，故A结论正确，符合题意； ∵，满足，本例中都是偶数，是偶数， ∴可能都是偶数，故B、C、D结论都错误，不符合题意； 4．（24-25八年级下·天津·月考）如图，每个小正方形的边长为1，若、、是小正方形的顶点，则度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【思路引导】根据网格结构利用勾股定理分别求出、、的长度，再利用勾股定理逆定理判断的形状，最后根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：由勾股定理得：，，， ∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∴． 5．（25-26八年级下·福建泉州·开学考试）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【思路引导】根据题意，利用角边角证明，可得是等腰直角三角形，可证，再证明，可判定结论，过点作于点，证明，得，可判定结论，根据题意可证，得到，从而判断结论，结合上述证明可得，则有，进而得到可判定结论，由此即可求解． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ； 故错误，不符合题意； 如图，过点作于点，则， 由的证明可得，， ， ， 点是中点， ， ， ， ，， ， ， ，故正确，符合题意； ， ， 由可知，，， ， ，故正确，符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故错误，不符合题意； 正确的有，共2个． 6．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，池塘旁边有一条笔直的小路和一棵小树A．测得的相关数据如下：．由上述数据可知__________m． 【答案】48 【思路引导】本题考查了等边三角形的判定和性质；证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得答案． 【规范解答】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：48． 7．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）在中，，，，则的长为______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键；在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，结合勾股定理求解即可． 【规范解答】解：在中，，，， ∴． ∴由勾股定理，得． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）如图，在等腰中，，是边上的高．若，，则______． 【答案】8 【思路引导】设中点为，连接，根据等腰三角形的性质求出，接着利用等面积法求出高，再由勾股定理求即可． 【规范解答】解：设中点为，连接， ， ， ， ，， ， 是边上的高， ，，解得， ． 9．（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管，…，添加的钢管长度都与的长度相等，则最多能添加的钢管根数为________根． 【答案】6 【思路引导】先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出第一个等腰三角形底角的度数，再依次求出，并根据底角度数不能超过直角判断即可． 【规范解答】解：根据题意，得 ∵， ∴． ∵是的外角， ∴, 则是第二个等腰三角形，且， 同理是第三个等腰三角形，， 第四个等腰三角形的底角为； 第五个是；第六个是；第七个是，这样就不存在了． 所以一共有6根钢管． 10．如图，为等边的高，为射线上一点，与点不重合，以为边，在的下方作等边，连接． (1)求的度数； (2)写出三条线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【思路引导】（1）根据等边三角形的性质得出，然后根据三线合一的性质求解即可； （2）连接，证明，得出，，则，根据勾股定理得出，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是高， ∴； （2）解：， 理由：连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 11．（21-22八年级下·辽宁抚顺·月考）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，，，，试求的长． 【答案】 【思路引导】过点B作于点G，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出，，再由得到，从而求出，，再证明，根据即可求解． 【规范解答】解：过点B作于点G， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动（回到点停止运动），设运动时间为秒． (1)当点在上时，且满足时，求出此时的值； (2)当点在上时，求为何值时，为以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)秒 (2)秒或秒 【思路引导】（1）根据勾股定理得，设存在点在上，使得，可得，，根据勾股定理列方程即可得到的值； （2）分两种情况：当时；当时；分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：∵中，，，， ∴， 如图，连接， 设存在点在上，使得，此时运动时间为秒， ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动（回到点停止运动）， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得， ∴当点在上时，且满足时，此时为秒； （2）解：①如图，当时，为等腰三角形， ∴， ∴（秒）； ②如图，当时，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴（秒）； 综上所述，为秒或秒时，为以为腰的等腰三角形． 13．已知在中，，，，为边上的高．动点P从点A出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为，设运动时间为t． (1)求的长； (2)当P在边上运动，t为何值时，为等腰三角形？ (3)若M为上一动点，N为上一动点，是否存在M，N使得的值最小．如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)、9、 (3) 【思路引导】（1）根据勾股定理求出的长，根据三角形的面积公式计算； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质，求解即可； （3）作点关于的对称点E，过E作于N，交于点M，则就是的最小值，根据等面积法即可求解． 【规范解答】（1）解： 中，，，， ， ， ， 解得，； （2）解：， 当时， 在中，， 如图1，，为边上的高， ， 则， 当时，， 当时， 如图2，作于， 则，， 由勾股定理得，， 则， 故当、9、时，为等腰三角形； （3）解：作点关于的对称点E，过E作于N，交于点M，则就是的最小值，即，连接，如下图： 可知 ∵ ∴ ∴ 的最小值为 14．我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，求∠C，∠D的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时： ①小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，此时她发现成立．请你证明此结论． ②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”． 你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例． (3)已知：在“等对角四边形”中，，．求对角线的长． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；②不正确，反例见解析 (3)或 【思路引导】（1）根据定义和四边形内角和定理求解即可． （2）①连接，根据定义以及等腰三角形的判定和性质求证即可． ②当相等角的两边相等时，结论不正确． （3）分和两种情况讨论即可． 【规范解答】（1）∵等对角四边形中，， ∴． ∵， ∴． （2）①如图，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ②不正确，反例如图，，但． （3）①如图，当时，延长交于点， ∵， ∴，, ∴， ∵， ∴． ∴． ②如图，当时，过点作于点，于点F， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， 综上，的长为或． 15．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，，若动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发的时间为，连接、． (1)出发后，求的长； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点出发，按的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，连接．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【思路引导】（1）先利用勾股定理求出，再求出发后的长，再次利用勾股定理求解即可； （2）分情况讨论：当点P在上时，，及过点C作于点D，求出此时的值；当点P在上时，及的情况下，此时的值； （3）设点P运动的路程为，点Q运动的路程为，分两种情况讨论：当P、Q相遇前和P、Q相遇后，此时和的长，再根据直线把的周长分成相等的两部分列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：在中，，由勾股定理得：， 动点从点出发，按的路径运动，且速度为， 出发后，， 如图①： 在中，，由勾股定理得：； （2）解：分情况讨论： 如图②，当点P在上时，，此时， 当时，为等腰三角形； 如图③，当点P在上时，，， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 如图④，当时，过点C作于点D， 的面积为：， 即， 解得， 在中，由勾股定理得：， ， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 如图⑤，时，， 、， ， ， ， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 综上所述，当为或或或时，为等腰三角形； （3）解：设点P运动的路程为，点Q运动的路程为， 如图⑥，当P、Q相遇前， ， 直线把的周长分成相等的两部分， ， 解得； 如图⑦，当P、Q相遇后，当点P在上，点Q在上时，，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， 解得，此时点Q已到达终点C； 综上所述，当为或时，直线把的周长分成相等的两部分． 【考点剖析】注意数形结合、分类讨论的思想方法的运用． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专题1.8 等腰三角形的性质和判定【专项培优讲义】 （第一章 三角形的证明及其应用） 【北师大版八下●新教材】 难度分层题型讲练 2 【基础考点过关】 2 题型一 等边对等角 2 题型二 三线合一 2 题型三 等边三角形的性质 3 题型四 格点图中画等腰三角形 4 题型五 找出图中的等腰三角形 5 题型六 反证法证明中的假设 5 题型七 用反证法证明命题 6 题型八 等边三角形的判定 7 【能力创新拓展】 8 题型九 根据等角对等边证明等腰三角形 8 题型十 根据等角对等边证明边相等 8 题型十一 根据等角对等边求边长 10 【思维提升跃进】 10 题型十二 等腰三角形的性质和判定 10 题型十三 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 11 题型十四 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 12 题型十五 等边三角形的判定和性质 13 题型十六 含30度角的直角三角形 14 能力提升训练 16 【基础考点过关】 题型一 等边对等角 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，中，，D是边上一点，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2026八年级下·山东青岛·专题练习）在正五边形的外部，以为边作正六边形．，连接，则的度数为________． 题型二 三线合一 【典例精讲】如图，在中，，是的平分线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式训练】（25-26八年级上·河南开封·期末）【活动初探】在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系 （1）如图1，在中，，点D为中点，于点E，于点F．求证：． 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点G，连接并延长，交于点D，求证：点D为中点． 【类比深探】 （3）在中，，点D为中点，，点F为直线上一动点，点E为射线上一动点（点E不与点A，C重合），，连接．如图3，当点F在点A上方时，请直接写出、、的数量关系． 题型三 等边三角形的性质 【典例精讲】（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点G，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·北京·开学考试）如图，与都是等边三角形，点在边上，于点，连接． (1)求证：． (2)求的度数． 题型四 格点图中画等腰三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，以为腰，为顶角作等腰三角形（点在格点上），则的面积为（   ） A．3 B．5 C．3或5 D．4或6 【变式训练】（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）图①，图②，图③都是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且小正方形边长均为1，线段的端点和均在格点上．在给定的网格中用无刻度直尺按要求画图． (1)在图①中，以为边画一个三角形，且有一边长为5，点为格点． (2)在图②中，以为边画一个面积为3的等腰三角形，点为格点． (3)在图③中，以为边画一个面积为5的等腰直角三角形，点为格点． 题型五 找出图中的等腰三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式训练】（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)点关于轴对称的点的坐标为________； (3)是轴上的一个动点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点的个数为________个． 题型六 反证法证明中的假设 【典例精讲】（25-26八年级上·吉林长春·期末）用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中每一个内角都小于 C．三角形中有一个内角大于 D．三角形中每一个内角都大于 【变式训练】牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（   ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中没有一个内角小于 D．三角形中每个内角都大于 题型七 用反证法证明命题 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知直角三角形的三边长分别是，其中为斜边． (1)长分别为的三条线段能否组成一个直角三角形，判断并说明理由； (2)小明为了证明“长分别为的三条线段不能组成一个直角三角形．”是真命题．他给出了部分思考如下，请补全他的证明过程． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，点，，分别在，，上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)用反证法证明不可能是直角三角形． 题型八 等边三角形的判定 【典例精讲】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，D为的中点，，垂足分别为E，F，且．求证：是等边三角形． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如下图，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，．，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：． (2)求直线，所夹锐角的度数． (3)试判断的形状，并说明理由． 【能力创新拓展】 题型九 根据等角对等边证明等腰三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在中，，是上一点，且，且，连接、、． (1)求的度数； (2)证明：是等边三角形． 题型十 根据等角对等边证明边相等 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，为边上一点，为延长线上一点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段． 【问题探究】 （1）如图1，在中，平分交于点，，点在边上，且，连接，试说明：． 【综合研究】 （2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在中，米，校学生会在边、上分别取点、，使得点为的中点，于点，在线段上找点，使得米，为等腰直角三角形，，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区．为了预算，需要知道的长，请你帮助校学生会计算出的长． 题型十一 根据等角对等边求边长 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则等于（    ） A．18 B．21 C．24 D．27 【变式训练】如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交于，交于，若，，求的长为______． 【思维提升跃进】 题型十二 等腰三角形的性质和判定 【典例精讲】已知中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，若过顶点B的一条直线交于点D，若，显然直线是的关于点B的二分割线． (1)在图2的中，，，请在图2中画出关于点B的二分割线，且角度是____． (2)已知，在图3中画出不同于图1，图2的，所画同时满足： ①为最小角； ②存在关于点B的二分割线，的度数是____． (3)已知，同时满足： ①为最小角； ②存在关于点B的二分割线，请求出的度数（用表示）． 【变式训练】如图，是等腰直角三角形，，将沿着一条直线折叠，使顶点的对应点刚好落在边上，这条折痕分别交，于点，．的平分线交于点，连接，若，则______． 题型十三 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【典例精讲】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，已知直线于点O，点A，B分别在上，，在直线或直线上找一点C，使是以为腰的等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式训练】（25-26八年级上·安徽·月考）如图，直线与轴交于点，与轴交于点 ，直线垂直轴于点，直线与直线交于点． (1)直线的解析式为 ，点的坐标为 ； (2)若点在直线上，且与点、构成的三角形的面积是8，求点的坐标； (3)若点是直线上一个动点，当点N与点A、点构成的三角形是等腰三角形时，求点的坐标． 题型十四 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【典例精讲】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）如图，小明将一根笔直的铁丝放置在数轴上，点，对应的数分别为，5，从点，两处将铁丝弯曲两头对接，围成等腰，若点对应的数为，则点在数轴上对应的数可能为多少？ 甲认为答案是1； 乙认为甲的答案不全，还可能是2； 丙认为除了甲、乙的答案外，还可能是1.5； 丁认为除了甲、乙、丙的答案以外还有其他可能． 四个同学谁的说法正确？（） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式训练】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度在线段间往返运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动． (1)当为何值时，四边形的面积为36？ (2)时，若，当为何值时，是等腰三角形？ 题型十五 等边三角形的判定和性质 【典例精讲】已知：为的中线，分别以和为一边在的外部作等腰三角形和等腰三角形，且，，连接，． (1)如图，若，，求的度数． (2)如图，求证：． (3)如图，设交于点，交于点，与交于点，若点为中点，且，请探究和的数量关系，并证明你的结论． 【变式训练】（25-26八年级下·北京·开学考试）在中，，，点在上，连接，在的上方作，且，连接．作点关于的对称点，连接，交于点． (1)补全图1，连接，并写出___________（用含的式子表示）； (2)如图2，当时， ①求证：； ②写出与的数量关系，并证明． 题型十六 含30度角的直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西榆林·月考）如图，在等腰三角形中，，点E，F在等腰三角形的内部，连接，，，使，且平分．若，，则_______． 【变式训练】（24-25八年级下·甘肃白银·开学考试）【发现探究】 （1）如图1，在中，点，，分别在边，，上，连接、，且满足，．若为等边三角形，求证：； 【拓展延伸】 （2）如图2，李大伯在自家院子的墙角处搭建了一个花卉养殖区域，点、、分别为墙边、篱笆、墙边上的三个固定点，他用篱笆连接、、，将花卉养殖区域分成四个不同的区域分别养殖不同的鲜花，且，．已知墙边墙边，，且，篱笆，求篱笆的长． 1．如图，在正五边形中，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川德阳·月考）如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 4．（24-25八年级下·天津·月考）如图，每个小正方形的边长为1，若、、是小正方形的顶点，则度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 5．（25-26八年级下·福建泉州·开学考试）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，池塘旁边有一条笔直的小路和一棵小树A．测得的相关数据如下：．由上述数据可知__________m． 7．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）在中，，，，则的长为______． 8．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）如图，在等腰中，，是边上的高．若，，则______． 9．（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管，…，添加的钢管长度都与的长度相等，则最多能添加的钢管根数为________根． 10．如图，为等边的高，为射线上一点，与点不重合，以为边，在的下方作等边，连接． (1)求的度数； (2)写出三条线段，，的数量关系，并说明理由． 11．（21-22八年级下·辽宁抚顺·月考）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，，，，试求的长． 12．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动（回到点停止运动），设运动时间为秒． (1)当点在上时，且满足时，求出此时的值； (2)当点在上时，求为何值时，为以为腰的等腰三角形． 13．已知在中，，，，为边上的高．动点P从点A出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为，设运动时间为t． (1)求的长； (2)当P在边上运动，t为何值时，为等腰三角形？ (3)若M为上一动点，N为上一动点，是否存在M，N使得的值最小．如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由． 14．我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，求∠C，∠D的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时： ①小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，此时她发现成立．请你证明此结论． ②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”． 你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例． (3)已知：在“等对角四边形”中，，．求对角线的长． 15．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，，若动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发的时间为，连接、． (1)出发后，求的长； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点出发，按的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，连接．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $