3.1图形的平移 讲义 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

初二讲义第六讲：图形的平移 【复习巩固】 1、 平移 1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小. 2.平移的三要素：原位置、平移的方向、平移的距离 3.平移的性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等；对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等. 4.平移变换与坐标变化： （1）向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） （2）向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） （3）向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） （4）向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） 注：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 5．作图-平移变换 （1）确定平移后图形的基本要素：原位置、平移方向、平移距离． （2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 【精准突破】 1、 平移的性质 例1：（平移的基本概念）能经过平移得到的图形是（    ） A． B． C． D． 例2：（几何计算）（1）长度：如图，沿方向平移到的位置，连接，若，，则___________cm． （2）面积：如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着射线方向平移到的位置，，，，则阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． （3）周长：如图，三角形沿边所在直线向上平移3个单位长度得到三角形，四边形的周长为20，则三角形的周长等于______． （4）角度：如图，将沿射线的方向平移到的位置，点，，的对应点分别为点，，，若，则__________． 例3：（结合第一章知识）（1）如图，两个全等的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置．若，，，则阴影部分的面积为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 （2）如图，线段与相交于点O，且，分别将和平移到，的位置，若，则的长为______． （3）如图，在中，，，，将沿方向平移，得到，与相交于点，则四边形的周长为______ ． 例4：如图，直线与x轴交于点A，以为斜边在x轴上方作等腰直角三角形，将沿y轴向下平移，当点B落在直线上时，则平移的距离是______． 例5：（坐标）（1）如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标分别是（   ）．    A． B． C． D． （2）将点向下平移2个单位得到，且在轴上，那么点的坐标是__________． （3）如图，线段经过平移得到线段，其中点A、B、、，这四个点都在格点上．若线段上有一个点，则点P在上的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【实战演练】 1．如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 2．在以下日常生活中，不属于平移运动的是（    ） A．物体随直升电梯上、下移动 B．物体随自动扶梯斜向移动 C．轻轨列车在笔直轨道上行驶 D．旗帜随风飘动 3．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为_____． 4．如图，将沿方向平移得到．若，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，则阴影部分的面积等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，沿方向平移得到，连接交于F，的面积为3，则的面积为______．    8．如图，直角三角形中，，，将直角三角形沿方向平移2个单位长度得到直角三角形，与交于点，且，则图中阴影部分的面积为______． 9．如图，将周长为的沿方向平移个单位长度得到，则四边形的周长为________．    10．如图，，将沿着射线方向平移，得到，已知，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 11．如图，将等腰直角沿方向平移得到，若，与重叠部分面积为，则（   ）    A． B． C． D． 12．如图，在中，，，，将沿射线的方向平移2个单位后，得到，连接，则线段的长为________． 13．如图，等腰直角三角形ABC中，AD是底边BC上的高，现将△ABD沿DC方向平移，使点D和点C重合，若重叠部分（阴影部分）的面积是6，则△ABC的腰长为___． 14．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到，连接C，则C的周长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．18 15．如图，已知的面积为16，．现将沿直线向右平移个单位到的位置．当所扫过的面积为32时，那么的值为__________． 16．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为(　　) A．5 B．8 C．10 D．7 17．如图，点，沿轴向右平移后得到，点的对应点在直线上，则向右平移的长度为（    ）    A． B． C． D． 18．如图，点A的坐标为， 将沿x轴向右平移得到， 若点A的对应点落在直线上， 则点 B与其对应点间的距离为___________． 19．（1）如图，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为，将线段沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为，则点A的对应点的坐标为___． （2）正方形在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形平移，使点B落在点D位置上（即平移后点B的对应点为点D），则上一点平移后的对应点的坐标为（    ） A． B．C． D． （3）如图，将线段平移到线段的位置，则的值为_______． （4）如图，把图①中的经过一定变换得到图②中的，如果图①中上点D的坐标为，那么这个点在图②中的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 初二讲义第六讲：图形的平移 【复习巩固】 2、 平移 1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小. 2.平移的三要素：原位置、平移的方向、平移的距离 3.平移的性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等；对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等. 4.平移变换与坐标变化： （1）向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） （2）向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） （3）向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） （4）向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） 注：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 5．作图-平移变换 （1）确定平移后图形的基本要素：原位置、平移方向、平移距离． （2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 二、旋转 1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.旋转不改变图形的形状和大小. 2.旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角．③对应线段、对应角相等. 3.旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 4.坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标： P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标: 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：90°、180°. 5．作图-旋转变换: （1）关键：确定旋转中心、旋转方向、旋转角； （2）步骤：①确定旋转中心、旋转角；②找出确定图形形状的关键点；③沿一定的方向(一般是顺时针或逆时针方向),按一定的旋转角度，通过截取线段的方法，旋转各个关键点，定关键点的对应点；④按原图的顺序，连接各对应点，并标明相应字母；⑤写出结论. 三、中心对称 1.中心对称： （1）定义：如果把一个图形绕着某一点旋转180°它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称. 这个点叫做它们的对称中心. （2）性质： ①成中心对称的两个图形是全等图形； ②成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分； ③关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等 2.中心对称图形： （1）定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）性质：经过对称中心的直线可以把中心对称图形分成两个完全相同的部分. 4、 简单的图案设计 1.分析方法：(1)首先找到基本图案：(2)分析其他图案与基本图案的关系，是由基本图案作何种运动变化而形成的. 2.设计基本手段：轴对称、平移、旋转. 【精准突破】 2、 平移的性质 例1：（平移的基本概念）能经过平移得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由平移不改变图形的大小，方向和形状可知，四个选项中只有A选项中的图形可以通过平移得到， 故选：A． 例2：（几何计算）（1）长度：如图，沿方向平移到的位置，连接，若，，则___________cm． 【答案】4 【详解】解：∵沿方向平移到的位置， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． （2）面积：如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着射线方向平移到的位置，，，，则阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由平移性质可知，，，， ∴，， ∴， 故选：． （3）周长：如图，三角形沿边所在直线向上平移3个单位长度得到三角形，四边形的周长为20，则三角形的周长等于______． 【答案】14 【详解】解：∵沿边所在直线向上平移3个单位长度得到三角形， ∴，； 又∵四边形的周长． ∴ ； ∴三角形的周长为14； 故答案为：16． （4）角度：如图，将沿射线的方向平移到的位置，点，，的对应点分别为点，，，若，则__________． 【答案】/110度 【详解】解：∵将沿射线的方向平移到的位置，， ∴，， ∴． 故答案为：． 例3：（结合第一章知识）（1）如图，两个全等的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置．若，，，则阴影部分的面积为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于点，与交于点， ， ， 由平移的性质可知，，，，， ， ， ， 在中，，， ， ， 阴影部分的面积， 故选：B． （2）如图，线段与相交于点O，且，分别将和平移到，的位置，若，则的长为______． 【答案】a 【详解】解：∵将和平移到，的位置， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：a． （3）如图，在中，，，，将沿方向平移，得到，与相交于点，则四边形的周长为______ ． 【答案】/ 【详解】解：在中，，， ， ， ， 根据平移的性质得，，，， ， 在中，，， ，， ， 四边形的周长， 故答案为：． 例4：如图，直线与x轴交于点A，以为斜边在x轴上方作等腰直角三角形，将沿y轴向下平移，当点B落在直线上时，则平移的距离是______． 【答案】6 【详解】解：， 当时，， 解得：， 即， 过作于， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， 即点的坐标是， 设平移的距离为， 则点的对应点的坐标为， 代入得：， 解得：， 即平移的距离是6， 故答案为：6． 例5：（坐标）（1）如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标分别是（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由坐标系得三个顶点的坐标分别是， ∵将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度， ∴平移后三个顶点的坐标分别是， 故选：C （2）将点向下平移2个单位得到，且在轴上，那么点的坐标是__________． 【答案】 【详解】解：由题意，点的坐标为，即， ∵在轴上， ∴，解得， ∴点P的坐标为， 故答案为：． （3）如图，线段经过平移得到线段，其中点A、B、、，这四个点都在格点上．若线段上有一个点，则点P在上的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解；∵线段经过平移得到线段，， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵线段上有一个点， ∴点P在上的对应点的坐标为， 故选：A． 【实战演练】 1．如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 【答案】A 【详解】解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移， 故选：A． 2．在以下日常生活中，不属于平移运动的是（    ） A．物体随直升电梯上、下移动 B．物体随自动扶梯斜向移动 C．轻轨列车在笔直轨道上行驶 D．旗帜随风飘动 【答案】D 【详解】解：根据题意可得：不属于平移运动的是“旗帜随风飘动”， 故选：D． 3．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为_____． 【答案】18 【详解】解：由题意，，空白部分为长方形， ∵平移， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：18． 4．如图，将沿方向平移得到．若，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 由平移的性质可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5．如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，则阴影部分的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由平移的性质可知，，，， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B ． 【详解】解：由平移的性质可知，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7．如图，沿方向平移得到，连接交于F，的面积为3，则的面积为______．    【答案】 【详解】解：由平移的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，直角三角形中，，，将直角三角形沿方向平移2个单位长度得到直角三角形，与交于点，且，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】8 【详解】解：∵沿的方向平移距离得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， 即图中阴影部分的面积为8． 故答案为：8． 9．如图，将周长为的沿方向平移个单位长度得到，则四边形的周长为________．    【答案】 【详解】 沿方向平移个单位长度得到 ，， 四边形的周长 的周长， 四边形的周长． 故答案为：． 10．如图，，将沿着射线方向平移，得到，已知，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，， ， ， 阴影部分的面积． 故选：A． 11．如图，将等腰直角沿方向平移得到，若，与重叠部分面积为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，沿方向平移得到，交于点，    由平移可知，为等腰直角三角形， ,， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故选：． 12．如图，在中，，，，将沿射线的方向平移2个单位后，得到，连接，则线段的长为________． 【答案】5 【详解】解：平移两个单位得到的， ，， ，， ，， ， 又， ， 是等边三角形， ． 故答案为：5． 13．如图，等腰直角三角形ABC中，AD是底边BC上的高，现将△ABD沿DC方向平移，使点D和点C重合，若重叠部分（阴影部分）的面积是6，则△ABC的腰长为___． 【答案】 【详解】解：如图， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∵重叠部分（阴影部分）的面积是6， ∴，解得， ∵△ADC是等腰直角三角形，∠CDE=45°， ∴AE=CE=DE， ∴AC=2CE=， 故答案为：． 14．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到，连接C，则C的周长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】B 【详解】解:平移两个单位得到的， ，， ，， ，， ， 又， ， 是等边三角形， 的周长为． 故选B． 15．如图，已知的面积为16，．现将沿直线向右平移个单位到的位置．当所扫过的面积为32时，那么的值为__________． 【答案】4 【详解】解：如图，连接AD，过点A作AH⊥BC交BC于H. ∵SΔABC=16, BC=8,      即BC⋅AH= ×8×AH=16, ∴AH=4, ∴S梯形ABFD=     ∴a=4, 故答案为4. 16．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为(　　) A．5 B．8 C．10 D．7 【答案】D 【详解】 如图，连接IB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，交BC于点E、F， ∵平移 ∴IE∥AB，IF∥AC ∴∠FIC=∠ACI，∠ABI=∠EIB ∴BE=IE，IF=FC 图中阴影部分的周长=IE+IF+EF=BE+FC+EF=BC=7 故选D 17．如图，点，沿轴向右平移后得到，点的对应点在直线上，则向右平移的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接．    ∵点的坐标为点，沿轴向右平移后得到， ∴点的纵坐标是； 又∵点的对应点在直线上， ∴， 解得：， ∴的坐标为，可知向右平移了个单位长度， 故选：B． 18．如图，点A的坐标为， 将沿x轴向右平移得到， 若点A的对应点落在直线上， 则点 B与其对应点间的距离为___________． 【答案】 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴点的坐标为， 沿x轴向右平移个单位得到， ∴点B与其对应点间的距离为． 故答案为：． 19．（1）如图，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为，将线段沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为，则点A的对应点的坐标为___． 【答案】 【详解】解：∵将线段沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）正方形在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形平移，使点B落在点D位置上（即平移后点B的对应点为点D），则上一点平移后的对应点的坐标为（    ） A． B．C． D． 【答案】A 【详解】解：点B落在点D位置上（即平移后点B的对应点为点D），则是向左平移1个单位，向下平移3个单位， ∴上一点平移后的对应点的坐标为， 故选：A． （3）如图，将线段平移到线段的位置，则的值为_______． 【答案】 【详解】解： ， 根据平移的性质可知，从到和到的平移方式一样， 根据坐标的变化可以确定从到的平移方式为：先向左平移个单位，然后向上平移个单位 ，， ， ， 故答案为：． （4）如图，把图①中的经过一定变换得到图②中的，如果图①中上点D的坐标为，那么这个点在图②中的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵把图①中的经过一定变换得到图②中的， ∴点的对应点为，先向右平移4个单位，再向上平移3个单位， ∵图①中上点的坐标为， ∴这个点在图②中的对应点的坐标为， 故选： C． 1 学科网（北京）股份有限公司 $