解答题06 中考二次函数压轴17大考向（专项训练）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

解答题06中考二次函数压轴(专项训练) （17大考向） 考向01 y=a（x-h）²+k的图象和性质 研考向·通技法 一、考向分析 中考二次函数核心考点，考查顶点式 的图象与性质，包括开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最值等。 二、解题方法 1．识顶点：直接读出顶点坐标 ，对称轴为直线 。 2．看开口： ：开口向上，函数有最小值 ； ：开口向下，函数有最大值 。 3．析增减： 对称轴左侧 时 随 增大而减小， 时 随 增大而增大； 对称轴右侧 时 随 增大而增大， 时 随 增大而减小。 4．画图象：先确定顶点和对称轴，再取对称点描点连线。 1．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，已知，是抛物线（）上的两点． (1) ； (2)如果该抛物线与x轴交于点C、D（点C在点D的右侧），且，四边形的面积是25，求这个抛物线的表达式 2．（2023·上海嘉定·模拟预测）已知：二次函数的图象过点和两点． (1)求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为的形式； (2)求出函数图象与x轴、y轴的交点坐标． (3)当x取何值时，y随x的增大而增大． 3．（2025·上海闵行·二模）定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为，此时由于，，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线． (1)如果抛物线是“优雅”抛物线，求的值． (2)如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点． ①点在延长线上，点是轴上一点，且四边形是矩形，求点的坐标． ②如果抛物线为“优雅”抛物线，它的顶点在轴上，抛物线与交于点，且，求抛物线的解析式． 考向02 把y=ax²+bx+c化成顶点式 研考向·通技法 1. 一、考向分析 2. 中考二次函数基础考点，考查将一般式 转化为顶点式 ，核心是配方法的应用，为后续研究函数性质做准备。 3. 4. 二、解题方法 5. 1．提系数：提取二次项系数 ，只对含 的项配方： 6. 7. 2．配常数：在括号内加上并减去一次项系数一半的平方： 8. 9. 3．整理成式：将前三项写成完全平方，合并常数项： 10. 即顶点式： ，其中 1．（2026·上海虹口·一模）“已知抛物线经过点，求抛物线的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线的表达式为． (1)请根据已有的信息添加一个缺失的条件：_____________； (2)将抛物线向上平移个单位后得到抛物线，如果抛物线的顶点关于原点的对称点在抛物线上，求的值． 2．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）． (1)用配方法求抛物线的顶点坐标； (2)求线段的长； (3)如果，平移抛物线，使所得新抛物线的顶点E在其关于轴对称抛物线的对称轴上，当时，求平移后新抛物线的表达式． 3．（2025·上海静安·一模）二次函数的部分图像如图所示，已知它与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线． (1)填空：① a与b的数量关系为： ；②图像与轴的另一个交点坐标为 ． (2)如果该函数图像经过点，求它的顶点坐标． 4．（2024·上海杨浦·一模）已知二次函数． (1)用配方法将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)设该函数的图象与轴交于点、，点在点左侧，与轴交于点，顶点记作，求四边形的面积． 5．（2026·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，把抛物线向下平移1个单位长度，所得的新抛物线顶点坐标为． (1)求原抛物线的表达式； (2)若新抛物线与轴交于点，原抛物线顶点为，求的正切值． 考向03 画y=ax²+bx+c的图象 研考向·通技法 一、考向分析 中考二次函数基础考点，考查绘制二次函数 的图象，核心是通过关键点描点连线，直观呈现抛物线形状。 11. 二、解题方法 1．定核心： 先求对称轴： 再求顶点坐标： 看开口方向： 向上， 向下 12. 2．找交点： 与 轴交点：令 ，得（ 0, c）。与x轴交点：令 ，解方程 ，得交点 （若无实根则无交点） 3.取对称点：在对称轴两侧取对称的 值，计算对应 值，得到若干对称点 13. 4．描点连线：先描顶点、交点、对称点，再用平滑曲线连接，形成抛物线 1．（2025·上海崇明·模拟预测）已知二次函数的解析式为． (1)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式； (2)选取该条抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像． x … 1 3 … y … … 2．（2026·上海松江·一模）在画二次函数的图象时，列表如下： 0 1 0 0 (1)直接写出、、、的值： ________________；________________； ________________；________________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的大致图象，并描述图象的变化趋势 3．（2025·上海·模拟预测）分段函数，就是对于自变量不同的取值范围，有不同的函数解析式与之对应的函数．如函数就是一个分段函数． 现有分段函数． 已知该分段函数的图像是连续的，且在给出的这四个二次函数中，其只经过函数图像的顶点． (1)试确定这个分段函数的解析式，并在所给平面直角坐标系中作出其大致图像； (2)若直线与此分段函数的图像有5个不同的交点，请直接写出的取值范围． 4．（2025·上海·模拟预测）已知一抛物线． (1)在图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线的图像，并根据图像写出y与x的变化关系； (2)将该抛物线向左平移．设原抛物线与x轴交于点（A在B左侧），与y轴交于点C．点D为点C在新抛物线上的对应点，且点D落在一反比例函数图像上．若新抛物线经过原点，求直线与此反比例函数的另一个交点． 考向04 y=ax²+bx+c的图象与性质 研考向·通技法 14. 一、考向分析 15. 中考二次函数核心考点，考查一般式 的图象与性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值、与坐标轴交点等。 16. 17. 二、解题方法 18. 1．核心要素 19. 开口方向：由 决定， 开口向上， 开口向下；|a| 越大，开口越小。 对称轴：直线 。 顶点坐标： ，是函数的最值点。 最值： 时，函数有最小值 时，函数有最大值 。 20. 2．增减性 21. 当 时：在对称轴左侧 ， 随 增大而减小；在右侧 ， 随 增大而增大。 22. 当 时：在对称轴左侧 ， 随 增大而增大；在右侧 ， 随 增大而减小。 23. 3．与坐标轴交点 24. 与 轴交点： 。 25. 与 轴交点：令 ，解方程 。 26. ：两个交点 ； 27. ：一个交点（顶点在 轴上）； 28. ：无交点。 1．（2026·上海杨浦·二模）已知二次函数经过点；； (1)直接写出二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势． (2)设该二次函数图象与x轴交于点A（点A在抛物线的右侧），与y轴交于点B，顶点为C，直接写出的面积和周长． 2．（2026·上海黄浦·一模）已知抛物线经过点和． (1)求此抛物线的表达式； (2)指出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明这条抛物线的变化情况． 3．（2026·上海长宁·一模）宁宁同学用“描点法”画二次函数的图像时，列表如下： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 5 0 3 4 3 0 ．．． (1)由于计算粗心，宁宁算错了其中的一个值，请指出这个算错的值所对应的___________． (2)上述函数图像的对称轴是___________，且当时，的取值范围是___________． (3)若、都在这个函数图像上，比较、的大小，并说明为什么？ 4．（2026·上海徐汇·一模）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示． x … 0 1 2 … y … 0 m 4 4.5 4 2.5 0 … (1)求m的值和二次函数的解析式； (2)将该二次函数的图像上下或左右平移后得到新的抛物线，如果新抛物线经过原点，请直接写出三种平移的方式； (3)选择（2）中一种平移方式说明你是如何获得解题思路的． 5．（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位后得到的新抛物线与轴交于点和（点在点左侧），与轴交于点，新抛物线的顶点为，连接． (1)请求出平移后新抛物线的表达式及点的坐标； (2)求的正切值． 考向05 二次函数的对称 研考向·通技法 一、考向分析 中考二次函数高频考点，考查二次函数的轴对称性、点对称变换及图象翻折，核心是利用对称性解决坐标、解析式与最值问题。 二、解题方法 1．轴对称性质（核心） 抛物线对称轴：（或顶点式 ）。 若两点 函数值相等，则对称轴： ，可用于求对称点、最短路径最值。 2．点对称（顶点变换） 以 为例： 关于 轴对称：（开口反向，顶点 ） 关于 轴对称：（开口不变，顶点 ） 关于原点对称：（开口反向，顶点 ） 3．图象翻折对称 沿 轴翻折：开口反向，所有点关于 轴对称，按顶点变换写解析式。 沿 轴翻折：开口不变，所有点关于 轴对称，按顶点变换写解析式。 1．（2025·上海青浦·一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标； (2)设该抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为，求证：是直角三角形． 2．（2024·上海嘉定·模拟预测）[问题背景]解方程：； [解决方法]建立函数， (1)求：该函数与坐标轴的交点及其顶点坐标 (2)设，则可以通过将抛物线______得到该函数，由图像可知，当问题方程有4个不同根的时候，所有根的和为______ (3)求解[问题背景] 3．（2025·上海·一模）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上． (1)当，时， ①求该抛物线的表达式； ②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值； (2)若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围． 考向06 待定系数法求二次函数解析式 研考向·通技法 一、考向分析 中考二次函数核心考点，考查用待定系数法求二次函数解析式，根据已知点的特征选择合适的函数形式（一般式、顶点式、交点式），建立方程求解系数。 二、解题方法 1．选形式 一般式 ：已知 3 个普通点，或需要展开成标准形式时使用。 顶点式 ：已知顶点、对称轴或最值时优先使用。 交点式 ：已知与 轴的两个交点 时使用。 2．代点列方程 一般式：代入 3 个点坐标，列三元一次方程组； 顶点式：代入顶点 和另 1 个点，列关于 的一元一次方程； 交点式：代入两个交点和另 1 个点，列关于 的一元一次方程。 3．解方程求系数 解方程组得到 $a, b, c$ 或 $a, h, k$ 或 ； 回代到所选形式，得到解析式（若需要，可化为一般式）。 1．（2024·上海闵行·一模）已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．抛物线上有一点P，以点P为顶点的抛物线经过点B（点P与点B不重合），抛物线和形状相同，开口方向相反． 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等； 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数． (1)当抛物线经过点A时，求抛物线的表达式； (2)求抛物线的对称轴； (3)当时，设抛物线C1的顶点为Q，抛物线的对称轴与x轴的交点为F，连接，求证：平分． 2．（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴相交于、两点，且点在点左侧，与轴交于点，顶点为点． (1)求线段的长； (2)把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后得到抛物线，抛物线的顶点为点．如果点、、在同一直线上，求抛物线的表达式； (3)当四边形的面积为时，若点是轴上一点（点不与点重合），且△与△相似，求点的坐标． 3．（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)将该抛物线沿射线方向平移，点A、B的对应点分别是点，且的面积比的面积大3． ① 求新抛物线的对称轴方程；                        ② P是新抛物线上一点，如果，求点P的坐标． 4．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 5．（2025·上海静安·二模）已知抛物线，的顶点分别为、，且它们都经过轴上的点． (1)如果抛物线经过点，抛物线经过点，求这两个抛物线的表达式； (2)已知，求的值； (3)当时，能否确定系数、、的值？如果能，请求出相应的值；如果不能，请简要说明理由． 6．（2025·上海虹口·一模）如图．在平面直角坐标系中．已知抛物线 与轴交于点，（点在点的左侧）．与轴交于点．连接，，抛物线的顶点为点． (1)求的值和点的坐标； (2)点是抛物线上一点（不与点重合）．点关于轴的对称点恰好在直线上． 求点的坐标； 点是抛物线上一点且在对称轴左侧．连接．如果，求点的坐标． 7．（2026·上海长宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点． (1)已知． ①求抛物线的表达式． ②若点为该抛物线上一点，且的重心恰好落在轴上，求点的坐标． (2)坐标平面内有点，如果抛物线与线段有且只有一个公共点，求的值或取值范围． 8．（2026·上海松江·一模）在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且． (1)求该抛物线的表达式和点的坐标； (2)是抛物线上位于第一象限内的一点，且． ①求点的坐标； ②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离． 9．（2026·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点，抛物线的顶点为． (1)直接写出点的坐标，并用含的代数式表示顶点的坐标； (2)将该抛物线平移得到新抛物线，所得新抛物线的最高点是，且与轴的交点为，连接、，如果的面积为6，求的值； (3)当点的坐标为时，如果点在抛物线上，且，求点的坐标． 考向07 二次函数图象的平移 研考向·通技法 一、考向分析 中考二次函数高频考点，考查二次函数图象的平移规律，核心是抓住＂顶点平移＂来推导解析式变化。 二、解题方法 1．核心思路：平移只改变顶点位置，不改变开口方向和大小（ 不变）。 2．平移规律（顶点式 ）： 向左平移 个单位： 向右平移 个单位： 向上平移 个单位： 向下平移 个单位： 口诀：左加右减，上加下减（只对顶点坐标操作） 3．一般式处理：先配成顶点式，按规律平移后，再化回一般式（或保留顶点式）。 1．（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值以及抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值． 2．（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线（）经过点、点、点． (1)求此抛物线的表达式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点的位置，那么平移的方法是_______． 3．（2025·上海徐汇·一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． (1)由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； (2)若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 4．（2024·上海金山·二模）已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 5．（2024·上海奉贤·二模）如图，在直角坐标平面中，抛物线与轴交于点、，与轴正半轴交于点，顶点为，点坐标为． (1)写出这条抛物线的开口方向，并求顶点的坐标（用的代数式表示）； (2)将抛物线向下平移后经过点，顶点平移至．如果锐角的正切值为，求的值； (3)设抛物线对称轴与轴交于点，射线与轴交于点，如果，求此抛物线的表达式． 6．（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点． ①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式； ②如果与相似，求平移的距离． 7．（2025·上海金山·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点为抛物线上一点，且在轴下方，连接．当时，将抛物线沿平行于轴的方向平移，平移后点的对应点为点，当平分时，求抛物线平移的距离． 8．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别是和． (1)求出直线的解析式． (2)过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q． （i）向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A，求平移的距离和的表达式． （ii）延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段．当和相似时，求点P的坐标． 考向08 求抛物线与x轴的交点坐标 研考向·通技法 一、考向分析 中考二次函数基础考点，考查求抛物线与 轴的交点坐标，本质是解一元二次方程，同时判断交点个数。 二、解题方法 1．令 ：将抛物线解析式 转化为方程 。 2．解方程： 因式分解法、配方法或求根公式 求解方程的根 。 交点坐标为 （若方程有两个不等实根）；若 ，则只有一个交点 （顶点在 轴上）；若 ，则无交点。 3．交点个数判断： 个交点； 个交点； 个交点。 1．（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为， (1)为了确定这条抛物线，需要再添加一个条件，请从以下两个条件中选择一个：①它与轴交点的坐标是；②顶点的坐标为．你选择的条件是 （填写编号），并求、的值． (2)由（1）确定的抛物线与轴正半轴交于点，求的值． 2．（2425九年级上·上海·月考）已知：某个二次函数的一般式为：． (1)用配方法把一般式化为顶点式，并指出该函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)求这个二次函数图像与轴的交点坐标． 3．（2024·上海·模拟预测）如图所示直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在第一象限，，它的横坐标为1，抛物线经过A、C两点 (1)求抛物线的解析式及其与x轴另一交点坐标 (2)求证：平分 (3)求的值 4．（2024·上海黄浦·三模）已知在直角坐标平面内，抛物线与轴交于点，顶点为点，点的坐标为，直线与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求的面积； (3)如果，求抛物线的表达式． 考向09 抛物线与x轴的交点问题 研考向·通技法 一、考向分析 中考二次函数核心考点，考查抛物线与 轴交点的综合问题，包括交点个数判断、交点间距离、交点与不等式、参数取值范围等。 二、解题方法 1．交点个数判断 由判别式 决定： 个交点； 个交点（顶点在 轴上）； ：无交点。 2．交点间距离 若交点为 ，则两点距离： （由韦达定理 推导） 3．与不等式结合 对应 或 对应 ； 对应 对应 或 。 4．含参数问题 有交点： ； 恒在 轴上方： 且 ； 恒在 轴下方： 且 。 1．（2025·上海奉贤·三模）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)当点在轴负半轴，且时， ①求抛物线的表达式； ②将抛物线向上或向下平移得到抛物线，抛物线与轴的负半轴交于点，顶点的纵坐标为，如果线段与线段有交点，求的取值范围； (2)当抛物线的系数变化时，表述顶点的运动轨迹，并画出图像． 2．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线． (1)当对称轴为直线时，请直接写出的值． (2)若，当时，抛物线与x正半轴交点，当时，抛物线与x轴正半轴为，若，判断m和n的大小，并简要说明理由． 3．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，顶点为A的抛物线与y轴交于点B． (1)如果抛物线经过点，且不经过第二象限，求抛物线的表达式； (2)如果抛物线与坐标轴共有两个公共点，且在y轴右侧是下降的，求m的值； (3)点A在第一象限，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，将抛物线沿着射线方向平移，点A、B、C的对应点分别为点、、，线段与线段交于点D，如果，，求点A的坐标． 4．（2025·上海长宁·一模）如图，在直角坐标平面内，以点为顶点的抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线，顶点为点． ①联结，如果点在轴上且新抛物线与线段有公共点，求的取值范围； ②设新抛物线与直线交于点，如果点在原抛物线上，且在直线的右侧，，求点的坐标． 考向10 其他问题(实际问题与二次函数) 研考向·通技法 一、考向分析 中考二次函数综合应用考点，考查用二次函数解决实际问题（如利润最大化、面积最值、运动路径等），核心是建模与求最值。 二、解题方法 1．建模： 审题，设自变量 （如数量、长度、时间），确定因变量 （如利润、面积、高度）； 根据题意列出等量关系，得到二次函数解析式 ； 结合实际意义，确定 的取值范围。 2．求最值： 配方法或公式法求顶点 ； 若顶点在 取值范围内，则顶点处取最值； 若顶点不在范围内，则在区间端点处取最值。 3．验证作答： 检验结果是否符合实际意义（如长度、数量为正）； 写出最终结论（如最大利润、最优方案）。 1．（2025·上海金山·二模）请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点．此时点距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点，切换到直线下降飞行模式降落至地面点．得到抛物线、直线和直线． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点距离起飞点的水平距离为10千米，求和的值； （2）若飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为0.4千米．水平飞行了小时到达点后降落，求的取值范围．     2．（2025·上海·模拟预测）乘坐公交车时，同学们一定注意过公交车上的雨刮器．和往常汽车上同向摆动的雨刮器不同，公交车的雨刮器是对开式的．这种设计在保证清洁玻璃的同时，不会影响司机的正常驾驶．图1是一种较大型号的公交车的前挡风玻璃的简图，整块玻璃呈长方形（近似为一平面），其长为150厘米，宽为100厘米． (1)按照传统的对开式雨刮器的方式，假设两个相同规格的雨刮器（即长度相等）装在点A与点B并绕其旋转．当两个雨刮器的端点重合至点E（如图2）时，如果的最大内角为，求两个雨刮器扫过的面积．（结果保留根号与π） (2)小红在研究了对开式雨刮器后认为：这种雨刮器的半径过小，无法有效清洁玻璃上部的污渍．据此，她在原玻璃板上设计了一种新型雨刮器：如图3，取线段厘米，以点F为支点，构造移动装置（即与相连的装置）；是垂直于玻璃一边的清洁板，可以伸缩，用于清洁整块玻璃，在装置移动的过程中，与始终保持垂直，且．问：是否存在一个k，满足清洁板能够清洁的面积最大而不超过整个玻璃的边框？如果可以，求出此时k的值；如果不可以，请说明理由． 3．（2025·上海·二模）某企业在2024年14月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年14月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） 9 16 24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司14月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 考向11 线段周长问题(二次函数综合) 研考向·通技法 一、核心思路 将线段／周长转化为二次函数，再求最值。 二、解题步骤 1．表线段 －设动点坐标 ，用水平／铅垂／两点距离公式表示线段长： 水平： 铅垂： 斜线： 周长=各线段长度之和。 2．化函数 －把线段／周长表达式整理为关于 的二次函数 ，注意 的取值范围。 3．求最值 顶点在范围内：顶点处取最值； 顶点不在范围内：在区间端点取最值； 最短路径：用＊＊轴对称（将军饮马）转化为直线段，再结合函数求解。 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 2．（2025·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，抛物线顶点在第一象限且在直线上． (1)求抛物线的表达式； (2)向上平移直线，交抛物线于两点(在左侧），当时，求点坐标； (3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点，顶点为，如果，求的值． 3．（2025·上海黄浦·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于、两点（点在点右侧），与轴正半轴交于点，顶点为． (1)如果，求抛物线的表达式； (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)联结、，直线交轴于点，如果，求抛物线的表达式． 考向12 面积问题(二次函数综合) 研考向·通技法 一、核心思路 将图形面积转化为二次函数，再求最值或定值。 二、解题步骤 1．表面积 常用方法： 割补法：把不规则图形拆成规则图形（三角形、梯形）的和／差； 铅垂高法：三角形面积 水平底 × 铅垂高； 直接用坐标表示底和高，代入面积公式。 设动点坐标 ，把面积写成关于 的表达式。 2．化函数 整理为二次函数 ，注意 的取值范围。 3．求最值／定值 最值：顶点在范围内取顶点最值，否则取端点最值； 定值：通过化简消去 ，得到常数。 1．（2025·上海松江·一模）已知一条抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的面积． 2．（2025·上海黄浦·一模）已知抛物线经过点、、． (1)求该抛物线的表达式及其对称轴l； (2)如果点A与点D关于对称轴l对称，联结、，求的面积． 3．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 4．（2025·上海·模拟预测）抛物线的顶点在轴上，和轴两交点从左到右分别为点．抛物线第一象限有一点． (1)若； ①求的长． ②连接，在线段上取一点，四边形的两对角线垂直，其中一条对角线将的面积分成上部、下部比值为的两个部分，求这条对角线的长． (2)沿直线翻折得到．沿轴正方向平移原抛物线，新抛物线的顶点为，其图象平分线段．求点的坐标． 考向13 角度问题(二次函数综合) 研考向·通技法 一、核心思路 将角度条件转化为坐标／线段关系，再结合二次函数求解动点坐标或参数。 二、解题方法 1．角度转化 直角：勾股定理逆定理（ ）或斜率乘积为 1 ； 等角：利用相似三角形、等腰三角形或三角函数相等； 特殊角（ ）：用三角函数（正切、正弦、余弦）建立边的比例关系。 2．坐标表达 设抛物线上动点为 ，用坐标表示线段长度或斜率； 代入角度条件，得到关于 的方程（或方程组）。 3．求解验证 解方程得到 ，回代求动点坐标； 结合图形范围，舍去不符合题意的解。 1．（2025·上海青浦·二模） 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，抛物线：经过两点，顶点为点，对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点在第二象限，且在抛物线的对称轴上，如果，求点的坐标； (3)将抛物线平移，得到抛物线，平移后，抛物线上的点落在点处，，，求平移后的抛物线的表达式． 2．（2025·上海杨浦·二模）已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)联结，如果平分，求a的值； (3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 3．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． (1)求原抛物线的表达式； (2)求m关于n的函数解析式； (3)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围． 考向14 特殊三角形问题(二次函数综合) 研考向·通技法 一、核心思路 将等腰三角形、直角三角形、等边三角形等特殊三角形的判定条件，转化为坐标／线段等式，结合二次函数求解动点坐标。 二、常见类型与方法 1．等腰三角形 分类讨论： ； 用两点距离公式表示三边，列等式求解； 或利用＂三线合一＂，结合垂直平分线性质。 2．直角三角形 分类讨论： ； 用勾股定理逆定理： 等； 或用斜率乘积为 1 （直角边斜率存在时）。 3．等边三角形／等腰直角三角形 先满足等腰条件，再叠加额外约束（如三边相等、直角、 角等）； 用三角函数或勾股定理建立方程。 4．通用步骤 1．设动点坐标 ； 2．用坐标表示三边长度； 3．按特殊二角形分类列方程； 4．解方程并验证符合图形范围。 1．（2025·上海闵行·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，联结交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)联结、，求证：是直角三角形； (3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，点的坐标为________． A． B． C．    D．或 2．（2024·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于点、，抛物线的顶点在第一象限，且． (1)当点P的坐标为时，求这个抛物线的表达式； (2)抛物线表达式中有三个待定系数，求待定系数a与n之间的数量关系； (3)以点P为圆心，为半径作，与直线相交于点M、N．当点P在直线上时，用含a的代数式表示的长． 3．（2024·上海·模拟预测）如图，直线交y轴于点A，交抛物线于点，抛物线经过点，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作交所在直线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当为等腰直角三角形时，求：P点坐标； (3)在（2）的条件下，连接，将沿直线翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标． 4．（2024·上海·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 考向15 特殊四边形(二次函数综合) 研考向·通技法 一、核心思路 将平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形的判定条件，转化为坐标／线段关系，结合二次函数求解动点坐标。 二、常见类型与方法 1．平行四边形 判定：对边平行且相等，或对角线互相平分； 坐标法：利用中点坐标公式，对角线中点重合： －分类讨论：已知三点，求第四点在抛物线上的位置。 2．矩形 先满足平行四边形，再叠加一个直角（勾股定理逆定理或斜率乘积为 1 ）； 或直接用＂三个直角＂判定。 3．菱形 先满足平行四边形，再叠加邻边相等（两点距离相等）； 或对角线互相垂直平分。 4．正方形 先满足矩形，再叠加邻边相等； 或先满足菱形，再叠加一个直角。 5．通用步骤 1．设动点坐标 ； 2．根据特殊四边形判定，列中点／长度／垂直等式； 3．解方程求 ，回代得坐标； 4．验证符合图形范围。 1．（2025·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离； (3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标． 2．（2025·上海金山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，已知抛物线（为常数），抛物线与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧），顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)求证：的面积是一个定值，并求出这个值； (3)已知点，抛物线的顶点恰好落在的平分线上，点在抛物线上，若四边形为梯形，求点的坐标． 3．（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 考向16 相似三角形问题(二次函数综合) 研考向·通技法 一、核心思路 利用相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，将比例关系转化为坐标／线段方程，结合二次函数求解动点坐标。 二、解题方法 1．找对应关系 先确定已知三角形的角与边，再分类讨论相似的对应情况（如 或 ; 优先用角相等锁定对应关系（如公共角、直角、已知角），减少分类讨论。 2．列比例式 用两点距离公式或坐标差表示线段长度； 根据相似对应边成比例，列出 形式的方程。 3．坐标转化 设抛物线上动点为 ，将线段长度用 表示； 代入比例式，得到关于 的方程。 4．求解验证解方程得到 ，回代求动点坐标；结合图形范围，舍去不符合题意的解。 1．（2025·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)点是该抛物线上的一点，设对称轴与轴交于点，如果恰好平分线段，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，连接、，当时，求的值． 2．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的开口向下，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)如图，若，且； ① 求抛物线的表达式； ② 抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标； (2)若，点O是线段的中点． 直线交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． 设、的重心分别为、，当与相似时，求的值． 3．（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中（如图），顶点为的抛物线经过原点，直线交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，使得新抛物线的顶点D恰好落在抛物线上．抛物线的对称轴交直线于点E．连接． ①连接，当线段的中垂线经过点A时，求的值； ②线段交抛物线的对称轴于点F，当与相似时，求代数式的值． 4．（2025·上海徐汇·一模）通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即拋物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像，发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． (1)求点的坐标； (2)当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 考向17 其他问题(二次函数综合) 研考向·通技法 一、常见类型与通法 1．动点存在性问题 设动点坐标 ，将条件（如垂直、平行、定值）转化为关于 的方程； 解方程后验证是否符合图形范围。 2．定值／恒成立问题 用 表示目标量（如线段和、面积差），化简后若消去 ，则为定值； 若要恒成立，转化为判别式或不等式求解参数范围。 3．新定义问题 先理解新定义（如＂友好点＂＂关联线段＂），再将其转化为熟悉的坐标／函数条件； 按定义列方程，结合二次函数求解。 4．通用解题步骤 （1）．设：设出动点或参数坐标； （2）．表：用坐标表示线段、面积、角度等； （3）．列：根据题意列方程／不等式； （4）．解：求解并验证符合题意。 1．（2024·上海普陀·一模）综合实践 九年级第一学期教材第2页 结合教材图形给出新定义 对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．   图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心． (1)填空：在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的________多边形．（填“位似”或“相似”） (2)在平面直角坐标系中（如下图），二次函数的图像与x轴交于点A，点B是此函数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似．    ①画出，并求经过O、、三点的抛物线的表达式； ②直线与二次函数的图像交于点M，与①中的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据新定义说明理由． 2．（2025·上海徐汇·二模）已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、．当的值小于0时，的值大于4，且该直线与轴的夹角为．抛物线经过点和点． (1)【问题提出】如何求抛物线解析式 观察条件“当的值小于0时，的值大于4”，可得当的值小于4时，的值__________（选填“大于”或“小于”）0，该条直线的大致图像可能是__________（选填“A”或“B”），其中与轴交点的坐标为__________．继续阅读条件，“该直线与轴的夹角为”告诉我们其与轴的交点的坐标是__________，最终带入抛物线，列出方程组__________，解得__________，__________． (2)【综合运用】 是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标． 3．（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； ②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 4．（2025·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，（点在点的右侧）与轴正半轴交于点，顶点为．    (1)求的长； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)将该抛物线平移，新抛物线的顶点落在轴上，与原抛物线交于点，如果点与点关于原点对称，且，求△的面积． 5．（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，该抛物线上有三个点、、，轴，，，与抛物线的对称轴交于点（点在对称轴的左侧）． ①如果点到抛物线对称轴的距离为，请用含的代数式表示点的横坐标； ②求点的横坐标． 2 / 174 1 / 174 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题06中考二次函数压轴(专项训练) （17大考向） 考向01 y=a（x-h）²+k的图象和性质 研考向·通技法 一、考向分析 中考二次函数核心考点，考查顶点式 的图象与性质，包括开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最值等。 二、解题方法 1．识顶点：直接读出顶点坐标 ，对称轴为直线 。 2．看开口： ：开口向上，函数有最小值 ； ：开口向下，函数有最大值 。 3．析增减： 对称轴左侧 时 随 增大而减小， 时 随 增大而增大； 对称轴右侧 时 随 增大而增大， 时 随 增大而减小。 4．画图象：先确定顶点和对称轴，再取对称点描点连线。 1．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，已知，是抛物线（）上的两点． (1) ； (2)如果该抛物线与x轴交于点C、D（点C在点D的右侧），且，四边形的面积是25，求这个抛物线的表达式 【答案】(1)2 (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（xh）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式． （1）结合抛物线的对称性可得． （2）根据题意合抛物线的对称性可得，，由已知条件可得，，，进而根据四边形的面积是25得到，求得，即，，再利用待定系数法求二次函数解析式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为， 且抛物线上的点，关于对称轴对称， ∴． 故答案为：2． （2）解：由（1）得，抛物线的解析式为，对称轴为直线， ∵该抛物线与x轴交于点C、D， ∴点C，D关于直线对称， ∵， ∴，． ∵，， ∴，，． ∵ ∴， 解得， ∴，． ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴该抛物线的表达式为． 2．（2023·上海嘉定·模拟预测）已知：二次函数的图象过点和两点． (1)求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为的形式； (2)求出函数图象与x轴、y轴的交点坐标． (3)当x取何值时，y随x的增大而增大． 【答案】(1)， (2)函数图象与x轴的交点坐标为和，与y轴的交点坐标为 (3)当时，y随x的增大而增大 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（xh）²+k的图象和性质 【分析】（1）把和代入，解二元一次不等式组得到解析式，运用配方法化为顶点式； （2）与x轴、y轴的交点坐标即当和时，求出来的值； （3）求出函数的对称轴，根据函数的增减性得到当时，y随x的增大而增大． 【详解】（1）解：把和代入得：， 解得：， 二次函数的表达式为：， ； （2）解：令得，解得或3， 函数图象与x轴的交点坐标为和， 令得， 函数图象与y轴的交点坐标为； （3）解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，y随x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查求二次函数的解析式，以及二次函数与坐标轴的交点和二次函数的增减性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（2025·上海闵行·二模）定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为，此时由于，，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线． (1)如果抛物线是“优雅”抛物线，求的值． (2)如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点． ①点在延长线上，点是轴上一点，且四边形是矩形，求点的坐标． ②如果抛物线为“优雅”抛物线，它的顶点在轴上，抛物线与交于点，且，求抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（xh）²+k的图象和性质 【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为，即可求解； （2）①由点的坐标得，直线的表达式为，可得，四边形是矩形，由解得，进而可得，，由于是的中点，从而求出点坐标； ②抛物线为“优雅”抛物线，求出，由于，可得，结合，求出，联立与，求得坐标，进而求出的解析式． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为， 即， ； （2）解：①如图：由（1）知，点，设， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ②， ， ， ， ， ， ， ，， 解方程组，得，， 将代入得：， 解得 ， 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到新定义、图象的平移、一次函数的图象和性质、平行四边形的性质等，利用新定义确定函数表达式是解题的关键. 考向02 把y=ax²+bx+c化成顶点式 研考向·通技法 1. 一、考向分析 2. 中考二次函数基础考点，考查将一般式 转化为顶点式 ，核心是配方法的应用，为后续研究函数性质做准备。 3. 4. 二、解题方法 5. 1．提系数：提取二次项系数 ，只对含 的项配方： 6. 7. 2．配常数：在括号内加上并减去一次项系数一半的平方： 8. 9. 3．整理成式：将前三项写成完全平方，合并常数项： 10. 即顶点式： ，其中 1．（2026·上海虹口·一模）“已知抛物线经过点，求抛物线的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线的表达式为． (1)请根据已有的信息添加一个缺失的条件：_____________； (2)将抛物线向上平移个单位后得到抛物线，如果抛物线的顶点关于原点的对称点在抛物线上，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查根与系数关系，抛物线的平移，关于原点对称的点的坐标； （1）由，经过，得是的一个根，求另一个根即可解答； （2）求出平移后的函数解析式的顶点坐标和关于原点对称的点的坐标，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，经过， ∴是的一个根， 由根与系数关系，得，即， 解得， ∴添加的条件为； （2）解：将抛物线向上平移个单位后解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 关于原点的对称点为， 将代入， 得即， 解得． 2．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）． (1)用配方法求抛物线的顶点坐标； (2)求线段的长； (3)如果，平移抛物线，使所得新抛物线的顶点E在其关于轴对称抛物线的对称轴上，当时，求平移后新抛物线的表达式． 【答案】(1) (2)2 (3)平移后新抛物线的表达式为或． 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】此题考查二次函数的图象及性质， （1）先对含x的项提取系数a，在括号里配方，最后整理即可得到二次函数的顶点坐标； （2）先由抛物线与x轴交于点A、B，求出A、B的坐标，再由对称性得到M、N的坐标，即可算出线段的长； （3）先根据求出a的值，再根据求出顶点E，即可求出平移后新抛物线的表达式． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵，令得， 解得， ∴； ∵抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称， ∴抛物线的解析式为 当时，， 解得， ∴， ∴； （3）由（2）得，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∴，得， ∴或， ∵ ∴或， ∴平移后新抛物线的表达式为或． 3．（2025·上海静安·一模）二次函数的部分图像如图所示，已知它与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线． (1)填空：① a与b的数量关系为： ；②图像与轴的另一个交点坐标为 ． (2)如果该函数图像经过点，求它的顶点坐标． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的对称性是解题关键． （1）①根据二次函数的对称轴可得，由此即可得； ②根据二次函数的对称性求解即可得； （2）根据（1）可设二次函数的解析式为，将点代入求出二次函数的解析式，再根据二次函数的解析式的顶点式求解即可得． 【详解】（1）解：①∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵二次函数的图像与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线， ∴图像与轴的另一个交点坐标为，即为， 故答案为：． （2）解：∵二次函数的图像与轴的两个交点坐标是和， ∴可设二次函数的解析式为， ∵这个函数图像经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴它的顶点坐标为． 4．（2024·上海杨浦·一模）已知二次函数． (1)用配方法将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)设该函数的图象与轴交于点、，点在点左侧，与轴交于点，顶点记作，求四边形的面积． 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标； (2)． 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、求抛物线与x轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）利用配方法把二次函数的一般形式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）令求出与轴交点坐标，令求出与轴交点坐标，然后求面积即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴对称轴为直线，顶点坐标； （2）解：根据题意画图， 令，则， ∴点，则， 令，则，解得，， ∴，， ∴， 由（）得：， ∴， ， ． 5．（2026·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，把抛物线向下平移1个单位长度，所得的新抛物线顶点坐标为． (1)求原抛物线的表达式； (2)若新抛物线与轴交于点，原抛物线顶点为，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求角的正切值、把y=ax²+bx+c化成顶点式、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用平移规律结合新抛物线的顶点坐标，利用顶点式得出原抛物线解析式； （2）先求出新抛物线的解析式为，再求得，从而可求得，，得出轴，进而求得，从而可得出点到的距离为，再求得，然后利用三角形面积求得，再利用勾股定理求得，从而可求得． 【详解】（1）解：∵把抛物线向下平移1个单位长度，所得的新抛物线顶点坐标为， ∴原抛物线顶点坐标为， ∴原抛物线的解析式为， 即原抛物线的解析式为； （2）解：∵原抛物线的解析式为，把抛物线向下平移1个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 又，，在平面直角坐标系上描点A，B，C三点，如图， ∴，，轴， ， ∴点到的距离为， ∴， 过点A作于点D， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了把化成顶点式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，用勾股定理解三角形，求角的正切值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 考向03 画y=ax²+bx+c的图象 研考向·通技法 一、考向分析 中考二次函数基础考点，考查绘制二次函数 的图象，核心是通过关键点描点连线，直观呈现抛物线形状。 11. 二、解题方法 1．定核心： 先求对称轴： 再求顶点坐标： 看开口方向： 向上， 向下 12. 2．找交点： 与 轴交点：令 ，得（ 0, c）。与x轴交点：令 ，解方程 ，得交点 （若无实根则无交点） 3.取对称点：在对称轴两侧取对称的 值，计算对应 值，得到若干对称点 13. 4．描点连线：先描顶点、交点、对称点，再用平滑曲线连接，形成抛物线 1．（2025·上海崇明·模拟预测）已知二次函数的解析式为． (1)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式； (2)选取该条抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像． x … 1 3 … y … … 【答案】(1)，过程见解析 (2)答案见解析 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、画y=ax²+bx+c的图象、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及画二次函数图象，正确掌握配方法以及用描点法画二次函数图象的步骤是解题关键． （1）直接利用配方法把该二次函数的解析式化为顶点式即可； （2）列表、描点、连线，画出该二次函数的图象即可． 【详解】（1）解： ， 答：该二次函数的顶点式为：． （2）解：该二次函数解析式为，则顶点坐标为， 令得：， 解得：或， 即该条抛物线与x轴的交点坐标为和， 当时，， 当时，， 列表如下： 根据列表中的数据，在坐标系中描点并用平滑的曲线连接起来，得到函数的图象，如图： 2．（2026·上海松江·一模）在画二次函数的图象时，列表如下： 0 1 0 0 (1)直接写出、、、的值： ________________；________________； ________________；________________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的大致图象，并描述图象的变化趋势 【答案】(1) (2)图见解析，在直线的左侧图象下降，在直线的右侧图象上升 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握五点作图法是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，进而求出的值即可； （2）描点，连线画出函数图象，根据图象描述增减性即可． 【详解】（1）解：由表格可知，函数图象与轴的两个交点坐标为和， ∴二次函数的解析式为， ∴， 当时，； 当时，； （2）解：描点，连线，画出函数图象如下： 由图象可知：在直线的左侧图象下降，在直线的右侧图象上升． 3．（2025·上海·模拟预测）分段函数，就是对于自变量不同的取值范围，有不同的函数解析式与之对应的函数．如函数就是一个分段函数． 现有分段函数． 已知该分段函数的图像是连续的，且在给出的这四个二次函数中，其只经过函数图像的顶点． (1)试确定这个分段函数的解析式，并在所给平面直角坐标系中作出其大致图像； (2)若直线与此分段函数的图像有5个不同的交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)分段函数为，图象见解析 (2) 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查了画的图象，的图象与性质，抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）依次求出分段函数中相邻两函数的交点坐标，再结合只经过函数图像的顶点求解，然后画了函数图象； （2）结合函数图象，根据函数间的交点求解． 【详解】（1）解：如图． ，解得：或， 即两函数的交点坐标为，， 函数的对称轴为， 因为只经过函数图像的顶点， 所以函数的图象在函数的左边， 所以点为它们的交点，且在分段函数上， 所以函数必须满足； ，解得：或， 即两函数的交点坐标为，， 因为只经过函数图像的顶点， 函数的对称轴为， 所以函数在函数的右边， 即在及右边， 所以此时， ，解得：或， 即两函数的交点为和， 因为只经过函数图像的顶点， 所以函数的图象在函数的右边， 也在函数的对称轴为右边， 所以在的右边， 所以此时， 综上所述，可画出图象如图， 结合分段函数， 可得出，，， 所以这个分段函数为 （2）如图， 结合图象，我们知道，当时，有4个不同交点， 在点处， 也就是时，也有4个不同交点， ∵直线与此分段函数的图像有5个不同的交点， ∴当时，直线与此分段函数的图像有5个不同的交点． 4．（2025·上海·模拟预测）已知一抛物线． (1)在图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线的图像，并根据图像写出y与x的变化关系； (2)将该抛物线向左平移．设原抛物线与x轴交于点（A在B左侧），与y轴交于点C．点D为点C在新抛物线上的对应点，且点D落在一反比例函数图像上．若新抛物线经过原点，求直线与此反比例函数的另一个交点． 【答案】(1)图像见详解，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； (2)或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、画y=ax²+bx+c的图象、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题主要涉及二次函数的图像性质，函数图像的平移，反比例函数以及一次函数的相关知识．熟知相关知识点、解题时做到数形结合是正确解答此题的关键． （1）先将二次函数化为顶点式，确定顶点坐标和对称轴．再列表，然后描点、连线，即可得图像，进而观察图像得出y与x的变化关系． （2）先求出原抛物线与坐标轴的交点A，B，C的坐标，根据抛物线平移的性质射出平移后的抛物线表达式，利用新抛物线经过原点求出平移的距离．进而得到点D的坐标，再求出反比例函数表达式和直线的表达式，最后联立两个函数表达式，求出另一个交点． 【详解】（1）解：将抛物线化为顶点式：． 所以抛物线的顶点坐标为， 列表： 0 1 2 3 4 5 4 0 0 4 描点、连线，图像如下： 抛物线的对称轴为直线． 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （2）解：由（1）可知，抛物线与x轴交点，，与y轴交点． 设抛物线向左平移m个单位（）， 则平移后的抛物线表达式为． 因为新抛物线经过原点， 所以． 即， 则． 当时，； 当时，． 点平移后得到点D， 当时，； 当时，． 设反比例函数表达式为， 当时，， 解得， 反比例函数表达式为． 当时，， 解得， 反比例函数表达式为． 当直线经过点，时， 设直线表达式为， 代入可得， 两式相减得，， 把代入得， 直线表达式为． 联立， 即， 解得，是D点横坐标，舍去， 当时，， 交点坐标为． 当直线经过点，时， 设直线表达式为， 代入可得， 两式相减得，， 把代入得， 直线表达式为． 联立， 即， 解得，是D点横坐标，舍去， 当时，， 交点坐标为． 综上所述，当时，直线与反比例函数的另一个交点为； 当时，直线与反比例函数的另一个交点为． 考向04 y=ax²+bx+c的图象与性质 研考向·通技法 14. 一、考向分析 15. 中考二次函数核心考点，考查一般式 的图象与性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值、与坐标轴交点等。 16. 17. 二、解题方法 18. 1．核心要素 19. 开口方向：由 决定， 开口向上， 开口向下；|a| 越大，开口越小。 对称轴：直线 。 顶点坐标： ，是函数的最值点。 最值： 时，函数有最小值 时，函数有最大值 。 20. 2．增减性 21. 当 时：在对称轴左侧 ， 随 增大而减小；在右侧 ， 随 增大而增大。 22. 当 时：在对称轴左侧 ， 随 增大而增大；在右侧 ， 随 增大而减小。 23. 3．与坐标轴交点 24. 与 轴交点： 。 25. 与 轴交点：令 ，解方程 。 26. ：两个交点 ； 27. ：一个交点（顶点在 轴上）； 28. ：无交点。 1．（2026·上海杨浦·二模）已知二次函数经过点；； (1)直接写出二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势． (2)设该二次函数图象与x轴交于点A（点A在抛物线的右侧），与y轴交于点B，顶点为C，直接写出的面积和周长． 【答案】(1)二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 (2)的面积为3，的周长为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）运用待定系数法，将点；；依次代入二次函数解析式，解得，从而得到二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势； （2）先根据题意求出，，，画出函数图象，过点C作轴，过点A作交延长线于点F，然后根据几何图形性质及勾股定理求得的面积与周长． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点；；， ∴将点；；依次代入二次函数解析式， 可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， 对称轴为直线，即对称轴为直线， ∵， ∴二次函数顶点坐标为， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． （2）解：∵该二次函数图象与x轴交于点A， ∴对于，令， 解得：，， ∵点A在抛物线的右侧， ∴， ∵该二次函数图象与y轴交于点B， ∴对于，令， 解得：， ∴， ∵顶点为C， ∴， 如图，过点C作轴，过点A作交延长线于点F， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ， ， ∴； 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴的周长为：， ∴的面积为3，的周长为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，准确理解相关定义是解题的关键． 2．（2026·上海黄浦·一模）已知抛物线经过点和． (1)求此抛物线的表达式； (2)指出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明这条抛物线的变化情况． 【答案】(1) (2)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是本题的关键． （1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）把解析式化成顶点式，根据抛物线的性质即可求得． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和 ∴把和代入解析式得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大． 3．（2026·上海长宁·一模）宁宁同学用“描点法”画二次函数的图像时，列表如下： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 5 0 3 4 3 0 ．．． (1)由于计算粗心，宁宁算错了其中的一个值，请指出这个算错的值所对应的___________． (2)上述函数图像的对称轴是___________，且当时，的取值范围是___________． (3)若、都在这个函数图像上，比较、的大小，并说明为什么？ 【答案】(1) (2)直线； (3)，理由见解析 【知识点】根据交点确定不等式的解集、根据二次函数的对称性求函数值、已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据表格容易判断出这个二次函数的对称轴与增减性，逐个判断即可； （2）根据表格判断出这个二次函数的对称轴与增减性，从而判断出的取值范围； （3）结合二次函数的对称轴和增减性，判断和的大小即可． 【详解】（1）解：由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线对称， 点关于对称轴直线的对称点为为， 因此对应的y值应为而非5； 故答案为：． （2）解：由表格中的坐标可知，函数图象的对称轴为直线，且开口向下；当时，的取值范围为； 故答案为：直线；． （3）解：由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线对称，且当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴函数图象上的点离对称轴越近，其函数值越大， ，， ∵， ∴点比点更接近对称轴， ∴． 4．（2026·上海徐汇·一模）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示． x … 0 1 2 … y … 0 m 4 4.5 4 2.5 0 … (1)求m的值和二次函数的解析式； (2)将该二次函数的图像上下或左右平移后得到新的抛物线，如果新抛物线经过原点，请直接写出三种平移的方式； (3)选择（2）中一种平移方式说明你是如何获得解题思路的． 【答案】(1)， (2)向下平移4个单位；向右移1个单位，下移个单位；向左移2个单位 (3)见详解 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的平移问题． （1）利用二次函数对称性，和的y值相等，得对称轴，和关于对称轴对称，故m等于时的y值，再用交点式设解析式，代入已知点求系数a，展开得一般式； （2）上下平移改变常数项，左右平移改变顶点坐标，据此得出二次函数的平移过程； （3）选择上下平移方式，说明平移对解析式的影响，再将原抛物线顶点式展开得一般式，由上下平移改变常数项即可得出结果． 【详解】（1）解：由表可知，抛物线对称轴为， ∴顶点坐标为， ∴与时的y值相等， ∴， 设， 将代入， ∴， ∴． （2）解：向下平移4个单位，； 向右移1个单位，再向下移个单位，； 向左移2个单位，． （3）解：向下平移4个单位： ， ∵抛物线过原点时常数项为0， ∴向下平移4个单位即可过． 5．（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位后得到的新抛物线与轴交于点和（点在点左侧），与轴交于点，新抛物线的顶点为，连接． (1)请求出平移后新抛物线的表达式及点的坐标； (2)求的正切值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形、求角的正切值 【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数的图象与性质，勾股定理，等面积法求线段的长度等知识，解题的关键是： （1）根据平移的规律：“左加右减，上加下减”即可求出新抛物线的表达式，然后令求出y的值，即可得出点C的坐标； （2）先求出D、A、B的坐标，连接，过点B作于E，然后根据割补法求出的面积，根据勾股定理求出、的长度，根据等面积法求出的长度，根据勾股定理求出的长度，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位后得到的新抛物线为， 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， 令，则， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，， 连接，过点B作于E， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的正切值为． 考向05 二次函数的对称 研考向·通技法 一、考向分析 中考二次函数高频考点，考查二次函数的轴对称性、点对称变换及图象翻折，核心是利用对称性解决坐标、解析式与最值问题。 二、解题方法 1．轴对称性质（核心） 抛物线对称轴：（或顶点式 ）。 若两点 函数值相等，则对称轴： ，可用于求对称点、最短路径最值。 2．点对称（顶点变换） 以 为例： 关于 轴对称：（开口反向，顶点 ） 关于 轴对称：（开口不变，顶点 ） 关于原点对称：（开口反向，顶点 ） 3．图象翻折对称 沿 轴翻折：开口反向，所有点关于 轴对称，按顶点变换写解析式。 沿 轴翻折：开口不变，所有点关于 轴对称，按顶点变换写解析式。 1．（2025·上海青浦·一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标； (2)设该抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为，求证：是直角三角形． 【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)证明见解析 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、已知两点坐标求两点距离、已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的性质、两点距离公式、勾股定理逆定理等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由表格找出值相等的两个点，再根据对称关系求出对称轴和顶点坐标，进而在观察开口方向； （2）利用两点距离公式求出、、的长度，再根据勾股定理逆定理证明即可． 【详解】（1）解：由表格可知，抛物线经过点，， ∴对称轴为， 根据表格可知，顶点坐标为， ∵顶点纵坐标比两侧数值小， ∴开口向上， ∴抛物线的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）证明：∵抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 即为直角三角形． 2．（2024·上海嘉定·模拟预测）[问题背景]解方程：； [解决方法]建立函数， (1)求：该函数与坐标轴的交点及其顶点坐标 (2)设，则可以通过将抛物线______得到该函数，由图像可知，当问题方程有4个不同根的时候，所有根的和为______ (3)求解[问题背景] 【答案】(1)，，，顶点坐标 (2)x轴下部分沿x轴翻折，4 (3)当时，方程无实数根；当时或时，方程有2个实数根；当，方程有3个实数根，当时，方程有4个实数根． 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、根据二次函数的对称性求函数值、一次函数、二次函数图象综合判断、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，根据二次函数的图像和性质求解即可． （1）把二次函数化成顶点式，可求出顶点坐标，令，可求出函数与y轴的交点坐标，令，可求出函数与x轴的交点坐标． （2）画出函数图像可求解． （3）根据函数图像可求解． 【详解】（1）解：， ∴该函数的顶点坐标为：， 令，则， ∴该函数与y轴的交点坐标为：， 令，则， 即， 解得：，， ∴该函数与x轴的交点坐标为：，． （2）∵，则可以通过将抛物线 x轴下部分沿x轴翻折得到该函数，如下图： 由图像可知，当问题方程有4个不同根的时候，由二次函数的对称性质以及对称轴可知，4个不同根的和为4． （3）由（2）可知，顶点坐标变成， 令，根据函数与x坐标轴的交点，，以及定点坐标结合函数图像可知： 当时，方程无实数根； 当时或时，方程有2个实数根； 当，方程有3个实数根． 当时，方程有4个实数根． 3．（2025·上海·一模）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上． (1)当，时， ①求该抛物线的表达式； ②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值； (2)若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)的取值范围为或 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）①根据，，可得对称轴为直线，求出的值，再根据抛物线经过点，求出，从而得出抛物线解析式； ②把①解析式化为顶点式，再根据平移变换得出新抛物线解析式，然后把代入解析式即可求出的值； （2）根据题意分对称轴在轴左侧和右侧两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点，，，，且，， ，两点关于抛物线的对称轴对称，， ∴对称轴为直线， 根据对称轴公式可知：， ， ∴， 把代入得：， 解得， ∴该抛物线的表达式为； ②∵， ∴把抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线解析式为，即， ∵新抛物线经过点， ∴， 解得； （2）解：当时，抛物线过点，且、、中有且仅有一个值小于0， ∴把代入二次函数解析式得：， ∴， ∴二次函数解析式， 当抛物线对称轴在轴左侧时，即，且经过点，大致图象如图所示： ∵点，，，在抛物线上， ∴由图象可知：， ∵， ∴由图象可知：只有当时，成立， ∴， 解得：， 当抛物线对称轴在轴右侧时，即，且经过，大致图象如图所示： ∵点，，，在抛物线上， ∴由图象可知：只有满足题意， ∴， 解得：； 当时，则对称轴为轴，且图象经过点，所以二次函数与轴的另一个交点坐标为，根据二次函数的性质可知：、、的值都大于0，故不符合题意； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． 考向06 待定系数法求二次函数解析式 研考向·通技法 一、考向分析 中考二次函数核心考点，考查用待定系数法求二次函数解析式，根据已知点的特征选择合适的函数形式（一般式、顶点式、交点式），建立方程求解系数。 二、解题方法 1．选形式 一般式 ：已知 3 个普通点，或需要展开成标准形式时使用。 顶点式 ：已知顶点、对称轴或最值时优先使用。 交点式 ：已知与 轴的两个交点 时使用。 2．代点列方程 一般式：代入 3 个点坐标，列三元一次方程组； 顶点式：代入顶点 和另 1 个点，列关于 的一元一次方程； 交点式：代入两个交点和另 1 个点，列关于 的一元一次方程。 3．解方程求系数 解方程组得到 $a, b, c$ 或 $a, h, k$ 或 ； 回代到所选形式，得到解析式（若需要，可化为一般式）。 1．（2024·上海闵行·一模）已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．抛物线上有一点P，以点P为顶点的抛物线经过点B（点P与点B不重合），抛物线和形状相同，开口方向相反． 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等； 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数． (1)当抛物线经过点A时，求抛物线的表达式； (2)求抛物线的对称轴； (3)当时，设抛物线C1的顶点为Q，抛物线的对称轴与x轴的交点为F，连接，求证：平分． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数顶点的坐标，全等三角形的性质与判定等知识点． （1）将点A的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值； （2）通过题意求出抛物线的解析式，假设点P的坐标，代入抛物线求出m的值，从而得到抛物线的对称轴； （3）过点Q作轴，轴，垂足分别为点N，M，交y轴于点E，利用a表示点P、点Q的坐标，得到各边的数量关系，通过证明，得到平分． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由抛物线和形状相同，开口方向相反，设抛物线的表达式为， 把代入抛物线：，得， 则抛物线的表达式为， 由点P在抛物线上，设点P的坐标为， 由点P是抛物线的顶点，得， 解得， 得点P的坐标为， 即抛物线的对称轴为直线； （3）证明：由点Q是抛物线的顶点，得， 过点Q作轴，轴，垂足分别为点N，M，交y轴于点E，如下图所示， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即 设直线表达式为， 代入，，得， ∴直线表达式为， 把代入，得， 得点E的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． 2．（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴相交于、两点，且点在点左侧，与轴交于点，顶点为点． (1)求线段的长； (2)把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后得到抛物线，抛物线的顶点为点．如果点、、在同一直线上，求抛物线的表达式； (3)当四边形的面积为时，若点是轴上一点（点不与点重合），且△与△相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）令，则或1，即可求解； （2）求出， ，平移后的点，再运用待定系数法求出直线表达式为．把点代入直线表达式，求出，即可求解； （3）点P不与点B重合且与相似，则存在，即，即可求解． 【详解】（1）解：令，即， ∵ ， ∴， 解得：，， 由于点在点左侧，可得，， 从而：． （2）解：由，可得：， 平移后的点， 设直线AD表达式：， 把A、D坐标代入， 解得 ∴直线表达式为． 当点、、在同一直线时，把点代入直线表达式，解得：． ∴抛物线的表达式：． （3）解：设直线的表达式为， 把点、代入得，， 解得， ∴直线的表达式为：， 又点， 作轴交于点H，则， 则四边形的面积， 则， 则抛物线的表达式为：； 则点、， 则， ∵点P不与点B重合且与相似，则存在，即， 即，则， ∴, ∴点． 3．（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)将该抛物线沿射线方向平移，点A、B的对应点分别是点，且的面积比的面积大3． ① 求新抛物线的对称轴方程；                        ② P是新抛物线上一点，如果，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①对称轴方程是；②点P的坐标是 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出，根据，得出，把，代入求出a的值，即可得出解析式； （2）①先求出，则，进而得出边上的高是5，设，求出直线的解析式为，把代入得，则可知抛物线先向右平移了5个单位，又向上平移了5个单位，即可解答； ②在位于直线上方的新抛物线的图像上取一点P，使得，易证，过点P作x轴的垂线，与、x轴分别交于点E、F，得出，设，则，，根据在中，，求出a的值，即可解答． 【详解】（1）解：由，可得， 又， 则， 把，代入得 ，    所以，抛物线的表达式是． （2）解：①由， 可得抛物线的对称轴方程是，， 由，，， 可得， 则， 根据题意， 设边上的高是h， ∴， 解得， 设， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得， 解得：，则， 由，，可知抛物线先向右平移了5个单位，又向上平移了5个单位，则， 所以，新抛物线的表达式是， ∴对称轴方程是． ②在位于直线上方的新抛物线的图像上取一点P，使得， 在中，，则， 根据题意可得，则， ∴，即， 过点P作x轴的垂线，与、x轴分别交于点E、F， ∵，， ∴， 设， 则，， 在中，， 解得， 所以，点P的坐标是． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，二次函数的平移规律，解直角三角形． 4．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏． （1）依题设点，代入，得，则，即可求解； （2）①由待定系数法的即可求解； ②设，若是以为直角边的直角三角形，分为两种情况：或，分别求解即可． 【详解】（1）解：依题设点，代入，得， ∴， 直线上有且只有一个倒数点， ，解得， ， ． 直线的解析式是：， 由，得， ； （2）解：①抛物线经过点，，且， ， 解方程组得：， 抛物线的表达式为：， ， 顶点． ②是抛物线上的点， 设， 若是以为直角边的直角三角形， 只有两种情况：或， 法1：（i）当时， 过点作直线轴，于，于， ， ，可得， ， ， ， 即， 整理得， 或（舍去）， ． （ii）当时， 同理可得， ， 或（舍去）， ． 综上所述：． 法2：，，， （i）当时，， ∴， 解得：或， ， ； （ii）当时，， ∴， 解得：或， ， ． 综上所述：． 5．（2025·上海静安·二模）已知抛物线，的顶点分别为、，且它们都经过轴上的点． (1)如果抛物线经过点，抛物线经过点，求这两个抛物线的表达式； (2)已知，求的值； (3)当时，能否确定系数、、的值？如果能，请求出相应的值；如果不能，请简要说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，m、n的值不能确定，理由见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出两个抛物线与y轴的交点坐标，进而得到，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，，再过点B作轴于D，连接，可证明是等腰直角三角形，得到，则，据此求解即可； （3）求出，则可得到轴，设与y轴交于D，可证明，则可得到，据此可求出a的值，而m、n的值为任意实数，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 在中，当时，， ∵两个抛物线都经过轴上的点， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴两个抛物线的解析式分别为，； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，， ∴， 如图所示，过点B作轴于D，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或（舍去）； （3）解：，m、n的值不能确定，理由如下： ∵， ∴， 由（1）得，由（2）得， ∴点A与点B的纵坐标相同， ∴轴， 设与y轴交于D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∵当时，都能满足， ∴m、n为任意实数， ∴m、n的值不能确定． 6．（2025·上海虹口·一模）如图．在平面直角坐标系中．已知抛物线 与轴交于点，（点在点的左侧）．与轴交于点．连接，，抛物线的顶点为点． (1)求的值和点的坐标； (2)点是抛物线上一点（不与点重合）．点关于轴的对称点恰好在直线上． 求点的坐标； 点是抛物线上一点且在对称轴左侧．连接．如果，求点的坐标． 【答案】(1)，点； (2)；点． 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法和二次函数的性质，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （）设点，则点P关于轴的对称点，将点的坐标代入即可求解； 在中，，，故设，，，则，求出，所以，从而求出则点即可． 【详解】（1）解：由抛物线的表达式知，点， ∴， ∵， ∴， ∴点， 将点的坐标代入抛物线表达式得， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴点； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为 ∴把点的坐标代入得，解得：， ∴直线的表达式为， 设点，则点关于x轴的对称点， 将点(的坐标代入得， 解得：（舍去），， ∴点 设交抛物线对称轴于点，过点作于点， 由点的坐标得，同上理可得直线的表达式为：，即， 由点的坐标得：， ∵，即， ∴， 在中，，， 故设，则，，， ∴， ∴， ∴点， 由点的坐标得，直线的表达式为， 联立上式和抛物线的表达式得， 解得：（舍去）或， ∴点． 7．（2026·上海长宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点． (1)已知． ①求抛物线的表达式． ②若点为该抛物线上一点，且的重心恰好落在轴上，求点的坐标． (2)坐标平面内有点，如果抛物线与线段有且只有一个公共点，求的值或取值范围． 【答案】(1)①抛物线的表达式为；②点B的坐标为或 (2)当或时，抛物线与线段有且只有一个公共点 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、解直角三角形的相关计算、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，结合三角函数、一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）①由，判断出点的坐标，利用待定系数法求函数表达式即可；②由重心的性质，结合相似三角形即可求出点的坐标； （2）结合函数图像，可判断当顶点恰好在线段上时满足该情况，结合图像判断，由于时，函数值，在点下方，故时，函数值应在点上方，也可满足抛物线与线段有且只有一个公共点，据此求出的取值和取值范围． 【详解】（1）解：①当时，， 故点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，且在轴负半轴上， ∴点的坐标为， 代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为． ②解：∵重心是三角形中线的交点，且重心将中线分割成长度为的线段，若重心在轴上，则点一定在轴的下方， 令中点为，重心为点,过点作轴交轴于点，过点作x轴交轴于点，如下图所示： 由，， 得点的坐标为 假设点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， 得， 解得（图左）或（图右）， 当时，， 当时，， 故点B的坐标为或． （2）解：图象开口向下，且经过点， 由此判断当时，函数对称轴为直线， ∴当时，函数值随的增大而减小，故不可能会与线段有交点， ∴， 当抛物线时，得， 化简得 要使方程有一个解，且对应的解应在的范围内， 则， 解得或（舍去）， 当时，， 解得（舍去）或（满足）， 故当时，满足抛物线与线段有且只有一个公共点； 随着的增大，函数与线段有两个交点， ∵当时，函数值，在点下方， 当时，函数值应在点上方，即即可满足要求， 得， 解得， 综上所述，当或时，抛物线与线段有且只有一个公共点． 8．（2026·上海松江·一模）在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且． (1)求该抛物线的表达式和点的坐标； (2)是抛物线上位于第一象限内的一点，且． ①求点的坐标； ②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)①②或个单位长度 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）求出点坐标，设出交点式，待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点坐标即可； （2）①根据，，得到，进而得到，设直线与轴交于点，则：，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可；②设抛物线向右平移个单位，得到新的抛物线，进而得到，，设，根据平行四边形的性质，结合中点坐标公式求出点坐标，代入新的函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一条抛物线与轴交于点、点， ∴设抛物线的解析式为， ∵，， ∴， ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴， 把代入，得，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线与轴交于点，则：， ∴， ∵点在第一象限， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 联立，解得或， ∴； ②设抛物线向右平移个单位，得到新的抛物线， ∵， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， 由①知：， ∴， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴为对角线， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得或； 即平移的距离为或个单位长度． 9．（2026·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点，抛物线的顶点为． (1)直接写出点的坐标，并用含的代数式表示顶点的坐标； (2)将该抛物线平移得到新抛物线，所得新抛物线的最高点是，且与轴的交点为，连接、，如果的面积为6，求的值； (3)当点的坐标为时，如果点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)当时，点的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）首先根据抛物线的对称轴即可得到点B的坐标，并将点A的坐标代入抛物线得到a与c的关系，再将对称轴代入写出顶点D的坐标即可； （2）首先写出平移后的抛物线的解析式，并表示出点E的坐标，进而得到的长度，即可表示出的面积，结合面积为6即可求解的值； （3）首先根据点的坐标为得到的值即可得到抛物线的解析式，分当点P在点A上方和当点P在点A下方进行讨论，根据构造直角三角形，即可求解直线上点E和O的坐标，即可求解直线的解析式，联立直线和抛物线即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴； ∵抛物线交轴于点， ∴，即， 将和代入，得； ∴，； （2）解：设平移后的抛物线为， ∵新抛物线与轴的交点为， ∴， ∵抛物线交轴于点， ∴，即， ∴， ∵， ∴点A到y轴的距离为3， ∴， ∵的面积为6， ∴，解得：， ∵新的抛物线的最高点为点B， ∴新抛物线的开口向下， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即抛物线开口向上， ∴， ∵，， ∴， 设， 如图，当点P在点A上方时，过点A作交直线于点E，作轴于点F，作轴于点G， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∴此时点G与点B重合， ∴， 设直线的解析式为，代入，，得， 解得：， ∴， 联立，解得：（与点D重合，舍去），， ∴； 如图，当点P在点A下方时，过点A作交直线于点O，作轴于点M，作轴于点N， 同理可求：， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，，得， 解得：， ∴， 联立，解得：（与点D重合，舍去），， ∴； ∴当时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查抛物线的性质、平移变换、分类讨论，根据特殊角度构造辅助线求解坐标是解题的关键． 考向07 二次函数图象的平移 研考向·通技法 一、考向分析 中考二次函数高频考点，考查二次函数图象的平移规律，核心是抓住＂顶点平移＂来推导解析式变化。 二、解题方法 1．核心思路：平移只改变顶点位置，不改变开口方向和大小（ 不变）。 2．平移规律（顶点式 ）： 向左平移 个单位： 向右平移 个单位： 向上平移 个单位： 向下平移 个单位： 口诀：左加右减，上加下减（只对顶点坐标操作） 3．一般式处理：先配成顶点式，按规律平移后，再化回一般式（或保留顶点式）。 1．（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值以及抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值． 【答案】(1)，直线 (2)1或3 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． （1）将点B坐标代入解析式求出m值，再写出抛物线解析式顶点式，据此写出对称轴即可； （2）先求出平移后的解析式，根据抛物线图象上点的坐标特征求出n值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线为， ∵新抛物线经过原点， ∴， 解得或1． 2．（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线（）经过点、点、点． (1)求此抛物线的表达式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点的位置，那么平移的方法是_______． 【答案】(1) (2)向左平移4个单位，再向上平移3个单位 【知识点】二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式； （2）先将原抛物线化为顶点式，求得顶点坐标，然后根据平移的特点，即可写出平移的方法． 【详解】（1）解：抛物线经过点、点、点． ， 解得， 即该抛物线的解析式为； （2）解：， 抛物线的顶点为， 的顶点移动到点的位置， 抛物线应向左平移4个单位，向上平移3个单位长度． 故答案为：向左平移4个单位，向上平移3个单位长度． 3．（2025·上海徐汇·一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． (1)由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； (2)若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次函数图象的平移、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）依据题意，根据（1），再结合“左加右减，上加下减”的平移规律，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，得解得； 与的函数关系式为． （2）解：由（1）得，； 所以，新抛物线的表达式为； 即． 4．（2024·上海金山·二模）已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 【答案】(1)，顶点P的坐标是 (2)； 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）把点和点的坐标代入二次函数的解析式，用待定系数法求解即可； （2）先求直线的解析式，设Q点的坐标是，再根据抛物线平称的规律求解即可； 抛物线与y轴的交点是D（0，），分两种情况：或，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）由题意得：， ∴，抛物线的解析式为， ，顶点P的坐标是． （2）①设直线的解析式是， ∴， ∴， ∴直线的解析式是， 设Q点的坐标是，其中，此时抛物线的解析式是， ∵点B平移后得到的点C在x轴上， ∴抛物线向上平移了3个单位， ∴，即， ∴此时抛物线的解析式是，即． ②抛物线，与y轴的交点是D（0，）， 如果，即轴不合题意， 如果， ∵，， ∴， ∴， ∴， 作轴，则， ∴， ∵， ， ∴， 解得（不合题意，舍去）或， ∴， 此时抛物线的解析式是，即． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，二次函数的平移，二次函数与直角三角形综合，掌握二次函数的图象及性质，综合运用二次函数的知识解决问题是解题的关键． 5．（2024·上海奉贤·二模）如图，在直角坐标平面中，抛物线与轴交于点、，与轴正半轴交于点，顶点为，点坐标为． (1)写出这条抛物线的开口方向，并求顶点的坐标（用的代数式表示）； (2)将抛物线向下平移后经过点，顶点平移至．如果锐角的正切值为，求的值； (3)设抛物线对称轴与轴交于点，射线与轴交于点，如果，求此抛物线的表达式． 【答案】(1)抛物线开口向下， (2) (3) 【知识点】已知正切值求边长、相似三角形的判定与性质综合、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，角度问题，正切的定义，相似三角形的性质与判定； （1）将点代入解析式可得，根据抛物线与轴正半轴交于点，得出，即抛物线开口向下，然后化为顶点式求得顶点坐标，即可求解； （2）过点作于点，设向下平移个单位，平移后的抛物线为，根据题意得出，得出，点代入，得出，联立解方程组，即可求解； （3）根据题意可得则，根据题意得出直线的解析式为，进而得出，由抛物线对称轴与轴交于点，得出，则，勾股定理可得，进而代入比例式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点 ∴ ∴ ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴ ∴ ∴抛物线开口向下， ∴抛物线解析式为 ∴ （2）解：如图所示，过点作于点， 设向下平移个单位，平移后的抛物线为 ∵，锐角的正切值为， ∴，则， ∴① 将点代入 ② 联立①②得 （3）解：如图所示 ∵ 当时， ∴ ∵， 设直线的解析式为 ∴ ∴ ∴直线的解析式为， 当时， ∴ ∵抛物线对称轴与轴交于点， ∴ ∴， 勾股定理可得， ∵， ∴ ∴ ∴ 解得：（正值舍去） ∴抛物线解析式为． 6．（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点． ①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式； ②如果与相似，求平移的距离． 【答案】(1)，顶点 (2)①；②或5 【知识点】其他问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将点代入抛物线，求出，进而再求顶点坐标即可； （2）①由题易得轴，，证，可得，即可得解； ②设抛物线向上平移了个单位，则，先求出，直线表达式，直线表达式，联立求出点，则，分两种情况讨论：当时，当时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴顶点； （2）解：①对于抛物线，令，得， ， ∵， 则轴，且， 过作，交延长线于点， ， ， ， 由题可知点向上平移到点， 则轴，即， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ∴点向上平移 4 个单位到点，即抛物线向上平移 4 个单位， ∴平移之后的抛物线的表达式为； ②解：设抛物线向上平移了个单位， ∴， 令，得或 6 ， ∴， 设直线的表达式为， 代入可得，解得：， 故直线的表达式为， 设直线的表达式为， 代入可得，解得：， 故直线的表达式为， 联立， 解得， 即， ， ∵，轴，轴， ∴， ∴分两种情况讨论： 当时， 则，即， 解得； 当时， 则，即， 解得； 综上，平移的距离为5或个单位． 【点睛】本题主要考查了抛物线解析式、抛物线的几何变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 7．（2025·上海金山·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点为抛物线上一点，且在轴下方，连接．当时，将抛物线沿平行于轴的方向平移，平移后点的对应点为点，当平分时，求抛物线平移的距离． 【答案】抛物线平移的距离是 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】运用待定系数法确定函数解析式，设，过点P作轴于点D，连接可证得，建立方程求解确定；连接过点P作交于点E，过点E作于点F，可证得，得出：，，即，再利用待定系数法求得直线的解析式为再求得，即可求得抛物线平移的距离． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴ 解得：， ∴该抛物线的表达式为， 当时，， ∴； 设，如图，过点P作轴于点D，连接则 又 ∵， ∴ ∴，即 解得：（舍去），， 当时， ∴； 如图，连接过点P作交于点E，过点E作于点F， ∴， ∴，，， ∵将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q， ∴D、P、Q在同一条直线上， 平分 ， 又， 是等腰直角三角形， ， ，， ，又， ， 设直线的解析式为，则 ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∵， ∴抛物线向下平移了个单位． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 8．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别是和． (1)求出直线的解析式． (2)过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q． （i）向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A，求平移的距离和的表达式． （ii）延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段．当和相似时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)（i）2，；（ii） 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法解题即可； （2）根据题意可知，抛物线的开口向下，平移的距离为，从而知道顶点的横坐标，将其代入直线，求得点，然后利用待定系数法可求得抛物线的表达式，然后再根据平移，求得抛物线的解析式； （3）设，那么，，求得直线为：，从而知道点坐标以及坐标，然后根据抛物线的性质，可知，那么，从而推出，结合，那么当和相似时，，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，代入和， ， ， 直线的解析式为：； （2）解：（i）过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q， 抛物线W开口向下， 设，那么， 向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A， ， ， ， ， 如图所示： 不妨设抛物线W为，代入原点，得到 ， ， 抛物线W为， 由题意可知，抛物线W向右平移了个距离， 那么抛物线的解析式为：，即； 综上，抛物线W向右平移了2个单位，抛物线的解析式为； （ii）设，那么，， 设直线为：，代入，， 那么有， ，， 直线为：， 当时，， 延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段． ，， ， 过点作轴于点，如图所示： 点是抛物线的顶点，那么是对称轴， ，， ， ， ， ， ， ， ，，， 当和相似时，， ， 或（舍） ，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 考向08 求抛物线与x轴的交点坐标 研考向·通技法 一、考向分析 中考二次函数基础考点，考查求抛物线与 轴的交点坐标，本质是解一元二次方程，同时判断交点个数。 二、解题方法 1．令 ：将抛物线解析式 转化为方程 。 2．解方程： 因式分解法、配方法或求根公式 求解方程的根 。 交点坐标为 （若方程有两个不等实根）；若 ，则只有一个交点 （顶点在 轴上）；若 ，则无交点。 3．交点个数判断： 个交点； 个交点； 个交点。 1．（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为， (1)为了确定这条抛物线，需要再添加一个条件，请从以下两个条件中选择一个：①它与轴交点的坐标是；②顶点的坐标为．你选择的条件是 （填写编号），并求、的值． (2)由（1）确定的抛物线与轴正半轴交于点，求的值． 【答案】(1)②， (2) 【知识点】求角的正切值、求抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）选择②，写出顶点式，再转化为一般式求出、的值即可； （2）求出点的坐标，过点作轴，利用正切的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：当选择条件为①时，只有一个点的坐标无法求出两个参数的值； 故选择②，此时：， ∴； 故答案为：②； （2）解：当时， 解得：， ∴， ∴， 过点作轴， 则：， ∴， ∴． 2．（2425九年级上·上海·月考）已知：某个二次函数的一般式为：． (1)用配方法把一般式化为顶点式，并指出该函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)求这个二次函数图像与轴的交点坐标． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)和 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法把二次函数的一般式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴与顶点坐标； （2）令求出，即可得到函数图象与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：令，即， 解得：，， ∴函数图像与轴的交点坐标为和． 3．（2024·上海·模拟预测）如图所示直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在第一象限，，它的横坐标为1，抛物线经过A、C两点 (1)求抛物线的解析式及其与x轴另一交点坐标 (2)求证：平分 (3)求的值 【答案】(1)， (2)证明过程见详解 (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、求抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）作轴于点D，求出，，证明，得出，进而可求出，把代入，即可求出抛物线的解析式，令，，可得另一个交点的坐标为； （2）用勾股定理求出的长，用三角函数求出即可证明结论； （3）求出两个三角形的面积即可得结论． 【详解】（1）解：作轴于点D， ， 当时，， ， 当时，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 把代入， 得， 解得， ， 令，， ， 另一个交点的坐标为； （2）证明：在，， ， ， 在，， ， ， ， 平分； （3）解：. 【点睛】本题考查了二次函数综合题型，综合运用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理、直角三角形的性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．（2024·上海黄浦·三模）已知在直角坐标平面内，抛物线与轴交于点，顶点为点，点的坐标为，直线与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求的面积； (3)如果，求抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、求抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【分析】（1）本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求得，令得到，求得直线的解析式为，进而即可求解； （2）根据题意，分两种情况讨论，①与轴只有1个交点；②过原点，根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解； （3）根据题意，过点作轴的垂线，垂足为，进而得出是等腰直角三角形，结合的坐标，建立方程，解方程，得出，进而求得抛物线解析式． 【详解】（1）解：令，则，则， ∵ ∴ 又， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 令，则， ∴； （2）①当抛物线与轴只有一个交点与轴有一个交点时， 当时， 即 ∵抛物线与坐标轴共有两个不同的交点 ∴ 解得 ∵， ∴ ∴ ②当抛物线过原点时，且与轴有2个交点时， 将代入解析式 ∴ 即 ∴ ∴此情况不存在， 综上所述， （3）解：如图所示，过点作轴的垂线，垂足为， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵， ∴ 解得：（舍去）或 ∴． 考向09 抛物线与x轴的交点问题 研考向·通技法 一、考向分析 中考二次函数核心考点，考查抛物线与 轴交点的综合问题，包括交点个数判断、交点间距离、交点与不等式、参数取值范围等。 二、解题方法 1．交点个数判断 由判别式 决定： 个交点； 个交点（顶点在 轴上）； ：无交点。 2．交点间距离 若交点为 ，则两点距离： （由韦达定理 推导） 3．与不等式结合 对应 或 对应 ； 对应 对应 或 。 4．含参数问题 有交点： ； 恒在 轴上方： 且 ； 恒在 轴下方： 且 。 1．（2025·上海奉贤·三模）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)当点在轴负半轴，且时， ①求抛物线的表达式； ②将抛物线向上或向下平移得到抛物线，抛物线与轴的负半轴交于点，顶点的纵坐标为，如果线段与线段有交点，求的取值范围； (2)当抛物线的系数变化时，表述顶点的运动轨迹，并画出图像． 【答案】(1)①；② (2)顶点的运动轨迹：开口向下的抛物线，顶点为，对称轴为轴，图像见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①确定，得，根据正切的定义得，确定，代入求出的值即可； ②确定，抛物线的表达式为：，，得，求出的解析式为，得线段与交点的纵坐标为，根据“线段与线段有交点”得，求解即可； （2）确定，得，继而得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：①如图， ∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， 当时，得：， ∴， ∴， ∵点在轴负半轴，且，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； ②∵抛物线与轴交于、两点， 当时，得：， 解得：或， ∴， ∵将抛物线向上或向下平移得到抛物线，抛物线与轴的负半轴交于点，顶点的纵坐标为，， ∴抛物线的表达式为：，， 当时，得：， ∴， 设的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 当时，得：， 即线段与交点的纵坐标为， ∵线段与线段有交点，， ∴， 解得：， ∴的取值范围为； （2）∵抛物线，顶点为点． ∴， ∴， ∴， ∴当抛物线的系数变化时，顶点的运动轨迹为：开口向下的抛物线，顶点为，对称轴为轴，图像如下图所示． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，正切的定义，待定系数法确定函数的解析式，函数图象平移的规律，不等式的应用，画函数图象等知识点．掌握二次函数的图像与性质及锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线． (1)当对称轴为直线时，请直接写出的值． (2)若，当时，抛物线与x正半轴交点，当时，抛物线与x轴正半轴为，若，判断m和n的大小，并简要说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的性质和代数式的运算， 结合题意可求得a的值，再结合系数即可求得代数式的值； 根据抛物线与x正半轴交点可将m和n用p和q表示，再将m和n作差，进行异分母的通分化简，结合，求得对应的各单项式的正负即可判断其关系． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，解得， 则； （2）解：∵当时，抛物线与x正半轴交点， ∴，则， 同理，， 则 ∵， ∴，，， 则， 那么，． 3．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，顶点为A的抛物线与y轴交于点B． (1)如果抛物线经过点，且不经过第二象限，求抛物线的表达式； (2)如果抛物线与坐标轴共有两个公共点，且在y轴右侧是下降的，求m的值； (3)点A在第一象限，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，将抛物线沿着射线方向平移，点A、B、C的对应点分别为点、、，线段与线段交于点D，如果，，求点A的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）分两种情况讨论，一种是经过原点与x轴另一交点，一种是抛物线与轴只有1个交点，与y轴一个交点，根据根的判别式以及在y轴右侧是下降的进行求解即可； （3）记原抛物线对称轴与的交点为，平移后抛物线对称轴与的交点为，先求出顶点，，，由平移的性质可得，那么，则，，再由列式计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴将代入 得：， 整理得：， 解得：或， ∵抛物线不经过第二象限， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：∵，且抛物线在y轴右侧是下降的， ∴对称轴， 令，则 ①当抛物线经过原点时， ， ∴， 解得：或（舍）； ②当抛物线与轴只有1个交点，与y轴一个交点，则， ∴， 解得：， 综上所述：m的值为或； （3）解：记原抛物线对称轴与的交点为，平移后抛物线对称轴与的交点为， ∵， ∴顶点， 当，， ∴ ∵点B关于抛物线对称轴的对称点为点C， ∴， ∵将抛物线沿着射线方向平移，点A、B、C的对应点分别为点、、， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，解直角三角形，平移的性质，相似三角形的判定与性质，综合性强，难度较大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质与性质以及综合运用各知识点进行求解． 4．（2025·上海长宁·一模）如图，在直角坐标平面内，以点为顶点的抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线，顶点为点． ①联结，如果点在轴上且新抛物线与线段有公共点，求的取值范围； ②设新抛物线与直线交于点，如果点在原抛物线上，且在直线的右侧，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】（1）先由对称轴求出的值，再把点坐标代入解析式即可得到抛物线解析式； （2）①新抛物线的解析式可设为，当的图象的对称轴右边图象过点时，有，解得：；当的图象的对称轴左边图象过点时，有，解得：，从而可知； ②如图1所示，作，设，新抛物线可设为，故，证明，再利用三线合一性质说明，当时，即时，满足题意，至此完成二倍角的转换，最后根据，解出的值即可得解． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ，， 把代入，可得， 抛物线表达式为． （2）解：抛物线表达式为， 故，． ①当点在轴上时，新抛物线的解析式可设为， 当的图象的对称轴右边图象过点时，有， 解得：，（舍去）； 当的图象的对称轴左边图象过点时，有， 解得：，（舍去）． 故的取值范围为； ②如图1所示，作， 设，且点为新抛物线顶点，新抛物线的对称轴为直线， 则新抛物线可设为，又点横坐标为2， 则，故， ， ， ，从而知为中垂线， ，由三线合一性质可得：， 当时，即时，满足题意． 故， ， 即，故， 故． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了待定系数法，二次函数的图象性质，函数图象的平移，二次函数与线段的公共点问题，二倍角构造问题，熟练掌握以上内容是解题关键． 考向10 其他问题(实际问题与二次函数) 研考向·通技法 一、考向分析 中考二次函数综合应用考点，考查用二次函数解决实际问题（如利润最大化、面积最值、运动路径等），核心是建模与求最值。 二、解题方法 1．建模： 审题，设自变量 （如数量、长度、时间），确定因变量 （如利润、面积、高度）； 根据题意列出等量关系，得到二次函数解析式 ； 结合实际意义，确定 的取值范围。 2．求最值： 配方法或公式法求顶点 ； 若顶点在 取值范围内，则顶点处取最值； 若顶点不在范围内，则在区间端点处取最值。 3．验证作答： 检验结果是否符合实际意义（如长度、数量为正）； 写出最终结论（如最大利润、最优方案）。 1．（2025·上海金山·二模）请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点．此时点距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点，切换到直线下降飞行模式降落至地面点．得到抛物线、直线和直线． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点距离起飞点的水平距离为10千米，求和的值； （2）若飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为0.4千米．水平飞行了小时到达点后降落，求的取值范围．     【答案】（1）、；（2） 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，理解题意，从图象上获取作息是解题的关键． （1）根据题意先求出水平飞行时的距离，根据点距离起飞点的水平距离为10千米，求出，，分别代入，直线，即可求解． （2）根据对称轴为最高点的横坐标求出，得出抛物线，令，求出，将代入直线．求出，结合，求解即可． 【详解】解：（1）水平飞行时的距离为：， ， ，， 分别代入，直线， 得：，， 解得：，． （2）， ， ． ∴抛物线， 令， ． 解得：，， ， 将代入直线．得：， 即， ， 即， ． 2．（2025·上海·模拟预测）乘坐公交车时，同学们一定注意过公交车上的雨刮器．和往常汽车上同向摆动的雨刮器不同，公交车的雨刮器是对开式的．这种设计在保证清洁玻璃的同时，不会影响司机的正常驾驶．图1是一种较大型号的公交车的前挡风玻璃的简图，整块玻璃呈长方形（近似为一平面），其长为150厘米，宽为100厘米． (1)按照传统的对开式雨刮器的方式，假设两个相同规格的雨刮器（即长度相等）装在点A与点B并绕其旋转．当两个雨刮器的端点重合至点E（如图2）时，如果的最大内角为，求两个雨刮器扫过的面积．（结果保留根号与π） (2)小红在研究了对开式雨刮器后认为：这种雨刮器的半径过小，无法有效清洁玻璃上部的污渍．据此，她在原玻璃板上设计了一种新型雨刮器：如图3，取线段厘米，以点F为支点，构造移动装置（即与相连的装置）；是垂直于玻璃一边的清洁板，可以伸缩，用于清洁整块玻璃，在装置移动的过程中，与始终保持垂直，且．问：是否存在一个k，满足清洁板能够清洁的面积最大而不超过整个玻璃的边框？如果可以，求出此时k的值；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质及判定，二次函数的应用、解直角三角形，涉及扇形面积公式以及几何图形中的面积计算与最值问题．熟知与圆有关的性质和解直角三角形的相关知识是正确解题的关键． （1）根据已知条件确定扇形的半径和圆心角，然后运用扇形面积公式求解． （2）建立清洁板能够清洁的面积关于k的函数表达式，再通过求函数最值来判断是否存在满足条件的k值． 【详解】（1）解：作于， 中，， ，， 矩形中，， ， ， ； （2）解：存在这样的，设． 则， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 即，， 在时，应取最大值100． （此时最大，也最大）． 代入得，． 此时，．符合题意． 3．（2025·上海·二模）某企业在2024年14月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年14月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） 9 16 24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司14月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 【答案】(1) (2)空格处应填；17.5；10；3 (3)当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利， 当时，，亏损． 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、增长率问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，应用待定系数法求解方程是解题的关键． （1）根据待定系数法求解方程即可； （2）由（1）的解析式进行代值计算即可求解； （3）根据题意得到总利润表达式，再解不等式得出结论即可． 【详解】（1）设二次函数解析式为， ， 所以函数解析式为； （2）由（1）知函数解析式为， 当时，， 故空格处应填； （万元）， 所以14月平均每月亏损17.5万元， 故答案为：17.5； 令，解得， 所以到2024年10月起，公司当月不再亏损， 故答案为：10； 因为，所以， 则19月共亏损165万元，10月份不亏损也没有盈利， 11月盈利11万元，12月盈利24万元，2025年1月盈利39万元， 2025年2月盈利56万元，2025年3月盈利75万元， 从2024年1月到2025年2月亏损35万元，到3月盈利40万元， 理论上到2025年的3月份公司可以把之前的亏损全部赚回来， 故答案为：3； （3）由（2）可知2024年总利润为万元， 初始宣发资金为（万元）， 则每月的净利润数为， 当代入求和可得2025年第一季度末的净利润为 ， 所以2024年初至2025年第一季度末的总利润为： ， 所以当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利，当时，，亏损． 考向11 线段周长问题(二次函数综合) 研考向·通技法 一、核心思路 将线段／周长转化为二次函数，再求最值。 二、解题步骤 1．表线段 －设动点坐标 ，用水平／铅垂／两点距离公式表示线段长： 水平： 铅垂： 斜线： 周长 $=$ 各线段长度之和。 2．化函数 －把线段／周长表达式整理为关于 的二次函数 ，注意 的取值范围。 3．求最值 顶点在范围内：顶点处取最值； 顶点不在范围内：在区间端点取最值； 最短路径：用＊＊轴对称（将军饮马）＊＊转化为直线段，再结合函数求解。 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求解析式、二次函数与线段问题、二次函数与特殊四边形问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）由得，推出；根据点B的横坐标为2．求得；将、代入即可求解； （2）根据点是线段上的动点，可得，；由题意得：，推出；即可求解； （3）由（2）可知：；根据轴，且两点均为整点，推出或；求得故或；分类讨论当为边时，当为对角线时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：由得， ∴； ∵点B的横坐标为2． ∴； ∴； 将、代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式： （2）解：∵点是线段上的动点． ∴，； 由题意得： ∴； ∵， ∴当时，线段有最大值，且最大值为； （3）解：由（2）可知：； ∵ 轴，且两点均为整点， ∴线段的长为整数； ∴或； 若，则，解得（不符合题意）； 若，则，解得； 故或 当为边时，有且； 则， ∵， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为或； 即：整点R的坐标为或； 当为对角线时，设， 则，解得：； 或，解得：； 即：整点R的坐标为或； 综上所述：整点R的坐标或或或； 2．（2025·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，抛物线顶点在第一象限且在直线上． (1)求抛物线的表达式； (2)向上平移直线，交抛物线于两点(在左侧），当时，求点坐标； (3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点，顶点为，如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（）把代入函数解析式得，即得，得到，再把点坐标代入一次函数解析式求出的值即可求解； （）延长交轴于点，过点作轴于，过点作轴平行线， 过点作于，可证，可得，，设，得，再把点坐标代入二次函数解析式求出的值即可求解； （）求出平移前抛物线顶点坐标为，可得平移后的抛物线顶点，由对称性可知，即得，再证明，得，即得，得到，再把点坐标代入二次函数解析式即可求出的值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴ ∴， ∵顶点在直线上 ， ∴ ， 解得， ∴抛物线表达式 ； （2）解：如图，延长交轴于点，过点作轴于，过点作轴平行线， 过点作于， ∵由平移可知， ∴， 同理， ∴， ∵，， ∴， ∴，，     ∴设， ∴， 把代入得， ， 解得 ， ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将抛物线向右平移个单位， ∴平移后的抛物线顶点， 设于，作于，交于点， 由对称性可知， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得， ， 整理得，， 解得，（不合，舍去） ∴的值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的平移，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 3．（2025·上海黄浦·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于、两点（点在点右侧），与轴正半轴交于点，顶点为． (1)如果，求抛物线的表达式； (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)联结、，直线交轴于点，如果，求抛物线的表达式． 【答案】(1)； (2)顶点的坐标为； (3)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求得点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）将代入求得，得到，配方得到顶点的坐标为； （3）先求得点的坐标为，根据题意求得，根据对称轴为直线，求得点坐标为，点坐标为，再利用待定系数法求得直线的解析式，根据点在直线上，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于，，且点在点右侧， ∴点坐标为， 把，代入抛物线得 ， 即． ∴抛物线表达式为； （2）解：将代入得， ， 解得， ∴ ， ∴顶点的坐标为； （3）解：由（2）， 令，则， ∴点的坐标为， ∵，， ∴， 由（2）得顶点的坐标为，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 整理得， 解得（舍去）或， ∴抛物线的表达式为，即． 【点睛】本题考查了根据已知条件确定二次函数的解析式，二次函数的图象性质以及等腰三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 考向12 面积问题(二次函数综合) 研考向·通技法 一、核心思路 将图形面积转化为二次函数，再求最值或定值。 二、解题步骤 1．表面积 常用方法： 割补法：把不规则图形拆成规则图形（三角形、梯形）的和／差； 铅垂高法：三角形面积 水平底 × 铅垂高； 直接用坐标表示底和高，代入面积公式。 设动点坐标 ，把面积写成关于 的表达式。 2．化函数 整理为二次函数 ，注意 的取值范围。 3．求最值／定值 最值：顶点在范围内取顶点最值，否则取端点最值； 定值：通过化简消去 ，得到常数。 1．（2025·上海松江·一模）已知一条抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的面积． 【答案】(1) (2)3 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，勾股定理逆定理得到，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线过 ， 得 抛物线的表达式为：． （2）∵点， ， ， ∵，， ，，， ， ， ． 2．（2025·上海黄浦·一模）已知抛物线经过点、、． (1)求该抛物线的表达式及其对称轴l； (2)如果点A与点D关于对称轴l对称，联结、，求的面积． 【答案】(1)，直线 (2)24 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数与三角形面积的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式． （1）直接利用待定系数法求函数解析式，利用对称轴公式求对称轴即可； （2）过点B作，垂足为点H，先求出，继而求出，即可求解面积． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、、三点， ∴， 解得． ∴抛物线的表达式为． ∵ ∴抛物线的对称轴l为直线； （2）解：过点B作，垂足为点H． ∵点A与点D关于对称轴l对称，又点， ∴， ∴轴，． ∵， ∴． ∴． 3．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）把A、B的坐标代入，求出b、c即可； （2）①先求出直线的表达式为，过P作轴，交于Q，设，则，，结合，得出方程，解方程即可； ②先求出，根据与相似，且，则分两种情况讨论：当时，或，设，则或，分别解方程求出x，即可求出P的坐标；当时，过P作于H，证明，进而判断出与相似，，则或，然后同理可求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和，与轴交于点， ∴， 解得， ∴； （2）解：①令，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴， 过P作轴，交于Q， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意舍去），， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点在对称轴上，且与相似， ∴当时， 或， 设， 则或， 解方程，得，， ∴， ∴， 解，得，， ∴， ∴， 当时， 过P作于H， 则， 又， ∴， 又与相似， ∴与相似，， ∴或， 同理可求或， 综上：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想和添加合适的辅助线是解答类似题的关键． 4．（2025·上海·模拟预测）抛物线的顶点在轴上，和轴两交点从左到右分别为点．抛物线第一象限有一点． (1)若； ①求的长． ②连接，在线段上取一点，四边形的两对角线垂直，其中一条对角线将的面积分成上部、下部比值为的两个部分，求这条对角线的长． (2)沿直线翻折得到．沿轴正方向平移原抛物线，新抛物线的顶点为，其图象平分线段．求点的坐标． 【答案】(1)①2；② (2) 【知识点】其他问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）①根据顶点在y轴上可求，由可得，从而可得，将B代入可得c，从而可求A及；②设对角线，交轴于．根据轴得，利用面积比是相似比的平方可求出，进而求出的纵坐标，将P的纵坐标代入抛物线解析式求得横坐标，从而可求，则； （2）求出，根据翻折，求出，设B平移到，由新抛物线平分线段可求，从而可求，根据平移性质得，由此可求出c．设出的坐标，过P作轴于H，可表示出，最后利用列出方程即可求解． 本题考查了二次函数解析式的求解，三角形相似的判定与性质，等腰直角三角形的性质，图象翻折的性质． 【详解】（1）解：①∵顶点在轴上， ∴，得， ∵， ∴， 把带入，解得， ∴， ∴； ②设对角线，交轴于． ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 又由，得， ∴的纵坐标为， 把的纵坐标代入，解得的横坐标（舍去负数），即， ∴； （2）解：要使与x轴有两个交点，则， 令，得， ∵抛物线沿轴正半轴平移，的对应点为， ∴轴， ∴， ∵由沿直线翻折得到， ∴． 设的对应点为，则， ， ∵平移，∴， 即，解得， 则未平移的抛物线为， 故可设，过点作轴于点 则是等腰直角三角形， 则， 则，，解得， ∴． 考向13 角度问题(二次函数综合) 研考向·通技法 一、核心思路 将角度条件转化为坐标／线段关系，再结合二次函数求解动点坐标或参数。 二、解题方法 1．角度转化 直角：勾股定理逆定理（ ）或斜率乘积为 1 ； 等角：利用相似三角形、等腰三角形或三角函数相等； 特殊角（ ）：用三角函数（正切、正弦、余弦）建立边的比例关系。 2．坐标表达 设抛物线上动点为 ，用坐标表示线段长度或斜率； 代入角度条件，得到关于 的方程（或方程组）。 3．求解验证 解方程得到 ，回代求动点坐标； 结合图形范围，舍去不符合题意的解。 1．（2025·上海青浦·二模） 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，抛物线：经过两点，顶点为点，对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点在第二象限，且在抛物线的对称轴上，如果，求点的坐标； (3)将抛物线平移，得到抛物线，平移后，抛物线上的点落在点处，，，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、正切的概念辨析、角度问题(二次函数综合) 【分析】（）由一次函数解析式得，，再根据待定系数法解答即可求解； （）由二次函数解析式得顶点的坐标是，在对称轴上取点，对称轴与轴的交点记为点，可得，，即得，过点作，垂足为点，则，由锐角三角函数得，设，则，由可得，即得到，，即得，即可求解； （）由，得点在射线上，且点的纵坐标与点相同，为，即可得点的横坐标为，得到点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，据此得到点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于点， ∴，， 又∵对称轴是直线， ∴，解得， ∴的表达式为； （2）解：∵抛物线的对称轴是直线， 当时，， ∴顶点的坐标是， 在对称轴上取点，对称轴与轴的交点记为点， 在中，∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵点在轴的下方， ∴点在线段上， ∴， 过点作，垂足为点，则， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：∵，， ∴点在射线上，且点的纵坐标与点相同，为， 将代入直线，得， 解得， ∴点的横坐标为， ∴点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点， ∴点向左平移个单位，再向下平移得到点， ∴点的坐标， ∴平移后的抛物线解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，二次函数的平移等，正确画出图形并作出辅助线是解题的关键． 2．（2025·上海杨浦·二模）已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)联结，如果平分，求a的值； (3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 【答案】(1)直线， (2) (3)直线恒过定点． 【知识点】一次函数与几何综合、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式求出对称轴，再求出函数值为0时自变量的值即可求出A、B的坐标； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可推出，则，再根据题意可得点C和点E关于抛物线的对称轴对称，则；求出点C坐标，进而表示出，根据建立方程求解即可； （3）根据图形面积之间的关系可得，则，求出D、E坐标，进而得到直线解析式为，则直线解析式为，进一步求出，同理可得直线解析式为，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，解得或， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，且C、E都在抛物线上， ∴点C和点E关于抛物线的对称轴对称， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， 由对称性可知， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴可设直线解析式为， 把代入中得：，解得， ∴直线解析式为， 联立解得或， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，， ∴直线恒过定点． 3．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． (1)求原抛物线的表达式； (2)求m关于n的函数解析式； (3)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据顶点的坐标为 ，列出方程 ，求解即可； （2）先求出直线 的表达式为 ，根据题意求出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，计算即可； （3）分类讨论求出临界情况，即可得出取值范围． 【详解】（1）解：由原抛物线顶点的坐标为． 可得， 解得，． 所以，原抛物线的表达式是． （2）解：由点A的坐标为，点B的坐标为 设直线的表达式为， 将点A的坐标代入可得，解得：， ∴直线的表达式为． 由抛物线沿射线方向平移，可得顶点M始终落在射线上， 得点M的坐标为． 得平移后抛物线的表达式为． ∵平移后的抛物线与原抛物线交于点N，其横坐标为n，点N的坐标为， ∴． 化简得，得． ∵， ∴， 解得：， 所以m关于n的函数解析式为． （3）解：过点B作，交原抛物线于点G，那么． 当点N在之间的抛物线上运动时，是锐角． 当点N与点A重合时，，， 平移距离， 当点N与点G重合时， 过点N作轴，垂足为点E，过点A作轴，垂足为点F． ∴点N的坐标为，点B的坐标为，点A的坐标为． ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴，可得． ∵， ∴解得：． ∴点M的坐标为， ∴． ∵点N位于原抛物线对称轴的右侧， ∴当是锐角时，平移距离的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，平移的性质，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，一次函数的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键． 考向14 特殊三角形问题(二次函数综合) 研考向·通技法 一、核心思路 将等腰三角形、直角三角形、等边三角形等特殊三角形的判定条件，转化为坐标／线段等式，结合二次函数求解动点坐标。 二、常见类型与方法 1．等腰三角形 分类讨论： ； 用两点距离公式表示三边，列等式求解； 或利用＂三线合一＂，结合垂直平分线性质。 2．直角三角形 分类讨论： ； 用勾股定理逆定理： 等； 或用斜率乘积为 1 （直角边斜率存在时）。 3．等边三角形／等腰直角三角形 先满足等腰条件，再叠加额外约束（如三边相等、直角、 角等）； 用三角函数或勾股定理建立方程。 4．通用步骤 1．设动点坐标 ； 2．用坐标表示三边长度； 3．按特殊二角形分类列方程； 4．解方程并验证符合图形范围。 1．（2025·上海闵行·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，联结交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)联结、，求证：是直角三角形； (3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，点的坐标为________． A． B． C．    D．或 【答案】(1) (2)直角三角形，见解析 (3)D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用勾股定理的逆定理求解、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，由待定系数法求出解析式，根据点坐标表示线段长，或由线段长表示点坐标是解题关键． （1）根据待定系数法，把点和点代入函数解析式，即可求解； （2）根据抛物线函数解析式求出与轴交于点，顶点坐标，然后根据坐标系两点距离公式计算边长，由勾股定理的逆定理即可判定； （3）根据 先求出直线的解析式为，进而可得即．再由是以为腰的等腰直角三角形，分两种情况讨论等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出，进而用表示出、坐标，代入解析式求出值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得： ，解得：， ∴抛物线的表达式为 （2） 是直角三角形，证明过程如下： 如图： ∵ ∴是抛物线与轴交点坐标为． 抛物线顶点坐标为 的长度：． 的长度：． 的长度：． 因此，是直角三角形，． （3）∵、 ∴，直线的解析式为 ∴， ∵抛物线的对称轴为，点是与对称轴的交点， ∴当时，，即． 是以为腰的等腰直角三角形，分两种情况讨论等腰直角三角形： 情况一：如图，（直角在M点）：，， ∴， ∴轴， 过点作， ∵， ∴， ∴， 设， 则：， 把，代入抛物线解析式得： ，解得 ， 对应． 情况二：如图，（直角在E点）：，， 过点作，同理可设： 则：， 把，代入抛物线解析式得：，解得 ，（不合题意舍去） 对应 ． 综上所述：点 的坐标为 或 ， 故答案为 D． 2．（2024·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于点、，抛物线的顶点在第一象限，且． (1)当点P的坐标为时，求这个抛物线的表达式； (2)抛物线表达式中有三个待定系数，求待定系数a与n之间的数量关系； (3)以点P为圆心，为半径作，与直线相交于点M、N．当点P在直线上时，用含a的代数式表示的长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、利用垂径定理求值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）是等腰直角三角形，当点P的坐标为时，则抛物线的对称轴为直线，得出，，然后待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据（1）的方法求得，待定系数法求解析式，进而得出； （3）根据在上得出，根据（2）的结论得出，即，与直线相交于点M、N．设直线交轴于点，交轴于点，得出，则，求得，在中勾股定理求得，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，是等腰直角三角形， 当点P的坐标为时，则抛物线的对称轴为直线， 如图所示，过点作轴于点， ∴ ∴， 将代入 解得： ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线与轴交于点、，抛物线的顶点在第一象限，且， ∴是等腰直角三角形，抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴ 代入 ∴ 即， ∵抛物线的顶点在第一象限，则 ∴； （3）∵在上 ∴，即， 由（2）可得，即， ∴抛物线解析式为 ∵与直线相交于点M、N．设直线交轴于点，交轴于点， 当时，，则，当时，，则， ∴，则是等腰直角三角形，， ∵是等腰直角三角形，则， ∴， 延长交于点，则，连接，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 在中，，， ∴ ， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（2024·上海·模拟预测）如图，直线交y轴于点A，交抛物线于点，抛物线经过点，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作交所在直线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当为等腰直角三角形时，求：P点坐标； (3)在（2）的条件下，连接，将沿直线翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)的对称点坐标为 【知识点】其他问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）把代入即可得到结论； （2）由求得，根据等腰直角三角形的性质得到，列方程即可得到结论； （3）分为①当点在直线的上方时，②当点在直线的下方时，根据勾股定理和锐角三角形解答即可． 【详解】（1）解：把代入得， ， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴轴， ∵， ∴， ∴，或， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， 或， 解得：（不合题意，舍去）， 或， ∴或； （3）解：①当点在直线的上方时，如图1，设点关于直线的对称点为，过作于， 由（2）知，此时，， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴在中，，，解得：， ∴， 在中，，即， 解得：， 故点的纵坐标为，横坐标为， ； ②当点在直线的下方时，如图2，设点关于直线的对称点为，过作于， 由（2）知，此时，， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴在中，，，解得：， ∴， 在中，，即， 解得：， 故点的纵坐标为，横坐标为， ∴， 综上所述，的对称点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．（2024·上海·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法，直接将代入解析式即可求解解析式，再把解析式化为顶点式求出点D的坐标即可； （2）由平分，平行即可求出，继而得出点坐标，由直线解析式即可求出与抛物线交点坐标即可． （3）由三点的坐标可得三边长，由坐标可得和中，则另两组边对应相等即可，设点坐标为；利用两点间距离公式即列方程求解． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：如图1，设对称轴与轴交于点， 平分， ， 又， ， ， ． 由（1）可知对称轴为直线，则 在中，，． ， ；． ①当时，直线解析式为：， 联立得． 解得：，， 点在对称轴右侧的抛物线上运动， ， ②当时，直线解析式为：， 同理可求：， 综上所述：点的坐标为：或； （3）解：由题意可知：，，， ， ， ， 直线经过，， 直线解析式为， 抛物线对称轴为，而直线交对称轴于点， 坐标为； ， 设点坐标为，则，， ， ∴与全等，有两种情况， 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，一次函数与几何综合，勾股定理等等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 考向15 特殊四边形(二次函数综合) 研考向·通技法 一、核心思路 将平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形的判定条件，转化为坐标／线段关系，结合二次函数求解动点坐标。 二、常见类型与方法 1．平行四边形 判定：对边平行且相等，或对角线互相平分； 坐标法：利用中点坐标公式，对角线中点重合： －分类讨论：已知三点，求第四点在抛物线上的位置。 2．矩形 先满足平行四边形，再叠加一个直角（勾股定理逆定理或斜率乘积为 1 ）； 或直接用＂三个直角＂判定。 3．菱形 先满足平行四边形，再叠加邻边相等（两点距离相等）； 或对角线互相垂直平分。 4．正方形 先满足矩形，再叠加邻边相等； 或先满足菱形，再叠加一个直角。 5．通用步骤 1．设动点坐标 ； 2．根据特殊四边形判定，列中点／长度／垂直等式； 3．解方程求 ，回代得坐标； 4．验证符合图形范围。 1．（2025·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离； (3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标． 【答案】(1)； (2)点D到的距离为； (3)，． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出A和B坐标，再代入抛物线求解即可； （2）利用矩形对角线相等求出，所以，再求出C点坐标，进而利用的面积建立方程求解即可； （3）先求出直线的解析式，再设出P和Q坐标，利用两点距离公式表示出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 将代入得，， ∴，， 将A、B代入抛物线得， ，解得， ∴抛物线表达式为； （2）解：如图， ∵，， ∴中点坐标为， 被y轴平分， ∴为对角线， ∴， ∴， 由可知，当时，， ∴， ∴，， 设点D到的距离为h， 则， ∴， 即点D到的距离为； （3）解：∵直线与x轴交于点E， ∴当时，，即， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 设，，且， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，即， 将代入上式得， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴交点问题、矩形的性质、两点距离公式、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（2025·上海金山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，已知抛物线（为常数），抛物线与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧），顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)求证：的面积是一个定值，并求出这个值； (3)已知点，抛物线的顶点恰好落在的平分线上，点在抛物线上，若四边形为梯形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积公式，即可求解； （3）当时，由点的坐标得，直线表达式中的值为 1 ，则直线的表达式为：，当时，同理可得，直线的表达式为：，分别味立和抛物线的表达式得：或，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入一次函数表达式得：， 则，即点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：，则， 则抛物线的表达式为：； （2）证明：设点的横坐标分别为， 令， 则为上述方程的两个根， 则， 则点， 则， 则， 则的面积为定值； （3）解：如图，∵恰好落在的平分线上，则， ∵点的纵坐标相同，则， 则， 则， 则， 即， 解得：（ 不合题意的值已舍去）， 则抛物线的表达式为：， 则点的坐标分别为：； 四边形为梯形， 当时， 设直线表达式为， 由点的坐标得，解得：， 直线表达式为， 设直线的表达式为：，代入，得：，解得：， 则直线的表达式为：， 当时， 设直线表达式为， 由点的坐标得，解得：， 直线表达式为， 设直线的表达式为：，代入，得：，解得：， 则直线的表达式为：， 分别联立和抛物线的表达式得：或， 解得：或（不合题意的值已舍去）， 即点或． 3．（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的性质，属于二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意得出，，即可得到解析式，再求出顶点坐标即可； （2）由题意得：，，根据在上，得出，即； （3）先求出E，F的坐标，再根据，得出，求出m的值，得出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，顶点在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵当时，， ∴； （2）解：由抛物线的平移可得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∵在上， ∴，即； （3）解：设直线的解析式为， ∵该直线过点，， ∴，解得， ∴， 当时，，即， 将，代入， 得：，即， ∴，， ∵， ∴， ∴解得：或（舍）， ∵直线：与的交点为，， ∴． 考向16 相似三角形问题(二次函数综合) 研考向·通技法 一、核心思路 利用相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，将比例关系转化为坐标／线段方程，结合二次函数求解动点坐标。 二、解题方法 1．找对应关系 先确定已知三角形的角与边，再分类讨论相似的对应情况（如 或 ; 优先用角相等锁定对应关系（如公共角、直角、已知角），减少分类讨论。 2．列比例式 用两点距离公式或坐标差表示线段长度； 根据相似对应边成比例，列出 形式的方程。 3．坐标转化 设抛物线上动点为 ，将线段长度用 表示； 代入比例式，得到关于 的方程。 4．求解验证解方程得到 ，回代求动点坐标；结合图形范围，舍去不符合题意的解。 1．（2025·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)点是该抛物线上的一点，设对称轴与轴交于点，如果恰好平分线段，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，连接、，当时，求的值． 【答案】(1)对称轴是直线，点的坐标为 (2)点坐标为 (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）先根据对称轴方程求出对称轴，再根据轴对称的性质求出点B的坐标； （2）过点P作轴于点G，将抛物线先写成交点式，再化成顶点式求出顶点D及线段的中点坐标，根据相似三角形的判定列方程求解； （3）延长交轴于点，求出点的坐标，证，根据相似三角形的性质求出，然后在中，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线对称轴是直线． ∵点与点关于对称轴对称，点， ∴点的坐标为：． （2）抛物线与轴交于点， ， ，点坐标为，顶点的坐标为 如图，设的中点为，则点的坐标． 设点的坐标为． 作轴，垂足为点． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点坐标为； （3）如图，延长交轴于点， ∵点，点坐标为． ∴直线的函数解析式为：． ∴点的坐标为． 又∵， ∴． 在与中，，， ∴． ， ∴，又，， ∴． 在中，，，， ， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合，考查了抛物线的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．利用点的坐标表示线段的长度、数学形结合及构造辅助线是解本题的关键． 2．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的开口向下，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)如图，若，且； ① 求抛物线的表达式； ② 抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标； (2)若，点O是线段的中点． 直线交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． 设、的重心分别为、，当与相似时，求的值． 【答案】(1)①；②点D的坐标为 (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知两点坐标求两点距离、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）①结合题意求出点，再利用待定系数法求解，即可解题； ②设点D的坐标为，根据建立方程求解，即可解题； （2）结合题意求出，进而得到的面积，延长交于N，利用抛物线的对称性和重心的性质得到，利用与相似，证明，利用相似三角形性质推出，，，进而得到，，得到，进而求出的面积，即可解题． 【详解】（1）解：①，且； ， 抛物线过点，， ， 解得， 抛物线的表达式为：； ②设点D的坐标为， ， ， 解得， 点D的坐标为； （2）解：，点O是线段的中点． 抛物线， ， 的面积为， 延长交于N， 直线交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． ， 、的重心分别为、， ，， ， 与相似， ， ， ， 由抛物线对称性可知， ， ， ， ，，， 即，解得，， ， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，重心的性质，相似三角形性质和面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 3．（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中（如图），顶点为的抛物线经过原点，直线交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，使得新抛物线的顶点D恰好落在抛物线上．抛物线的对称轴交直线于点E．连接． ①连接，当线段的中垂线经过点A时，求的值； ②线段交抛物线的对称轴于点F，当与相似时，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①；②216 【知识点】二次函数图象的平移、已知两点坐标求两点距离、解直角三角形的相关计算、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）设抛物线的表达式为，然后把代入求解即可； （2）①根据平移求出，代入并化简得，根据线段垂直平分线的性质得出，由两点间距离公式求出，联立方程组并化简得，解方程求出n的值，最后根据正弦的定义求解即可； ②过D作于E，则，则，，，，由题知：，则，根据等角的正切值相等可得出，则，结合①中，可得，然后化简即可． 【详解】（1）解：已知抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 因为抛物线经过原点， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后新抛物线顶点， 因为D在上， 把D坐标代入，得， ∴， ∵直线：交y轴于点B， ∴， 又，， ∴，，， ∵线段的中垂线经过点A， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； ②抛物线对称轴为， 设，由，， 过D作于E，则 ∴，，，， 由题知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①知：， ∴， 化简，得， 又 ∴． 【点睛】是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，掌握平移变换后点以及抛物线变化的规律是解题的关键． 4．（2025·上海徐汇·一模）通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即拋物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像，发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． (1)求点的坐标； (2)当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)①  ② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，一次函数的图象和性质，正确理解题意和处理数据是解题的关键． （1）函数关系式化为，然后计算解题； （2）先求出点的横坐标为：，点的横坐标为：，①过点B作轴于点E，即可得到，然后代入计算即可； ②由抛物线的表达式可得顶点D的坐标为，过点D作x轴的平行线，过点A作于点M，过点B作于点N，易证，得到，代入求解即可． 【详解】（1）解： ， 令，解得，， 当 时，，当时，， 即点、的坐标分别为； （2）解：由抛物线的表达式可得点的横坐标为：，点的横坐标为：， ①如果，如图，过点B作轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； ②当 时，如图， 由抛物线的表达式可得顶点D的坐标为， 过点D作x轴的平行线，过点A作于点M，过点B作于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 化简得， 解得或， ∴． 考向17 其他问题(二次函数综合) 研考向·通技法 一、常见类型与通法 1．动点存在性问题 设动点坐标 ，将条件（如垂直、平行、定值）转化为关于 的方程； 解方程后验证是否符合图形范围。 2．定值／恒成立问题 用 表示目标量（如线段和、面积差），化简后若消去 ，则为定值； 若要恒成立，转化为判别式或不等式求解参数范围。 3．新定义问题 先理解新定义（如＂友好点＂＂关联线段＂），再将其转化为熟悉的坐标／函数条件； 按定义列方程，结合二次函数求解。 4．通用解题步骤 （1）．设：设出动点或参数坐标； （2）．表：用坐标表示线段、面积、角度等； （3）．列：根据题意列方程／不等式； （4）．解：求解并验证符合题意。 1．（2024·上海普陀·一模）综合实践 九年级第一学期教材第2页 结合教材图形给出新定义 对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．   图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心． (1)填空：在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的________多边形．（填“位似”或“相似”） (2)在平面直角坐标系中（如下图），二次函数的图像与x轴交于点A，点B是此函数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似．    ①画出，并求经过O、、三点的抛物线的表达式； ②直线与二次函数的图像交于点M，与①中的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据新定义说明理由． 【答案】(1)P；位似；相似 (2)①图形见解析；；②和为位似三角形，理由见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、在坐标系中画位似图形、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据位似图形的定义，即可求解； （2）①根据位似图形的定义，画出图形，再求出、的坐标，即可求解；②过点M作轴于点D，过点N作轴于点C，联立求出点M，N的坐标，可得，从而得到，进而得到，再由点的坐标为，点A的坐标为，可得，然后根据新定义，即可求解． 【详解】（1）解：在上图中位似中心是点P；位似多边形是特殊的相似多边形． 故答案为：P；位似；相似 （2）解：①如图，即为所求；    令，则， 解得：或0， ∴点A的坐标为， 设点B的坐标为， ∴，解得：或0， ∴点B的坐标为， ∵以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设经过O、、三点的抛物线的表达式为， 把点，，代入得： ，解得：， ∴经过O、、三点的抛物线的表达式为， ②和为位似三角形，理由如下： 如图，过点M作轴于点D，过点N作轴于点C，    联立得： ，解得：或， ∴点M的坐标为， ∴，，， 同理点N的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴和为位似三角形． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的综合应用，理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键． 2．（2025·上海徐汇·二模）已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、．当的值小于0时，的值大于4，且该直线与轴的夹角为．抛物线经过点和点． (1)【问题提出】如何求抛物线解析式 观察条件“当的值小于0时，的值大于4”，可得当的值小于4时，的值__________（选填“大于”或“小于”）0，该条直线的大致图像可能是__________（选填“A”或“B”），其中与轴交点的坐标为__________．继续阅读条件，“该直线与轴的夹角为”告诉我们其与轴的交点的坐标是__________，最终带入抛物线，列出方程组__________，解得__________，__________． (2)【综合运用】 是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标． 【答案】(1)（1）大于，，，，，1，4 (2)点是坐标是 【知识点】其他问题(二次函数综合)、证明四边形是正方形、待定系数法求二次函数解析式、判断一次函数的图象 【分析】（1）根据图象和已知条件可得，，随的增大而减小，再将点和的坐标代入抛物线的解析式，解方程组即可解答； （2）设点的坐标为，证明是等腰直角三角形，则，再证明四边形是正方形，得，代入抛物线的解析式即可解答． 【详解】（1）解：∵当的值小于0时，的值大于4， 则与轴交点的坐标为， ∵该直线与轴的夹角为，且 ， 是等腰直角三角形， ∴， ∴与轴的交点的坐标是， 可得当的值小于4时，的值大于0， 即随的增大而减小， ∴该条直线的大致图象可能是B， 将，代入抛物线中得： ， 解得：； 故答案为：大于，B，，，，1，4； （2）解：设点的坐标为， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由折叠得：，， ， ， 四边形是正方形， ， 点在抛物线上， ， 解得：， ∵是线段上一点， ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，待定系数法的应用，正方形的性质和判定，等腰直角三角形，利用数形结合的思想是解题的关键． 3．（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； ②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 【答案】(1) (2)①3；②或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、求角的正弦值、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先把抛物线的解析式化为顶点式求出点P坐标，再求出点C坐标；把点A和点B坐标代入中可得抛物线的解析式为，据此可求出点P和点D的坐标，再表示出即可得到答案； ②可证明轴，即，则当四边形是直角梯形时，只有或，据此画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得抛物线得解析式为， ∴点P的坐标为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； ∵抛物线过点，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， 当时，， ∴，， ∴，， ∴； ②∵，， ∴轴，即， ∴当四边形是直角梯形时，只有或， 如图21所示，当时， ∵点C的坐标为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 如图22所示，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点Q作轴于H，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 综上所述，当四边形是直角梯形时，该直角梯形中最小内角的正弦值为或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求角的正弦值，二次函数的性质，二次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 4．（2025·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，（点在点的右侧）与轴正半轴交于点，顶点为．    (1)求的长； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)将该抛物线平移，新抛物线的顶点落在轴上，与原抛物线交于点，如果点与点关于原点对称，且，求△的面积． 【答案】(1) (2) (3)8 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键， （1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，从而得到点，再利用点、的坐标得，进而求得的长； （2）根据点、的坐标得直线的表达式为：，由于，可得直线的表达式为：，则点，代入点，求得，进而得到抛物线的表达式； （3）由于点与点关于原点对称，可得点，则新抛物线的表达式为：，联立两个抛物线的表达式得点点，由点、的坐标得，该直线表达式函数值中的，而直线的表达式为：，再根据，可求得，进而求得△的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴点， ∵点， ∴， ∴； （2）解：∵点、，设直线的表达式为：， ∴ 解得：， ∴直线的表达式为：， ， ∴直线的表达式为：， ∴点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， ∴（舍去）或， ∴抛物线的表达式为：； （3）解：∵点与点关于原点对称， ∴点，    ∴新抛物线的表达式为：， ∴ 整理得：， 解得：， ∴点， 设直线的表达式为：， 解得：， ∴直线的表达式为：， ∵直线的表达式为：，且， ∴， ∴， ∴△的面积． 5．（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，该抛物线上有三个点、、，轴，，，与抛物线的对称轴交于点（点在对称轴的左侧）． ①如果点到抛物线对称轴的距离为，请用含的代数式表示点的横坐标； ②求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①连接，过点作直线，根据对称性结合直角三角形斜边上的中线推出为等边三角形，在中，求出的长，进而得到的长，即可得出点的横坐标； ②在中，利用锐角三角函数求出的值，进而求出点的横坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴，解得：， ∴； （2）①∵， ∴对称轴为直线， ∵轴， ∴关于对称轴对称， ∵与抛物线的对称轴交于点， ∴为的中点， 连接，过点作直线， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵直线，且点到抛物线对称轴的距离为， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为：； ②设点到抛物线对称轴的距离为，则点的横坐标为， ∴点的纵坐标为：， 由①可知：点的横坐标为：，则：点的纵坐标为：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点的横坐标为：． 2 / 174 1 / 174 学科网（北京）股份有限公司 $