6.1(1)分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件-2025～2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

计数的发展 结而计之 （约8.2万年前） 计算机 （1946年美国） 数而计之 （公元前580年） 算而计之 （约公元前220年） 计算器 （1642年法国） 周末你想放松一下，你打算先看电影，再去吃大餐。电影院有3部电影可选，看完后，有5家餐厅可选，有多少种不同的搭配方案？ 展望 学校要举行班际篮球比赛,在确定赛制后,体育组的老师需要知道共需要举行多少场比赛； 若某地的汽车牌照由至多2个大写英文字母和3个阿拉伯数字构成，则共有多少个车牌号码可供民众挑选？ 第六章 计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 自主研读 P2~P7，梳理知识，记录疑问 找关键词：教材在讲分类加法原理时，反复出现哪个字？在讲分步乘法原理时，反复出现哪个字？ 找区别：为什么思考1中“英文字母或数字”用加法，而思考2中“字母和数字”用乘法？ 找疑问：标记你看不懂的地方，或者你能想到的反例。 关注以下问题： 问题一：教材给出了两种设计巧妙的计数法，分别是什么方法？  分类加法计数原理 分步乘法计数原理 问题二：分类加法计数原理的关键是什么？有什么要求？如何计算？举个不是课本的例子加以分析  使用分类加法计数原理的关键是分类必须明确标准,要求每一种方法必须属于某一类方法,不同类的任意两种方法是不同的方法. 要求是分类要做到“不重复”“不遗漏”. 完成一件事有两类不同方案, 在第1类方案中有 m 种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法. 　每类中的任一 种方法都能独立完成这件事情. N=m+n 分类加法计数原理： 　 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 　　　 种不同的方法. 分类加法计数原理的推广 N=m1+m2+…+mn 问题三：分步乘法计数原理的关键是什么？有什么要求？如何计算？举个不是课本的例子加以分析  使用分步乘法计数原理的关键是明确题目中所指的“做一件事”是什么事,单独用题中所给的某种方法不能完成这件事, 要经过几个步骤才能完成这件事. 要求是各步骤之间必须连续,只有按照这几步逐步去做,才能完成这件事,不能重复也不能遗漏各步骤. 完成一件事需要两个步骤, 在第1步有 m 种不同的方法,在第2步有n种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法. N=mn 分类加法计数原理： 每步中的方法不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成才算做完这件事情。 　 完成一件事需要n个步骤，在第1步有m1种不同的方法，在第2步中有m2种不同的方法，……，在第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 　　　 种不同的方法. 分步乘法计数原理的推广 N=m1m2  …  mn 问题四：两个计数原理中都有描述“完成一件事”，到底什么是“一件事”？怎样才算“完成”？ 情境B：从南京去北京，必须先坐动车到上海（4趟），再从上海飞北京（2趟）. 坐一趟动车算不算“完成了从南京到北京”这件事？ 情境A：从南京去北京，有3趟高铁，2班飞机，完成“从南京到北京”这件事，方法能相加吗？ 怎样才算完成完成了“从南京到北京”这件事？ （能，因为每类方法都独立完成了“到达”） （不算） （分两步：先坐动车，再乘飞机） 分类讲究“独立完成”；分步讲究“合力完成” 只有明确了“事”的定义，才能选对原理 （1） 用1个大写英文字母或1个阿拉伯数字给教室座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ （2）用1个大写英文字母和1个阿拉伯数字给教室座位编号(以A0,A1,…,B0,B1,…的方式)总共能编出多少种不同的号码？ 分类：编号共有26+10=36种不同方法. 分步：编号共有26×10=260种不同方法. 再辨析下列两个小题，分析两个计数原理的异同 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 不同点 回答的都是有关完成一件事的不同方法种数的问题 ①完成一件事有n类不同的方案； ②各类方案相互独立； ③每一类方案都能直接完成该事件 ①完成一件事要n个不同的步骤； ②各个步骤相互联系； ③每一个步骤都不能直接完成该事件，只有完成每个步骤，才能完成这件事 典例精析 例1：有3个袋子，分别装有不同编号的6个红色小球，5个白色小球，4个黄色小球. （1）若从 3 个袋子中任取 1 个小球，有多少种不同的取法？ （2）若从 3 个袋子中各取 1 个小球，有多少种不同的取法？ 分析：（1）分类计数；（2）分步计数 15种 120种 典例精析 例2：某校高二（1）班有优秀团员8人，（2）班有优秀团员10人，（3）班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地. （1）推选 1 人为总负责人，有多少种不同的选法？ （2）每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？ 分析：（1）分类计数；（2）分步计数；（3）整体分类，类中分步 24种 480种 （3）从他们中选出 2 人管理生活，要求这 2 人不同班，有多少种不同的选法？ 188种 归纳总结 解答计数问题的一般思路： 完成一件什么事 怎么完成这件事 有什么要求 方法的分类 过程的分步 利用加法原理进行计数 利用乘法原理进行计数 归纳总结 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 不同点 回答的都是有关完成一件事的不同方法种数的问题 ①完成一件事有n类不同的方案； ②各类方案相互独立； ③每一类方案都能直接完成该事件 ①完成一件事要n个不同的步骤； ②各个步骤相互联系； ③每一个步骤都不能直接完成该事件，只有完成每个步骤，才能完成这件事 两个计数原理的异同 随堂小测 课本P5~P6 1，2，3，4 课本P7 1~5 课后作业 课本P11 习题6.1 1，4，5，6，7 $