6.1 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

第六章 计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课标要求 学法指导 1.根据实际问题归纳出两个计数原理,要正确理解“完成一件事”的含 1.通过实例,了解分 义,会应用两个计数原理解决问题 类加法计数原理 2.根据实际问题的特征,能正确区分“分类”与“分步”:分类着重在“类” 及其意义. 类与类之间是并列的、互斥的、独立的;分步强调的是“步”,步与步之 2.通过实例,了解分 间是连续的、缺一不可的. 步乘法计数原理 及其意义. 3.通过对两个计数原理的学习和应用,发展数学抽象、逻辑推理和数学 运算的核心素养 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 必备知识基础落实 答案见Pt 问题导入 二、若一名志愿者从梅斯赶赴巴黎为游客提供导 游服务,但需绕行兰斯停留,再从兰斯出发到 一、第三十三届夏季奥林匹克运动会于2024年7 巴黎,已知从梅斯到兰斯每天有4列火车,从 月26日至8月11日在法国巴黎举行,这是 兰斯到巴黎每天有5列火车. 国际体坛的一大盛事,若有一名志愿者从梅 问题4:该志愿者从梅斯到巴黎需要经历几个 斯直接赶赴巴黎为游客提供导游服务,每天 步骤? 有2个航班,3列火车 问题1:该志愿者从梅斯到巴黎的方案可分 几类? 问题5:完成每一步各有几种方法? 问题2:这几类方案中各有几种方法? 问题6:该志愿者从梅斯到巴黎共有多少种不 问题3:该志愿者从梅斯到巴黎共有多少种不 同的方法? 同的方法? .4. 第六章 计数原理 微梳理 (续表) 完成一件事需要 要点一 分类加法计数原理 个步骤,做第1 步有 种不同的方法,做第2步有 完成一件事有 类不同方案,在第 推广 种不同的方法......做第”步有 1类方案中有 种不同的方法,在 种不同的方法,那么完成这件 定义 第2类方案中有 种不同的方法, 事共有N- 种不同的方法 那么完成这件事共有N一 种不 同的方法 >思考:定义中每一步中的每一种方法能否独立 完成一件事有 类不同方案,在第 完成这件事? 1类方案中有 种不同的方法: 在第2类方案中有 种不同的 推广 方法......在第”类方案中有 种不同的方法,那么完成这件事共有N一 种不同的方法 >思考:(1)定义中每一类中的每一种方法能否 辨析 独立完成这件事? 判断正误,正确的画“/”,错误的画“×” (2)各种方案之间有何关系 (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中 的方法可以相同. ) (2)在分类加法计数原理中,每一种方法都可 以完成这件事. . 要点二 分步乘法计数原理 (3)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成 完成一件事需要 个步骤,做第1 的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事 步有 种不同的方法,做第2步有 定义 ( 种不同的方法,那么完成这件事 (4)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成 共有N- 种不同的方法 这个步骤的方法是各不相同的 ) 关键能力素养提升 答案见Pt 探究一 分类加法计数原理 名学生任学生会生活部部长,有多少种不同 【例题1】某校高三共有三个班,其各班人数如表 的选法? 所示. 男生人数 班级 女生人数 总人数 30 20 高三一班 50 30 30 高三二班 60 3 高三三班 (1)从三个班中选一名学生任学生会主席,有 多少种不同的选法 (2)从一班、二班男生中或从三班女生中选一 .5. 数学 选择性必修 第三册 课堂学案 (2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军 规律总结 (每个项目只有一个冠军),共有多少种可能 (1)应用分类加法计数原理解题的关键 的结果? ①标准明确:明确分类标准,确定完成一件 事的各类方案. ②不重不漏:完成这件事的各类方案必须满 足既不重复,又不遗漏. ③方法独立:确定用每一类方案中的每一种 方法都能独立完成这件事 (2)应用分类加法计数原理解题的一般思路 将完成一件事的方法分 成若干类 求出每一类的方法种数 将每一类的方法种数相 加得出结果 【变式1】(1)从A地到B地,可乘汽车、火车、轮 船三种交通工具,如果一天内汽车发3次,火 车发4次,轮船发2次,那么一天内乘坐这三 ( 种交通工具的不同走法数为 规律总结 A.1+1+1-3 B.3+4+2-9 (1)应用分步乘法计数原理解题的一般思路 C.3×4×2-24 洛完成一件事的过程分成 干 D.以上都不正确 (2)在所有的两位数中,个位数字大于十位数 出每一步中的方法种数 字的两位数的个数为 将每一步中的方法种数相 求得终络果 (2)应用分步乘法计数原理解题的注意点 ①将一个复杂的问题分解为若干“步骤”,要 先对每一个步骤进行细致分析,再整合为一 个完整的过程. 探究二 分步乘法计数原理 ②在分步过程中,任何一个步骤可选用的方 法与其他步骤所选用的方法无关。 【例题2】(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个 ③分步的标准不同,分成的步骤数一般也不同. 项目,每人报一项,共有多少种报名方法 .6. 第六章 计数原理 【变式2】(1)某班班干部有5名男生,4名女生 从中各选一名班于部参加学生党校培训,则 规律总结 不同的选法种数为 A ( 两个原理的区别与联系: C.16 B.9 A.20 D.24 分类加法 分步乘法 (2)已知a 1,2,3 , 4,5,6,7,则方程 计数原理 计数原理 (x-a)十(y-b)*一4可表示不同的圆的个 关键词 分类 分步 数为 C ) 每类方法都 A.7 B.9 C.12 D. 16 各步都完成才能完 能独立完成 成这件事 这件事 区别 各类方法之 各步之间是关联 间是互斥的、 的、独立的,“关联’ 并列的、独 确保不遗漏,“独 立的 探究三 两个计数原理的简单综合应用 立”确保不重复 【例题3】现有高一学生50人,高二学生42人,高 都是用来解决关于完成一件事的 联系 三学生30人,组成冬令营 不同方法种数的问题 (1)若从中选1人作为总负责人,共有多少种 不同的选法? 【变式3】(1)如图,从A→C的不同走法有( ) (2)若每年级各选1名负责人,共有多少种不 同的选法? (3)若从中推选两人作为中心发言人,要求这 两人要来自不同的年级,则有多少种选法? A.4种 B.5种 C.6种 D.8种 (2)有5个不同的梭柱、3个不同的校锥、4个 不同的圆台、2个不同的球,若从中任取多面 体和旋转体各1个,则不同取法的种数是 ( _ A.14 B.23 C.48 D. 120 数学 选择性必修 第三册 课堂学案 随堂检测学以致用 答案见Pa 1.完成一项工作,有两种方法,有5个人只会用 3.从集合(0,1,2,3,4.5.6中任取两个互不相等 第一种方法,另外有4个人只会用第二种方 的数a,b组成复数a十bi,其中虚数有 ) 法,从这9个人中选1个人完成这项工作,则 A.30个 B.42个 不同的选法共有 ( ) C.36个 D.35个 A.5种 B.4种 4.已知集合A-1.2.3,4.5),B=(5.8.9 ,现从 C.9种 D.45种 这两个集合中各取出一个元素组成一个新的 2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的 长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则 双元素集合,则可以组成这样的新集合的个数 ) 不同的配法种数为 为 B.12 C.64 D.81 A.7 l提示完成Pns课时作业(一) 第2课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 关键能力素养提升 答案见Ps 探究一:组数问题 规律总结 【例题1】已知有0,1,2,3,4五个数字 (1)用这五个数字可以排成多少个三位数? (1)对于组数问题,一般按特殊位置(一般是 (2)用这五个数字可以排出多少个三位数字 末位和首位)优先的方法分类或分步完成; 的电话号码? 如果正面分类较多,可采用间接法从反面 (3)用这五个数字可以排成多少个能被2整 求解。 除的无重复数字的三位数? (2)解决组数问题,应特别注意其限制条件, 有些条件是隐藏的,要善于挖掘,排数时,要 注意特殊元素、特殊位置优先的原则. [注意]数字“0”不能排在两位数字或两位数 字以上的数的最高位 【变式1】(1)用1,3,5,7中的任意一个数作分 子,2,4,8,9中的任意一个数作分母,则可构 . 成真分数的个数为 ) A.8 B.9 C.10 D.11 (2)从1,2,3,4中选三个数字,组成无重复数 字的整数,则分别满足下列条件的数有多 少个? .8.课堂学案答案 第六章计数原理 类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法.所以共有3十4十 2=9(种)不同的走法.故选B项. 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (2)方法一根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7， 8的情况分成8类，每一类中满足题目条件的两位数分别 第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理 有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.根据分类加法 必备知识·基础落实 计数原理，符合条件的两位数共有8十7十6十5十4十3十 [问题1门提示两类，即乘飞机、坐火车。 2+1=36(个). [问题2]提示第1类方案（乘飞机）有2种方法，第2类方案 方法二分析个位数字，可分以下几类： (坐火车)有3种方法. 个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故共有 [问题3]提示共有2+3=5（种）不同的方法. 8个： [问题4]提示两个，即先坐火车到兰斯再坐火车到巴黎 个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故共有 [问题5]提示第1个步骤有4种方法，第2个步骤有5种方法， 7个： [问题6]提示共有4×5=20（种）不同的方法. 同理，个位是7的有6个： … 要点一 个位是2的有1个 两mnm十nnm 根据分类加法计数原理，符合条件的两位数共有8十7十 十m2十十m. 6+5+4+3+2+1=36(个). [思考]提示(1)每一类中的每一种方法都能独立完成这件事. 答案(1)B(2)36 (2)各种方案之间相互独立。 [例题2]解析(1)依次确定4名同学的选报项目，第一名同学 要点二 在三项运动中选择一项，有3种选法，同理，第二、三、四名 两m n mXn n m mz m. 同学也都有3种选法.根据分步乘法计数原理，共有3X3 hXm2X…Xmn. 3×3=81(种)报名方法. [思考]提示每一步中的每一种方法不能独立完成这件事 (2)依次确定三个项目的冠军，跑步的冠军由这4名同学中 [辨析]解析(1)错误.在分类加法计数原理中，两类不同方案 的一位获得，因此有4种可能，同理，跳高、跳远这两个项目 中的方法是不同的，若相同，则它在同一类方案中有且只能 的冠军也都有4种可能，根据分步乘法计数原理，共有4× 算是一种方法 4X4=64(种)可能的结果. (2)正确.在分类加法计数原理中，每一种方法都是独立的， [变式2]解析(1)由题可知，男生选一名有5种选法，女生选一 可以单独完成这件事。 名有4种选法，测不同的选法种数为5×4=20.故选A项， (3)错误.在分步乘法计数原理中，每一步不能单独完成这 (2)得到圆的方程分两步：第一步，确定a有3种方法；第二 件事. 步，确定b有4种方法.根据分步乘法计数原理，共可表示 (4)正确.分步中的各种方法是相互独立的，所以每个步骤 3×4=12(个)不同的圆.故选C项. 中的方法是各不相同的： 答案(1)A(2)C 答案(1)×(2)√(3)×(4)/ [例题3]解析(1)从高一选1人作为总负责人有50种选法：从 关键能力·素养提升 高二选1人作为总负贡人有42种选法；从高三选1人作为 总负责人有30种选法.根据分类加法计数原理，共有50+ [例题1门解析(1)从三个班中任选一名学生，可分三类： 42十30=122（种）选法. 第1类，从高三一班任选一名学生，有50种不同的选法； (2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责 第2类，从高三二班任选一名学生，有60种不同的选法； 人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法.根据分 第3类，从高三三班任选一名学生，有55种不同的选法. 步乘法计数原理，共有50×42×30=63000（种）选法. 根据分类加法计数原理，不同的选法共有N=50十60十55= (3)①高一和高二各选1人作为中心发言人，有50×42 165(种). 2100(种)选法： (2)由题设知共有三类： ②高二和高三各选1人作为中心发言人，有42×30=1260 第1类，从一班男生中任选一名学生，有30种不同的选法； (种)选法； 第2类，从二班男生中任选一名学生，有30种不同的选法； ③高一和高三各选1人作为中心发言人，有50×30=1500 第3类，从三班女生中任选一名学生，有20种不同的选法， (种)选法， 根据分类加法计数原理，不同的选法共有N=30+30+20= 故共有2100+1260+1500=4860（种）选法. 80(种). [变式3]解析(1)从A到C可分两类：第一类，从A到B再到 [变式1门解析(1)分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3 C,共有2X2种走法，第二类，从A直接到C共有2种走 种走法：第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三 法.所以从A→C共有4十2=6（种）走法.故选C项. ·162· (2)分两步：第一步，取多面体，分两类，可以从5个不同的 第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法； 棱柱或3个不同的棱锥中取一个，根据分类加法计数原理 第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法 有5十3=8（种）不同的取法：第二步，取旋转体，分两类，可 根据分步乘法计数原理，共有4×3×2=24（个）满足要求的 以从4个不同的圆台或2个不同的球中取一个，根据分类 三位数 加法计数原理有4十2=6（种）不同的取法.所以根据分步 ②分三个步骤完成： 乘法计数原理知不同的取法种数是8×6=48.故选C项. 第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法； 答案(1)C(2)C 第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法： 随堂检测·学以致用 第3步，排百位，从余下的2个数字中选1个，有2种方法. 1.C解析会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工 故共有2×3×2=12（个）三位数的偶数 作有5种选法：会用第二种方法的有4个人，选1个人完成 [例题2]解析由题意得9人中既会英语又会日语的“多面手” 这项工作有4种选法.两者相加一共有9种选法.故选C项. 有1人，只会英语的有6人，只会日语的有2人，则可分 2.B解析要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中 三类： 任选一件，有4种不同的选法；第2步，选长裤，从3条长裤 第一类，“多面手”去参加英语活动时，选出只会日语的1人 即可，有2种选法： 中任选一条，有3种不同的选法.所以共有4×3=12（种）不 第二类，“多面手”去参加日语活动时，选出只会英语的1人 同的配法.故选B项. 3.C解析要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)，有6 即可，有6种选法； 种方法，第二步确定a,有6种方法，根据分步乘法计数原理， 第三类，“多面手”既不参加英语活动也不参加日语活动，则 共有6×6=36（个）虚数.故选C项. 需从只会日语和只会英语的人中各选1人参加活动，有2X 6=12(种)选法. 4.解析分为两类：第一类含5，若5来自集合A,则可以组成2 故共有2十6十12=20（种）不同的选法. 个新的集合，若5来自集合B,则可以组成4个新的集合：第 [变式2]解析方法一分四类：第1类，从3名只会下象棋的 二类不含5，可以组成4X2=8(个)新的集合，所以可以组成 学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下圈棋的学 这样的新集合的个数为2十4十8=14， 生中选1名参加圈棋比赛，有3×2=6（种）选法： 答案14 第2类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛， 第2课时分类加法计数原理与 同时从2名既会下象棋也会下围棋的学生中选1名参加围 分步乘法计数原理的应用 棋比赛，有3×2=6（种）选法： 关键能力·素养提升 第3类，从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛， [例题1]解析(1)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字， 同时从2名既会下象棋也会下围棋的学生中选1名参加象 首先考虑首位的排法，除0外共有4种排法，第二、三位可 棋比赛，有2×2=4（种）选法： 以排0，因此共有4×5×5=100（种）排法，所以可以排成 第4类，从2名既会下象棋也会下围棋的学生中各选1名 100个三位数， 分别参加象棋比赛和国棋比赛，有2×1=2（种）选法. (2)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复， 故共有6+6十4十2=18（种）不同的选法. 每个位置都有5种排法，共有5×5×5-53=125（种）排法， 方法二分两类：第1类，从3名只会下象棋的学生中选1 所以可以排出125个三位数字的电话号码. 名参加象棋比赛，这时7人中还有4人会下围棋，从中选1 (3)被2整除的数是偶数，末位数字可取0,2,4，因此可以分 名参加围棋比赛，有3×4=12（种）选法； 两类：一类是末位数字是0，则有4×3=12（种）排法；一类 第2类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参 是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首 加象棋比赛，这时7人中还有3人会下围棋，从中选1名参 位，因为0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法， 加围桃比赛，有2X3=6(种)选法. 因此有2×3×3=18（种）排法.因而有12+18=30（种）排 故共有12+6=18（种）不同的选法. 法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数. [例题3]解析如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第 .1111 [变式1门解析(1)分四类：①当分子为1时，有2,4,8·9： 1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不 同的涂法 共4个真分数：②当分子为3时，有子，景，号-=号，共3个 真分数：⑤当分子为5时，有音，号，共2个真分数：①当分 子为7时，有日，了，共2个真分数根据分类加法计数原 (1)当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3=12（种）不 同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，根据分步乘法 理，可构成4十3十2+2=11（个）真分数.故选D项. 计数原理，有5×12×3=180（种）不同的涂法. 答案D (2)当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种不同的 (2)①三位数有三个数位，分别是百位，十位和个位， 涂法，由于相邻两格不同色，因此第4个小方格也有4种不 故可分三个步骤完成： 同的涂法，根据分步乘法计数原理，有5X4×4=80(种)不 第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法： 同的涂法 ·163