精品解析：江苏南京市鼓楼实验中学2025-2026学年七年级下学期2月期初收心练习数学试题

2025－2026学年七年级（下）2月期初开学收心数学试题 一．选择题本大题共8小题．每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填该在答题卡对应位置上） 1. 下列4个数中：，，π，，其中正数的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 南京市2025年常住人口约为人，数据用科学记数法表示应是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. a B. C. D. 4. 如图是一个正方体的表面展开图，则图中“乐”所对的面是（ ） A. 1 B. 7 C. 0 D. 2 5. 某红薯干选用山区无公害优质鲜红薯为原料，经传统工艺和现代技术相结合加工而成，闻名遐迩．若每筐标准质量为，实际质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，下面四筐中最接近标准质量的一筐是（ ） A. B. C. D. 6. 以下说法正确的有（ ） A. 如果，，那么 B. 相等的角是对顶角 C. 如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等 D. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 7. 将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中，是折痕，若正方形与五边形的面积相等，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知，且，则的值等于（ ） A. 8或 B. 2或 C. 8或2 D. 或 二．填空题（本大国共10小题，每小题2分，共20分，需招答案填写在等题卡根容位罩上） 9. 在0.3、、33%三个数中，最大的数是_________． 10. 的相反数是______，的倒数是______． 11. _________． 12. 如图：“小草青青，足下留情”，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一不文明现象的原因是：_____________________________________ ， 13. 如图，直线、相交于点O，平分，若，则______． 14. 已知 的值等于2，则代数式 的值为_________． 15. 若，则_________；若，且，则_________． 16. ，，过点作直线的垂线，点为垂足，若，则为__________度. 17. 如图，根据图中的信息，可列方程为______________________________． 18. 已知，则________ 三．解答题（本大题共9小题，共64分，请在答题卡原零区项内作答，解答时应写出文字说明、证明过程成演算步数） 19. 计算： （1） （2） 20. 先化简，再求值：．其中． 21. 解方程： （1）； （2） 22. 如图是由棱长为的8块小正方体组成的几何体． （1）请在方格中分别画出从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图； （2）如果在这个几何体上再添加若干同样的小正方体，并保持从上面和左面看到的形状图不变，最多可以再添加___________块小正方体． 23. 如图，点C是线段的中点，点D在线段上，且．若．求线段的长． 24. 如图，在五边形中，，，． （1）若，请求出的度数． （2）试求出的度数． 25. 【问题呈现】如图，数轴上的点A，B表示的数分别为和6，点A与点B之间的距离是线段AB(或BA)的长度．求线段AB的值； 【实验探究】当点O为原点时： 以点O为折点，将数轴向右折叠，点A的对应点落在数轴上，则______； 再以点B为折点，将数轴向左折叠，点的对应点落在数轴上，则______； 【变式应用】当点C在点A与点B之间时： 以点C为折点，将数轴向右折叠，点A的对应点落在点B的右边； 再以点B为折点，将数轴向左折叠，点的对应点落在数轴上．若，则点C表示的数为______． 26. “陶舍重重倚岸开，舟帆日日蔽江来．”这样空前绝后的盛景造就了举世无双的“千年瓷都”景德镇，小华在景德镇旅游数日，离开时在陶溪川购买了如图所示的青花瓷碗、玲珑茶杯、粉彩花瓶共件作为纪念品，其中玲珑茶杯比青花瓷碗数量的2倍少5件，各种瓷器的单价如表所示： 青花瓷碗 玲珑茶杯 粉彩花瓶 单价/元 数量/件 x ______ 　 ______ 　 （1）请用含x的代数式把表格补全； （2）当时，求购买件瓷器所需的总费用； （3）当购买件瓷器的总费用为时，求购买青花瓷碗的件数是多少． 27. 已知，E，F分别是，上的点，点M在，两平行线之间． 【素养发展】 （1）平行线具有“等角转化”的功能，将和通过转化“凑”在一起，得出角之间的关系．如图1，若，时，则 ； 【方法运用】 （2）如图2，求证：； 【应用拓展】 （3）如图3，分别作和的平分线，，交于点P（交点P在两平行线，之间），若，求的度数； （4）在图2中，若，，且均同时在同侧，P点在之间．请直接写出的度数．（用含n的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年七年级（下）2月期初开学收心数学试题 一．选择题本大题共8小题．每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填该在答题卡对应位置上） 1. 下列4个数中：，，π，，其中正数的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先计算每个数的结果，再根据正数的定义统计正数个数即可． 【详解】解：∵，，，， ∴正数共有3个． 2. 南京市2025年常住人口约为人，数据用科学记数法表示应是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法． 科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：∵把原数变为时，需要满足，将变为，得，小数点共向左移动位， ∴，即， 3. 计算的结果是（ ） A. a B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据负整数指数幂法则化简，再利用同底数幂乘法法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 4. 如图是一个正方体的表面展开图，则图中“乐”所对的面是（ ） A. 1 B. 7 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据相对面必定相隔一个小正方形，进行判断即可. 【详解】解：观察可知，图中“乐”所对的面是1. 5. 某红薯干选用山区无公害优质鲜红薯为原料，经传统工艺和现代技术相结合加工而成，闻名遐迩．若每筐标准质量为，实际质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，下面四筐中最接近标准质量的一筐是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和正数和负数的应用，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ，，，， ∵， ∴最接近标准质量的一筐是， 故选：D． 6. 以下说法正确的有（ ） A. 如果，，那么 B. 相等的角是对顶角 C. 如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等 D. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 【答案】AD 【解析】 【分析】根据平行公理，对顶角，平行线的性质，点到直线的距离，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、如果，，那么，选项说法正确，符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，选项说法错误，不符合题意； C、如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，选项说法错误，不符合题意； D、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，选项说法正确，符合题意； 故选AD． 【点睛】本题考查平行公理，对顶角，平行线的性质，点到直线的距离，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 7. 将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中，是折痕，若正方形与五边形的面积相等，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了剪纸问题、正方形的性质、折叠的性质等知识点，根据剪纸的过程得到图形中边的关系是解题的关键． 如图：连接，设直线与边的交点为P，根据剪纸的过程以及折叠的性质得且正方形的面积正方形的面积，从而用a分别表示出线段和线段的长即可求解． 【详解】解：如图：连接，设直线与边的交点为P， 由折叠可知点P、E、G、N四点共线，且， 设正方形的边长为，则，正方形的面积为， ∵若正方形与五边形的面积相等 ∴由折叠可知正方形的面积正方形的面积， ∴正方形的边长， ∴． 故选A． 8. 已知，且，则的值等于（ ） A. 8或 B. 2或 C. 8或2 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据可知异号，结合绝对值的定义确定的所有可能取值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，即异号， ∴当时，，此时； 当时，，此时； ∴的值为2或． 二．填空题（本大国共10小题，每小题2分，共20分，需招答案填写在等题卡根容位罩上） 9. 在0.3、、33%三个数中，最大的数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】将分数和百分数统一化为小数形式，根据小数比较大小的方法，即可得到最大的数． 【详解】解：先将各数化为小数：，， 比较大小得：， 即， 因此最大的数是． 10. 的相反数是______，的倒数是______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查相反数，倒数的概念及性质．一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数. 【详解】解：的相反数是 ，的倒数是， 故答案为；. 11. _________． 【答案】 【解析】 【分析】将各数化为的次方的形式，进而计算即可得出结果． 【详解】解：原式 ． 12. 如图：“小草青青，足下留情”，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一不文明现象的原因是：_____________________________________ ， 【答案】两点之间线段最短 【解析】 【分析】根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：依题意，为抄近路践踏草坪是因为两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键． 13. 如图，直线、相交于点O，平分，若，则______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了对顶角、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义可得，再利用，即可解答． 【详解】解：平分， ， ． 故答案为：． 14. 已知 的值等于2，则代数式 的值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了代数式的求值，整体代入是解题的关键．由的值为2得到，把变形后整体代入即可． 【详解】解：， ， 故答案为：4． 15. 若，则_________；若，且，则_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对于第一个空，把所求式子变形为，再利用整体代入法求解即可；对于第二个空先解方程求出y的值，再把y的值代入，利用一元一次方程的解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 16. ，，过点作直线的垂线，点为垂足，若，则为__________度. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可作图，分两种情况讨论，根据，CD⊥AO且，可知∠OCD=60°，∠OCB=30°，再根据平行线的性质即可求出∠COB的度数. 【详解】①如左图，∵CD⊥AO，， ∵CD⊥BC ∴∠DCB=90°， ∵， ∴∠OCD=60°，∠OCB=30°， ∴∠DOC=∠OCB=30°， ∴∠COB=∠AOB-∠DOC=10°； ②如右图，CD⊥AO的延长线上，同理知∠OCD=60°，∠OCB=30°， ∴∠DOC=∠OCB=30°， ∴∠COB=180°- ∠AOB -∠DOC=110°； 【点睛】 此题主要考查平行线与垂线的性质，解题的关键是根据题意作出图形，需分情况讨论. 17. 如图，根据图中的信息，可列方程为______________________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据体积相等，结合圆柱体积公式列出方程． 【详解】解：根据圆柱体积公式，容器内原来有水，加入小球后总体积为， 由体积相等，可列方程：． 18. 已知，则________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查绝对值方程，根据绝对值的意义去绝对值符符号，解方程即可． 【详解】解：由可得或 解可得， 解可得， 故答案为：或． 三．解答题（本大题共9小题，共64分，请在答题卡原零区项内作答，解答时应写出文字说明、证明过程成演算步数） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】本题考查含乘方的有理数运算： （1）直接运用乘法分配律计算即可得到答案； （2）先算乘方及绝对值，再算乘除，最后算加减即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 先化简，再求值：．其中． 【答案】； 【解析】 【详解】解：， 当时，原式． 21. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤． （1）将方程按照移项，合并同类项，化系数为1的步骤求解即可； （2）将方程按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 22. 如图是由棱长为的8块小正方体组成的几何体． （1）请在方格中分别画出从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图； （2）如果在这个几何体上再添加若干同样的小正方体，并保持从上面和左面看到的形状图不变，最多可以再添加___________块小正方体． 【答案】（1） 如图所示即为所求； （2）4 【解析】 【分析】（1）利用三视图的画法在网格中画图即可； （2）把视图还原几何体，再确定能够添加的位置和数量． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 保持从上面和从左面看到的形状图不变，即几何体有3层3列，因此可以添加的是中间一排的空缺位置，即最多可以再添加4块小正方体． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，掌握从不同方向看几何体作图的方法是解题的关键，易错点是还原几何体时考虑不全导致错误． 23. 如图，点C是线段的中点，点D在线段上，且．若．求线段的长． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查了线段的和差，两点间的距离的求法，解题的关键是数形结合．根据，求出线段的长度，再利用点是线段的中点，求出，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵， ， 又∵点是线段的中点， ， ． 24. 如图，在五边形中，，，． （1）若，请求出的度数． （2）试求出的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质计算即可； （2）求出五边形的内角和，根据平行线的性质和已知角的度数可得的度数． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵五边形的内角和为， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，多边形的内角和，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；多边形的内角和公式是解题的关键． 25. 【问题呈现】如图，数轴上的点A，B表示的数分别为和6，点A与点B之间的距离是线段AB(或BA)的长度．求线段AB的值； 【实验探究】当点O为原点时： 以点O为折点，将数轴向右折叠，点A的对应点落在数轴上，则______； 再以点B为折点，将数轴向左折叠，点的对应点落在数轴上，则______； 【变式应用】当点C在点A与点B之间时： 以点C为折点，将数轴向右折叠，点A的对应点落在点B的右边； 再以点B为折点，将数轴向左折叠，点的对应点落在数轴上．若，则点C表示的数为______． 【答案】问题呈现：；实验探究：；变式应用：0或 【解析】 【分析】本题考查了数轴，折叠与对称 问题呈现∶根据A和B的表示的数即可求得； 实验探究：先通过折叠重叠在一起的两个数，确定折叠的中心点对应的数，再找与之重合的点表示的数； ③分两种情况：当点在之间；当点在的左侧，分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：问题呈现∶ ∵点A，B表示的数分别为和6， ∴； 实验探究： 表示的点与的点重合， 折痕处的点表示的数为O， ， 表示的点与表示的点重合， 即，； 故答案为：； 表示的点与的点重合， 折痕处的点表示的数为6， ， 表示的点与表示16的点重合，， 即； 故答案为：4． 变式应用： 设为，则， ∴， ∴， ∴C点表示的数为， ∴， 当点在BC之间 ∴， ∵， ∴， 解得 ∴点C表示的数为， 当点在C的左侧 ， ∴， 解得， ∴点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数为0或． 故答案为：0或 26. “陶舍重重倚岸开，舟帆日日蔽江来．”这样空前绝后的盛景造就了举世无双的“千年瓷都”景德镇，小华在景德镇旅游数日，离开时在陶溪川购买了如图所示的青花瓷碗、玲珑茶杯、粉彩花瓶共件作为纪念品，其中玲珑茶杯比青花瓷碗数量的2倍少5件，各种瓷器的单价如表所示： 青花瓷碗 玲珑茶杯 粉彩花瓶 单价/元 数量/件 x ______ 　 ______ 　 （1）请用含x的代数式把表格补全； （2）当时，求购买件瓷器所需的总费用； （3）当购买件瓷器的总费用为时，求购买青花瓷碗的件数是多少． 【答案】（1）； （2）元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据青花瓷碗购买了x件，小华共购买了件瓷器，其中玲珑茶杯比青花瓷碗数量的2倍少5件，得玲珑茶杯购买了件，粉彩花瓶购买了件； （2）x件青花瓷碗费用元，件玲珑茶杯费用元，件粉彩花瓶费用元，即得件瓷器总费用元，把代入计算； （3）当购买件瓷器的总费用为时，列方程，求解即可． 【小问1详解】 补全表格如下； 青花瓷碗 玲珑茶杯 粉彩花瓶 单价/元 数量/件 x 由题意得：玲珑茶杯购买了件，粉彩花瓶购买了件； 故答案为：；； 【小问2详解】 购买件瓷器所需的总费用为： （元） 故购买件瓷器所需的总费用为元； 当时，（元）， 则购买件瓷器所需的总费用为元； 【小问3详解】 由题意列方程，得， 解得， 则购买青花瓷碗的件数是件． 27. 已知，E，F分别是，上的点，点M在，两平行线之间． 【素养发展】 （1）平行线具有“等角转化”的功能，将和通过转化“凑”在一起，得出角之间的关系．如图1，若，时，则 ； 【方法运用】 （2）如图2，求证：； 【应用拓展】 （3）如图3，分别作和的平分线，，交于点P（交点P在两平行线，之间），若，求的度数； （4）在图2中，若，，且均同时在同侧，P点在之间．请直接写出的度数．（用含n的式子表示） 【答案】（1） （2） 证明：过点M作，如图2所示： ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）过点M作，根据平行可得即可求解； （2）由平角定义得，，再由（1）的结论即可得出答案； （3）先由角平分线的定义得，，再由（2）中的结论即可得出． （4）仿照（3）得到，则，进而同理可得． 【小问1详解】 解：过点M作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∵ ，， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵、分别是和的平分线， ∴，， 过点P作，如图3所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 由第（2）得：， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， 由第（2）得：， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $