第24章 平面直角坐标系（知识复习清单，5知识6易错4重难）数学新教材沪教版五四制八年级下册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“平面直角坐标系”单元内容，涵盖核心概念、特殊位置点坐标特征、核心公式、坐标变换规律及实际应用，搭建从基础概念认知到公式应用再到解题实践的递进式学习架构。 清单通过“易错类型分析表”（如坐标顺序颠倒、距离漏绝对值）、记忆口诀（平移“左减右加x，上加下减y”）和重难点分级（参数范围、多解问题等）呈现知识体系，培养数学抽象能力与应用意识。特别设计“割补法面积计算”“坐标变换综合应用”等实例，不同基础学生可高效掌握，教师能据此精准设计教学，提升课堂实效。

第24章 平面直角坐标系 （一）核心概念 1.平面直角坐标系：由两条互相垂直、原点重合的数轴组成，水平为x轴（横轴，向右为正），竖直为y轴（纵轴，向上为正），交点为原点O(0,0)。 2.点的坐标：过点P向x轴、y轴作垂线，垂足对应实数a（横坐标）、b（纵坐标），记为P(a,b)，特点是先横后纵、有序不可调换。 3.象限划分：坐标轴将平面分为4个象限，坐标轴上的点不属于任何象限，象限符号规律：第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-)。 （二）特殊位置点的坐标特征 1.坐标轴上的点：x轴上（x,0），纵坐标为0；y轴上（0,y），横坐标为0；原点（0,0）。 2.角平分线上的点：一、三象限x=y；二、四象限x=-y。 3.平行于坐标轴的直线：平行于x轴，纵坐标相同；平行于y轴，横坐标相同。 （三）核心公式 1.点到坐标轴的距离：点P(a,b)到x轴距离为|b|，到y轴距离为|a|（距离为非负数，必加绝对值）。 2.两点间距离公式：平面内两点P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)，距离为。 特殊简化：平行于x轴（y₁=y₂），距离=|x₂-x₁|；平行于y轴（x₁=x₂），距离=|y₂-y₁|；点到原点距离=。 （四）坐标变换规律 1.平移变换（口诀：左减右加x，上加下减y）： 右移a个单位：(x,y)→(x+a,y)；左移a个单位：(x,y)→(x-a,y) 上移b个单位：(x,y)→(x,y+b)；下移b个单位：(x,y)→(x,y-b) 2.轴对称变换（口诀：关于谁，谁不变，另一坐标变号）： 关于x轴对称：(a,b)→(a,-b)；关于y轴对称：(a,b)→(-a,b) 关于原点对称：(a,b)→(-a,-b)（横、纵坐标均变号） （五）实际应用与解题方法 1.建立坐标系：结合几何图形或实际场景，以关键点（如顶点、原点）为原点，简化坐标表示。 2.图形面积计算：核心用割补法，补成矩形、直角三角形，减去周边空白面积。 3.定位问题：用有序数对表示位置，反向解读方位（如(+,+)为东偏北，(-,-)为西偏南）。 易错类型 错误示例 正确做法 易错原因 坐标顺序颠倒 将点(2,3)写成(3,2) 牢记“先横后纵”，横坐标在前，纵坐标在后，(a,b)≠(b,a) 忽略坐标的有序性，混淆横、纵坐标的位置 距离计算漏绝对值 点P(-2,3)到y轴距离写成2（正确为|-2|=2，若点为(2,-3)，错误写成-3） 无论横、纵坐标正负，距离均取绝对值，点P(a,b)到x轴|b|、到y轴|a| 忘记距离为非负数，忽略绝对值的作用 对称变换混淆轴 点(2,3)关于y轴对称写成(2,-3)（正确为(-2,3)） 牢记口诀：关于x轴，y变号；关于y轴，x变号；关于原点，全变号 混淆对称轴对应的坐标变化规律，记忆不牢固 平移符号错误 点(1,2)向左平移2个单位写成(3,2)（正确为(-1,2)） 遵循“左减右加x，上加下减y”，左移、下移用减号，右移、上移用加号 混淆平移方向与符号的对应关系，记反加减方向 象限归属错误 认为点(0,5)在第一象限、点(3,0)在第四象限 明确坐标轴上的点（x轴、y轴、原点）不属于任何象限 忽略象限的定义，误将坐标轴上的点归为某一象限 两点距离公式应用错误 计算A(1,2)、B(4,6)距离，错误写成。 牢记公式，先算横、纵坐标之差，再平方，求和后开平方 遗漏平方步骤，对公式记忆不完整 1．若电影院的排号记为，则排号可记为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位置与坐标，解题的关键是理解题目的规定，明确位置与坐标的对应关系． 根据有序数对的第一个数表示排数，第二个数表示号数解答． 【详解】解：若电影院的排号记为， 则排号可记为； 故选：C 2．将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示6，则252表示的有序数对是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．分析每一行的第一个数字的规律，得出第行的第一个数字为，从而求得最终的答案． 【详解】第1行的第一个数字： 第2行的第一个数字： 第3行的第一个数字： 第4行的第一个数字： 第5行的第一个数字： …..， 设第行的第一个数字为，得 设第行的第一个数字为，得 设第n行，从左到右第m个数为 当时 ∴ ∵为整数 ∴ ∴ ∴， 252表示的有序数对是 故选：C． 3．已知点．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（    ） A．4 B． C．或4 D．或 【答案】C 【分析】本题考查坐标系中点的坐标、解一元一次方程，根据题意得，，再分类讨论即可求解． 【详解】解：∵点M到两坐标轴的距离相等， ∴，即， 当时，， 当时，， 故选：C． 4．已知直线轴，且，则的长为(        ) A．4 B．5 C．9 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离．由轴可知点与点的横坐标相等，据此求出的值，再计算纵坐标之差的绝对值即为的长度． 【详解】解：轴， 点与点的横坐标相等， 即， ， ． 此时点的纵坐标为，点的纵坐标为， 的长度为． 故选：B． 5．已知和关于轴对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标特征，求算术平方根，熟练掌握关于轴对称的点的特征是解题的关键． 关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求出a和b的值，再进行计算即可求解． 【详解】解：∵点和关于轴对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：B． 6．在同一平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征及平方差公式的应用，本题先利用关于y轴对称的点的坐标特征求出和的值，再运用平方差公式计算的值． 【详解】∵点与点关于轴对称， ∴根据关于轴对称的点的坐标性质：纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴，， ∴． 故选：A． 7．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，正好落在轴上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律及y轴上点的坐标特征． 先根据平移规律得到平移后点的坐标，再结合y轴上点的横坐标为0列方程求解即可． 【详解】解：∵点向右平移3个单位长度， ∴平移后点的坐标为， ∵平移后的点落在轴上，且轴上的点横坐标为0， ∴， 解得：． 故选：B． 8．点向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移．根据平移的性质，向上平移改变纵坐标，向左平移改变横坐标，直接计算坐标变化即可． 【详解】解：点向上平移个单位， 纵坐标变为，此时点为； 又向左平移个单位， 横坐标变为， 此时点为. 故选：A． 9．以下各点在第二象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，需根据第二象限点的坐标符号特点判断选项． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正， 又∵选项B中的点横坐标，纵坐标，符合第二象限点的特征， ∴该点在第二象限， 故选B． 10．点可能在（     ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键． 本题根据各象限内点的坐标符号特征，通过分类讨论的取值范围，判断点的横纵坐标正负性，进而确定点可能在的象限． 【详解】解：∵各象限点的坐标特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， 当时， ∵横坐标，纵坐标，且， ∴纵坐标， ∴点在第四象限， 当时， ∵横坐标， 若，即，此时点在第二象限， 若，即，此时点在第三象限， 当时，点为，在y轴负半轴，不属于任何象限， 又∵若点在第一象限，需且，此不等式组无解，故点不可能在第一象限， ∴点可能在第二、三、四象限； 故选：D． 11．如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：点，的坐标分别为，， ． 故选：B． 12．已知点，点，则线段的长度是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了利用勾股定理求两点间的距离，根据勾股定理计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：∵点，点， ∴线段的长度是， 故选：A． 重难点1：参数范围求解（结合象限、坐标轴特征） 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了各象限内点的坐标特征，根据点M在第二象限，得出m和n的符号，再判断点N的坐标符号，从而确定所在象限． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴， ∴点的横坐标，纵坐标， ∴点N在第三象限， 故选：C． 2．已知点在第四象限，且点到两坐标轴的距离相等，那么的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】结合第四象限点的坐标特征（横坐标为正、纵坐标为负），以及点到两坐标轴距离相等的条件（横、纵坐标的绝对值相等），列不等式组与方程求解的值，同时验证解的合理性． 【详解】解：点在第四象限， ， 解不等式组得， 点到两坐标轴的距离相等， ， 又，， ， 即， 移项得， 解得， ，符合条件， 的值为． 故选：． 3．若点在第二象限，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查象限内点的坐标特征和一元二次方程根的判别式，先根据点所在象限得到，的符号，再计算一元二次方程的根的判别式，通过判别式的符号判断方程根的情况． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， 方程是一元二次方程（）， 计算判别式得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 二、填空题 4．是第三象限内的一个点，且点到两坐标轴的距离之差为5，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查了第三象限点的坐标特征、点到坐标轴的距离公式、绝对值方程的解法，掌握第三象限点横纵坐标均为负，点到坐标轴的距离等于对应坐标的绝对值是解题的关键． 根据第三象限点的坐标特征，横纵坐标均为负，利用点到坐标轴的距离公式列方程求解． 【详解】解：∵ 点在第三象限 ∴且， 由解得， 故的取值范围为 ∵点到轴的距离为 ，到轴的距离为 ∴当时，到y轴的距离为，到轴的距离为 ∵两距离之差为5 ∴，即 ∴或 解得或 ∵ ∴舍去，取 ∴点的坐标为，即 故答案为：． 5．点在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则的平方根为______． 【答案】 【分析】此题考查了点所在的象限，解一元一次不等式组，求平方根，根据题意列出不等式组是解题的关键．根据点所在的象限的特征列出不等式组，解一元一次不等式组得到，根据点P到x轴、y轴的距离相等得到方程，解方程得到，根据乘方和平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴ 解得， 又点P到x轴、y轴的距离相等， ∴， 解得：，符合题意， 把代入， 得． ∴的平方根为， 故答案为： 6．已知点的坐标为．若点在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为16，则的值为________． 【答案】3 【分析】先根据点在第四象限的坐标特征，得出横、纵坐标的符号，再结合点到两坐标轴的距离之和为列出方程求解． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴横坐标，纵坐标． ∴点到轴的距离为，到轴的距离为． 已知点到两坐标轴的距离之和为，所以可列方程： ． 故答案为：． 三、解答题 7．已知，点． (1)若点P在第四象限，求m的取值范围； (2)若点P在y轴上，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 【分析】本题考查了坐标轴上点的特征和各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键. （1）根据第四象限内点的特点列出不等式组，然后求解即可； （2）根据y轴上点的横坐标为0列式计算即可得解． 【详解】（1）解：（1）∵点在第四象限， ， 解得； （2）解：∵点在y轴上， ，， ∴点P的坐标为． 8．已知点，解答下列问题： (1)若点在轴上，求的值． (2)若点，且轴，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键是运用平面直角坐标系中点的坐标特征来解决问题． （1）根据“轴上的点横坐标为0”列式计算即可求解； （2）根据“轴时，纵坐标相等” 列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点在轴 上， ∴， 解得， （2）解：∵点，点，且轴， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． ∴的长为 9．（1）已知两点，，若轴，求的值，并确定的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，点的坐标为．若点在第三象限，且到轴的距离为2，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）点的坐标为． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，掌握平行于轴的点纵坐标相等，第三象限点的坐标符号为，点到轴的距离为纵坐标的绝对值是解题的关键． （1）平行于轴的直线上的点纵坐标相等，且两点不重合，因此横坐标不能相等； （2）第三象限点的横纵坐标均为负，点到轴的距离为纵坐标的绝对值，据此列方程求参数． 【详解】解：（1）轴， ． 点不重合， ． （2）点在第三象限，且到轴的距离为2， ，解得， 当时，，满足点横坐标为负的条件 ， 点的坐标为． 10．在平面直角坐标系中，点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P在第一象限，且点P到y轴的距离等于2，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第一象限内的点的坐标特点，在x轴上的点的坐标特点，熟知相关知识是解题的关键． （1）在x轴上的点的纵坐标为0，据此求解即可； （2）第一象限内的点的横纵坐标都为正，点到y轴的距离为该点的横坐标的绝对值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， ∴； （2）解：∵点P在第一象限， ∴， ∴， ∵点P到y轴的距离等于2， ∴， ∴， ∴． 11．在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标： (2)若点P在第二象限，且到两坐标轴的距离之和为7，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，第一象限内点的坐标特点，在x轴上的点的坐标特点，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据点的坐标特征，可得，即可解答； （2）根据点的坐标特征，列方程，求得的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵点P在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点P在第二象限， ∴， 根据题意可得， 解得， ∴，． ∴． 12．在平面直角坐标系中，点和． (1)如果点在轴上，点在轴上，求、的值； (2)如果轴，且，求、的值． (3)点和点是否能同在第三象限内，若能，求出、的范围，若不能，请说明理由； 【答案】(1)， (2)，或 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查坐标轴上点的坐标特征，平行于轴的线段特征，第三象限点的坐标特征． （1）根据轴上点的纵坐标等于，轴上点的横坐标等于，列方程得到的值． （2）根据平行于轴的线段横坐标相等及线段长度为，列方程得到的值． （3）根据第三象限点的横、纵坐标均小于，列不等式解答即可． 【详解】（1）解：点在轴上，点在轴上， ，，解得：，； （2）解：轴，且， ，，解得，或； （3）解：不能，理由如下： ∵若点和点同在第三象限内， 则有：①，而且②， 不等式组①无解， 点和点不可能同在第三象限内． 13．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，当点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)点的“长距”为___________； (2)若点是“完美点”，求的值； (3)若点是“完美点”，且点在第一象限内，为整数，若，请说明一定是偶数． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，求一个数的算术平方根，弄清题意是解题的关键． （1）先求出点到坐标轴的距离，再比较即可； （2）根据题意可得，再解方程即可； （3）根据题意可得，即可说明． 【详解】（1）解：到轴、轴的距离分别为，， 且， 点的“长距”为． 故答案为： （2）解：点是“完美点”， ， ， 解得，或． 答：的值为或． （3）解：∵点在第一象限， ∴，． ∵点是“完美点”， ∴， ∴， ∴， ，， ∴． ∵， ∴， 为整数， ∴为整数，为偶数， 一定是偶数． 14．在数学实践活动中，同学们将直尺和直角三角板放置在平面直角坐标系中进行探究． (1)如图1，点，在坐标轴上，点在的平分线上，连接，，用直尺量得，过点向坐标轴作垂线，，垂足分别为点，．求证：； (2)如图2，为等腰直角三角形，点在第二象限，，，求点的坐标； (3)如图3，为等腰直角三角形，，点在轴上，点在第四象限且纵坐标为，交轴于点，若平分，探究、之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关判定定理的内容推出全等三角形即可； （1）证得，即可； （2）过点作轴于点，证即可； （3）过点作轴，分别过点，作，，交轴于点，设交轴于点，连接，证推出，再证推出；在轴上取点，使，证即可求解； 【详解】（1）证明：点在的平分线上，、， ， 在和中， ， ∴ ， ； ； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， ，， ， 点的坐标为； （3）解：如图，过点作轴，分别过点，作， ，交轴于点，设交轴于点，连接， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点在第四象限且纵坐标为， ， ， 平分， ， 在和中， ， ，，， ， 在轴上取点，使， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即． 重难点2：多解问题（点的坐标、距离相关） 一、填空题 1．已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且点到轴的距离等于6，则点的坐标是________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．根据平行于x轴的直线上点的坐标特征进行计算即可． 【详解】解：∵点与点在同一条平行于轴的直线上， ∴， ∵点到轴的距离等于6， ∴，即或， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 2．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q为，则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且），例如：点的“2阶智慧点”为点，即点．若点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，则m的值___________ ． 【答案】或 【详解】本题考查了点的坐标，理解“a阶智慧点”的定义是解题的关键．先求出点C的“阶智慧点”，再根据点到坐标轴的距离的意义求解即可． 【解答】解：∵，， ∴点的“阶智慧点”的坐标是， ∵点的“阶智慧点”到x轴的距离为1， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 二、解答题 3．如图，已知：、、、，点在轴上，直线将四边形面积分成两部分，求点的坐标． 【答案】或 【分析】本题考查坐标与图形，分割法求出四边形的面积，根据直线将四边形面积分成两部分，分为或两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：作轴于点， ∵、、、， ∴， ∴， ∵直线将四边形面积分成两部分， ∴或， 当时， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 4．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，点在轴上，且三角形的面积为5．求点的坐标． 【答案】点的坐标为或． 【分析】设点的坐标为，利用三角形的面积公式列关于x的绝对值方程并求解，从而得到点的坐标即可． 【详解】解：设点的坐标为， 根据题意，得 ， 解得或， 点的坐标为或． 5．在平面直角坐标系中，若点满足，则称点M为坐标系中的“和谐点”．已知点N是“和谐点”，且点N到x轴的距离为3，求点N的坐标． 【答案】或 【分析】本题考查新定义，点的坐标，解一元一次方程等知识点，解题的关键是理解“和谐点”的定义． 设点的坐标为．根据点到轴的距离为可得到，根据“和谐点”的定义分两种情况得到关于的一元一次方程，解方程即可求点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为． ∵点到轴的距离为， ． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，点的坐标为或． 6．定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点N坐标为，我们称点N是点M的等距平移点，其中a为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点N为． (1)①当等距平移常量时，点M坐标为，则它的等距平移点N的坐标为 ； ②若点M坐标为，它的等距平移点N在坐标轴上，则等距平移常量 ． (2)若点M在y轴上，且它的等距平移点N的坐标为，其中a为等距平移常量，O为坐标原点，求的面积； (3)点的等距平移点是，其中a为等距平移常量，若，且其中一个点到x轴的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍，求a的值． 【答案】(1)①；②1或 (2)3 (3)或或或6 【分析】（1）①根据等距平移的意义直接求解； ②根据等距平移的意义及点在坐标轴上，分点N在轴上、点N在轴上两种情形，分别求解； （2）先根据等距平移分别求出、两点的坐标，再求出的面积； （3）根据等距平移的意义，分点到x轴的距离等于点到x轴的距离的2倍、点到x轴的距离等于点到x轴的距离的2倍两种情形，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵当等距平移常量时，点M坐标为， ∴点N的横坐标为，纵坐标为， ∴点N的坐标为， 故答案为：； ②点M坐标为，它的等距平移点N在坐标轴上， 当点N在轴上时，， 解得：； 当点N在轴上时，， 解得：， 故答案为：1或； （2）∵点M在y轴上， ∴设， ∴的等距平移点是， 又点M的等距平移点N的坐标为， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴， ∴的面积为； （3）∵点， ∴点的等距平移点是， 又点的等距平移点是， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵其中一个点到x轴的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍， ∴当点到x轴的距离等于点到x轴的距离的2倍时， ， ∴或， 解得：，， 当点到x轴的距离等于点到x轴的距离的2倍时， ， ∴或， 解得：，， 综上，的值为或或或6． 重难点3：坐标系中图形面积计算（割补法应用） 1．已知点与点关于原点对称，将点向右移动个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． (1)求，的值； (2)在图中标出，，，的位置，顺次连接，，，，求所得图形的面积． 【答案】(1)， (2)图见解析， 【分析】（1）利用关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数的性质，列方程求解、； （2）先根据坐标平移与轴对称规则确定各点坐标，再将四边形分割为两个三角形，用面积公式计算总面积． 【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称， ，， ，． （2）解：，， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∵将点向右移动个单位长度得到点， ∴点的坐标是， ∵点关于轴的对称点为点， ∴点的坐标是， ∴四边形的形状如下图所示， ，，， ∴四边形的面积． 2．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是，点B的坐标是 (1)图中点C的坐标是 ； (2)点C关于x轴对称的点D的坐标是 ，并作出四边形； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)，作图见解析 (3)21 【分析】（1）根据平面直角坐标系可直接写出C点坐标； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得D点坐标，然后顺次连接，，，各点即可得四边形； （3）根据计算即可． 【详解】（1）解：由图得； （2）解：，点C与点D关于x轴对称， ， 四边形如图所示， （3）解：由（2）图得， ． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为，，，其中a，b，c满足关系式． (1)求a，b，c的值； (2)如果在第二象限内有一点，是否存在点P，使的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如果在平面直角坐标系中存在一个点P，使是以为直角边的等腰直角三角形，则称点P为线段的“小K点”，请直接写出此题中的“小K点”的坐标． 【答案】(1) (2)存在点P， (3)或或或 【分析】（1）由非负数的性质得，即可得出结论； （2）过点C作轴于点E，求出，再由面积法求出，然后由三角形面积关系得出方程，解方程即可； （3）分两种情况，①，时，过点P作轴于点F，证，得，当点P在第二象限时，，点P的坐标为；当点P在第三象限时，，点P的坐标为； ②，时，过点P作轴于点G，同①得，则，当点P在第一象限时，，点P的坐标为；当点P在第三象限时，，点P的坐标为． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：存在点P，使的面积与的面积相等，理由如下： 如图1，过点C作轴于点E，则轴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积的面积， ∴， 解得：， ∵P在第二象限， ∴点P的坐标为； （3）解：分两种情况： ①，时，如图2，过点P作轴于点F， 则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当点P在第二象限时，， ∴点P的坐标为； 当点P在第三象限时，， ∴点P的坐标为； ②，时，如图3，过点P作轴于点G， 则， 同①得：， ∴， 当点P在第一象限时，， ∴点P的坐标为； 当点P在第三象限时，， ∴点P的坐标为； 综上所述，“小K点”的坐标为或或或． 重难点4：坐标变换综合应用（平移+轴对称） 一、单选题 1．已知线段的中点为，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点和对应点的坐标确定平移规律，再利用中点坐标公式求出原端点的坐标，最后根据平移规律计算的坐标即可. 【详解】解：点平移后的对应点为， 平移规律为横坐标减，纵坐标加，即向左平移个单位，向上平移个单位， 设点的坐标为， 中点为， 由中点坐标性质得， 解得：， 点的坐标为， 根据平移规律，点的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为． 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点B坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：，则． 二、填空题 3．如图，在平面直角坐标系中，长方形与长方形，顶点，，．将长方形与长方形分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右平移．同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形与长方形的重叠面积为1时，点M的坐标是________． 【答案】、 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设运动时间为，则运动过程中的点坐标为，，，，分类讨论当长方形与长方形的重叠部分在长方形的左侧和右侧时，求出重叠部分的底，进而解题． 【详解】解：由题意知，，，，矩形的周长为， 设运动时间为，则运动过程中的点坐标为，，，， 当长方形与长方形的重叠部分在长方形的左侧时，如图， ∵高必为2，重叠部分也为矩形，面积为1， ∴底为，即， ∴， 解得， 此时，点走的路程为，位置在线段上， ∴； 当长方形与长方形的重叠部分在长方形的右侧时，如图， ∵高必为2，重叠部分也为矩形，面积为1， ∴底为，即， ∴， 解得， 此时，点走的路程为，，位置在线段上， ∴； 故答案为：、 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的判定得到需将点向右平移的长度得到点． 【详解】解：∵， ∴， ∴要使四边形是平行四边形，需将点向右平移的长度得到点， ∴点的坐标是． 5．如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为轴上一点，将沿所在的直线翻折后，使得点的对应点恰好落在轴上，则点坐标为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理等知识，先由勾股定理求出，再根据翻折的性质得，，设，分两种情况：当点P在x轴的正半轴上时；当点P在x轴的负半轴上时，分别根据列方程求解即可． 【详解】解：∵点为，点为， ∴，， ∴， ∵将沿所在的直线翻折后，使得点的对应点恰好落在轴上， ∴，， 设， 分以下两种情况： 当点P在x轴的正半轴上时，如图： 则，， ∵， ∴， 解得， ∴点坐标为； 当点P在x轴的负半轴上时，如图： 则，，，， ∴， 解得， ∴点坐标为． 综上所述，点坐标为或． 故答案为：或． 三、解答题 6．如图，在平面直角坐标系中点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为的面积为15． (1)求出点的坐标； (2)线段是由线段平移所得，其中点与点对应，点与点对应，与轴的交点为点，求的长； (3)在（2）的条件下，若点为轴上的一个动点，且点的横坐标为，并且满足，请写出的取值范围___________． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）首先根据题意确定的长度，结合三角形面积公式计算的长度，即可获得答案； （2）根据平移的性质，可得，然后结合求解即可； （3）首先确定点的纵坐标为，结合题意可得，进而可得，根据的面积为15建立关于t的不等式并整理，可得，然后分情况讨论，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵的面积为15，即， ∴，解得， ∵点在轴的正半轴上， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴， ∵线段是由线段平移所得， ∴， ∵， ∴， 即， 解得； （3）解：由（2）可知，， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵点为轴上的一个动点，且点的横坐标为， ∴， ∴， 若，可得， 整理可得， 当时，可得，解得， 当时，可得，解得， 综上所述，的取值范围为或． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线轴，垂足为B，，点P为射线上一动点（不与点A，B重合），连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接． (1)填空：点A关于x轴的对称点的坐标为______，点B关于的对称点的坐标为______； (2)若，求点B关于的对称点的横坐标； (3)若点C关于的对称点为M，点C关于的对称点为N，求证：点M与点N关于x轴对称． 【答案】(1)， (2)1 (3)见解析 【分析】（1）根据轴和可得点A的坐标，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数可得第一空的答案；设点B关于的对称点为点T，连接，根据轴对称的性质推出，则点T在y轴上，据此可得答案； （2）设点B关于的对称点为点G，过点G作轴于点N，由轴对称的性质可得，求出，得到，据此可得答案； （3）过点C作直线的垂线，垂足为R，证明，得到，设，则；由轴对称的性质可得，则可证明点P为的中点，根据中点坐标公式可得；可证明，同理可得点A为的中点，同理可得，则点M与点N关于x轴对称． 【详解】（1）解：∵直线轴，垂足为B，， ∴点A的坐标为，， ∴点A关于x轴的对称点的坐标为，； 如图所示，设点B关于的对称点为点T，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴，即轴， ∴点T在y轴上， ∴点T的坐标为，即点B关于的对称点的坐标为 （2）解：如图所示，设点B关于的对称点为点G，过点G作轴于点N， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴点B关于的对称点的横坐标为1； （3）解：如图所示，过点C作直线的垂线，垂足为R， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； ∵点C关于的对称点为M， ∴， 又∵， ∴C、P、M三点共线， ∴点P为的中点， ∴ ， ∴， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 同理可得点A为的中点， 同理可得， ∴点M与点N关于x轴对称． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24章 平面直角坐标系 （一）核心概念 1.平面直角坐标系：由两条________、________的数轴组成，水平为______（横轴，向____为正），竖直为______（纵轴，向____为正），交点为原点______。 2.点的坐标：过点P向x轴、y轴作垂线，垂足对应实数a（______）、b（______），记为P(a,b)，特点是______、______。 3.象限划分：坐标轴将平面分为______个象限，______上的点不属于任何象限，象限符号规律：第一象限______、第二象限______、第三象限______、第四象限______。 （二）特殊位置点的坐标特征 1.坐标轴上的点：x轴上______，纵坐标为______；y轴上______，横坐标为______；原点______。 2.角平分线上的点：一、三象限______；二、四象限______。 3.平行于坐标轴的直线：平行于x轴，______相同；平行于y轴，______相同。 （三）核心公式 1.点到坐标轴的距离：点P(a,b)到x轴距离为______，到y轴距离为______（距离为______，必加______）。 2.两点间距离公式：平面内两点P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)，距离为________________。 特殊简化：平行于x轴（y₁=y₂），距离=______；平行于y轴（x₁=x₂），距离=______；点到原点距离=______。 （四）坐标变换规律 1.平移变换（口诀：______）： 右移a个单位：(x,y)→______；左移a个单位：(x,y)→______ 上移b个单位：(x,y)→______；下移b个单位：(x,y)→______ 2.轴对称变换（口诀：______）： 关于x轴对称：(a,b)→______；关于y轴对称：(a,b)→______ 关于原点对称：(a,b)→______ （五）实际应用与解题方法 1.建立坐标系：结合几何图形或实际场景，以______为原点，简化坐标表示。 2.图形面积计算：核心用______法，补成______、______，减去周边空白面积。 3.定位问题：用______表示位置，反向解读方位。 易错类型 错误示例 正确做法 易错原因 坐标顺序颠倒 将点(2,3)写成(3,2) 牢记“先横后纵”，横坐标在前，纵坐标在后，(a,b)≠(b,a) 忽略坐标的有序性，混淆横、纵坐标的位置 距离计算漏绝对值 点P(-2,3)到y轴距离写成2（正确为|-2|=2，若点为(2,-3)，错误写成-3） 无论横、纵坐标正负，距离均取绝对值，点P(a,b)到x轴|b|、到y轴|a| 忘记距离为非负数，忽略绝对值的作用 对称变换混淆轴 点(2,3)关于y轴对称写成(2,-3)（正确为(-2,3)） 牢记口诀：关于x轴，y变号；关于y轴，x变号；关于原点，全变号 混淆对称轴对应的坐标变化规律，记忆不牢固 平移符号错误 点(1,2)向左平移2个单位写成(3,2)（正确为(-1,2)） 遵循“左减右加x，上加下减y”，左移、下移用减号，右移、上移用加号 混淆平移方向与符号的对应关系，记反加减方向 象限归属错误 认为点(0,5)在第一象限、点(3,0)在第四象限 明确坐标轴上的点（x轴、y轴、原点）不属于任何象限 忽略象限的定义，误将坐标轴上的点归为某一象限 两点距离公式应用错误 计算A(1,2)、B(4,6)距离，错误写成。 牢记公式，先算横、纵坐标之差，再平方，求和后开平方 遗漏平方步骤，对公式记忆不完整 1．若电影院的排号记为，则排号可记为（　　） A． B． C． D． 2．将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示6，则252表示的有序数对是（    ） A． B． C． D． 3．已知点．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（    ） A．4 B． C．或4 D．或 4．已知直线轴，且，则的长为(        ) A．4 B．5 C．9 D．15 5．已知和关于轴对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 6．在同一平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（   ） A． B．1 C．7 D． 7．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，正好落在轴上，则（    ） A． B． C． D． 8．点向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．以下各点在第二象限的是（    ） A． B． C． D． 10．点可能在（     ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限 11．如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 12．已知点，点，则线段的长度是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 重难点1：参数范围求解（结合象限、坐标轴特征） 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知点在第四象限，且点到两坐标轴的距离相等，那么的值为（    ） A． B．或 C． D．或 3．若点在第二象限，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 二、填空题 4．是第三象限内的一个点，且点到两坐标轴的距离之差为5，则点的坐标为_________． 5．点在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则的平方根为______． 6．已知点的坐标为．若点在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为16，则的值为________． 三、解答题 7．已知，点． (1)若点P在第四象限，求m的取值范围； (2)若点P在y轴上，求点P的坐标． 8．已知点，解答下列问题： (1)若点在轴上，求的值． (2)若点，且轴，求线段的长． 9．（1）已知两点，，若轴，求的值，并确定的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，点的坐标为．若点在第三象限，且到轴的距离为2，求点的坐标． 10．在平面直角坐标系中，点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P在第一象限，且点P到y轴的距离等于2，求m的值． 11．在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标： (2)若点P在第二象限，且到两坐标轴的距离之和为7，求点P的坐标． 12．在平面直角坐标系中，点和． (1)如果点在轴上，点在轴上，求、的值； (2)如果轴，且，求、的值． (3)点和点是否能同在第三象限内，若能，求出、的范围，若不能，请说明理由； 13．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，当点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)点的“长距”为___________； (2)若点是“完美点”，求的值； (3)若点是“完美点”，且点在第一象限内，为整数，若，请说明一定是偶数． 14．在数学实践活动中，同学们将直尺和直角三角板放置在平面直角坐标系中进行探究． (1)如图1，点，在坐标轴上，点在的平分线上，连接，，用直尺量得，过点向坐标轴作垂线，，垂足分别为点，．求证：； (2)如图2，为等腰直角三角形，点在第二象限，，，求点的坐标； (3)如图3，为等腰直角三角形，，点在轴上，点在第四象限且纵坐标为，交轴于点，若平分，探究、之间的数量关系． 重难点2：多解问题（点的坐标、距离相关） 一、填空题 1．已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且点到轴的距离等于6，则点的坐标是________． 2．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q为，则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且），例如：点的“2阶智慧点”为点，即点．若点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，则m的值___________ ． 二、解答题 3．如图，已知：、、、，点在轴上，直线将四边形面积分成两部分，求点的坐标． 4．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，点在轴上，且三角形的面积为5．求点的坐标． 5．在平面直角坐标系中，若点满足，则称点M为坐标系中的“和谐点”．已知点N是“和谐点”，且点N到x轴的距离为3，求点N的坐标． 6．定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点N坐标为，我们称点N是点M的等距平移点，其中a为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点N为． (1)①当等距平移常量时，点M坐标为，则它的等距平移点N的坐标为 ； ②若点M坐标为，它的等距平移点N在坐标轴上，则等距平移常量 ． (2)若点M在y轴上，且它的等距平移点N的坐标为，其中a为等距平移常量，O为坐标原点，求的面积； (3)点的等距平移点是，其中a为等距平移常量，若，且其中一个点到x轴的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍，求a的值． 重难点3：坐标系中图形面积计算（割补法应用） 1．已知点与点关于原点对称，将点向右移动个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． (1)求，的值； (2)在图中标出，，，的位置，顺次连接，，，，求所得图形的面积． 2．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是，点B的坐标是 (1)图中点C的坐标是 ； (2)点C关于x轴对称的点D的坐标是 ，并作出四边形； (3)求四边形的面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为，，，其中a，b，c满足关系式． (1)求a，b，c的值； (2)如果在第二象限内有一点，是否存在点P，使的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如果在平面直角坐标系中存在一个点P，使是以为直角边的等腰直角三角形，则称点P为线段的“小K点”，请直接写出此题中的“小K点”的坐标． 重难点4：坐标变换综合应用（平移+轴对称） 一、单选题 1．已知线段的中点为，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．如图，在平面直角坐标系中，长方形与长方形，顶点，，．将长方形与长方形分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右平移．同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形与长方形的重叠面积为1时，点M的坐标是________． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是____． 5．如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为轴上一点，将沿所在的直线翻折后，使得点的对应点恰好落在轴上，则点坐标为___________． 三、解答题 6．如图，在平面直角坐标系中点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为的面积为15． (1)求出点的坐标； (2)线段是由线段平移所得，其中点与点对应，点与点对应，与轴的交点为点，求的长； (3)在（2）的条件下，若点为轴上的一个动点，且点的横坐标为，并且满足，请写出的取值范围___________． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线轴，垂足为B，，点P为射线上一动点（不与点A，B重合），连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接． (1)填空：点A关于x轴的对称点的坐标为______，点B关于的对称点的坐标为______； (2)若，求点B关于的对称点的横坐标； (3)若点C关于的对称点为M，点C关于的对称点为N，求证：点M与点N关于x轴对称． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $