第五章 专题4 二次函数与几何变换-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级数学下册（苏科版2012）

3.(1)设抛物线C的函数表达式为y=a(x+2)(x一3)= a(x2-x-6),将点C(0,一4)代入，得-6a=-4,解得a= 号“抛物线C的函数表达式为y=号2-号红-4 2 (2)①存在.设点D(0,t).当AC为对角线时，由中点坐标公 式，得20-士，则m=-2,即点P(-20(合去)当 AP或AD为对角线时，同理可得一2士m-0生或一0 m士，则m=2或m=-2(合去)，点P(2,号)，综上所 述，存在这样的点P和点D,使得以A、C、P、D为顶点的四边 形是平行四边形，点P的坐标为(2，一号）.②由题意可知， 点P的坐标为(m,号d-号m一4)，则点Q的坐标为(m, 号m-子m-4-m）∴点Q到x轴的距离为-（号心 号m-4-m)=-号(m-)》'+器，：-号<0，当m 号时，点Q到x轴的距离取得最大值，最大值为界。4（④把 点A(-1,0)、B(3,0)代人y=ax2+2x+c,得 (a一2十c一0，解得a1抛物线的函数表达式为y= l9a+6+c=0, c=3, -x2+2x+3.y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,.顶点C 的坐标为(1,4).(2)如图1，过点C作CMLx轴于点M,过 点P作PN⊥x轴于点N.:SAP:SAADP=4:5,.S△ADP: SAAc=5:9,1 &ADPN号器设点P@ D.CM -4+2+3),其中>0，则=十2+3=号，解得6=一号 4 3 (会去)=子∴点P的坐标为（子，）】 (3)存在.由 (2②)，得点P(子，9)设直线CP的函数表达式为y=k+b, 将点c1,以、（号·罗）代人，{号+智愿得 (k+b=4, 9· k=- 4 3 65, 直线CP的函数表达式为y=-专x十9令 y一0，得-亭十号-0，解得x=4,∴点D4,0又：点A(-1, 0),.AD=5.由(1)知，抛物线的对称轴为直线x=1.设 点E(1,m),当四边形ADFE为菱形时，则AE=AD,如图2， 设直线x=1与x轴交于点H,则点H(1,0),.AH=1一 (-1)=2,EH=Iml,..AE=EH2+AH2=m2+4,.AD= 25,.m2+4=25,解得m=土√2I,.点E的坐标为 (1,√2I)或(1，一√2I),由平移的性质可知点F的坐标为 (6,√21)或(6，一√2I).综上所述，存在点E的坐标为(1， √2T),点F的坐标为(6，√2I)或点E的坐标为(1，一√2I), 点F的坐标为(6，一√21)，使得四边形ADFE为菱形. 课时提优计划作业本·数 。1 OM NB DX E 图1 图2 专题4二次函数与几何变换 1.2解析：如图，过点C作CGLx轴，交x轴于点G,过点D 作DH⊥CG,交CG的反向延长线于点H.点A、B的坐标 分别为(0,2)、(1,0)，∴.OA=2,OB=1.四边形ABCD为正 方形，.∠ABC=90°，AB=BC,.∠ABO+∠CBG=90°. ,∠ABO十∠BAO=90°，∴.∠CBG=∠BAO.,∠AOB= ∠BGC=90°，∴.△AOB≌△BGC(AAS),'.BG=OA=2, CG=OB=1,∴.点C(3,1).同理得△BCG≌△CDH,∴.CH= BG=2,DH=CG=1,点D(2,3).,点C在二次函数的图 像上÷号×32十36一1=1，解得=一弓心抛物线的函数 1 1 表达式为y=3t-3x-1.设点D(x,),由平移得点D 与点D的纵坐标相同，则)=3，当y=3时，即号2-号x 1=3,解得x1=4,x2=-3(舍去)，.点D(4,3),.DD= 4一2=2，即点D与其对应点D'之间的距离为2. O B 2.1<≤4或n=8解析：“y=2-2x-3=(x-1)2-4, 顶点A(1,-4).令x=0,则y=-3,.C(0,一3).设直线 AC的函数表达式为y=kx十b,将点A(1,-4)、C(0,-3)代 人，得修生解得信-女直线AC的通数表达式为 y=一x一3.，CB∥x轴，抛物线对称轴为直线x=1, ∴点B(2,一3).①如图1，将抛物线先向左平移h个单位长度， 再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的函数表达式为 y=(x一1十h)2-4十h.设直线BA的函数表达式为y='x十 《等得后六直线A的西数表达式 1b=-5, 为y=x-5.联立方程组y=x一5， 1y=(x-1+h)2-4+h, 整理得 x2一(3一2h)x十h2一h十2=0.平移后的抛物线与射线BA 只有1个公共点，∴.此方程只有1个实数解，∴.(3一2h)2一 40-h十2》=0，解得=日，此时抛物线的顶点为（名， -),此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点 ②如图2，将抛物线先向右平移k个单位长度，再向下平移 k个单位长度，则平移后的抛物线表达式为y=(x一1一)2 学·九年级下册(SK版) 4· 4一k.当抛物线经过点B时，(2-1一k)2一4一k=一3，解得 =0(舍去)或k=3,此时抛物线的顶点坐标为(4，一7)，此时 平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点，当抛物线的顶 点为(1，一4)时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点 综上所述，m的取值范围是1<<4或n=日· 图1 图2 3.(1),抛物线y=a.x2十bx+c与x轴交于点A(1,0)和 0=aX12+b×1+c, 点B(3,0),且过点C(0,-3),0=aX32+b×3+c,解得 c=一3， a=-1, b=4,.该抛物线的函数表达式为y=一x2+4x一3. c=-3, (2)y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴.抛物线y=-(x 2)2+1向上平移2个单位长度得到抛物线y=一(x一2)2+ 3,此时抛物线的顶点在直线y=3上.4.(4,4)解析： :a-b十c=0,9a+3b+c=0,.抛物线y=ax2+bx十c过 点（一1,0)、(3,0)，抛物线对称轴为直线x=1,十3=1， 2 点（一2,4）关于抛物线对称轴对称的点为(4,4).5.y= x2-2x-3解析：y=x2+2x一3=(x+1)2一4，其顶点坐标 是（一1，一4），则关于y轴对称的顶点坐标是(1，一4)，则与抛 物线y=(x十1)2一4关于y轴对称的抛物线的函数表达式为 y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.6.D解析：：y=一x2+ x十8=一（红一号）‘+翠：顶点坐标为（合，翠），翻折后的 顶点坐标为（合，一翠），在直线y=一8的下方，∴新图像与 直线y=一8的交点个数是4.7.(1)把点C(-√6,0)代入 y=一x2十k,得0=一6十k,解得k=6,.抛物线的函数表达 式为y=-x2+6,.点D(0,6),∴.OD=6.点C的坐标为 (√6,0)，.OC=√6.由对称性知，OF=OC=√6，.DF=ODH 0F=6+6。（(2)联立+6解得-”或 x=8点B(-3,-3)、A(2,2),AB= y=2, √(-3-2)2+(-3-2)z=5√2.(3)如图，连接MN,设 点Mm,一m+6),则点N(-m2+6,m),其中-3≤m≤2， .MN=√/m-(-t+6)J+(-m+6-m=√2|t+m 6l-E(m+2）).(m+号)‘≥0∴当(m+2）} 0时，(m+2）)°-有最大值空，：MN的最大值为 25W2 4 课时提优计划作业本·数 。 8.2解析：将二次函数y=(x-2024)(x一2026)十6的图 像向下平移6个单位长度，所得抛物线的函数表达式为y= (x-2024)(x-2026).令(x-2024)(x-2026)=0,解得 x=2024或x=2026,.PQ=2026-2024=2.9.y= 2(x十1)2-4解析：二次函数y=一2(x一1)2+4的图像 的顶点坐标为(1,4)，.二次函数y=一2(x一1)2十4的图像 绕原点旋转180°后得到的抛物线的顶点坐标为（一1，一4）， ∴旋转后抛物线的函数表达式为y=2(x十1)2一4. 10.(1),y=ax2-2a.x-2=a(x-1)2-a-2,∴.抛物线的顶 点坐标为M(1,-a一2).，抛物线与x轴只有一个交点， .一a-2=0,解得a=-2.(2),直线l:y=2x一a与x轴、 y轴分别交于点A,B,点A(合a,0）B(0,-a.如图，过 点M作MH⊥y轴于点H,S△AaM=S梯形AOrM一S△MOB一SAM= (2a+)a+2) 2 2 2×7aXa7X2x1=a,s关于0 的函数表达式为S=a, (3)①：点M1,一a-2)绕点P(t,-2)旋转180°得到点N, 六P为MN的中点，设点Nm,m,则有去”=二02m- 2 -2,整理得m=2t-1,n=a-2.:点N在直线l:y=2x-a 上，∴.a-2=2(2t-1)-a,整理得a=2t,∴.a与t满足的关系 是a=2.②，抛物线C的对称轴为直线x=1,.当a>0, 即抛物线开口向上时，在一2≤x≤1的范围内满足y随x增 大而减小，∴抛物线C2开口向下，且顶点坐标为N(2t一1， a一2).要满足在一2≤x≤1的范围内y随x增大而减小， ∴抛物线C2的对称轴x=2t-1需在直线x=一2左侧， “2-1<-2,解得1-号的取值范围是- 综合与实践 1.任务一：，AB∥x轴，AB=5cm,B为水流抛物线的顶点， 六抛物线的对称轴为直线x=5,一品-5,6=一10a把 点M(15,0)代入y=ax2+bx+15,得152a十15b+15=0, .15a+b+1=0,又，b=-10a,.15a-10a+1=0,解得a 、1 ∴6=2，水流抛物线的函数表达式为y=一号2十 2x十15.任务二：圆柱形水杯最左端到点O的距离是15 3=12(cm.当x=12时y=-号×12+2X12+15=10.2 11>10.2,∴.水流不能流到圆柱形水杯内.任务三：令y= 号2+2x+15=1,解得x-5士35（负值舍去）.5+35 学·九年级下册(SK版) 5·第5章二次函数 专题4二次函数与几何变换 目/类型一/二次函数与平移 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(0,2)、 (1,0),顶点C在抛物线)=子2+hx一1的图像上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移 后得到正方形A'BC'D',点D的对应点D落在抛物线上，则点D与其对应点D'之间的 距离为 (第1题) (第2题) 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2一2x一3的顶点为A,与y轴交于点 C,线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B.平移抛物线y=x2一2x一3，使其顶点始终在 直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶 点的横坐标为n,则n的取值范围是 3.已知抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),且过点C(0,一3). (1)求抛物线的函数表达式， (2)请写出一种平移的方法，使这条抛物线平移后顶点落在直线y=3上，并写出平移后 抛物线的函数表达式. 目/类型二/二次函数与轴对称 4.已知实数a、b、c满足a≠0，且a一b十c=0,9a十3b+c=0,则抛物线y=ax2+bx+c图像 上的一点（一2,4）关于抛物线对称轴对称的点为 5.与抛物线y=x2十2x一3关于y轴对称的抛物线的函数表达式为 6.如图，将二次函数y=一x2十x十8图像中x轴上方的部分沿x轴翻折 到x轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新图像，则新图像与直线 y=一8的交点个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 《35 课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版))) 7.如图，“爱心”图案是由抛物线y=一x2十k的一部分及其关于直线y=x的对称图形组成 的，点A、B是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点C、D、E、F是该图案与坐标轴的交 点，且点C的坐标为（一√6,0）： (1)求k的值及DF的长 (2)求AB的长， (3)若M是该图案上一动点，N是其对称点，连接MN,求MN的最大值. 目/类型三/二次函数与旋转 8.在平面直角坐标系中，将抛物线y=(x-一2024)(x一2026)+6向下平移6个单位长度， 所得的新抛物线与x轴有两个公共点P、Q,则点P与点Q之间的距离为 9.将二次函数y=一2(x一1)2十4的图像绕原点O旋转180°，所得到的图像对应的函数表 达式是 10.已知二次函数y=a.x2-一2ax一2的图像（记为抛物线C1)的顶点为M,直线l:y=2x一a 与x轴、y轴分别交于点A、B. (1)若抛物线C1与x轴只有一个公共点，求a的值， (2)当a>0时，设△ABM的面积为S,求S关于a的函数表达式. (3)将二次函数y=ax2一2ax一2的图像绕点P(t,一2)旋转180°得到新的二次函数的 图像（记为抛物线C2),其顶点为N. ①若点N恰好落在直线l上，求a与t满足的关系； ②当一2≤x≤1时，旋转前后的两个二次函数y的值都随x的增大而减小，求t的取 值范围. 36》