第五章 综合与实践-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级数学下册（苏科版2012）

第5章二次函数 综合与实践 1.1 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三. 制作简易水流装置 如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容器的底面直径，从CD将圆柱形容器 设计方案 注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线形.以O为坐标原点，EO所在直线为 x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy,水流最终落到x轴上的点M处. 示意图 AB∥x轴，AB=5cm,OM=15cm,B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面 已知 内，水流所在抛物线的函数表达式为y=a.x2+bx十15(a≠0). 任务一 求水流抛物线的函数表达式。 现有一个底面半径为3cm、高为11cm的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M 任务二 处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由.（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴正半轴上运动，为了使水流能流到圆柱 任务三 形水杯内，求OP长的取值范围. 《37 课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版)>>>》 2.(2024·盐城)请根据以下素材，完成探究任务. 制订加工方案 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式. ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件或“雅”服装1件或“正”服 背景1 装1件. ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 生产 背景 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元件. 背景2 ②“正”服装：48元件. ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元：若每天多加工1件，则平均每件获利 将减少2元 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数 每人每天加工量件 平均每件获利，元 信息整理 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系 探究 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为元，求关于x的函数表达式 任务 任务3 拟定加工方案 制订使每天总利润最大的加工方案. 38>4一k.当抛物线经过点B时，(2-1一k)2一4一k=一3，解得 =0(舍去)或k=3,此时抛物线的顶点坐标为(4，一7)，此时 平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点，当抛物线的顶 点为(1，一4)时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点 综上所述，m的取值范围是1<<4或n=日· 图1 图2 3.(1),抛物线y=a.x2十bx+c与x轴交于点A(1,0)和 0=aX12+b×1+c, 点B(3,0),且过点C(0,-3),0=aX32+b×3+c,解得 c=一3， a=-1, b=4,.该抛物线的函数表达式为y=一x2+4x一3. c=-3, (2)y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴.抛物线y=-(x 2)2+1向上平移2个单位长度得到抛物线y=一(x一2)2+ 3,此时抛物线的顶点在直线y=3上.4.(4,4)解析： :a-b十c=0,9a+3b+c=0,.抛物线y=ax2+bx十c过 点（一1,0)、(3,0)，抛物线对称轴为直线x=1,十3=1， 2 点（一2,4）关于抛物线对称轴对称的点为(4,4).5.y= x2-2x-3解析：y=x2+2x一3=(x+1)2一4，其顶点坐标 是（一1，一4），则关于y轴对称的顶点坐标是(1，一4)，则与抛 物线y=(x十1)2一4关于y轴对称的抛物线的函数表达式为 y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.6.D解析：：y=一x2+ x十8=一（红一号）‘+翠：顶点坐标为（合，翠），翻折后的 顶点坐标为（合，一翠），在直线y=一8的下方，∴新图像与 直线y=一8的交点个数是4.7.(1)把点C(-√6,0)代入 y=一x2十k,得0=一6十k,解得k=6,.抛物线的函数表达 式为y=-x2+6,.点D(0,6),∴.OD=6.点C的坐标为 (√6,0)，.OC=√6.由对称性知，OF=OC=√6，.DF=ODH 0F=6+6。（(2)联立+6解得-”或 x=8点B(-3,-3)、A(2,2),AB= y=2, √(-3-2)2+(-3-2)z=5√2.(3)如图，连接MN,设 点Mm,一m+6),则点N(-m2+6,m),其中-3≤m≤2， .MN=√/m-(-t+6)J+(-m+6-m=√2|t+m 6l-E(m+2）).(m+号)‘≥0∴当(m+2）} 0时，(m+2）)°-有最大值空，：MN的最大值为 25W2 4 课时提优计划作业本·数 。 8.2解析：将二次函数y=(x-2024)(x一2026)十6的图 像向下平移6个单位长度，所得抛物线的函数表达式为y= (x-2024)(x-2026).令(x-2024)(x-2026)=0,解得 x=2024或x=2026,.PQ=2026-2024=2.9.y= 2(x十1)2-4解析：二次函数y=一2(x一1)2+4的图像 的顶点坐标为(1,4)，.二次函数y=一2(x一1)2十4的图像 绕原点旋转180°后得到的抛物线的顶点坐标为（一1，一4）， ∴旋转后抛物线的函数表达式为y=2(x十1)2一4. 10.(1),y=ax2-2a.x-2=a(x-1)2-a-2,∴.抛物线的顶 点坐标为M(1,-a一2).，抛物线与x轴只有一个交点， .一a-2=0,解得a=-2.(2),直线l:y=2x一a与x轴、 y轴分别交于点A,B,点A(合a,0）B(0,-a.如图，过 点M作MH⊥y轴于点H,S△AaM=S梯形AOrM一S△MOB一SAM= (2a+)a+2) 2 2 2×7aXa7X2x1=a,s关于0 的函数表达式为S=a, (3)①：点M1,一a-2)绕点P(t,-2)旋转180°得到点N, 六P为MN的中点，设点Nm,m,则有去”=二02m- 2 -2,整理得m=2t-1,n=a-2.:点N在直线l:y=2x-a 上，∴.a-2=2(2t-1)-a,整理得a=2t,∴.a与t满足的关系 是a=2.②，抛物线C的对称轴为直线x=1,.当a>0, 即抛物线开口向上时，在一2≤x≤1的范围内满足y随x增 大而减小，∴抛物线C2开口向下，且顶点坐标为N(2t一1， a一2).要满足在一2≤x≤1的范围内y随x增大而减小， ∴抛物线C2的对称轴x=2t-1需在直线x=一2左侧， “2-1<-2,解得1-号的取值范围是- 综合与实践 1.任务一：，AB∥x轴，AB=5cm,B为水流抛物线的顶点， 六抛物线的对称轴为直线x=5,一品-5,6=一10a把 点M(15,0)代入y=ax2+bx+15,得152a十15b+15=0, .15a+b+1=0,又，b=-10a,.15a-10a+1=0,解得a 、1 ∴6=2，水流抛物线的函数表达式为y=一号2十 2x十15.任务二：圆柱形水杯最左端到点O的距离是15 3=12(cm.当x=12时y=-号×12+2X12+15=10.2 11>10.2,∴.水流不能流到圆柱形水杯内.任务三：令y= 号2+2x+15=1,解得x-5士35（负值舍去）.5+35 学·九年级下册(SK版) 5· 3=(2+3w5)(cm),5+3w5+3=(8+3√5)cm,'.OP长的取值 范围是(2+3√5)cm<OP<(8+3/5)cm.2.【任务1】'.安 排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，加工 “正”服装的工人有(70一x一y)人.：“正”服装总件数和“风” 服装相等，(70-x》X1=2,整理，得y=一子x+9 【任务2】由题意可知，“雅”服装每天获利为x[100一2(x 10],∴.w=2y×24+(70-x-y)×48+x[100-2(x 10)]=一2x2+72x+3360(x>10).【任务3】由【任务2】， 得=一2x2十72x+3360=-2(x一18)2十4008，∴.当x= 18时，获得最大利涧，此时y=一专×18+9-号，不符合题 意，∴x≠18.函数图像开口向下，.取x=17或x=19.当 x=17时y=号，不符合题意；当x=19时=号=17，符合 题意，此时总利润最大，则70一x一y=34(名).综上所述，安 排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工 人加工“正”服装，即可获得最大利润。 复习课 知识梳理 1.ax?+bx+c 2.(2)①上下 ②- 2a ③(-品，aa） 3.(1)①减小增大②增大减小 (2)4ac-4如c-4.加减加减5.(2)a(x十 h)2+k(3)a(x-x)(x-x2)6.(2)①>②=③< 题组提优训练 考点一：1.A2.C解析：抛物线的顶点坐标为（一1， -2),∴.可设抛物线为y=a(x+1)2-2=a.x2+2a.x十a-2, 又，抛物线为y=a.x2十bx十c,∴.b=2a,c=a-2.,抛物线与 y轴的交点在x轴上方，.c=a-2>0,a>2>0,故A、B选 项不符合题意；抛物线的顶点坐标为（一1，一2），∴.当x 一1时，y=a-b十c=一2，故C选项符合题意；，b=2a,c= a-2,∴.b-4ac=4a2-4a(a-2)=8a>0,故D选项不符合 题意.3.①②④解析：将二次函数y=x2-2ax十3(a是 常数)的图像向下平移3个单位长度后得到y=x2-2ax,当 x=0时，y=0,∴.平移后的函数图像经过原点，故①正确；当 a=-1时，y=x2+2x十3，令x2+2x十3=-x,得x2+3x十 3=0,.32一4X1X3=一3<0，.抛物线y=x2十2x十3与直 线y=一x没有交点，：抛物线开口向上，∴.当a=一1时，这 个函数的图像在函数y=一x的图像的上方，故②正确；·二 次函数y=x2一2ax十3(a是常数)的图像开口向上，对称轴为 直线x=a,'.当x>a时，函数值y随自变量x的增大而增 大，故③错误；·y=x2-2ax十3=(x一a)2+3-a2,.顶点为 (a,3一a2),‘a2≥0，.3一a2≤3，故④正确.综上所述，正确的 结论是①②④ 考点二：4.B解析：将(0,0)代入二次函数的表达式，得α 2=0,∴.a=士W2.由图像得，a<0,.a=一√2.5.y=-x2 2x或y=一x2一2x十8解析：由题意，得顶点坐标为(-1,1) 或(-1,9，可得-合2=-1，二4，产-1或4=9，解 得b=一2，c=0或c=8,则该抛物线的函数表达式为y=一x2 2x或y=-x-2x十8.6.y=-合2+名x十4解析： ,抛物线y=ax2十bx十4与y轴交于点C,.点C(0,4), .OC=4.点A(-3,0),.OA=3,∴.AC=5.AB平分 ∠CAO,∴.∠BAC=∠BAO.BC∥x轴，∴.∠CBA= 课时提优计划作业本·数 。 ∠BAO,∴∠BAC=∠CBA,∴.BC=AC=5,.点B(5,4).把 点A(-3,0),B(5,40代人y=ar2+bx+4,得9a-36+4=0, (25a+5b+4=4, 1 a=- 6 1 解得 5 6-6 六抛物线的函数表达式为)一行+ 6x+4 考点三：7.D解析：关于x的一元二次方程一x2十mx一t=0 的解就是抛物线y=一x2十mx与直线y=t的交点的横坐标， 将(4,0)代入y=一x2十mx,得m=4,∴.二次函数y=一x2十 4x的顶点坐标为(2,4).当x=1时，y=一12十4×1=3；当 x=5时，y=一52十4×5=一5.如图，若关于x的一元二次方 程-x2+mx一t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解，则 直线y=t与抛物线y=一x2+mx在1<x<5的范围内的图 像有交点，结合图像可知，t的取值范围为一5<≤4. 1=4 =3 8.-3<x<1解析：a.x2+(b-k)x十c-1>0,.a.x2+ bx十c>kx十1，∴.结合题图可知解集为-3<x<1.9.(1)在 y=-x2+2mx+4-m2中，a=-1,b=2m,c=4-m2.b- 4ac=(2m)2-4×(-1)×(4-m2)=16>0,∴.二次函数的图 像与x轴总有两个公共点.(2)，y=-x2+2mx十4一m2= -(x-m)2+4,.点C(m,4)、D(0,4-m2).①当4-m2=-4 时，△ABC的面积与△ABD的面积相等，此时m=土2√2； ②当4-m2=4,即点C、D重合时，△ABC的面积与△ABD 的面积相等，此时m=0,符合题意.综上所述，m的值为士2√2 或0. 考点四：10.(1)(x-30)(-2x十160)解析：销售单价 为x元/件，进价为28元/件，销售一件需缴纳网络平台管理 费2元，.每件文创用品的利润为x一28一2=(x一30)元. ,每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足一次函数关 系，.设y关于x的函数表达式为y=kx十b(k≠0)，把(30， 》.50,60)代入，得30十6二100解得16，÷关手 150k+b=60, x的函数表达式为y=一2x十160，即每天的销售数量为 (-2x十160)件.(2)根据题意，得W=(x-30)(一2x+ 160)=-2x2+220x-4800=-2(x-55)2+1250.-2< 0,∴.当x=55时，W取得最大值，最大值为1250，.当销售单 价为55元时，每天获利最大，最大利润是1250元.(3)方案 A:由题意，得30x≤45，由(2)可知，当x=45时，W取得最 大值，最大值为-2×(45-55)2+1250=1050（元）.方案B: 根据题意，得 -2x十160≥10，解得67≤x≤75，由(2)知，当 x-30≥37， x=67时，W取得最大值，最大值为-2×(67-55)2+1250= 962(元).1050>962，∴.方案A的最大利润更高. 1山.(：二次函数)y=-号(x-1)产+4的图像的顶点为C, 4 “点C(1,4).令-号(x-1)2+4=0,解得x=-2或x=4, ∴点A(一2,0)、B(4,0).(2)①6解析：由题知，该函数过 点B(4,0)、C(1,4)、D(3,0),.该函数图像的对称轴为直线 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