第五章 复习课-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级数学下册（苏科版2012）

第5章二次函数 复习课 知识梳理 1.二次函数的定义 一般地，形如y= (a、b、c是常数，且a≠0)的函数叫作二次函数，其中x是 自变量，y是x的函数， 2.二次函数y=a.x2十bx十c的图像 (1)画法：描点法. (2)特征：①当a>0时，图像开口向 ;当a<0时，图像开口向 (说明：a越大，开口越小；a越小，开口越大.) ②对称轴：直线x= 或直线x=西型(1、2是抛物线与x轴交点 2 的横坐标) ③顶点坐标： 3.二次函数y=ax2十bx十c的性质 (1)增减性：①当α>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而 ;在对称轴右侧，y随 x的增大而 ②当a<0时，在对称轴左侧，y随x的增大而 ;在对称轴右侧，y随 x的增大而 (2)最值：当a>0时，有最小值 ;当a<0时，有最大值 (说明：一般情况下，最值为顶点的纵坐标；小范围内需要结合图像，根据增减性求解.) 4.抛物线的平移规律：左右自变量，上下常数项. 5.用待定系数法求二次函数表达式 (1)一般式：y=ax2十bx十c(a≠0)，已知图像上三点的坐标，通常用一般式. (2)顶点式：y (α≠0)，已知图像的顶点坐标或对称轴，通常用顶点式. (3)交点式：y (a≠0)，已知图像与x轴的交点坐标，通常用交点式 6.二次函数与一元二次方程的关系 (1)抛物线y=a.x2十bx十c(a≠0)与x轴的交，点的横坐标即为一元二次方程a.x2十bx十c=0 的根。 (2)抛物线与x轴的交点情况：①有两个交点台b2-4ac(填“>”“<”或“=”，下同) 0;②有一个交点台→b-一4ac0;③没有交点台一4ac0.(拓展：也适用于求抛物 线与直线的交点个数.) (3)利用图像求一元二次方程的近似根（逼近法）. 7.二次函数的实际应用 (1)建立二次函数模型 (2)利用二次函数的图像和性质解决实际问题（注意自变量的取值范围）. 39 课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版))>》>》) 题组提优训练 目/考点一/二次函数的图像和性质 1.(2024·包头)将抛物线y=x2十2x向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为 () A.y=(x+1)2-3 B.y=(x+1)2-2 C.y=(x-1)2-3 D.y=(x-1)2-2 2.(2024·湖北)已知抛物线y=ax2十bx十c(a、b、c为常数，a≠0)的顶点坐标为（一1， 一2)，与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是 () A.a<0 B.c<0 C.a-b+c=-2D.b2-4ac=0 3.（2024·镇江)对于二次函数y=x2一2ax十3(a是常数)，现有下列结论：①将这个函数的 图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当α=一1时，这个函数的图像在 函数y=一x的图像的上方；③若a≥1，则当x>1时，函数值y随自变量x的增大而增 大；④这个函数的最小值不大于3.其中正确的结论是 .(填序号) 目/考点二/确定二次函数的表达式 4.若二次函数y=ax2+bx十a2一2(a、b为常数)的图像如图所示，则a的 值为 A.-2 B.-√2 C.1 D.√2 5.已知点P(一1,5)在抛物线y=一x2+bx十c的对称轴上，且与该抛物线的顶点的距离是4， 则该抛物线的函数表达式为 6.如图，抛物线y=ax2十bx十4经过点A(一3,0)，与y轴交于点C,CB∥x轴交抛物线于 点B,且AB平分∠CAO,则此抛物线的函数表达式为 B(I.n) (-3,m) (第6题) (第7题) (第8题) 目/考点三/二次函数与方程、不等式 7.二次函数y=一x2十x的图像如图所示，对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程 一x2十mx一t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解，则t的取值范围是 () A.t>-5 B.-5<t<3 C.3<t≤4 D.-5<t≤4 8.如图，已知二次函数y=a.x2+bx十c(a<0)与一次函数y=x十1(k>0)的图像交于 A(一3，m)、B(1,n)两点，则关于x的不等式a.x2+(亿一k)x十c一1>0的解集为 40》 第5章二次函数 9.已知二次函数y=一x2+2mx十4一m2(m为常数). (1)求证：该二次函数的图像与x轴总有两个公共点， (2)设该函数图像的顶点为C,与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D,当△ABC的面积 与△ABD的面积相等时，求m的值. 目/考点四/二次函数的应用 10.某网络经销商购进了一批以马拉松为主题的文创用品进行销售，该文创用品的进价为 每件28元，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，销售一段时间发现，每天的销售量 y(件)与销售单价x(元/件)满足一次函数关系，部分图像如图. (1)每件文创用品的利润为 元/件，每天的销售数量y= 件.（不要求 写自变量的取值范围) (2)设经销商每天的利润为W元，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是 多少元？ (3)营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案，方案A:该文创用品的销售单价 高于成本且不超过45元；方案B:每天销售量不少于10件，且每件文创用品的利润 至少为37元.请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由. /件 100 03050x元/件) 1.(2024·镇江)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，二次函数y=一号(x-1)2十4 的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C. (1)求A、B、C三点的坐标. (2)一个二次函数的图像经过B、C、M(t,4)三点，其中t≠1，该函数图像与x轴交于另 一点D,点D在线段OB上（不与，点O、B重合）. ①若点D的坐标为(3,0)，则t=; ②求t的取值范围； ③求OD·DB的最大值 《41 课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版))>》>》) 直击中考前沿 1.(2025·威海)已知点(-2，y1)、(3,y2)、(7,y3)都在二次函数y=一(x一2)2十c的图像 上，则y1、y2、y3的大小关系是 () A.y>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>y2>y1 2.(2025·陕西)在平面直角坐标系中，二次函数y=a.x2一2ax十a一3(a≠0)的图像与x轴 有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是 ( ) A.图像的开口向下 B.当x>0时，y随x的增大而增大 C.函数的最小值小于一3 D.当x=2时，y0 3.(2025·安徽)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论正确 的是 () A.abc0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a-b+c<0 O20010003000 (第3题) (第4题) (第6题) 4.(2025·山东)在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(c/天)和光照强 度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1000)内，y与x近似成 一次函数关系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系.其部分 图像如图所示.根据图像，下列结论正确的是 () A.当x≥1000时，y随x的增大而减小 B.当x=2000时，y有最大值 C.当y≥0.6时，x≥1000 D.当y=0.4时，x=600 5.(2025·上海)抛物线y=3x2向下平移2个单位长度后所得的新抛物线的函数表达式 为 6.(2025·连云港)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a(x一3)2+2.5的轨迹运 动，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面 的高度OA=1.6m,则铅球掷出的水平距离OB= m, 42 第5章二次函数 7.(2025·连云港)已知二次函数y=x2十2(a+1)x十3a2-2a十3(a为常数). (1)若该二次函数的图像与直线y=2a2有两个交点，求a的取值范围. (2)若该二次函数的图像与x轴有交点，求a的值 (3)求证：该二次函数的图像不经过原点， 8.(2025·内江)2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影 票房的新纪录，某商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A款200个，B款 300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元， (I)A、B两款“哪吒”文旅纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪 吒”文旅纪念品共400个，那么至少需要购进B款文旅纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款文旅纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加 1元，销售量将减少5个.设每个A款文旅纪念品售价a(60≤a≤100)元，W(单位： 元)表示该商家销售A款文旅纪念品的利润，求W关于a的函数表达式，并求出 W的最大值. 9.(2025·浙江)已知抛物线y=x2一ax+5(a为常数)经过点(1,0). (1)求a的值 (2)过点A(0,t)且与x轴平行的直线交抛物线于B、C两点，若B为线段AC的中点，求t 的值。 (3)设m<3<n,抛物线的一段y=x2一ax+5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线 l1、l2之间.若直线l1、l2之间的距离为16，求n一m的最大值 《433=(2+3w5)(cm),5+3w5+3=(8+3√5)cm,'.OP长的取值 范围是(2+3√5)cm<OP<(8+3/5)cm.2.【任务1】'.安 排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，加工 “正”服装的工人有(70一x一y)人.：“正”服装总件数和“风” 服装相等，(70-x》X1=2,整理，得y=一子x+9 【任务2】由题意可知，“雅”服装每天获利为x[100一2(x 10],∴.w=2y×24+(70-x-y)×48+x[100-2(x 10)]=一2x2+72x+3360(x>10).【任务3】由【任务2】， 得=一2x2十72x+3360=-2(x一18)2十4008，∴.当x= 18时，获得最大利涧，此时y=一专×18+9-号，不符合题 意，∴x≠18.函数图像开口向下，.取x=17或x=19.当 x=17时y=号，不符合题意；当x=19时=号=17，符合 题意，此时总利润最大，则70一x一y=34(名).综上所述，安 排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工 人加工“正”服装，即可获得最大利润。 复习课 知识梳理 1.ax?+bx+c 2.(2)①上下 ②- 2a ③(-品，aa） 3.(1)①减小增大②增大减小 (2)4ac-4如c-4.加减加减5.(2)a(x十 h)2+k(3)a(x-x)(x-x2)6.(2)①>②=③< 题组提优训练 考点一：1.A2.C解析：抛物线的顶点坐标为（一1， -2),∴.可设抛物线为y=a(x+1)2-2=a.x2+2a.x十a-2, 又，抛物线为y=a.x2十bx十c,∴.b=2a,c=a-2.,抛物线与 y轴的交点在x轴上方，.c=a-2>0,a>2>0,故A、B选 项不符合题意；抛物线的顶点坐标为（一1，一2），∴.当x 一1时，y=a-b十c=一2，故C选项符合题意；，b=2a,c= a-2,∴.b-4ac=4a2-4a(a-2)=8a>0,故D选项不符合 题意.3.①②④解析：将二次函数y=x2-2ax十3(a是 常数)的图像向下平移3个单位长度后得到y=x2-2ax,当 x=0时，y=0,∴.平移后的函数图像经过原点，故①正确；当 a=-1时，y=x2+2x十3，令x2+2x十3=-x,得x2+3x十 3=0,.32一4X1X3=一3<0，.抛物线y=x2十2x十3与直 线y=一x没有交点，：抛物线开口向上，∴.当a=一1时，这 个函数的图像在函数y=一x的图像的上方，故②正确；·二 次函数y=x2一2ax十3(a是常数)的图像开口向上，对称轴为 直线x=a,'.当x>a时，函数值y随自变量x的增大而增 大，故③错误；·y=x2-2ax十3=(x一a)2+3-a2,.顶点为 (a,3一a2),‘a2≥0，.3一a2≤3，故④正确.综上所述，正确的 结论是①②④ 考点二：4.B解析：将(0,0)代入二次函数的表达式，得α 2=0,∴.a=士W2.由图像得，a<0,.a=一√2.5.y=-x2 2x或y=一x2一2x十8解析：由题意，得顶点坐标为(-1,1) 或(-1,9，可得-合2=-1，二4，产-1或4=9，解 得b=一2，c=0或c=8,则该抛物线的函数表达式为y=一x2 2x或y=-x-2x十8.6.y=-合2+名x十4解析： ,抛物线y=ax2十bx十4与y轴交于点C,.点C(0,4), .OC=4.点A(-3,0),.OA=3,∴.AC=5.AB平分 ∠CAO,∴.∠BAC=∠BAO.BC∥x轴，∴.∠CBA= 课时提优计划作业本·数 。 ∠BAO,∴∠BAC=∠CBA,∴.BC=AC=5,.点B(5,4).把 点A(-3,0),B(5,40代人y=ar2+bx+4,得9a-36+4=0, (25a+5b+4=4, 1 a=- 6 1 解得 5 6-6 六抛物线的函数表达式为)一行+ 6x+4 考点三：7.D解析：关于x的一元二次方程一x2十mx一t=0 的解就是抛物线y=一x2十mx与直线y=t的交点的横坐标， 将(4,0)代入y=一x2十mx,得m=4,∴.二次函数y=一x2十 4x的顶点坐标为(2,4).当x=1时，y=一12十4×1=3；当 x=5时，y=一52十4×5=一5.如图，若关于x的一元二次方 程-x2+mx一t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解，则 直线y=t与抛物线y=一x2+mx在1<x<5的范围内的图 像有交点，结合图像可知，t的取值范围为一5<≤4. 1=4 =3 8.-3<x<1解析：a.x2+(b-k)x十c-1>0,.a.x2+ bx十c>kx十1，∴.结合题图可知解集为-3<x<1.9.(1)在 y=-x2+2mx+4-m2中，a=-1,b=2m,c=4-m2.b- 4ac=(2m)2-4×(-1)×(4-m2)=16>0,∴.二次函数的图 像与x轴总有两个公共点.(2)，y=-x2+2mx十4一m2= -(x-m)2+4,.点C(m,4)、D(0,4-m2).①当4-m2=-4 时，△ABC的面积与△ABD的面积相等，此时m=土2√2； ②当4-m2=4,即点C、D重合时，△ABC的面积与△ABD 的面积相等，此时m=0,符合题意.综上所述，m的值为士2√2 或0. 考点四：10.(1)(x-30)(-2x十160)解析：销售单价 为x元/件，进价为28元/件，销售一件需缴纳网络平台管理 费2元，.每件文创用品的利润为x一28一2=(x一30)元. ,每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足一次函数关 系，.设y关于x的函数表达式为y=kx十b(k≠0)，把(30， 》.50,60)代入，得30十6二100解得16，÷关手 150k+b=60, x的函数表达式为y=一2x十160，即每天的销售数量为 (-2x十160)件.(2)根据题意，得W=(x-30)(一2x+ 160)=-2x2+220x-4800=-2(x-55)2+1250.-2< 0,∴.当x=55时，W取得最大值，最大值为1250，.当销售单 价为55元时，每天获利最大，最大利润是1250元.(3)方案 A:由题意，得30x≤45，由(2)可知，当x=45时，W取得最 大值，最大值为-2×(45-55)2+1250=1050（元）.方案B: 根据题意，得 -2x十160≥10，解得67≤x≤75，由(2)知，当 x-30≥37， x=67时，W取得最大值，最大值为-2×(67-55)2+1250= 962(元).1050>962，∴.方案A的最大利润更高. 1山.(：二次函数)y=-号(x-1)产+4的图像的顶点为C, 4 “点C(1,4).令-号(x-1)2+4=0,解得x=-2或x=4, ∴点A(一2,0)、B(4,0).(2)①6解析：由题知，该函数过 点B(4,0)、C(1,4)、D(3,0),.该函数图像的对称轴为直线 学·九年级下册(SK版) 6 x-名.点C1,4)、M,,∴点C,M关于该函数的对称轴 7 对称1士-子，(=6。②二次函数图像的对称轴与 2 工轴的交点坐标为（号，0）.：B.D两点关于对称轴对称，点 B(4,0),∴点D(t-3,0).点D在线段OB上，且不与端点重 合，38解得3.：当=4时，过B.CM三点 的二次函数图像不存在，∴t的取值范围为3<t<7且t≠4. ③OD=t-3,DB=7-t,.OD·DB=(t-3)·(7-t)= -t2+10t-21=-(t-5)2+4..3<t<7且t≠4，∴.当t=5 时，OD·DB有最大值，最大值为4. 直击中考前沿 1.C解析：抛物线y=一(x一2)2十c的开口向下，对称轴为 直线x=2.,点（一2，y)、(3,2)、(7,y)与对称轴的距离分 别为|-2-21=4、3-2|=1、17-21=5，且1<4<5，.y2> h>y.2.D解析：由题意可得，方程ax2-2ax十a-3=0 的两根异号，∴m=a3<0,解得0<a<3,∴该二次函数 的图像开口向上，故A选项错误；，y=a.x2-2a.x十a一3(a≠ 0)的对称轴为直线工=一22=1…心当>1时，y随x的增 大而增大，故B选项错误；，当x=1时，y=一3，∴最小值为 一3，故C选项错误；当x=2时，y=4a一4a十a-3=a一3， 0a3,.a一3<0，.y<0,故D选项正确.3.C 解析：观察图像可知，a>0,b<0,c<0,故abc>0,故A选项错 误；由图像可知，抛物线交x轴于点(2,0)，另一个交点横坐标 b∠1， 在-1和0之间，根据抛物线的对称性可知，立<一 ∴.-2a<b<-a,∴.2a十b>0,故B选项错误；当x=-1时， 可知y>0,即a一b十c>0,故D选项错误；由对称轴的范围可 知，b<-a,即b+a<0,故4b+4a<0①，把点(2,0)代入y= a.x2+bx+c,得4a+2b+c=0,故4a=-2b-c,再代人①，得 4b一2b-c<0,整理，得2b-c<0,故C选项正确.4.B 解析：当x≥1000时，y随x的增大先增大、后减小，故A选 项错误；由函数图像可知，抛物线的对称轴为直线x 1000十3000=2000，即当x=2000时，y有最大值，故B选 2 项正确；由函数图像可知，当y≥0.6时，1000≤x≤3000，故 C选项错误；当y=0.4时，由函数图像可知，x对应的值有两 个，故D选项错误.5.y=3x2一26.8解析：由题意可 知，OA=1.6m,.点A(0,1.6),将点A(0,1.6)代人y= a(x-3)2+2.5,得1.6=a(0-3)2+2.5,解得a=-0, ∴y=-(x-32+25,令-0(x-3)2+2.5=0,解得 1=8,x2=-2(舍去)，.OB=8m.7.(1),在二次函数 y=x2+2(a+1)x+3a2一2a+3中，1>0，.二次函数的图像 开口向上.：二次函数的图像与直线y=2a2有两个交点， ∴函数的最小值小于2a2,.4(3a-2a+3)-4(a十1)2 2a2-4a+2<2a2,解得a>2. (2),二次函数的图像与 x轴有交点，∴.4(a十1)2-4×1×(3a2-2a+3)=-8a2+ 16a-8=-8(a-1)2≥0，∴.(a-1)2≤0，又.(a-1)2≥0， ∴.(a-1)2=0,解得a=1.(3)证明：当x=0时，y=3a2 2a+3=3(a-号)°+号>0，∴该二次函数的图像不经过原 课时提优计划作业本·数 。 点.8.(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒” 鲶品每个进价为y元根据题意，得侧 号V二0，答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款 “哪吒”纪念品每个进价为20元.(2)设需要购进B款纪念 品m个，则需要购进A款纪念品(400一m)个.根据题意，得 40(400-m)十20m≤12000，解得m≥200..m为正整数， ∴m的最小值为200.答：至少需要购进B款纪念品200个. (3)根据题意，得W=(a-40)[200-5(a-60门=-5a2十 700a-20000=-5(a-70)2十4500.，-5<0,60≤a≤100， ∴.当a=70时，W取得最大值，最大值为4500.9.(1)把 (1,0)代人y=x2-a.x十5，得1-a十5=0，解得a=6.(2)由 6 (1)知，y=t-6x+5,对称轴为直线x=一2=3. ,点A(0,t)在y轴上，过点A(0,t)且与x轴平行的直线交抛 物线于B、C两点，∴点B、C关于对称轴对称，点B、C的纵坐 标均为6.又：B为线段AC的中点，0=2xB,延= 2 3 xa=3,B=2.将x=2代人y=x2-6x十5，得y=2 6×2+5=-3,.t=-3.(3),y=x2-6.x+5=(x-3)2 4,.抛物线的顶点坐标为(3，一4).当抛物线的一段y=x2 a.x十5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1、l2之间 时，假设直线2在直线（下方，则直线2必在直线y=一4下 方或与直线y=一4重合.要使n一m最大，则直线l2必与直 线y=一4重合.，直线1、l2之间的距离为16，.直线1的 表达式为y=12.如图，令x2一6x十5=12，解得x1=7,x2= 一1.结合图形可知，当n=7,m=一1时，n-m取得最大值，最 大值为7-(-1)=8. 43-2102}45678910x 第6章 图形的相似 6.1图上距离与实际距离 课堂演练 1.C解析：它的实际长度约为10.99×100000= 1099000(cm)=10.99(km).2.B3.A解析：线段的 长x是3和6的比例中项，∴.x2=3×6=18,.x=32. 4.D解析：力=元 ,业=9的两边同时乘pn得，m=pq,与原式一 致，故A选项不符合题意：品=号的两边同时乘网得，m 9,与原式一致，故B选项不符合题意：是=名的两边同时乘 m得，m,与原式一致，故C选项不符合题意：受-名 q 学·九年级下册(SK版) 7