第六章 专题6 相似三角形与其他知识的综合-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级数学下册（苏科版2012）

课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版))) 专题6相似三角形与其他知识的综合 目/类型一/特殊四边形与相似三角形的综合 1.如图，在正方形ABCD中，M是边BC上的任意一点，连接AM并将线段AM绕点M顺 时针旋转90°得到线段MN,在边CD上取点P使CP=BM,连接NP、BP. (1)求证：BP=MN (2)线段MN与CD交于点Q,连接AQ.若△MCQ△AMQ,求证：BM=MC. 2.如图是一块矩形木板ABCD,AB=70cm,BC=120cm.点P在AB上，点Q在BC上. (1)如图1，沿PQ切割矩形木板，若AP=BQ,且PQ=50cm,求AP的长. (2)如图2，当AP=50cm时，BC上是否存在点Q,使得∠PQB=∠CDQ?请说明理由. (3)若沿DP、PQ、DQ切割后，△DAP∽△DPQ△PBQ,在图3中画出示意图，并说明 分割方法. 图1 图2 图3 目/类型二/圆与相似三角形的综合 3.如图，锐角三角形ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线AG交⊙O于点G,交边BC于 点F,连接BG. (1)求证：△ABGp△AFC (2)若AB=a,AC=AF=b,求线段FG的长.（用含a、b的代数式表示） (3)已知点E在线段AF上（不与点A、F重合），点D在线段AE上（不与点A、E重合）， ∠ABD=∠CBE,求证：BG=EG·DG. 66》 第6章图形的相似 4.如图，在⊙O中，直径AB与弦CD互相垂直，垂足为E,连接AD,以CE、BE为邻边作矩 形CEBF,其对角线FE的延长线交AD于点G. (1)求证：∠D=∠CFE: (2)若EG=3.6,EF=10, ①求CE的长； ②求⊙O的半径. 目/类型三/函数与相似三角形的综合 5.如图，抛物线y=一x2十bx十c交y轴于点A(0,4),交x轴于点B(4,0)和点C,P是该抛 物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ,过点A作AQ⊥PQ于点Q,连接AP(AP不平 行于x轴) (1)求该抛物线的函数表达式. (2)点P在抛物线上运动，若△AQPp△AOC,求点P的坐标. 6.如图，抛物线y=一x2+bx+c与x轴交于A(一1,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C.P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E (1)求抛物线的函数表达式. (2)求线段PE的最大值. (3)是否存在以点C、E、P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点P的坐标；若不 存在，请说明理由. AO D B 《67周长为28.：DE∥BC,∴△ADEAABC,C-BC, ,.CAE=DE、 -(),…=()=(爱)-告 S△ABC BC S△ABC ACAABC 42 :△ABC的面积为84，爱=告，SE= 112 84 31 13.(1),D是边BC的中点，DE⊥BC,∴.BE=EC,BD= CD=2BC,∠ABC=∠FPCD.AD=AC,∠ACB= ∠FDC,.△ABC∽△FCD.(2)由(1)，得△ABC∽△FCD, 小2-是-专盟-(-ac=2m,w 4SACD,.AD=2FD,且AD=FD+AF,∴.AF=FD, SAAEF=SADEF =2,SARCD SAAFC,SAODE SAACE. BD=DC,SABDE SACDE=SARCD+SADEF SARCD +2. SAAIC=4SARCD,.3(SARD+2)=4SARCD,SARCD =6. 14.(1)如图，点N即为所求.(2)，AM=DM,DN=CN, MN∥AC,AC=2MN,.△DMN∽△DAC,:S= SADAC ()°-名8e=45N=4X8=32,Sm 2S△n4c=2X32=64. B C 第2课时相似三角形的性质(2) 课堂演练 1.A解析：：两个相似三角形对应边之比是1：3，这两个 相似三角形的相似比是1：3.又相似三角形的对应线段的 比等于相似比，.它们的对应中线之比为1：3.2.D 解析：相似三角形对应线段的比等于相似比，∴铝 2,即号-石2，解得BE=号.3.A解析：∠CDE+ BE ∠B=180°，∠ADE+∠CDE=180°，∴∠ADE=∠B.:'∠EAD= ∠CAB,△EAD△CAB,铝-怎（相似三角形对应中 线的比等于相似之比)，号-架AF=号。 4.2:3 2:34:9解析：相似三角形对应角平分线之比、周长之比 均等于相似比，均为2：3，而面积之比等于相似比的平方，为 4:9、52解析：铝-号=2能-号=2 AD AS.'∠BAD=∠CAE,∠BAC=∠DAE,AABC Ae △ADE是8-2aMLB,ANLDE,兴E 2.6.72cm解析：，四边形EFGH为矩形，.EF∥GH, △AHC△ABC,光二.设HE=MD=xmAD 30 cm,.'.AM=(30-x)cm..'HG=2HE,.'HG=2x cm, :300-箭解得z=12,HE=12m,HG=24cm矩 30 形EFGH的周长为(12+24)×2=72(cm).7.(1)证明： ,AN⊥BC,.∠ANB=90.DE∥BC,.∠AMD= ∠ANB=90,△ADE∽△ABC,÷0-￥ (2)D是边 课时提优计划作业本·数 2 AB的中点裙-子由I,得△ADE△ABC,荒- AC AB =Z,AE=EC,∴.SADE=SAEc.'△ADE△ABC, AD 1 器-(》-()》广-…--子 课后拓展 8.D解析：，△ABCc∽△DEF,△ABC与△DEF的面积比 为是，△ABC与△DEF的相似比为号，△ABC与 △DEP对应角平分线之比为号. 9.144解析：如图，由题 意知，S△DEM:SAGMF:SAMHN=4:9:49,且△DEMD MF∽△MHN,EM:MF:HN=2:3:7,C=12 .又易得△DEM∽△ABC,:.=(4)= 6 S△ABC （BC)=36 4 =36SA40=144. D G 10.7解析：EF∥AB,·△FECn△ABC,·SAg= SAABC (侵》'-()广'-是：sx=5m小器-最 =号又器器-0宗-号n-7 99 S△FDC 11.证明：△ABC是等边三角形，·∠ABC=∠ACB=60, ∠AE=∠DcA=12o:“器-S既-能， .△ABEP△DCA.:'BM、CN和BG、CH分别是△ABE和 △CA的对痘商线和对应角平分线，兴器2.图1 中，设DE=xcm,则DG=2xcm,,DG∥BC,.△ADG∽ △ABC,叉AHLC.岩瓷，即8号-音解得z 4iDE=2 cm,DG=号am,∴SeEc=号×号 7 1152(cm2);图2中，设DG=ycm,则DE=2ycm,同理可得 49 立-8g2》,解得y=3,DG=3cm,DE=6mSeo 8 3X6=18(cm2).18<1招2图1设计方案更好。 专题6相似三角形与其他知识的综合 1.证明：(1)在正方形ABCD中，AB=BC,∠ABC=∠C=90°， (AB=BC. 在△ABM和△BCP中，/ABC=∠C,'.△ABM≌△BCP (BM=CP, (SAS),∴.AM=BP.由旋转的性质得AM=MN,.BP= MN.(2)在正方形ABCD中，∠ABC=90°，∴.∠BAM+ ∠AMB=90°.又由题意，得∠AMN=90°，∴.∠AMB+ ∠CMQ=90°，，∴.∠BAM=∠CMQ.又，∠ABM=∠C=90°， ∴△ABM△MCQ,-:△MQ△AMQ, 学·九年级下册(SK版) 6 ∴△AMQ△ABM,.A-M9,.AB=4AMAB_AB ·AB=BM·BMMQ,·MC=BM: .BM=MC.2.(1)设AP=BQ=xcm,则BP=(70- x)cm.在Rt△BPQ中，由勾股定理得BP2十BQ=PQ,即 (70-x)2十x2=502,解得x1=30,x=40,.AP的长为 30cm或40cm.(2)存在点Q,使得∠PQB=∠CDQ.理由 如下：如图1，.'∠PQB=∠CDQ,∠B=∠C,∴.△CDQ △P,8-品则BQ·0Q=BP.CD,即B0120 BQ)=20×70,整理得，BQ一120BQ+1400=0,.一4ac> 0,∴方程存在符合实际的根，∴存在点Q,使得∠PQB ∠CDQ.(3)当P为AB的中点，且PQ⊥DP时，△DAP∽ △DPQ△PBQ,如图2所示.，P为AB的中点，.AP= BP=7AB=35cm,根据勾股定理得DP=√AP严+AD= 125cm.,PQ⊥DP,.∠APD+∠BPQ=90.∠APD+ ∠ADP=90°，∠ADP=∠BPQ.又，∠A=∠B=90°， △DAPPR,品-器即需-语解得PQ 要品器装贵器器品最又 24 24 ∠DPQ,∴.△DAP∽△DPQ,∴.△DAP∽△DPQ∽△PBQ,故 当P为AB的中点，且PQ⊥DP时，△DAPc∽△DPQ∽ △PBQ. B 图1 图2 3.(1)证明：，AG平分∠BAC,∴∠BAG=∠FAC.又∠G= ∠C,∴.△ABG△AFC.(2)由(1)知，△ABG∽△AFC, 0-怨：AC=AF=6,∴AG=AB=aFG=AG AF=a-b.(3)证明：.'∠CAG=∠CBG,∠BAG=∠CAG, .∠BAG-∠CBG.'∠ABD=∠CBE,.∠BDG=∠BAG+ ∠ABD=∠CBG+∠CBE=∠EBG.又·'∠DGB=∠BGE, △DGBO△BGE,%=8器BG=EG·DG 4.(1)证明：如图，连接BC.,四边形CEBF为矩形，.EF (CE=CE, BC,FC=BE.在△BCE和△FEC中，BC=FE,∴.△BCE≌ BE=FC, △FEC(SSS),.∠EBC-=∠CFE.∠EBC=∠D,∴.∠D ∠CFE.(2)①由(1)，得，∠D=∠CFE.又∠DEG= ∠CER△DEGAFEC,-:直径AB1CD, ∴.CE=DE,∴.CE=EF·EG=10X3.6=36,解得CE=6(负 值已舍去)，即CE的长为6.②AB⊥CD,·∠CEB=90°. .'BC=EF=10,.∴.EB=√/BC2-CE2=√10-6=8../D= ∠CBE,∠A=∠BE,△DEn△BC,÷噩-'， AE-DEC=6X6-号，∴AB=AE+BE=号+8= BE 8 空⊙0的半径为空 课时提优计划作业本·数 2 B G 5.(1)把点A(0,4)、B(4,0)代入y=-x2+bx十c,得 c=4, -16+46+c=0,解得c=4 (b-3该抛物线的函数表达式为 y=-x2+3x十4.(2)当y=0时，-x2+3x十4=0，解得 =-1,x2=4,点C(-1,0),.0C=1.:点A(0,4), 0A=4:△AQPn△A0C,8品8-8鸽=4， 即AQ=4PQ.设点P(m,-m2+3m+4),∴.m=4×|4 (-m2+3m+4)l,即4×m2-3m=m.解方程4(m2 3m=,得m=0(舍去)，m=只，此时点P的坐标为（兴， );解方程4(m-3m）=一m,得m=0(含去)，m=号，此 时点P的坐标为（件，得）：综上所述，点P的坐标为(， )或(，》 6.(1)将点A(-1,0)、B(4,0)代入y= -x2+bx十c,得 1-1-b+c=0 1-16+4b+c=0 。解得63：抛物线的函 c=4, 数表达式为y=-x2+3x+4.(2)在y=-x2+3x十4中， 令x=0,得y=4,∴.点C(0,4),由点B(4,0)、C(0,4)可得直 线BC的函数表达式为y=一x十4.设点P(m,-m2+3m+十 4),则点E(m,一m十4)，.PE=一m2+3m+4一（一m+4)= -m2+4m=-(m一2)2+4..-1<0，∴.当m=2时，PE取 最大值4，.线段PE的最大值为4.(3)存在以点C、E、P为 顶点的三角形与△ABC相似.，点B(4,0)、C(0,4),∴OB= OC,.∠OBC=∠OCB=45°.，PD⊥x轴，.∠BED ∠OBC=45°，∴∠CEP=∠ABC=45°，要使以点C、E、P为顶 点的三角形与△ABC相似，只需需=既或瓷-器 点A(-1,0)、B(4,0),C(0,4),.AB=5,BC=4√2.设 点P(t,-+3t+4),则点E(t,-t+4),∴.PE=-t+3t+ 4-（一+)=-+4，CE=2g=洁或是 4√2 42 十红，解得1=0（此时点P与点C重合，合去）或=号或 5 =是∴点P的坐标为（号，）或(，)】 6.6图形的位似 课堂演练 1.D2.A解析：：△ABC与△A'B'C是位似图形，位似 中心为点O,点A(-3,1)的对应点为A(-6,2),.△ABC 与△ABC的位似比为1：2.点B的坐标为（一2,4），.点 B的对应点B的坐标为（一2×2,4×2），即（一4,8）.3.D 解析：，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形， .AC∥DF,故A选项正确，不符合题意；·△ABC与△DEF 是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，，∴.AB∥DE, 学·九年级下册(SK版) 7